解直角三角形1
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
1.3 解直角三角形(1)
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
教学课件_解直角三角形(第1课时)_2
∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 2 .
巩固练习
1.在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角
C.已知两边
D.已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB= 5 ，则
tan A的值为（ C ）
新知讲解
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与
地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已
知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cosa
AC AB
2.4 6
0.4
B
利用计算器求得 a≈66° ∴当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面
α AC
所成的角大约是66°
巩固练习
5.如图，BD是△ABC的高，AB=6， AC=5 3 ，∠A=30°．
（1）求BD和AD的长； （2）求tan C的值．
解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°
∴sin A= BD，cos A= AD
AB
∵AB=6∠A=30°
AB
∴BD=3，AD=3 3
（2）∵AC=5 3 ∴CD=2 3 在Rt△BCD中，tan C=
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
a sinA＝ c
b cosA＝ c
tanA＝ a
b （4）面积公式：S▲ABC
1 2
a•b
1 2
c•h
Ｂ
c a
bＣ
例题讲解
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，2BC= ，6解这个直 角三角形.
解直角三角形PPT课件(1)
视线 铅 直 线
仰角 水平线 俯角 视线来自1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪 CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电 线杆AB的高．（精确到0.1米）
=220 1.20 22.7
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。问题如下：
变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D 点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
α
2. 两座建筑 AB及CD，其 地面距离AC为50.4米，从 AB 的顶点 B 测得 CD 的顶 部 D 的仰角 β ＝ 250, 测得 其 底 部 C 的 俯 角 a ＝ 500, 求两座建筑物 AB 及 CD 的 高.（精确到0.1米）
A
C
B
课本P92 例4
（第 2 题）
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同 时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只 发出警告，令其退出我国海域.
A
D 30°
C E
x x
F B
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
解直角三角形1
解直角三角形[例1]（2004贵阳）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图12），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时. （1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32º≈53100 ，cos32≈106125 ，tan32º≈58）[例2]（2004海口）雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C 处 C 与塔底B 在同一水平线上），用高1.4米的测角仪CD 测得塔顶A 的仰角α=43°（如图），求这座“千年塔”的高度AB （结果精确到0.1米）.（参考数据：tan43°≈0.9325，cot43°≈1.0724）[例3]（2004重庆）如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明. 〖考题训练〗1．（2004深圳）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30º夹角，这棵大树在折断前的高度为A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米2．（2005徐州）21．(A 类)如图1，在与旗杆AB 相距20米的C 处，用高1.20米的测角仪测得旗杆顶端B 的仰角α=30°.求旗杆AB 的高(精确到0.1米). (B 类)如图9，在C 处用高1.20米的测角仪测得塔AB 顶端B 的仰角α=30º，向塔的方向前进20米到E 处，又测得塔顶端B 的仰角β=45°.求塔AB 的高(精确到0.1米).我选做______________类题，解答如下：3．（2004大连）如图5，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形， D 是AB 的中点，中柱CD=1米，∠A=27°， 求跨度AB 的长(精确到0.01米)。
沪教版(上海)九年级第一学期 教案 25.3解直角三角形(1)
预案：学生可能会用 求 ，问你用的是原始数据吗？
学生用计算器算出b、∠A.
生答：
（1）取原避中，用正切容易出现误差.
（2）用 .
（3）正弦或余弦.
无弦用切.
学生练习.
1. ，
，
2．
.
3.
,
.
学生思考
学生计算器计算：
（6米）
预设：
（1）直角三角形中的等量关系；
（2）在解直角三角形时，除直角外，至少需要知道两个元素，并且至少一条是边，才能求出其它的元素．
我们已经掌握了直角 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，就可以由已知元素求未知元素．
问1：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它的元素？
问2：两个什么元素？两个元素都是角吗？
问３：为什么？一边一角可以吗？
归纳：在直角三角形中，利用以上关系式，知道其中除直角外的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这就是我们这堂课要学习的内容.
（3）十六字口诀．
联系实际、创设问题情境，激发学生的求知欲.
这三条关系是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
这样的导语可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，激发了学生的学习热情．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立思考，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生分析比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
板书：2.解直角三角形
（1）定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
解直角三角形_1
解直角三角形各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢教学建议1．知识结构：本小节主要学习的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法。
2．重点和难点分析：教学重点和难点：直角三角形的解法。
本节的重点和难点是直角三角形的解法。
为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系。
正确选用这些关系，是正确、迅速地的关键。
3。
深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化。
锐角三角函数的定义：实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中。
当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素。
如：已知直角三角形ABC中，，求BC边的长。
画出图形，可知边AC，BC和三个元素的关系是正切函数（或余切函数）的定义给出的，所以有等式，由于，它实际上已经转化了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得。
即得BC的长为。
又如，已知直角三角形斜边的长为35。
42cm，一条直角边的长29。
17cm，求另一条边所对的锐角的大小。
画出图形，可设中，，于是，求的大小时，涉及的三个元素的关系是也就是这时，就把以为未知数的代数方程转化为了以为未知数的方程，经查三角函数表，得。
由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具。
4。
直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下：5。
注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化由上述（3）可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的。
值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路。
解直角三角形(第1课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
∴Leabharlann c＝＝≈34.9 .
°
B
A
c
35°
a
b=20
C
例题讲授
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝20.49 .
(1)求c的值(精确到0.01)；(2)求∠A、∠B的大小(精确到0.01°).
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
c＝ + ＝ + . ，
36.87
思考与探索
在Rt△ABC中，
(1)已知∠B和直角边AC，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(2)已知AC和斜边AB，你能求出这个三角形的其他元素吗?
(3)已知∠A和∠B，你能求出这个三角形的其他元素吗?
B
知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
C
A
归纳总结
在Rt△ABC中，除直角外，还有a、b、c、∠A、∠B这5个元素.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴ ∠B＝90°-∠A＝90°-30°＝60°.
∵ sinA＝ ，
∴ c＝ ＝
��°
＝10.
∵ tanB＝ ，
∴ b＝a ∙ tanB＝5 ∙ tan60°＝5 .
还可以利用勾股定理计算，
b＝ − ＝ − ＝ .
新知巩固
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，
c，由下列条件解直角三角形：
(1)∠B＝30°，a－b＝3 －3；
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A
∠C的对边)
新知归纳
已 知 类 型
1.3解直角三角形(1)教案
1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。
25.3解直角三角形(1)
新 楼
E
B C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该 居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房. 在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光 与水平线的夹角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应 D 相距多少米？
太阳光 30°
A
住 宅 楼
新 楼
太阳光 30°
A
住 宅 楼
新 楼
B
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该 居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房. 在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光 与水平线的夹角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应 D 相距多少米？
太阳光 30°
A
A
60° B 12 D
30°
F
练习、直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机 的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO
P
C
30°
A 200米
60°
O
B
1.如图，在△ABC中·，已知 AB=1，AC= 2 ∠ABC=45°，求BC的长。
A
B C
2.如图，在△ABC中∠A=30°， tanB= 3 AC= 2 3 2 求AB的长。
F B
E
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该 居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房. 在该楼的前面要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光 与水平线的夹角为30°时. 问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应 D 相距多少米？
太阳光
30°
A
住 宅 楼
25.3解直角三角形1
图25.3.125.3解直角三角形1【学习目标】1．复习已知两边解直角三角形, 能利用解直角三角形解决实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.【教学重点难点】重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
【课前预习】 自学课本完成下列问题1. 在直角三角形中， 的过程，叫做解直角三角形.2．已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A=（ ） A.30° B.45° C.60° D.75°3.计算:45tan 30cos 60sin -4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝10， b ＝24,求(1)斜边c ;(2)求c a + .(请画图)【课堂活动】例1 如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？【随堂检测】 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知a ＝3， b ＝3,解这个直角三角形.2.计算 03045tan 831+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛3.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？【问题小结】1. 已知两边,可以解直角三角形;2. 把实际问题转化为数学问题,注意建模.【课后作业】1. 在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°,a ＝1， c ＝2，解这个直角三角形;2. 在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°,c ＝30， ∠A ＝60°，3. 求下列各式的值．（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°；（2） ︒+︒60cos 45sin 22；4.已知直角三角形两条直角边分别为5、12，求斜边上中线的长．【课外拓展】1.如图，在ABC △中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）A ．2B ．22C ．63D ．33 2．一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？A C BD。
解直角三角形1
BC 2 1 sin A , 且A为锐角, AB 2 2 2 A 30, B 90 A 60
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形 (1) (2) a=30 ,b=20 ∠B=72°, c=14
答 : 大树在折断之前高为 36 米.
例3: 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
AB的长
太阳光 A 线
B
30 ° 30
60 C °
D
地面
课后作业
课后作业
配套练习册 1.6
a 2 b2 c 2 (勾股定理 )
想一想
抽 象
在直角三角形中，除直角外的5个元素(3 条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至 少有一个是边），求出其余的3个元素的过程 叫做解直角三角形.
例1 在RT△ABC中，∠C=900，AC= 6 , AB=2 2
求∠A，∠C. 解:在Rt△ABC中
C
B
“斜而未倒”
AB=54.5m BC=5.2m
α
你能求出塔偏离垂 直中心线有多少度 吗?
A
2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解
利用勾股定理可以求 出折断倒下部分的长度为:
102 + 242 26
26＋10＝36（米）.
解直角三角形（1）
9.9
辛庄初中
孙健
(1)直角三角形的三边有什么关系?
(2)直角三形的锐角之间有什么关系?
9.4解直角三角形(1)
例3若a=19951995/19961996,
b=19961996/19971997,
c=19971997/19981998,则a、b、c的大小关系是什么？（1997年“希望杯”初一数学邀请赛试题）
解析：a=（1995×10001）/（1996×10001）＝1995/1996＝1－1/1996,
（A）1990（B）1991（C）1992（D）1993
（1992“缙云杯”初中数学邀请赛）
解析：设把一张纸剪成5块后，剪纸还进行了n次，每次取出的纸片数分别为x1,x2,x3,…,xn块，最后共得纸片总数N，则
N＝5-x1+5x1-x2+5x2-…-xn+5xn
=1+4（1+x1+x2+…+xn）,
∴3xn+x2n-1/3-（x3+xn/3-3）=9.
五、比较大小问题
例8、把255,344,533,622四个数按从大到小的顺序排列___________.（天津市第二届“少年杯”数学竞赛题）
解析：∵255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，533＝（53）11=12511,622=（62）11=3611,
又32＜36＜81＜125，
∴255＜622＜344＜533.
例9、若a=989898/999999，b=979797/989898,试比较a,b的大小.（1998年“希望杯”初一数学邀请赛试题）
解析：a=（98×10101）/（99×10101）=98/99,b=97/98,
a-b=98/99-97/98=1/（98×99）>0,
解析：由非负数的性质，知
9、2解直角三角形(1)锐角三角比
三角比
数学符号语言
B
∠A的正弦
c
A
∠A的余弦
BC ∠A的对边 sinA= 斜边 AB
a c b c
a
∠A的对边
∠A的正切
AC ∠A的邻边 cos A= 斜边 AB
b ∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
BC ∠A的对边 ∠A的邻边 AC
a b
AC ∠A的邻边 cotA= ∠A的对边 BC
a:b=1:2
∴ sin A
a 2 5 c 2 5 5
b 4 2 5 c 2 5 5
c a 2 b 2 x 2 (2 x) 2 5 x
c b
cos A
a
a x 5 ∴ sin A c 5x 5
cos A b 2x 2 5 c 5 5x
斜边
数学文字语言
B
∠A的正弦
sine
sin A= ∠A的对边
斜边
cosine
∠A的余弦
cos A=∠A的邻边
∠A的对边
∠A的正切 tangent
斜边
A
∠A的邻边
C
tan A=
∠A的余切
∠A的对边 ∠A的邻边
cotangent
锐角A的正弦、余弦、正 切、余切统称锐角A的
cotA= ∠A的邻边
∠A的对边
D
CD Rt△BCD中，sin B BC
Rt△ABC中，sin B
AC AB AD AC
Rt△ACD中，sin B sin ACD
4
2
b 4 cot A 2 a 2
AC 4 cot A 2 BC 2
1.4解直角三角形1
能力提升
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线 ，解这个直角三角形。 4AD= 3
AC 6 3 cos CAD 解： AD 4 3 2
A
CAD 30
因为AD平分∠BAC
6
C4 3D来自CAB 60, B 30
B
AB 12, BC 6 3
Ｂ
b
Ｃ
复习
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 45°
2 2
60°
3 2
三角函数 sin a cos a
tan a
1 2 3 2
3 3
2 2
1 2
1
3
对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大； 对于cosα，角度越大，函数值越小。
B
c a
A
b
C
在直角三角形中，除直角外，还有哪些元素? 这5个元素之间有什么关系? 知道其中哪些元素，可以求出其余的元素?
由勾股定理得：
tan30 即：
2 x x 4 3 解 得 ： x 4或x 4(舍 去)
2 2 2
3 a 3 4 3
4 3
A
4 3
C
∴c=8，a=4 方法一
解 得 ： a4
∴c=8 方法二
比较这两种 方法哪个方 法更简单？
基础练习
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边
北师大版九年级下 第一章 直角三角形的边角关系
第4节 解直角三角形
知 识回 顾
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？
25.3(1) 解直角三角形 1
aA aA学案 25.3（1） 解直角三角形教学目标：1、理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角比解直角三角形。
2、经历对满足什么条件可解直角三角形的问题分析过程。
3、会解直角三角形；会选择合理的算法。
教学重点：解直角三角形。
教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用。
活动一：复习旧知，归纳整理直角三角形的三条边和两个角之间的关系 1．锐角之间的关系2．三边之间的关系3．边角之间的关系思考：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，知道 个元素（至少有一个元素是 ，也就是只要知道 或者 ），就可以求出这个直角三角形的其它三个元素定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形活动二：新知运用例题1 在Rt △ABC 中，∠C=90，∠A=300，aaAaAaA例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=600，b =，解这个直角三角形。
赛一赛，看谁解的快在Rt △ABC中，∠C ＝90°，a=，b =例题3 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a =8，解这个直角三角形。
活动三：小结通过这节课的学习，你有什么收获？作业单aABCB1．在Rt △ABC 中，∠C=900，由下列条件解这个直角三角形（1）已知c ，∠A ，则a = ，b= 。
（2）已知b ，∠A ，则a = 。
（3）已知a ，∠A ，则b = 。
（4）已知a ，b ，则用关系式 求∠A 。
（5）已知a ，c ，则用关系式 求∠A 。
2．在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=600，a =10，解这个直角三角形（结果保留根号）3．如图，在△ABC 中，B=450，∠C=600，求AC 、BC 的长4．在Rt △ABC 中，∠C=900，D 为BC 上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB= 求AC 长5、如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，sinB=35，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，DC=6， 求∠BAD 的正切值。
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教学反思：通过本节课教学，我觉得教学目标定位准确恰当。
结合课程标准，在对教材深入钻研的基础上，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观，制定了以“会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形”作为本节课的核心目标，“渗透数形结合的数学思想、分类思想等，培养学生良好的学习习惯。
”结合课堂教学，我个人认为教学目标达成度是比较高的。
第二，本节课的设计，力求体现新课程理念。
给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，激发学生学习数学的积极性、主动性。
第三，教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者、帮助者。
在学生选择解直角三角形的诸多方法的过程中，我并没有过多地干预学生的思维，而是通过问题引导学生自己想办法解决问题，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，而后选择了一种解法进行板演。
在培养学生的语言表达能力上下了功夫。
通过本节课的实践，我觉得也存在一些需要自己深刻反思和改进的地方。
比如，在探讨解直角三角形的依据时，处理的有些过于仓促，讲话语速太快，影响学生的思考时间，有些问题还应该放手让学生自己去想，可能效果更好；在讲正多边形的例题时，从特殊到一般，处理上有些欠妥。
又如，课堂总结时，总想把现成的规律性结论用学生喜欢的形式告知他们，但忽视了学生在没有亲身体验与感受的情况下，老师的努力将大打折扣。
在今后的教学中，我将更多地关注学生的发展与提升，注意以学生的思维为发展目标。
总之，本节课教学力争体现新课标的教学理念，对新课标下的新课堂的丰富内涵进行积极的探索与有益的尝试。
着力做到新课堂是数学活动的场所，是讨论交流的学堂，是渗透德育的基地，是学生发现创造展示自我的舞台！。