第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
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《解直角三角形的应用(第1课时)》优质教案
回顾
1.解直角三角形主要依据是什么
2．解直角三角形主要有哪两种类型
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在地面上可以利用解直角三角形求得旗杆的高吗他望着旗杆顶端和旗杆底部，测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢如图4－4－15，∠CAE，∠DAE在测量中分别叫什么角呢
①[授课流程反思]
本课时在新课引入时以学生熟悉的校园生活为背景，提出了本节课要用到的仰角、俯角，并对这两种角进行了简单的描述，学生应用时应该是水到渠成的.
②[讲授效果反思]
应用仰角、俯角解决解直角三角形中的问题是本节课的重点，所以本节课选择了3个探究问题，比较基础，希望师生共同了解仰角、俯角的初步应用，接着又选择了4个中考题作为例题讲解，建议每道例题学生先做，然后教师再用多媒体展示答案，突出学生的主体地位和教师的主导作用.
反思，更进一步提升.
图4－4－19
变式如图4－4－20，线段AB，CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角α＝30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼的高.
[答案：(8 ＋15)米]
图4－4－20
认真审题是解题的关键，通过运用一元一次方程的概念，学会解决简单的问题．采取启发式教学发挥学生的潜能.
图4－4－22
[答案：潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米]
例3主要是利用俯角构建直角三角形和一次方程，从而求水下深度.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P126练习中的T1，T2.
2.教材P129习题中的T3，T4，T5.
1.解直角三角形主要依据是什么
2．解直角三角形主要有哪两种类型
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在地面上可以利用解直角三角形求得旗杆的高吗他望着旗杆顶端和旗杆底部，测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢如图4－4－15，∠CAE，∠DAE在测量中分别叫什么角呢
①[授课流程反思]
本课时在新课引入时以学生熟悉的校园生活为背景，提出了本节课要用到的仰角、俯角，并对这两种角进行了简单的描述，学生应用时应该是水到渠成的.
②[讲授效果反思]
应用仰角、俯角解决解直角三角形中的问题是本节课的重点，所以本节课选择了3个探究问题，比较基础，希望师生共同了解仰角、俯角的初步应用，接着又选择了4个中考题作为例题讲解，建议每道例题学生先做，然后教师再用多媒体展示答案，突出学生的主体地位和教师的主导作用.
反思，更进一步提升.
图4－4－19
变式如图4－4－20，线段AB，CD分别表示甲、乙两幢楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶A测乙楼顶C的仰角α＝30°，已知甲楼高15米，两楼水平距离为24米，求乙楼的高.
[答案：(8 ＋15)米]
图4－4－20
认真审题是解题的关键，通过运用一元一次方程的概念，学会解决简单的问题．采取启发式教学发挥学生的潜能.
图4－4－22
[答案：潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米]
例3主要是利用俯角构建直角三角形和一次方程，从而求水下深度.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.教材P126练习中的T1，T2.
2.教材P129习题中的T3，T4，T5.
人教版九年级下册数学作业课件 第二十八章 锐角三角函数 第1课时 仰角、俯角与解直角三角形
＝
3
3）
＝(30
3
＋45)米，
3
∴DG＝EH＝AH－AE＝(30 3 ＋45)－15＝(30 3 ＋30)米，(30 3 ＋30)÷5＝(6 3
＋6)秒，∴经过(6 3 ＋6)秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
2．如图，在高为 2 m，倾斜角为 30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 (C )
A．[2பைடு நூலகம்( 3 ＋1)] m B．4 m C．2( 3 ＋1) m D．2( 3 ＋3) m
3．(威海中考)小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的 河流宽度．他先在河岸设立 A，B 两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点 M.测得 AB＝50 米，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°.请你依据所测数据求出这段河流的 宽度．(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin22°≈38 ，cos22°≈1156 ，tan22°≈25 ，sin67°≈1123 ， cos67°≈153 ，tan67°≈152 )
2
∴x ＝ 17 ≈0.82 ， ∴OD ＝ 0.82 m ， ∴DH ＝ OH － OD ＝ OA － OD ＝ 3.4 － 0.82 ＝
5
2.58≈2.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.
13．(广元中考)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到 一定高度 D 点处时，无人机测得操控者 A 的俯角为 75°，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的俯角为 45°.已知操控者 A 和小区楼房 BC 之间的距离为 45 米，小区楼房 BC 的高 度为 15 3 米．
解：如图，过点 D 作 DG⊥AE 于点 G，得矩形 GBFD，∴DF＝GB，在 Rt△GDE 中，DE＝80 cm，∠GED＝48°，∴GE＝DE·cos 48°≈80×0.67＝53.6(cm)，∴GB＝ GE＋BE≈53.6＋110＝163.6≈164(cm).∴DF＝GB≈164(cm).答：活动杆端点 D 离地面 的高度 DF 约为 164 cm
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
解：如图，α = 30° ， β= 60°，AD＝120． ∵ , ∴BD=AD·tanα=120×tan30︒, =120× =40 . CD=AD·tanβ=120×tan60︒, =120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277(m).答：这栋楼高约为277m.
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
人教版九年级数学(下)28.2.2.1解直角三角形应用举例第1课时
28.2.2 解直角三角形应用举例 第1课时
【基础梳理】 1.仰角、俯角的概念 (1)测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平 线_上__方__的角叫做仰角. (2)视线在水平线_下__方__的角叫做俯角(如图所示).
2.利用解直角三角形解决实际问题的步骤 (1)把实际问题建立_数__学__模__型__. (2)根据已知条件,选用适当的_三__角__函数解直角三角形. (3)得到_数__学__问题的答案. (4)得到_实__际__问题的答案.
【自我诊断】 1.判断对错: (1)视线与水平线的夹角叫仰角.( × ) (2)水平线下方的角叫俯角.( × ) (3)仰角可以是钝角.( × )
A.6sin 75米 C. 6 米
tan 75
B. 6 米 cos 75
D.6tan 75米
3.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上 目标C,此时飞行高度AC=1 200m,从飞机上看地平面指 挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为( D )
∴BE=DE. 设EC=x,则DE=BE=2EC=2x, DC=EC+DE=x+2x=3x, BC＝ BE2 EC2 3x． 由题意可知,∠DAC=45°,∠DCA=90°,AB=60, ∴△ACD为等腰直角三角形,∴AC=DC,
∴ 3x+60=3x, 解得x=30+10 3. 则DE=2x=60+20 3. 答:塔高约为(60+20 3)m.
合科学要求的100°?
(参考数据: sin 69 14，cos 21 14 , tan 20 4 ,
tan43°≈
14
15
15
,所有结果精确到个位)
11
15
湘教版九年级上册数学(XJ)教案 第1课时 仰角、俯角问题2
4.4 解直角三角形的应用第1课时 仰角、俯角问题一．教学三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°斜边的邻边A A ∠=cos(3)边角之间的关系：tanA=（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．例1．.如图，已知AB 、CD 分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点B 处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD 的玻璃幕墙看到大楼AB 的顶部点A 的像，那么大楼AB 的高度为（ ）A ．3 米B ．3米C ．3米D ．60米例2：如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡的邻边的对边A A ∠∠斜边的对边A A ∠=sin角∠ADB ＝50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47,tan50°≈1.20）例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=来解决的两个实际问题即已知和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．（三）．巩固练习7.热气球探测器显示，热气球在点A 处看到某小山底部点C 的俯角为30°，后垂直上升一定高度至点B ，看到点C 的俯角为60°，热气球与小山的水平距离为1800米，如图11，求热气球垂直上升的高度AB.（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）斜边的对边A ∠α∠32．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)四、布置作业。
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
角函数求解
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
添加文档副标题
目录
01.
02.
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
第一课时 仰角和俯角在解直角三角形中的应用
达标检测 反思目标
解：依题意可知，在Rt∆ADC中 所以树高为：20.49+1.72=22.21（米）.
时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离
是多少（地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数）？F
分析：从组合体中能直接看
到的地球表面最远点，是视线 与地球相切时的切点．
P Q
α
如图，⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位 FQ 是⊙O 的切线， 切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点. P⌒Q 的长就是地面
俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan30
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
O·
上 P、Q 两点间的距离，为计算P⌒Q 的长需先求出∠POQ（即 a）的度数.
如图，⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位 FQ 是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点. P⌒Q 的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算P⌒Q 的长需先求出∠POQ（即 a）的度数.
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
小组讨论1:从活动1中的例题解答中，你能体会到解直
角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？
【反思小结】一般情况下，直角三角形是求解或运用三 角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角 形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三图，某人想沿着梯子爬上
应用举例第1课时 仰角、俯角++课件+++2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
BC=2 m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6 m.
(1)求A,C两点之间的距离(结果精确到0.1 m);
解:(1)如图所示,过点 A 作 AE⊥CB,交 CB 延长线于点 E,连接 AC,
在 Rt△ABE 中,AB=5 m,∠ABE=180°-143°=37°,
4.如图所示,从无人机C处测得地面A,B两点的俯角分别为30°,45°,
如果此时无人机C处的高度CD为100 m,点A,D,B在同一直线上,求A,B
两点的距离.
解:∵从无人机 C 处测得地面 A,B 两点的俯角分别为 30°,45°,
∴∠BCD=90°-45°=45°.∴∠ACD=90°-30°=60°.
28.2.2
第1课时
应用举例
仰角、俯角
仰角和俯角
在进行测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线
角叫做仰角,视线在水平线 下 方的角叫做俯角.
上
方的
应用解直角三角形解决实际问题
[例1] (2022盐城)如图所示是处于工作状态的某型号手臂机器人示
意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC为机械臂,OA=1 m,AB=5 m,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, ≈2.24).
解:(2)如图所示,过点 A 作 AF⊥CD,垂足为 F,
∴FD=AO=1 m.∴CF=5 m.
在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得
AF= -=2 (m).
∴OD=2 ≈4.5(m),
即 OD 的长约为 4.5 m.
新知应用
如图所示,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E
处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC=20 m,且距地面高度
《解直角三角形的应用》PPT教学课件(第1课时)
10 3
2
10 3 10
∴渔船不会进入危险区.
例题分析
思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知
数，可以直接求？
C
F
北 E
60°
A
F
北 E
30°
60°
是直角三角形的边长
D
不
A
C
2
30°
0
1
B
2
0 已知边
2
2
0
角三角形的边长
B
D
是直
总结分析
用三角函数求边长时的注意事项
随堂练习
2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并
测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____
100 米.
解析：由题意知，从A处观测B，其俯角为450，
∴∠BAC=900-450=450，
又AC⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=100米.
在Rt△AOC中，tan ∠AOC=
∴AC=OC ×tan500 ≈4.5 ×1.9 ≈5.36
∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8
O
C
D
B
4.5
认识方位角
北
D
E
H
45°
(1)正东，正南，正西，正北
45°
射线OA OB OC OD
东
西
C
射线OE
A (2)西北方向:_________
3
CD
∴ =
=
tan∠
3
BD
2
10 3 10
∴渔船不会进入危险区.
例题分析
思考：用三角函数求边长，什么情况下需要设未知数、列方程？什么情况下不需要设未知
数，可以直接求？
C
F
北 E
60°
A
F
北 E
30°
60°
是直角三角形的边长
D
不
A
C
2
30°
0
1
B
2
0 已知边
2
2
0
角三角形的边长
B
D
是直
总结分析
用三角函数求边长时的注意事项
随堂练习
2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并
测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=____
100 米.
解析：由题意知，从A处观测B，其俯角为450，
∴∠BAC=900-450=450，
又AC⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AC=100米.
在Rt△AOC中，tan ∠AOC=
∴AC=OC ×tan500 ≈4.5 ×1.9 ≈5.36
∴AB=AC+BC=1.44+5.36=6.8
O
C
D
B
4.5
认识方位角
北
D
E
H
45°
(1)正东，正南，正西，正北
45°
射线OA OB OC OD
东
西
C
射线OE
A (2)西北方向:_________
3
CD
∴ =
=
tan∠
3
BD
湘教版数学九年级上册4.4 第1课时 仰角、俯角问题2教案
4.4 解直角三角形的应用第1课时 仰角、俯角问题一．教学三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念 1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sinAC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
《解直角三角形：仰角与俯角》ppt课件
30° 1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的 60° 高．（精确到米）
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电 线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的 高．（精确到米）
=220 1.20
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到
C E x B 达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
图22.179.4.4
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆米的C处，用高米的测角仪CD测得电 线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的 高．（精确到米）
=220 1.20
海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到
C E x B 达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为450。
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α=60o，在塔底D测得点A的俯角β=45o，已 知塔高BD=30米，求山高CD。
B α
D
β
C
A
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 变式： 沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为600 ,求山高AB。
图22.179.4.4
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下： 1）沿着水平地面向前300米到达D点，在D点 测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
28.2 应用举例 仰角、俯角
2 因为 DF⊥AF,所以∠DFB=90°,所以 AC∥DF,
由已知 l1∥l2,所以 CD∥AF, 所以四边形 ACDF 为矩形, CD=AF=AE+EF=20+10=30(米), 所以 C,D 两点间的距离为 30 米.
解直角三角形应用题的“四个步骤” (1)依据实际问题建立数学模型. (2)根据已知条件,选用适当的三角函数解直角三角形. (3)得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案.
)C
(A)asin 40°米 (B)acos 40 °米
(C)atan 40°米
(D) a 米 tan 40
3.(2017山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距
离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高
度为
米1(5结.3果保留一位小数.参考数据:sin 54°≈0.809 0,
DCE
和
BCE ,求
CE .
和
CE ,求
BE
解:(2)由题意,得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈30×0.36=10.8(m), 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈30×0.32=9.6(m), 所以教学楼的高为 BD=BE+DE=10.8+9.6≈20.4(m). 答:教学楼的高约为20.4 m.
因为 CD=34 米,所以 DE= CD =34÷ 3 ≈40(米),
cos 30
2
所以 DB=DE+BE≈40+40=80(米),故海洋馆 D 处到出口 B 处的距离为 80 米.
5.(2018达州)在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得 仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
由已知 l1∥l2,所以 CD∥AF, 所以四边形 ACDF 为矩形, CD=AF=AE+EF=20+10=30(米), 所以 C,D 两点间的距离为 30 米.
解直角三角形应用题的“四个步骤” (1)依据实际问题建立数学模型. (2)根据已知条件,选用适当的三角函数解直角三角形. (3)得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案.
)C
(A)asin 40°米 (B)acos 40 °米
(C)atan 40°米
(D) a 米 tan 40
3.(2017山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距
离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高
度为
米1(5结.3果保留一位小数.参考数据:sin 54°≈0.809 0,
DCE
和
BCE ,求
CE .
和
CE ,求
BE
解:(2)由题意,得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈30×0.36=10.8(m), 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈30×0.32=9.6(m), 所以教学楼的高为 BD=BE+DE=10.8+9.6≈20.4(m). 答:教学楼的高约为20.4 m.
因为 CD=34 米,所以 DE= CD =34÷ 3 ≈40(米),
cos 30
2
所以 DB=DE+BE≈40+40=80(米),故海洋馆 D 处到出口 B 处的距离为 80 米.
5.(2018达州)在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得 仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
28.2.2应用举例1
1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房
顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）
不能大于60°，否则就有危险，那么梯子
的长至少为多少米.
32
解：如图所示，依题意可知∠B=600 A
52
B
C
答：梯子的长至少3.5米.
仰角与俯角的定义 在视线与水平线所成的角中规定:
视线在水平线上方的叫做仰角， 视线在水平线下方的叫做俯角。
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
B 140°
C
E
即△BDE 是直角三角形
cos BDE DE BD
50°
DE BDcosBDE D 520cos50 5200.64 332.8m
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
3.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰
cos a OQ 6400 0.9491 OF 6400 350
a 18 6400 18.36 3.142 6400 2051km
180
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最 远点距离P点约2051km。
【针对练一】
处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角
B
为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
50°45° D 40m
C
AC DC tan ADC
40 tan 50 401.19 47.6m 所以AB=AC－BC=47.6－40=7.6m
αD Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，