时域卷积定理的证明
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个〔或多个〕函数之积进展变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的根底上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了"冲击函数〞这一符号，而卷积的诞生正是为了研究"冲击函数〞效劳的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进展较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质 2.1卷积的定义〔根本内涵〕设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着*的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f *(或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果. 〔2〕如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.〔3〕由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数. 2.2卷积的性质性质〔交换律〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质〔分配律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-性质〔结合律〕设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)( =()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *性质()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质〔微分性〕设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果一样. 性质〔积分性〕设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果一样. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质〔微积分等效性〕设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰1330)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e e tt3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它说明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 =()()τττωd dt e t f f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω[],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它说明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 于是例3.1 求积分方程的解，其中()()t f t h ,为函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F = 由卷积定义知现对积分方程两端取Fourier 变换可得解得所以原方程的解为例3.2 求常系数非齐次线性微分方程 的解，其中()t f 为函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 解得所以原方程的解 由卷积定理得=()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212. 例3.3求微分积分方程的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数. 解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解4.卷积公式及其应用与推广 4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
卷积 cauchy schwartz不等式
卷积 cauchy schwartz不等式1. 概述在数学中，卷积运算是一种重要的运算方式，而柯西-施瓦茨不等式是一种经典的不等式。
本文将探讨卷积和柯西-施瓦茨不等式之间的关系。
2. 卷积运算的定义卷积运算是信号处理和图像处理领域中常见的一种运算方式。
它通常用于描述两个信号之间的互相关性，以及在时域和频域之间的转换关系。
设有两个函数f(x)和g(x)，它们的卷积记作f*g。
在时域上，f*g的定义如下：f*g(x) = ∫f(t)g(x-t)dt其中，t是积分变量。
在离散情况下，卷积可以表示为：f*g[n] = Σf[k]g[n-k]其中，k为求和变量，n为离散变量。
3. 卷积运算的性质卷积运算具有以下一些基本性质：（1）交换律：f*g = g*f（2）结合律：f*(g*h) = (f*g)*h（3）分配律：f*(g+h) = f*g + f*h4. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要不等式，它描述了内积空间中向量的内积与模的关系。
设有两个向量a和b，它们的内积记作〈a, b〉。
柯西-施瓦茨不等式可以表述为：|〈a, b〉| ≤ ||a|| ||b||其中，||a||和||b||分别表示向量a和b的模。
5. 卷积与柯西-施瓦茨不等式的关系在信号处理和图像处理中，卷积运算可以看作是两个信号之间的相关性度量。
类似地，柯西-施瓦茨不等式可以用来衡量向量空间中两个向量之间的相关性。
卷积运算与柯西-施瓦茨不等式之间存在一定的通联。
在离散情况下，假设有两个离散信号f[n]和g[n]，它们的卷积记作f*g。
根据柯西-施瓦茨不等式的定义，我们有：|f*g[n]| ≤ ||f|| ||g||其中，||f||和||g||分别表示离散信号f和g的范数。
这表明离散信号之间的卷积运算其实是在满足柯西-施瓦茨不等式的约束条件下进行的。
6. 结论卷积运算和柯西-施瓦茨不等式都是数学领域中重要的概念，它们在信号处理、图像处理和线性代数等领域都有着广泛的应用。
5离散傅立叶变换(DFT)的性质_数字信号处理
N−1 = ∑x1(m)x2 ((n − m))N RN (n) = x1(n)N x2(n) m=0
N−1 = ∑x2 (m)x1 ((n − m))N RN (n) = x2 (n)N x1(n) m=0
ɶ ɶ ɶ 证：由周期卷积和，若Y (k) = X1(k) ⋅ X2 (k)， ɶ ɶ 则 y(n) = IDFS[Y (k)]
共轭对称
共轭反对称
共轭对称与共轭反对称序列示意图
x(n) = xep (n) + xop (n)
1 * xep (n) = [ x(n) + x ( N − n)] 2 1 xop (n) = [ x( n) − x* ( N − n)] 2
N −1
循环卷积过程： 循环卷积过程：
m=0
补零(当两序列不等长时) 1）补零(当两序列不等长时) 2）周期延拓 3）翻褶 4）取主值序列 5）循环移位 6）相乘相加
以N=8 x2 (m) x2 ((m))N → 延拓
x2 ((− m)) N →
取主值 → x2 ((−m)) N i RN (n)
结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移 圆周移位导致频谱线性相移， 结论：有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而 对频谱幅度无影响。 对频谱幅度无影响。
4. 频域循环移位定理
如果X (k) = DFT[x(n)],0 ≤ k ≤ N −1
Y(k) = X ((k + l))N iRN (k)
x1 ( n) = R5 ( n)
x1(n)
x 2 ( n ) = n + 1 ( 0 ≤ n ≤ 2)
1 0 1 2 3 4 5 x2(n) 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n n
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
二维卷积定理证明
二维卷积定理证明二维卷积定理是信号处理中一个重要的定理，它表明在时域进行卷积运算等价于在频域进行逐点相乘。
本文将从定义二维卷积和频谱的角度出发，详细推导二维卷积定理，并对其进行证明。
一、概述1.1 二维卷积在信号处理中，卷积运算是一种常用的操作，可以用来描述信号在时间或空间上的加权和。
在二维卷积中，我们通常处理二维离散信号，如图像。
定义二维卷积运算如下：设有两个二维离散信号f(x,y)和h(x,y)，其中f(x,y)的定义域为Df，h(x,y)的定义域为Dh，则二维离散卷积定义为：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y) = ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)其中，x和y为卷积结果的坐标，m和n为求和变量，取值范围由定义域所限。
1.2 频谱在信号处理中，频谱表示信号在频域的分布情况。
在二维情况下，信号的频谱可以通过二维傅里叶变换得到。
设二维离散信号f(x,y)的频谱表示为F(u,v)，其中u和v为频谱的坐标，定义如下：F(u,v) = ΣΣ f(x,y) * exp(-j2π(ux+vy))其中，exp是欧拉公式的指数形式，j为虚数单位。
二、二维卷积定理的推导为了推导二维卷积定理，我们首先将卷积过程转化为频域运算。
根据频谱的定义，我们可以将二维卷积定义进行改写：g(x,y) = f(x,y) * h(x,y)= ΣΣ f(m,n) * h(x-m,y-n)= ΣΣ [1/N^2 ΣΣ F(u,v) * exp(j2π(um+vn))] * h(x-m,y-n)= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(x-m,y-n) * exp(j2π(um+vn))]其中，N为信号的长度（宽度），F(u,v)为f(x,y)的频谱。
进一步化简，使用了卷积的定义公式，并进行变量替换：= 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ h(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)] = 1/N^2 ΣΣ F(u,v) * [ΣΣ H(u,v) * exp(j2π[(u(x-m)+v(y-n))]/N)]其中，H(u,v)为h(x,y)的频谱。
Z变换基本性质.
e j
H
r
e
j
d
思考题
• 1. z变换有哪些基本性质及其公式？ • 2. 应用初值定理和终值定理的条件？
z z1
z z1
z z 0.5
ROC z 2 z 1 z 1 z 0.5
终值存在的条件
(1)X(z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于1，有终值;
例：anu(n), ，a 终 值1 为0
(2)若极点位于单位圆上，只能位于 z ，1并且是一阶极
点. 例：u(n)，终值为1
注意：和系统稳定性条件区别，系统稳定性条件 只有 第一条。
则： ZT[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z)
max( Rx1, Ry1) z min( Rx2, Ry2 ) 其中, a、b为任意常数。
例：求序列 anu(n)-anu(n-1) 的z变换。
ZT[anu(n) anu(n 1)] ZT[anu(n)] ZT[anu(n 1)]
z
anzn ( z a )
z a n1
z a 1 ( z 0) za za
二、位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质 (2) 右移位性质
1．双边z变换的位移性质
原序列不变，只影响在时间轴上的位置。
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
七、时域卷积定理
已知 则
X (z) Zx(n)
Rx1 z Rx2
H(z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Rh1 ) z min( Rx2 , Rh2 )
Z变换的基本性质
x ( k 2 ) ( k ) x ( k 2 ) ( k 2 ) ( k [ 2 ) ( k 1 ) z 2 X ( z ) ] x ( 0 ) x ( 1 ) z 1
所 x ( 1 ) 以 li z X m ( z ) x ( 0 )
z
x ( 2 ) lz i 2 X m ( z ) x ( 0 ) x ( 1 ) z 1 z
15
第
例题 页
1.求f (k) (k 1) (k 1)的单边 z变换
2.已知ak(k) z
za
z a
分别求 ak1, ak1(k),ak1(k 1)单边z变换
3.ak的双边 z变换存在吗？
4.求以下信 z变号 换单边
f(k)2k(k1)
f(k) 1 0
k1,3,5, k2,4,6
5.已F 知 (z) 1 求 f(k) z9(z1)
零极点相消，收敛域扩大为整个z平面。
X
6
二．移序(移位)性质
第
页
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
X
7
1．双边z变换的移序性质
第 页
原序列长度不变，只影响在时间轴上的位置。
x(k)
4
x(k2)
4
x(k2)
4
1O12 k 1O12
k
21O1 k
若x 序 k的 列 z 双 变 :边 换
页
1.k (1)(k) (k)(k) (z)2 z1 z 1
2.ak(k1)(k) a k(k ) a k(k ) (z)2 z a
3.k(k1) z1(z z1)2(z z1)2 z1
(k 11)(k 1)
圆周卷积
五. 圆周卷积定理 （ Circular convolution ）
1. 圆周卷积和的定义：
两个长度为 N 的序列 的如下计算称为圆周卷积和，用 符号 N 表示： （N表示圆周卷积的点数）
x1(n)
N
x2
(n)
N 1 m0
将 Y (k) 周期延拓： Y~(k) X~1(k)X~2(k)
则有： ~y (n) IDFS Y~(k)
N 1
~x1 (m)
~x2
(n
m)
m0
N 1
x1((m))N x2 n mN m0
在主值区间 0 m N 1, x1((m)) N x1(m) ，所以：
y(n) ~y(n)RN (n)
其中
k e j
k
z
z e j
1 zN
N (1WNk z 1) ze j
1 N
1 e jN
j k 2
1 e N
k e j
1 N
1 e jN e j 2k
j k 2
1 e N
1 1 e j (N 2k ) j k 2
N 1e N
j N 2k
N
1
W (mn N
)
k
k 0
x(n rN ) r
利用性质
N 1 j 2 pk N ，p rN
eN
k 0
0
，其他
p
由 ~xN (n) x(n rN ) 可知： r ~xN (n) 是 x(n) 以 N 为周期的周期延拓； 也就是说： 频域抽样造成时域周期延拓。
3. 频域抽样定理：
x1
傅里叶变换中的卷积算法与应用实例
傅里叶变换中的卷积算法与应用实例傅里叶变换（Fourier Transform）是一种线性变换，它可以将一个信号从时域（time domain）转换到频域（frequency domain）。
傅里叶变换广泛应用于许多领域，如信号处理、图像处理和光学等。
其中，在信号处理中，卷积是一种重要的运算，而傅里叶变换可以通过卷积定理来实现卷积运算。
本文将介绍傅里叶变换中的卷积算法，并给出一些实例应用。
傅里叶变换中的卷积算法傅里叶变换中的卷积算法是基于卷积定理的。
卷积定理简单来说就是：时域卷积等于频域乘积，而频域卷积等于时域乘积。
具体来说，给定两个连续函数f(x)和g(x)的卷积，可以表示为：（f * g）(x) = ∫f(y)g(x-y)dy其中，*表示卷积运算，∫表示积分运算。
根据卷积定理，我们可以将其改写为两个函数在频域的乘积：F(u)G(u) = ∫ [ ∫f(y)e ^(-2πixy) dy ] e ^(2πixu) dx * ∫ [ ∫g(z)e ^(-2πixz) dz ] e ^(2πixu) dx其中，F(u)和G(u)表示f(x)和g(x)在频域上的傅里叶变换，e^(2πixu)表示旋转因子。
根据卷积定理，时域卷积f*g等于y方向上的图像f(x)和x方向上的图像g(x)的卷积F(u)G(u)的反变换，也就是在频域反变换为时域。
在计算卷积时，我们通常选择采用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算离散傅里叶变换（DFT），以实现计算效率的提高。
应用实例一：图像模糊在图像处理中，模糊是一种特殊的图像滤波技术，可以通过在图像上添加高斯噪声或运动模糊等技术来实现。
图像模糊涉及一个重要的卷积过程，即图像卷积。
对于一张图像，可以将其看作一个二维数组。
我们可以对每一个像素点进行卷积操作，以实现图像的模糊。
具体来说，我们可以将一张图像与一个卷积核进行卷积运算。
卷积核通常是一个小矩形，其中包含一组数值。
卷积核越大，图像的模糊效果会越明显。
§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性
拉普拉斯变换性质
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
• 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
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第 1页
一.线性性质 线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>σ1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>σ2 σ σ 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(σ1,σ2) σ σ (t)=δ(t)+ε(t)←→1+1/s， 例1：f(t)=δ(t)+ε(t)←→1+1/s，σ>0
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第 12 页
.s域微分和积分 八.s域微分和积分
Re[s]>σ 若f(t)←→F(s) , Re[s]>σ0, 则
d F (s) d n F ( s) (−t ) f (t ) ←→ (−t ) n f (t ) ←→ ds d sn
∞ f (t ) ←→ ∫ F (η )dη s t
Re( s) > σ 0
d 例2: [cos 2tε (t )] ←→ ? dt
d 例3: [cos 2t ] ←→ ? dt
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第 8页
六.时域积分特性 时域积分特性
若L[ f ( t )] = F ( s )， 则
证明： 证明： Re[s]>max(σ Re[s]>max(σ0,0)
( −1 ) (0 − ) t f ( τ ) d τ = F ( s) + f L ∫ s s −∞
−
t0 s a
t
函数的卷积及其公式的应用
函数卷积及其应用摘要 卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是频率分析的最有效的工具之一。
本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词 卷积 卷积公式 性质 应用1引言卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。
狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。
卷积在物理学，统计学，地震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。
本文通过对卷积的概念，性质，应用等方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的内涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质2.1卷积的定义（基本内涵）设:)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，作积分:()()τττd x g f -⎰+∞∞- 随着x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数)(x h ，称为函数()x f 与)(x g 的卷积，记为)(x h =)()(x g x f * (或者()()x g f *) .注(1)如果卷积的变量是序列()()n h n x 和，则卷积的结果：∑+∞-∞=*=-=i n h n x i n h i x n y )()()()()(，其中星号*表示卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是)(i h 的时序i 取反的结果;时序取反使得)(i h 以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，n 是使)(i h -位移的量，不同的n 对应不同的卷积结果.（2）如果卷积的变量是函数)(t x 和)(t h ，则卷积的计算变为：)()()()()(t h t x dp p t h p x t y *=-=⎰+∞∞-，其中p 是积分变量，积分也是求和，t 是使函数)(p h -位移的量，星号*表示卷积.（3）由卷积得到的函数g f *一般要比g f 和都光滑.特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积g f *也是光滑函数.2.2卷积的性质性质2.2.1（交换律）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则)()()()(x f x g x g x f *=*. 证 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-令τ-=x u ，则u x -=τ，τd du -= 所以=*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()du u g u x f ⎰-∞∞+--=()()du u x f u g ⎰+∞∞--=)()(x f x g *性质2.2.2（分配律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]x h x g x f +*)()()()()(x h x f x g x f *+*=.证 根据卷积定义()()[]x h x g x f +*)(=()()()[]ττττd x h x g f -+-⎰+∞∞-=()()τττd x g f -⎰+∞∞-+()()τττd x h f -⎰+∞∞-)()()()(x h x f x g x f *+*= 性质2.2.3（结合律）设)(),(x g x f )(x h 是1R 上的三个可积函数，则()()[]()x h x g x f **()()()[]x h x g x f **=.证 令()()=*=x g x f x m )(()()τττd x g f -⎰+∞∞-，()()()()()dv x h v x g x h x g x s ⎰+∞∞--=*=，则()()[]()x h x g x f **=()()x h x m *=()()du u x h u m -⎰+∞∞-=()()()du u t h d u g f -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞-+∞∞-τττ=()()τττd du u t h u g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(令v x u u x v -=-=则,，上式=()()τττd dv v h v x g f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(=()()du u x s f -⎰+∞∞-τ=()()x s x f *()()()[]x h x g x f **=性质2.2.4 ()()x g x f x g x f *≤*)()(. 证明 =*)()(x g x f ()()τττd x g f -⎰+∞∞-≤()()τττd x g f -⋅⎰+∞∞-=()()x g x f *.性质2.2.5（微分性）设)(),(x g x f 是1R 上的两个可积函数，则())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=*. 证明 ()()()()()τττττd h dxx df d dx x dg x f x g x f dx d⎰⎰∞+∞-∞+∞-=-=*-)()( 即())()()()()()(x g x f x g x f x g x f dxd'*=*'=* 意义 卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.性质2.2.6（积分性） 设()()()x h x g x f *=，则()()()()()()()x h x g x h x g x f11)1(---*=*=.意义 卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同. 推广 ()()()()()()()()x h x g x h x g x fn n n *=*=.性质2.2.7（微积分等效性）设)(x f ,)(x g 是1R 上的两个可积函数，则()()ττd g x f x g x f x⎰∞-*'=*)()(.例2.1 设()0010≥<⎩⎨⎧=x x x f ，()000≥<⎩⎨⎧=-x x e x g x ，求()x g x f *)(.解 由卷积定义知()x g x f *)(=()()τττd x g f -⎰+∞∞-=()()t t t tx e e e d e-----=-=⋅⎰1110ττ例2.2 设函数()()()()()t e t f t t t f t μμμ-=--=21,3试计算其卷积()()()t f t f t y 21*=. 解 由卷积定义知()()()其他300131<<⎩⎨⎧=--=ττμτμτf()()()tte t ef t t ><⎩⎨⎧=-=----τττμτττ0)(2 所以()()()t f t f t y 21*==()()τττd t f f -⎰+∞∞2-1显然这个积分值与函数()ttt ><⎩⎨⎧=-τττμ01，所取非零值有关，即与参数t 的取值有关.()1当t 0<时，因30<<<τt ，所以()0=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==003)(=⋅⎰--ττd e t()2当30<<t 时，只有t <<τ0时，有()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==t tt e d e ----=⎰10)(ττ()3当3>t 时，因为t <<<30τ，所以()1=-τμt ，此时()()()t f t f t y 21*==()t t e e d e ----=⎰133)(ττ综上所述，有()()()t f t f t y 21*==()33001-103><<<⎪⎩⎪⎨⎧⋅---t t t e e ett3.卷积定理3.1 时域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()()()(2121~ωωF F t f t f s ⋅=*上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积.证明 []=*)()(21~t f t f s ()()dt e d t f f t j ωτττ-+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21=()()τττωd dt e t f f t j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰⎰+∞∞--+∞∞-21=()()τωτωd e F f t j -+∞∞-⎰21=()()ττωωd e f F t j -+∞∞-⎰12=()()=⋅ωω12F F ),()(21ωωF F ⋅ 3.2频域卷积定理设两函数)(),(21t f t f ，的傅里叶变换分别为：[],)()(1~1t f s F =ω [],)()(1~1t f s F =ω则两函数卷积的傅里叶变换为：[]),()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *=上式称为频域卷积定理，它表明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以π2.证明 ()()()()ωππωωπωd e du u w F u F F F s tj ⎰⎰∞+∞-∞+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*21211-~212121 ()du d e u F u F tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωππω2121)(21()()()t f t f du e t f u F jut 1221)(21⋅==⎰+∞∞-π于是[])()(21)()(2121~ωωπF F t f t f s *= 例3.1 求积分方程()()()()τττd t g f t h t g -+=⎰+∞∞-的解，其中()()t f t h ,为已知函数，且()()()t h t f t g 和,的Fourier 变换都存在. 解 假设()[](),ωG t g F =()[](),ωH t h F =()[](),ωF t f F =由卷积定义知()()()()t g t f d t g f *=-⎰+∞∞-τττ现对积分方程两端取Fourier 变换可得 ()()()()ωωωωG F H G ⋅+=解得()()()ωωωF H G -=1所以原方程的解为()()()ωωωπωd e F H t g ti ⎰∞+∞--=121例3.2 求常系数非齐次线性微分方程()()()t f t y t y dtd -=-22的解，其中()t f 为已知函数. 解 设()[]()[]()ωωF t f F Y t y F ==),(现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωF Y Y i -=-2解得()()21ωωω+=F Y 所以原方程的解 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-∞+∞-⎰ωωωωωπωF F d e F t y t i 212111121 由卷积定理得()()[]ωωF F F t y 12111--*⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==()()τττd e f t f et t--∞+∞--⎰=*212.例3.3 求微分积分方程()()()()t h dt t x c t bx t x a t=++'⎰∞-的解.其中c b a t ,,,+∞<<∞-均为常数.解 设()[]()()[]()ωωH t h F X t x F ==,现对原方程两端取Fourier 变换，并根据Fourier 变换的性质可得 ()()()()ωωωωωωH X i c bX X ai =++解得()()()⎪⎭⎫⎝⎛-+=++=ωωωωωωωc a i b H i c b ai H X ，所以原方程的解 ()()dt e c a i b H t x ti ωωωωπ⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-+=214.卷积公式及其应用与推广4.1卷积公式设X 和Y 的联合密度函数为）y x f ,(，则Y X Z +=得概率密度为⎰+∞∞--='=dx x z f x fZ F Z f Y Xz z )()()()(⎰+∞∞--='=dy y f y z fZ F Z f Y Xz z )()()()(证明 Y X Z +=的分布函数是：⎰⎰=≤+=≤=Dz xy f p z Z p Z F )()z Y X ()()(其中D ={}z y x y x ≤+:),(于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+=+∞∞--∞-≤+-===zy x u yz zy x Z dudy y y u f dxdyy x f dxdy y x f Z F ),(),(),()(=⎰⎰∞-+∞∞--z dydu y y u f ),(从而⎰+∞∞--='=dy y y z f Z F Z f z z ),()()(由X 和Y 的对称性知⎰+∞∞--='=dx x x z f Z F Z f z z ),()()(。
信号与系统-时域 卷积定理
τ δ (ω ) = lim Sa(ωτ ) τ →∞ π
FT[cosω1t ] = π [δ (ω + ω1 ) + δ (ω − ω1 )]
f 0 (t )
F0 (ω )
τ
τ 2
1
−τ 2
2
−1
− ω1
πδ (ω + ω 0 )
− ω1
F (ω )
ω1
ω
πδ (ω − ω 0 )
ω
ω1
四、周期单位冲激序列的FS δ T (t ) =
l 取f(t)的一个周期 f 0 (t )
，其FT为 F0(ω)
2 2
F 0 (ω ) =
l 所以
∫
T1
− T1
f 0 ( t ). e
ω = nω1
− jω t
dt
1 Fn = F0 (ω ) T1
三、正余弦信号的傅立叶变换 ——用频移特性 F0 (ω ) = FT [ 1 ] = 2πδ (ω )
三 频域抽样
l 设连续频谱函数 F (ω ) 对应的时间函数为f(t),
抽样冲激序列 δ ω1 (ω ) =
l 抽样后的频率函数 l 根据卷积定理可得
2π – 其中 ωs = T1
∑
∞ n =−∞
δ (ω − nω1 )
F1 (ω ) = F (ω ) δ ω1 (ω )
∞ 1 f1 (t ) = ∑ n =−∞ f (t − nT1 ) ω1
∞
FT
nω1τ F (ω ) = Eτω1 ∑ Sa δ (ω − nω1 ) 2 1 n = −∞
∞
小结——单脉冲和周期信号的傅
立叶变换的比较 是连续谱， 它的大小是有限值； l 周期信号的谱 F(ω) 是离散谱， 含谱密度概念，它的大小用冲激 表示； 1 l F0 (ω) 是 F(ω) 的包络的 ω 1 。
(2021年整理)信号与系统专题练习题及答案
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信号与系统专题练习题一、选择题1．设当t<3时，x （t)=0，则使)2()1(t x t x -+-=0的t 值为 C 。
A t>-2或t 〉-1B t=1和t=2C t>—1D t>—22．设当t<3时，x(t)=0，则使)2()1(t x t x -⋅-=0的t 值为 D 。
A t 〉2或t>—1B t=1和t=2C t>-1D t 〉-23．设当t 〈3时，x （t ）=0，则使x(t/3）=0的t 值为 C 。
A t>3B t=0C t 〈9D t=34．信号)3/4cos(3)(π+=t t x 的周期是 C .A π2 B π C 2/π D π/25．下列各表达式中正确的是 BA 。
)()2(t t δδ= B. )(21)2(t t δδ= C 。
)(2)2(t t δδ= D. )2(21)(2t t δδ= 6. 已知系统的激励e(t)与响应r(t)的关系为:)1()(t e t r -= 则该系统为 B 。
A 线性时不变系统B 线性时变系统C 非线性时不变系统D 非线性时变系统7。
已知 系统的激励e （t)与响应r(t ）的关系为：)()(2t e t r = 则该系统为 C 。
A 线性时不变系统B 线性时变系统C 非线性时不变系统D 非线性时变系统8。
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解:根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
s域卷积定理
s域卷积定理S域卷积定理是信号处理中的一项重要定理，它描述了在频域中对两个信号的乘积进行变换后，等于这两个信号分别在时域中进行卷积之后的结果。
在本文中，我将详细介绍S域卷积定理的定义、表达式以及其在信号处理中的应用。
S域卷积定理是基于傅里叶变换的，因此在介绍S域卷积定理之前，我们需要了解一些傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，可以将一个信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波。
傅里叶变换的表达式如下：F(s) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-st) dt其中，F(s)为信号f(t)的傅里叶变换，s为复数变量，e^(-st)为指数函数。
根据傅里叶变换的定义，S域可以表示为复变量s的平面，其中实轴代表频率，虚轴代表衰减系数。
在S域中，两个信号的乘积可以表示为傅里叶变换的卷积，即：F(1) * F(2) = ∫[−∞,+∞] f(1)(t)f(2)(τ) e^(-sτ) dτ其中，F(1)和F(2)分别为信号f(1)和f(2)的傅里叶变换。
根据以上表达式，我们可以得出S域卷积定理的定义：在S域中，两个信号的乘积的傅里叶变换等于这两个信号分别在时域中进行卷积后的结果的傅里叶变换。
这个定理的重要性在于，它提供了在频域中处理信号的一种有效方法，使得我们可以将复杂的卷积操作转换为简单的乘积操作。
S域卷积定理在信号处理中有着广泛的应用。
首先，它可以用于解决卷积运算的计算问题。
在时域中进行复杂的卷积计算往往非常耗时，而在S域中进行乘积运算则更加简便。
通过将信号进行傅里叶变换转换到S域，进行乘积运算后再进行逆傅里叶变换，可以快速得到卷积结果。
其次，S域卷积定理也可以应用于滤波器的设计。
在滤波器设计中，我们可以通过乘积的方式将输入信号与滤波器的频率响应进行卷积，从而获得滤波器的输出结果。
通过在S域中对输入信号和滤波器的频率响应进行傅里叶变换后进行乘积运算，再进行逆傅里叶变换，可以得到滤波器的时域响应。