2011年陕西卷(理科数学)

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（陕西卷）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设a r ，b r 是向量，命题“若a b =-r r ，则a b =r r

”的逆命题是

A.若a b ≠-r r ，则a b ≠r r

B.若a b =-r r ，则a b ≠r r

C.若a b ≠r r ，则a b ≠-r r

D.若a b =r r

，则a b =-r r

2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 A.28y x =- B.28y x = C.24y x =- D.24y x =

3.设函数()f x （x R ∈）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则()y f x =的图像可能是

4.R)(x )24

∈-（展开式中的常数项是

A ．20-

B ．15-

C ．15

D ．20 5.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A.328π

- B.38π- C.π28- D.32π

主视图

左视图

6.

函数()cos f x x =在[0,)+∞内

A.没有零点

B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点

D.有无穷多个零点

7.设集合22{cos sin ,}M y y x x x R ==-∈

，1

{N x x i

=-<，i 为虚数单位

x R ∈，则M N I 为

A.(0,1）

B.(0,1]

C.[0,1)

D.[0,1] 8.图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分.当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于

A ．11

B ．10

C ．8

D ．7

9.设11(,)x y ，22(,)x y ，L ，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B.x 和y 的相关系数在0到1之间

C.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D.直线l 过点(,)x y

10.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是

A.136

B.19

C.5

36 D.16

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.设⎪⎩

⎪⎨⎧≤+>=⎰0

30lg )(02

x dt t x x x x f a ,若((1))1f f =，则a = .

12.设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = . 13.观察下列等式

11=； 2349++=； 3456725++++=； 4567891049++++++=； ……；

照此规律，第n 个等式为 .

14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 .（米） 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 .

B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE B

C ⊥，90AC

D ∠=o ，且6AB =，

4AC =，12AD =，则BE = .

A

B

C D

E

┌

C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，设点,A B 分别在曲线1C ：3cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）和

曲线2C ：1ρ=上，则AB 的最小值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=o ，90BAC ∠=o ，AD 是BC 上的高，沿AD 把D AB ∆折起，使90BDC ∠=o .

（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；

（Ⅱ）设E 为BC 的中点，求AE u u u r 与DB u u u r

夹角的余弦值.

17.（本小题满分12分）

如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且4

5

MD PD =

. （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为4

5的直线被C 所截线段的长度.

A

C

B

D

E

D

C

B

A

叙述并证明余弦定理. 19.（本小题满分12分）

如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线x

y e =于点1(0,0)Q ，

曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；…；n P ，n Q .记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =L ）. （Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）； （Ⅱ）求112233...n

PQ PQ PQ ++++

20.（本小题满分13分）

如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的分布列和数学期望.

A

火车站

1L

2L