第十一章量纲分析法(续)(2011-9-11)

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量纲分析法PPT课件

开尔
堪德
摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
单摆运动示例
例:单摆运动求摆动周期 t 的表达式
[ t ] L 0 M T0 1
[
m
]
L0M
1T
0
[
l
]
L1M
0T
0
[ g ] L 1 M 0 T 2
(L0M0T1)y1(L0M1T0)y2(L1M0T0)y3 (L1M0T2)y4 L0M0T0
LM T L M T y 3 y 4 y 2 y 1 2 y 4
0 00
y3
y 4
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m-r 个无量纲量
y1 ( 1 / 2,1 / 2,0, 1,0,0)T y2 ( 0, 2, 0, 0,1,0)T y3 ( 1, 3, 1, 0,0,1)T
m
q ysj
s
j
j 1
而且存在一个未定的函数关系：
l
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
m
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
mg
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式

量纲分析法建模

§5 量纲分析法建模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ．并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。

第十一章量纲分析法(续)(2011-9-11)

问题9流体在水平圆管中作恒定流动管道截面沿程不变管径为d由于阻力的作用压强将沿流程下降通过观察已知两个相距为l的断面间的压强差p与断面平均流速v流体密度动力粘性系数以及管壁表面的平均粗糙度等因素有关
第十一章量纲分析法（续）
1
量纲、量纲和谐性原理
2
问题1
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？
a2 1 b2 0 c2 0
2
D2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
3
p
D14Q2
25
5. 写出无量纲量方程
f (1, 2 , 3 )
f
( D11Q
, D2 D1
,
p D14Q 2
)
0
上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：
D14Q2 f ( D11Q , D2 )
H有关。
12
解： 1.
分析影响因素，列出函数方程
根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水的
重量、流g量Q、扬程H 有关,用函数关系式表示
为
f (N, ,Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
N k aQbH c
13
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQbH c )
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。（2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。（3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。

量纲分析法

,
v1
,
1
,
g1
~原型船的参数
(f1未知，其他已知)
1 1,
2

2
f1 f

l13 1 l3
(

1
)
f1

l1 l
3
f
结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f，可算出 f1 ~ 物理模拟
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
[g ] M 0L1T 2
T M L y1 y2 y3 LT 2 y4 M 0L0T 0
M L T y2 y3 y4 y12 y4 M 0L0T 0
y2 0

y3

y4

0
y1 2 y4 0
基本解 y
( y1, y2 , y3, y4 )T
量纲齐次原则
描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲
S
(t)

S0

vt

1 2
at
2
动力学物理量的量纲
质量 m的量纲记 M=[m] 长度 l 的量纲记 L=[l] 时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲 M, L, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=MLT-2
= ML-3 , [] = ML-1T-1, [g] = LT-2
1 0 0 1 1 0 M
A

1
1
1 3 1
1

L

2 0 1 0 1 2 T

量纲分析

第一节量纲分析方法1.1量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。

概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。

它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J 速度v = ds/dt 量纲： = 加速度a = dv/dt 量纲：力F = ma 量纲：压强P = F/S 量纲：实际中，也有些量是无量纲的，比如等，此时记为。

有量纲的物理量都可以进行无量纲化处理量纲有赖于基本量的选择，是外加的有关量的度量手段。

模型所描述的规律应该独立于量纲的影响。

机理模型的深入探讨应该排除量纲的影响，因此机理模型需要无量纲化。

使用无量纲量来描述客观规律。

在量纲表达式中,其基本量量纲的全部指数均为零的量，即无量纲量，也称纯数。

1.无量纲量具有数值的特性，它可以通过两个量纲相同的物理量相除得到，也可由几个量纲不同的物理量通过乘除组合得到。

2.无量纲量具有这样一些特点：①无量纲数既无量纲又无单位，因此其数值大小与所选单位无关。

即无论选择什么单位制计算，其结果总是相同的。

当然，同一问题必须用同一单位制进行计算。

②对数、指数、三角函数等超越函数的运算往往都是对无量纲量来讲的。

③一个力学方程，如果用无量纲数表示的话，它的应用就可以不受单位制的限制。

要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，当用数学公式描述已物理量时，等号两端就必须保持量纲的一致性和单位的一致性，即其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致，可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性和完整性。

量纲分析就是基于量纲一致的原则来分析物理量之间关系的一种方法。

西工大837气体动力学基础chapter11-第十一章相似原理及量纲分析

同样的力，于是，如果这些力满足以下条件，则说两个现象是
动力相似的。
CF
FG p FG m
FP p FPm
FVp FVm
FI p FIm
11.1（a）原型
11.1 (b)模型
图11.1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动
这里 at 和 an 分别代表切向和法向加速度，而下标p和m依然代
表原型和模型。同样，用 FG 、Fp 们也可以将其表示成下列关系：
、FV
分别去除惯性力
FI
，我
( FI FG
)p
( FI FG
)m
,
(
FI Fp
)p
( FI Fp
)m
,
(
FI FV
)p
( FI FV

)m
从这4个力我们得到了3个无量纲量，它们必须满足3个独立的关系式；同理，从3个力我们可以得到2个无量纲量，同时必须满足2个独立的关系式。
满足以上三种相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。
➢11.1 相似原理 ➢11.2 量纲分析法及定理的应用 ➢11.3 方程分析法 ➢11.4 模型实验
11.1 相似原理
直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量之间的规律性关系。并且还有许多流动现象不宜进行直接实验。所以实际中常用模型做实验。但要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。

量纲分析法

量纲分析法量纲分析法是一种工程数学方法，用于处理含有多个变量的物理问题。

这种方法非常有用，因为在实际应用中，我们通常需要考虑许多不同的变量和参数，这些参数可能具有不同的单位和量纲，使得问题变得复杂和难以处理。

利用量纲分析法，可以将各个参数转换为无量纲形式，从而简化问题并提高计算精度。

1. 什么是量纲首先，我们需要明确什么是量纲。

量纲是一个物理量所具有的度量属性，通常包括基本量纲，比如长度、时间、质量、电流等等。

每个量纲都有一个标准单位，比如米、秒、千克、安培等等。

通过组合不同的基本量纲和单位，我们可以得到其他物理量的单位和量纲。

比如速度可以表示为长度/时间，加速度可以表示为长度/时间^2。

在处理物理问题时，量纲是非常重要的，因为它们决定了各个物理量之间的关系和单位的选择。

2. 如何运用量纲分析法量纲分析法是一种基于量纲的数学方法，用于研究变量之间的关系和有效参数的数量。

在使用这种方法时，我们需要将所有涉及的物理量和参数转换为无量纲形式，然后通过比较各个无量纲参量的数量级和变化趋势来分析问题。

这种方法可用于许多不同的物理问题，例如流体力学、热传递、电路分析等等。

下面我们以流体力学为例来讲解量纲分析法的应用过程。

首先，我们考虑一个典型的流体力学问题：水从一根直管中流出的速度是多少？公司设计师可以运用以下方程式解决此题: v = (P1 - P2) / ρL其中v是水的速度，P1和P2是入口和出口处的压力，ρ是水的密度，L是管道长度。

我们观察到这个公式涉及四个参数，每个参数都有自己的单位和量纲。

在使用量纲分析法时，我们需要将它们都转换为无量纲形式。

我们可以定义以下五个无量纲参量：F1 = v L / νF2 = (P1 - P2) / (0.5ρv^2)F3 = D / LF4 = ε/ D其中，ν是水的动力粘度，D是管道的直径，ε是管道壁面粗糙度。

这里表示F1 代表惯性力，F2 代表压力力，F3 代表管道长度比，F4 代表管道细度等无量纲参量。

量纲分析法

第三节量纲分析法量纲分析是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。

3.1 量纲齐次原则与Pi 定理许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来。

例如在动力学中，把长度l , 质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记为[][][]T t M m L l ===,,; 而速度f v ，力的量纲可表示为[][]21,--==MLT f LT v .在国际单位制中，有7个基本量：长度、质量、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为L 、M 、T 、I 、Θ、J 、和N ；称为基本量纲。

任一个物理量q 的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，[]ηξεδγβαJ N I T M L q Θ=量纲齐次性原则：用数学公式表示一个物理定律时，等式两端必须保持量纲一致。

量纲分析就是在保证量纲一致的原则下，分析和探求物理量之间关系；先看一个具体的例子，再给出量纲分析的一般方法。

例3—1：单摆运动，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，线的另一端固定，小球偏离平衡位置后，在重力mg 作用下做往复摆动，忽略阻力，求摆动周期t 的表达式。

解：在这个问题中有关的物理量有g l m t ,,,设它们之间有关系式3211αααλg l m t =---------------（3.1）其中32,,ααα为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（3．1）式的量纲表达式有[][][][]321αααg l m t = 整理得：33212αααα-+=T LM T --------------（3.2）由量纲齐次原则应有⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=12003321αααα ---------------（3.3）解得：,21,21,0321-===ααα 代入（3．1）得 glt λ= -------（3.4）（3.4）式与单摆的周期公式是一致的下面我们给出用于量纲分析建模的 Buckingham Pi 定理，定理：设n 个物理量n x x x ,,,21 之间存在一个函数关系()0,,,21=n x x x f --------------（3.5）[][]m x x 1为基本量纲，n m ≤。

量纲分析法

下(g为重力加速度),做往复摆动. 忽略阻力, 求摆动周期t的表达式. 求解考虑问题中出现的物理量t、m、l、g，假设它们之间有关式
t m l
1 2 3
g
(1)
其中α1,α2,α3是待定常数,λ是无量纲的
比例常数.上式的量纲表达式为
t [m]
1
[l ] [ g ]
2
3
其中 [质量]=[ m ]=M, [长度]=[ l ]=L, [时间]=[ t ]=T,
称为基本量纲
ds 例4.1.1 [速度]=[ v ]=[ ] = =LT－1 ; dt [加速度]=[ a ] =LT－2 ;
因为力 F=ma, 故 [ F ]=[ m ][ a ] =MLT－2;
部分物理常数也有量纲，如万有引力定律
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 ( L) A37 1 0 0 0 1 1 0 (M ) 2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3 方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
f K
m1m 2 r
2
中的引力常数K的量纲为
fr 2 [ f ][ r 2 ] [K ] m1m2 [ m1 ][ m2 ]

LMT
2 2
L
M
2
L3 M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
(4) 式的量纲表达式为
L
y 3 y4

《量纲分析》课件

an
a1 1
a2
2
ak
k
❖ 描述物理现象的函数关系式可写成：
❖ 含有k个量纲的独立量的n个物理量之间的函数关系式，简化为（n-k）个无量纲乘积（π）之间的关系式——无量纲方程
材料工程基础及设备多媒体课件
8.2.3 量纲分析的一般说明
1、量纲独立：K个物理量，其中任一个物理量的量纲均不能由其它物理量的量纲组合来表示，则称k个物理量的量纲彼此独立。
a a a a 1
2
k
k 1
1
2
k
a a a a 1
2
k
k2
1
2
k
材料工程基础及设备多媒体课件
an a11 a2 2 ak k
❖ 则有：
a1 1
ak a2
2
1
ak
k
1
1
ak 1
a1 1
a2 2
ak k
a1
1
an a2 2
ak
k
1
nk
❖ 求解方程封闭：直接求解
方程不封闭：以（n--3）个量为待定量
❖ 逐项令待定量一项为1,其余为零,写出结果矩阵。
❖ 写出各无量纲乘积及准数方程。
材料工程基础及设备多媒体课件
例题:水流中物体的运动
例题:水流中物体的运动
F= f（μ、g、w、L、ρ）
❖ 写出量纲矩阵： ❖ 矩阵的秩：r =3
无量纲乘积数目n-k=3 ❖设 ❖ 写出指数方程 ❖ n＞3 ，
8.2 量纲分析
原理:1、量纲和谐性原则 2、 Π定理
重点：量纲分析法
材料工程一个完整的物理方程，其各项量纲必定是和谐的。
量纲分析法的物理本质在于描述现象的微分方程中各项量纲的一致性。

量纲分析法ppt课件

分类无量纲量：
对无量纲量q，[q]=1(=L0M0T0)
0
两个具有相同量纲的物理量相比；几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲指数为零。
意义
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性：凡有量纲的物理量，都有单位，同一物理量，因选取的度量单位不同，数值也不同，运动方程式的计算结果会受人主观选取单位的影响；
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
1 2 3
0 0 1y 0 1 0y 1 0 0y ( L M T )( L M T )( L M T )
( L M T) L M T
1 0 2y 4 0 0 0
L M T L M T
y y 3 4 y 2 y 2 y 1 4 0 0 0
y3 y4 0 y2 0 y 2y 0 4 1
(2)不受运动规律的影响：
无量纲量是常数，数值大小与度量单位无关，也不受运动规律的影响；
(3)可进行超越函数运算：
由于有量纲量只能做简单的代数运算，做对数、指数、三角函数等超越函数的运算是没有意义的。只有无量纲化才能
V2 W p1V 进行超越函数运算。如气体等温压缩计算式： 1 ln V 1
y 2 , y 0 , y 1 , y 1 1 2 3 4
t l g F ( )0(t l/g)
2 1
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个，待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
q1 M a Lb T c q2 M a Lb T c q3 M a Lb T c

量纲分析课件

模型试验的无量纲准则
如果物理方程转换成只包含无量纲量的函数这个函数关系将不随单位的改变而改变。式，这个函数关系将不随单位的改变而改变。单位改变后物理量的数值要改变一个倍数而物理模型也是改变了实物的大小，物理模型也是改变了实物的大小，从而把各物理量改变一个倍数，二者有共同之处。物理量改变一个倍数，二者有共同之处。
模型试验的无量纲准则
量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一，量纲分析正是确定无量纲数的重要手段之一，所求得的须保持为同量的无量纲数，所求得的须保持为同量的无量纲数，称为模型试验的无量纲准则。型试验的无量纲准则。
量纲分析的方法
具体进行无量纲分析有不同的方法。具体进行无量纲分析有不同的方法。常用的方法有下列两种：的方法有下列两种：①白金汉法和 ②瑞利法。 ①白金汉法：先选取几个独立变量（基本单白金汉法：先选取几个独立变量（），再按定理算出应有无量纲数的个数，位），再按̟定理算出应有无量纲数的个数，并设定无量纲乘积的形式，并设定无量纲乘积的形式，然后按量纲一致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数，致性原则解出无量纲乘积中各变量的指数，就得出各̟。
量纲分析能阐明物理运动中诸物理量之间的关系，初步反映出某些运动规律。的关系，初步反映出某些运动规律。无量纲数求得后又可减少函数中变量的个也能订出模型试验的相似准则，数，也能订出模型试验的相似准则，这是一种简单而有效的方法。一种简单而有效的方法。但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。但量纲分析有局限性，应用时必须慎重。正确的量纲分析基于对物理实质的正确认分析的结果也须以实验来验证。识，分析的结果也须以实验来验证。
无量纲数计算式写成：无量纲数计算式写成：
π=

量纲分析法

量纲分析法在我们探索自然科学和工程技术的广阔领域时，量纲分析法宛如一把神奇的钥匙，帮助我们解开复杂现象背后的神秘面纱。

它不是某种高深莫测的魔法，而是一种基于物理量基本性质的强大工具，让我们能够在看似混沌的世界中找到秩序和规律。

那么，究竟什么是量纲分析法呢？简单来说，量纲就是物理量的单位类别。

比如长度的量纲是米（m），时间的量纲是秒（s），质量的量纲是千克（kg）。

而量纲分析法，就是通过研究物理量的量纲之间的关系，来揭示物理现象的内在规律。

为了更好地理解量纲分析法的重要性，让我们先来思考一个简单的例子。

假设我们要研究一个物体自由下落的运动。

我们知道，影响物体下落速度的因素可能有物体的质量、下落的高度以及重力加速度。

那么，这些因素之间到底存在着怎样的定量关系呢？如果我们盲目地进行实验或者复杂的数学推导，可能会陷入无尽的迷茫。

但量纲分析法却能为我们指明方向。

我们先写出速度 v、质量 m、高度 h 和重力加速度 g 的量纲：速度v 的量纲是长度除以时间，即 L/T；质量 m 的量纲是 M；高度 h 的量纲是 L；重力加速度 g 的量纲是长度除以时间的平方，即 L/T²。

接下来，我们假设速度 v 与质量 m、高度 h 和重力加速度 g 之间存在一个函数关系 v ＝ f(m, h, g)。

根据量纲分析的原理，这个函数关系必须在量纲上是和谐的，也就是说，等式两边的量纲必须相同。

我们可以通过量纲的运算来推测这个函数的形式。

假设 v 与 m 的 a次方、h 的 b 次方、g 的 c 次方成正比，那么可以写出 L/T ＝ M^a ×L^b × L/T²^c 。

经过量纲的运算和分析，我们可以得出 a ＝ 0，b ＝ 1/2 ，c ＝ 1/2 。

于是，我们得到 v 与 h 和 g 的关系为 v ∝ √（gh) 。

这只是量纲分析法的一个简单应用，但已经足以展现它的强大威力。

在更复杂的物理问题中，比如流体力学中的湍流现象、热传递过程等，量纲分析法同样能够发挥重要作用。

量纲分析法课件

量的待定幂指数，从而可得到 j 的表达式。如在该问题中，令：
4
5
M M
0 L0 t 0 0 L0 t 0
L ML3 A1
Lt2 ML3
Mt2 A2 L A3
Mt L B1
2 B2
B3
4
5
M M
0 0
L0t0 L0t0
毛细现象。管中水柱上升的高度 h和水的密度、表面张
力系数、重力加速度 g 和玻璃管的内径 d 有关。
试用定理确定 h的表达式。
解：步骤 1：设其一般的函数关系为
h f , ,g,d
步骤 2：列写变量的量纲幂指数矩阵
设有变量 qi i 1, ,n影响某个流动过程，则 n个
变量的量纲幂指数矩阵为 4
Re)
CD
A
2
2
此即为著名的雷利（Rayleigh)绕流阻力计算公式。
式中：CD f (Re) 称绕流阻力系数，在不可压缩流体中与Re 有关，可由实验测取二者的关系曲线。
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水射流的加工过程中非常复杂，涉及到许多参数，可以写成如下式:
Vm f m , m , dm , s , H , E
式中：Vm —单个颗粒的切削率；m —颗粒的速度； m —磨料的密度； dm —颗粒的平均直径； s —被加工材料的屈服强度；H 、E —材料的刚度和弹性模量。对其模型的描述也较为困难。
燕山大学的王军、于超、耿鹏飞等基于量纲分析法，建立了水射流打孔过程的新数学模型，
通过试验验证该模型的误差仅为3 % ～ 1 0 % 。
24
而这些物理量包括有 m 个基本变量时，则可以用因次分析的方法获得(n-m)个无因次数群。这个现象的特征可以用这(n-m)个无因次数群的关系形式来表示。这即 π 定理，是因次分析的基本定理，它是由 Bucking-ham 于 1914 年根据物理方程式因次和谐的原理导出的。 3

量纲分析法

量纲分析法量纲分析法是求解物理问题的一种常用方法，它是建立在物理量之间存在着量纲关系的基础上的。

我们都知道，物理量是有量纲的，例如长度有米（m）、质量有千克（kg）等等。

物理量之间可能存在着各种复杂的关系，但是它们之间的量纲关系却是简单明了的。

在这个基础上，我们可以通过对物理量之间的量纲关系进行分析，得到大致的物理规律和关系式。

量纲分析法的应用范围广泛，可以用于求解机械、电学、热学等方面的问题。

特别是对于那些难以通过精确计算求得解析解的问题，量纲分析法常常能够给出很好的近似解。

量纲和单位的概念在进一步介绍量纲分析法之前，我们需要先了解一下量纲和单位的概念。

量纲是指物理量所具有的性质或特征。

例如，长度、质量、时间等都是物理量的量纲。

一般来说，我们用中括号表示一个物理量的量纲，例如$[L]$表示长度的量纲，$[M]$表示质量的量纲。

单位是指用来度量某一物理量的标准。

对于同一物理量，不同的国家或文化可能使用不同的单位。

例如，长度可以使用米、英尺、码等作为单位，质量可以使用克、千克、磅等作为单位。

物理量之间的量纲关系物理量之间的量纲关系非常重要，因为它们是建立任何物理公式或关系式的基础。

对于任意一个物理量，我们都可以通过对其进行基本量的组合或者一些次幂等数学运算，得到它的量纲式。

例如，对于单位长度的物理量，我们可以用基本物理量长度$L$表示它，那么它的量纲式为：$$[L]^1$$同理，对于单位速度$v$，由速度的定义可以得到：$$[L]^1\text{T}^{-1}其中，T表示时间的量纲。

通常情况下，我们将同一物理量的所有单位转化为相同的标准单位后，再进行量纲关系的分析。

例如，对于长度这一物理量，我们选用标准单位米（m）作为计量单位，则长度的量纲为$[L]$，而英尺的长度则可以表示为$0.3048\text{m}$。

量纲分析的基本原理和步骤量纲分析的基本原理是“对等量纲式进行运算时，只能加减，不能乘除”。

量纲分析方法

第一节量纲分析方法量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是在物理领域中建立数学模型的一个有力工具。

利用这种方法可以从某些条件出发，对某一物理现象进行推断，可将这个物理现象表示为某些具有量纲的变量的方程，从而可以用此来分析个物理量之间的关系。

量纲当对一个物理概念进行定量描述时，总离不开它的一些特性，比如，时间、质量、密度、速度、力等等，这种表示不同物理特性的量，称之为具有不同的“量纲”。

概括来说，将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式，简称量纲(dimension)（量纲又称为因次）。

它是在选定了单位制之后，由基本物理量单位表达的式子。

在国际单位制(I)中，七个基本物理量长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲符号分别是L、M、T、I、Q、N和J。

按照国家标准（GB3101—93），物理量•的量纲记为dim•，国际物理学界沿用的习惯记为[•]。

实际中，有些物理量的量纲是基本的，成为基本量纲。

系统因选定的基本单位不同，而分成绝对系统与工程系统两大类。

工程系统的基本单位：质量、长度、时间、力。

绝对系统的基本单位：质量、长度、时间。

绝对系统以长度(length)、质量(mass)、时间(time)及温度(temperature)为基本量纲，各以符号L 、M 、T 、θ表示其量纲。

其他可由基本量纲推导出的量纲称为导出量纲。

但在工程系统中，除了长度L 、质量M 、时间T 及温度θ等基本量纲外，也将力定义为基本量纲，而以符号F 表示其量纲。

此外在探讨热量 (heat)时，热量亦被定义为基本量纲，而以H 表示。

而其他的物理量的量纲可以由这些基本量纲来表示，比如：速度v = ds/dt 量纲：[]V =1LT - 加速度a = dv/dt 量纲：2[]a LT -= 力F = ma 量纲：22[][][]F M LTMLT --== 压强P = F/S 量纲：22[]P MLT L --= 21MT L --= 实际中，也有些量是无量纲的，比如,e π等，此时记为[][]1e π==。

量纲分析法原理

量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。

它们的名称、记号和量纲如表所示。

表1 流体力学中常见物理量的量纲速度v 表示单位时间内所经历的距离，它的单位是[米/秒]。

距离是长度l ，它的量纲是[L ]，而时间t 的量纲是[T ]，故速度v 的量纲是[1LT -]。

动量是质量m 和速度v 之积。

质量的量纲是[M ]，故动量的量纲是[1MLT -]。

如果我们选定三个相对对立的，例如长度l 的量纲[L ]、时间t 的量纲[T ]、质量m 的量纲[M ]为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。

如表5-1中所示，例如，加速度a 的量纲可表示为[2LT -]，力F 的量纲可表示为[2LMT -]。

当我们把一些物理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。

如果我们要写出一个流体微团的运动方程F ma =∑式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W 、压力P 、粘滞τ、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。

于是得到+++W P E ma t =（5-1）上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是[2LMT -]。

又如，关于理想流体的伯努利方程2++=2v p z H g gr 表示流管中三项能头之和保持常数，即等于总能头H 。

每项的单位都是米，故它们的量纲都是[L]。

不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。

这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。

量纲和谐原理是由傅里叶1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础，并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减，也就是相同量纲的物理量才可以相加减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。

例如，速度可以和速度相加减，但绝不可以加上粘性系数或压力。

当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和比较大小的，因为只要将其单位稍加换算即可完成。

量纲分析法2篇

量纲分析法2篇量纲分析法是一种常用于理论计算、实验设计和模型推导的方法，可用于确定物理量之间的关系和理论公式中未知参数的数量和单位。

本文将从量纲的基本概念、量纲分析的原理和步骤、应用和局限性等方面进行介绍。

一、量纲的基本概念物理量是指可测量和可表示的物理现象或性质。

测量物理量需要确定其数量和单位，量纲是指物理量的单位所表示的测量属性或特征。

量纲可分为基本量纲和导出量纲两类。

基本量纲是指用于表示国际单位制或其它量制基本单位的物理量，如长度、质量、时间、温度等；导出量纲是指通过基本量纲和其它导出量纲经过一定的运算和组合所得到的物理量，如速度、加速度、密度、功率等。

二、量纲分析的原理和步骤量纲分析的原理是基于物理量之间的数量关系和单位关系。

在同一物理学体系中，物理量之间的关系可以通过数量式和等式表达，单位关系可以用换算式表示。

在分析物理问题时，可以通过量纲分析确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位。

量纲分析的步骤如下：（1）选择适当的基本量纲：根据具体问题选择基本量纲。

（2）列出问题中的物理量：根据问题陈述列出涉及的物理量。

（3）建立物理量的数量关系：根据问题陈述以及物理学原理建立物理量的数量关系。

（4）建立物理量的单位关系：根据国际单位制或其他量制建立物理量的单位关系。

（5）将物理量的数量关系和单位关系进行联立，消去公式中多余的量纲（基本量纲和导出量纲），并利用未知参数的量纲关系，求出未知参数的数量和单位。

三、应用和局限性量纲分析法广泛应用于理论分析、实验设计和模型推导等领域。

其主要优点是简单实用，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为进一步研究和分析提供了重要的基础。

但是，量纲分析法也存在一些局限性，如物理量的表达式必须是线性的或近似线性的，未知参数的数量必须较少，物理量之间的数量关系和单位关系必须明确，不能处理非线性关系和复杂的物理问题等。

综上所述，量纲分析法是一种常用的物理方法，它通过建立物理量的数量关系和单位关系，能够快速确定物理量之间的关系和未知参数的数量和单位，为物理研究提供了重要的基础。

第十一章 量纲分析法(续)(2011-9-11)

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