第十一章 量纲分析法(续)(2011-9-11)

1
1
0
dim L3T 0 M 1
28
其量纲指数行列式为
1 0 0
1 1 0 1 0 3 0 1
故说明基本物理量的量纲是相互独立的。
可写出n－3＝7－3＝4个无量纲π项。
29
3. 列出无量纲π值
l 1 a1 b1 c1 D V
2

D V
a2 b2 c2
L：2=a-3b+c T：-1=-2c M：0=b
a=3/2 b=0 c=1/2
10
6. 代入指数乘积式，得
q kH g
3/ 2 0
1/ 2
k gH
3/ 2
即
q k1 gH 3/ 2 m 2gH 3/ 2
其中，k1为无量纲系数，即流量系数m，由实验 来确定。
11
问题5
求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出
19
问题8
1 Q 1 2 D2 2
文丘里流量计是用来测 量有压管路的流量，如右 图所示，已知1-1断面和2-2 断面之间的压强差△p随流 量Q，流体密度ρ，液体粘 度η 以及大小直径D1，D2变 化。试用π定律求出的压强 降落△p表示的流量公式。
D1
p h=ρ g
文丘里流量计
20
解：
1. 分析影响因素，列出函数方程
3

D a3V b3 c3
p 4 a4 b4 c4 D V
其中， ai、bi、ci 为待定指数。
30
4. 根据量纲和谐性原理，各π项中的指数分别确定
如下（以π1为例）
来自百度文库
L La1 ( LT 1 )b1 ( L3M )c1
L :1 a1 b1 3c1 T : 0 b1 M : 0 c1
4. 满足π为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各π 项基本物理量的指数a、b、c。 5. 写出描述现象的关系式。
f (1 , 2 , , nm ) 0
18
问题7
在用布金汉π定理时，要选取3个相互基本物理 量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？
答：（1）基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选 （M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基 本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。 （2）选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说， 不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量 在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。 （3）为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列 式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、 动力学量中各选一个，即可满足要求。
dim D1 L1T 0 M 0 dim Q L T M
3 1 0
量纲指数行列式
10 3 1 0 1 0 3 0 1
dim L3T 0 M 1
故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。
22
3. 列出无量纲π值
列出 n 3 6 3 3 个无量纲的π值。
1 dim D LT 0 M 0 dim V L1T 1 M 0
dim L3T 0 M 1
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其量纲指数行列式为
1 0 0
1 1 0 1 0 3 0 1
故说明基本物理量的量纲是相互独立的。
可写出n－3＝5－3＝2个无量纲π项。
39
3. 列出无量纲π值
a=2-e，b=2-e，c=1-e
36
6. 带入指数乘积式，得
FD kD2eV 2e 1e e
kD V (
2 2
DV
) kD V (
e 2 2

DV
)e
即 得阻力公式
FD k D2V 2 Ree
2k D ，l为圆柱长，则 Re e l
如果令绕流阻力系数C D
V
d
34
解：一、瑞利法求解 1. 已知与阻力FD有关的物理量为d，V，ρ，μ，即
FD f ( D,V , , )
2. 将阻力写成d，V， ρ， μ的指数乘积形式，即
FD kD V
a b c
e
3. 写出量纲表达式
DimFD k Dim(DaV b c e )
35
的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。
1 1/ 6 但是在曼宁公式 C R 中，谢齐系数C的量纲 n
为 L1/ 2T 1 ，R的量纲为L，n为无量纲量，很明显量纲 是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错 误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。
5
解：量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为 只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验 资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不 完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们 对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式 所替代。
1 b1
3
c1
L : 1 a1 3b1 3c1 T : 1 b1 M :1 c1
a1 1 b1 1 c1 1
所以：
1

D Q
1 1
24
对于π2，其量纲式为：
L La2 ( L3T 1 )b2 ( L3M )c2
对于π3 ，其量纲式为：
L1T 2 M La3 ( L3T 1 )b3 ( L3M )c3
第十一章 量纲分析法 （续）
1
量纲、量纲和谐性原理
2
问题1
什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么 区别和联系？ 答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量
各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于
度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量 度的性质。
3
问题2
量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？
1

D1a1 Qb1 c1
D2 2 a2 b2 c2 D1 Q
p 3 a3 b3 c3 D1 Q
其中ai、bi、ci 为待定指数。
23
4. 根据量纲和谐性原理，确定各π 项的指数
对于π1，其量纲式为：
L T M L (L T ) (L M )
a1 3
1
1
功率N 与单位体积水的重量 g
程H有关。
、流量Q、扬
12
解： 1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，水泵的输出功率N 与单位体积水 的重量 g 、流量Q、扬程H 有关,用函数关系 式表示为
f ( N , , Q, H ) 0
2. 将N写成γ ，Q，H的指数乘积形式，即
6
瑞利法
7
问题4
试用瑞利法分析溢
H
流堰过流时单宽流量q
的表达式。已知q 与堰
q
顶水头H、水的密度ρ和
重力加速度g 有关。
8
解：
1. 分析影响因素，列出函数方程 根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量q 与堰顶 水头H、水的密度ρ和重力加速度g 有关，用函数关 系式表示为 q f (H , , g )
D14Q 2 D11Q D2 f( , ) p D1
QD
2 1
p
D2 f1 (Re, ) D1
26
问题9
流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿 程不变，管径为D，由于阻力的作用，压强将沿 流程下降，通过观察，已知两个相距为 l 的断面 间的压强差Δp与断面平均流速V，流体密度ρ，动 力粘性系数μ以及管壁表面的平均粗糙度δ等因素 有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。
FD CDlD
V 2
2
CD A
V 2
2
其中，绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数 有关，最后由实验确定。
37
二、π定理求解 1. 根据题意，本题共有5个物理量，即n = 5，这些 物理量之间存在下述关系式
f ( FD , D,V , , ) 0
2. 选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动 学量V和动力学量ρ，三个基本物理量的量纲是
N k Q H
a b
c
13
3. 写出量纲表达式
dim N dim( aQb H c )
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T M ] [ L T M ] [ L T ] [ L]
2 a 3
3
2
2
1 b
c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
L：2=-2a+3b+c T：-3=-2a-b M：1=a
2.确定基本物理量。从n个物理量中选取所包含的 m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。 使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量 相互独立。
17
3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的π表达
式。
i x x x xi
ai 1 bi 2 ci 3
(i 1, 2, n m)
a=1 b=1 c=1
14
6. 代入指数乘积式，得
N k QH
其中，k为无量纲系数，通过实验来确定。
15
π定理
16
问题6
简述布金汉π定理的运用步骤？ 答：1.确定关系式。根据对所研究现象的认识，确 定影响这个现象的各个物理量及其关系式。
f ( x1 , x2 , , xn ) 0
2. 将q写成H，ρ，g的指数乘积形式，即
q kH a b g c
9
3. 写出量纲表达式
dim q dim( H g )
a b c
4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量 纲为
[ L T ] [ L] [ML ] [ LT ]
2 a
1
3 b
2 c
5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数
4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲
LMT 2 La b3c e M c eT be
5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数 L：1= a+b-3c-e M：1= c+e T：-2=-b-e 因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以 不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定， 并用它表示其余的指数
试用布金汉π定理求Δp 的一般表达式。
27
解： 1. 列出上述影响因素的函数关系式
f ( D,V , , l , , , p) 0
2. 在函数式中n＝7；选取3个基本物理量，依次为 几何学量D、运动学量V和动力学量ρ，三个基本物 理量的量纲是
dim D LT M
1 0
0
dim V L T M
a2 1 b2 0 c2 0
D2 2 D1
a3 4 b3 2 c3 1
p 3 4 2 D1 Q
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5. 写出无量纲量方程
D2 p f ( 1 , 2 , 3 ) f ( 1 , , 4 2 )0 D1 Q D1 D1 Q

上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变 它的无量纲性质。即：
根据题意可知，压强差△p与通过的流量Q，流体的
密度ρ，液体的粘度η 以及大小直径D1,D2有关，用函数 关系式表示为：
f ( D1 , Q, , , D2 , p) 0
可以看出函数中的变量个数 n＝6
21
2. 选取基本物理量
选取三个基本物理量，它们分别是几何学量 D1， 运动学量Q 以及动力学量ρ 。 由量纲公式：
a1 1 b1 0 c1 0
所以：
l 1 D
31
同理可得
2
DV
3

D
p 4 2 V
5. 写出无量纲量方程，其中π2项根据需要取其倒数， 但不会改变其无量纲性质，所以
l DV p f( , , , 2 )0 D D V
32
求压差Δp 时，
以
p
)
/ g , Re DV / v DV / v ， 代入，可得
l V2 hf f1 (Re, ) D D 2g

令
f1 (Re,

D
，最后可得沿程水头损失公式为
l V2 hf D 2g
上式就是沿程损失的一般表达式。
33
问题10
试用瑞利法和π定理（布金汉定理）推导圆柱绕流 的阻力FD的表达式，并说明瑞利法和布金汉π定理各适 用于何种情况？已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为D 、流体的流速为V、流体的密度为和流体的动力粘滞系 数为有关。
答：1.提出根据
（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用完整的物理 方法来表示。 （2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。 2.作用 可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程； 检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实 验过程、整理实验成果提供理论指导。
4
问题3
凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项