离散数学 关系闭包共18页文档
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学如何求r的传递闭包
离散数学如何求r的传递闭包离散数学的传递闭包是指在一个关系 R 上，通过不断地迭代是否存在一些元素关系可以联通，扩展出一个新的关系闭包集合，使得 R 中任何两个元素之间都存在一条路径。
其中，R 是原始关系，而 R 的传递闭包是所有可以从 R 中的元素得到的路径的集合。
传递闭包是在关系上的一个重要属性，因为它可以表示元素之间的隐含关系，从而有助于更详细地分析和描述数据。
计算 R 的传递闭包有多种方法，其中最经典的是 Warshall 算法。
下面是使用Warshall 算法计算 R 的传递闭包的步骤。
1）建立一个大小为n × n 的布尔矩阵 T，其中 T[i][j] 表示从 i 到 j 是否存在一条路径。
2）将布尔矩阵 T 的初始值设置为 R 的布尔矩阵。
3）进行 n 次迭代，每次迭代更新布尔矩阵 T 的值。
具体地，对于 T 中的每一个元素 T[i][j]，如果存在一个 k 使得 T[i][k] 和 T[k][j] 均为 true，则将 T[i][j] 设为 true。
4）最终的 T 就是 R 的传递闭包。
下面是 Warshall 算法的详细代码实现：```int[][] transitiveClosure(int[][] R) {int n = R.length;int[][] T = new int[n][n];// 初始化 T 为 R 的布尔矩阵for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {if (R[i][j] == 1) {T[i][j] = 1;}}}// 根据 Warshall 算法进行迭代for (int k = 0; k < n; k++) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {T[i][j] |= (T[i][k] & T[k][j]);}}}return T;}```该算法的时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是 R 的大小。
离散数学33.关系的闭包
关系的闭包
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
离散第28讲 闭包及等价关系
第28讲 等价关系
-12-
等价类
对任何集合A， EA有|A|个不同的等价类，每个等 价类都是单元素集；
对任何集合A，AA只有一个等价类A； 对每一元素aA，任何A上的等价关系R，[a]R≠
，因为R自反，恒有a[a] R； 同一等价类可以有不同的代表元素，即不同的元
素可能有相同的等价类
求R的自反、对称、传递闭包
r(R) = { <1,2>, <2,3> , <3,4> , <1,1> , <2,2> , <3,3> , <4,4> } s(R) = { <1,2>, <2,3> , <3,4> , <2,1> , <3,2> , <4,3> } t(R) = { <1,2> , <2,3> , <3,4>, <1,3> , <2,4> , <1,4> }
自反性 对称性 传递性
1、自己和自己总在同一班中，所以 对R中任一元素x，都有<x, x> R
2、如果<x, y> R，表明x和y在一 个学员队中，那么y和x也在一个学 员队中，得到<y, x> R
3、如果<x, y> R，x和y在一个学 员队中；且<y, z> R ，y和z也在一 个学员队中，那么x和z也在一个学 员队中，得到<x, z> R
i 1
<x,y>Ri，<y,z>Rj，所以<x,z> Ri◦ Rj = Ri+j，从而<x,z>
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学第讲2
(3)设R2是任何一个关系，且有RR2A×A，R2是传递的。 对任意<a,b>∈R1，存在Rj(1≤j＜)，使得<a,b>∈Rj，
所以存在c1,c2,c3,…,cj-1∈A，使得：
2022/10/25
计算机学院
7
<a,c1>∈R,<c1,c2>∈R,<c2,c3>∈R,....,<cj-1,b>∈R。 因RR2，所以 <a,c1>∈R2,<c1,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,…,<cj-1,b>∈R2。 由R2是传递的，有： <a,c2>∈R2,<c2,c3>∈R2,<c3,c4>∈R2,…,<cj-1,b>∈R2。 一直下去，最终有：<a,b>∈R2。 所以，R1R2。
由归纳法知，对任意有的i∈N+,有Ri t(R)。
R1,所以
1) r(R)＝{<a,b>,<b,b>,<b,c>,<a,a>,<c,c>}； (2) 对任意a,b,c∈A，若<a,b>∈R1，<b,c>∈R1,
j:=j+1; j=2,A的第二列有两个1,即A(1,2)=A(3,2)=1
1)r(R1) r(R2)
3）集合A上的关系的对称传递闭包定义为st(R) ＝s(t(R)) 同上，我们还可定义sr(R),tr(R),ts(R),…
定理4.9 设R是集合A上的关系，则：
1)rs(R)＝sr(R)
2)rt(R)＝tr(R)
3)st(R)ts(R)
2022/10/25
离散数学文档1
（1）关系的表示
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
（2）关系的性质和运算
（3）等价关系和集合的划分
（4）偏序关系
第1章关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.2二元关系及其表示
1.3关系的运算
1.4关系的性质
1.5关系的闭包
1.6等价关系与集合的划分
1.7相容关系
1.8偏序关系
1.1序偶与笛卡儿积
1.1.1有序n元组
定义1.1由两个固定次序的个体x，y组成的序列称为序偶，
R◦S={<2，2>，<4，3>}。
如图所示：
1.3关系的运算
1.3.2关系的复合运算
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，
<4，4>}，即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。
如图所示：
定理1.3设A，B，C，D为四个非空集合，则A×BC×D的充
1.2.1二元关系的概念
定义1.6设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA}
，则称IA为集合A上的恒等关系。
1.2二元关系及其表示
1.2.2二元关系的表示
1．关系矩阵表示法
设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…，bm}，R为
从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。用集合A的元素标
A∪~B。
1.3集合的运算
1.3.4集合的对称差文氏图
定义1.10设A、B是两个集合，集合A和B的对称差记作A♁B，
它是一个集合，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于A又
离散数学 3-7 复合关系和逆关系3-8 关系的闭包
(x)(y)(xXyX<x,y>R<y,x>Rx=y)
例如，平面上三角形的相似关系是对称的。 例： R1={<1，1>，<2，3>，<3，2>} R2={<1，1>，<3，3>}
R3={<2，2>，<2，3>，<3，2>，<3，1>} R4={<2，2>，<2，3>，<3，1>} 注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。
R在X上反自反(x)(xX<x，x>R)
例如，在实数集合中，””是自反的，因为对于任意实 数xx成立。 平面上三角形的全等关系是自反的。 例：X={a，b，c}， R1={<a，a>，<b，b>，<c，c>，<a，b>，<c，a>} R2={<a，b>，<b，c>，<c，a>} R3={<a，a>，<b，c>} 注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可 能既不是自反的，也不是反自反的。
间至多有一条弧。
三、传递性
1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意 x，y，zX，每当<x，y>R，<y，z>R时就有<x，
z>R，则称R是传递的。 R在X上传递 (x)(y)(z)(xXyXzX<x,y>R<y,z>R <x,z>R) 例： R1={<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递的，
二、对称性和反对称性
1、对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于 每一个x，yX，每当<x，y>R，就有<y，x>R， 则称R是对称的。 R在X上对称
离散数学关系的闭包
例 15
例15 设A={a,b,c,d}，R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}，则R和r(R)，s(R)，t(R)的关系图如下图所示。其 中r(R)，s(R)，t(R)的关系图就是使用上述方法直接从R的 关系图得到的。
c
a
b
d
c
a
b
d
c
a
b
d
c
a
b
d
Warshall 算法
③设R″是包含R的对称关系， 任取<x,y>，有 <x,y>∈R∪R-1 <x,y>∈R∨<x,y>∈R-1 <x,y>∈R∨<y,x>∈R <x,y>∈R″∨<y,x>∈R″ <x,y>∈R″∨<x,y>∈R″ <x,y>∈R″ 所以 R∪R-1 R″.
定理10 (3)的证明
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪… 证明 先证R∪R2∪… t(R)成立，为此只需证对任意的正整数n有 Rn
定理10 (3)的证明
（3）t(R)＝R∪R2∪R3∪… 证明 要证t(R)R∪R2∪…成立,只须证明R∪R2∪…是传递的。
任取<x,y>,<y,z>，则 <x,y>∈R∪R2∪… ∧ <y,z>∈R∪R2∪…
t(<x,y>∈Rt) ∧ s(<y,z>∈Rs) ts(<x,y>∈Rt ∧ <y,z>∈Rs) ts(<x,z>∈Rt Rs) ts(<x,z>∈Rt+s) <x,z>∈R∪R2∪… 从而证明了R∪R2∪…是传递的。
离散数学(3.8闭包运算)
ab1 , b1 b2 ,, bk 1 b 而 1 是可传递的，因此 a1b 即 a, b 1 ，故
有
i 。 1 i 1
因为
1 ，所以 a1b1 , b11b2 ,, bk 11b
。
例2.下图给出了集合 A {1,2,3,4,5,6} 上的关
{ 1,4 , 2,4 , 4,4 , 5,5 , 6,3 , 6,6 } 3 { 1,5 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 } 4 2 { 1,4 , 2,4 , 4,4 , 5,5 , 6,3 , 6,6 } 5 3 6 2
系
的关系图，试画 r ( ) 、 s( )
和 t( ) 。
解: 由关系图知:
{ 1,5 , 1,3 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 }
{ 1,5 , 1,3 , 2,5 , 4,5 , 5,4 , 6,3 , 6,6 }
则
2
r( ) { 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 }
t( )
i 1 i
证明:(3)
证明
（ 1）显然
c 则必存在正整 i 1 h i 1
（2）对任意的 a, b
数h和k，使得 a, b , b, c k
0 0 1 0 0 1 0 0
于是
r ( ) {a, a, a, b, b, a, b, b, b, c, c, c, c, d , d , d }
1 (2) 若 ai , a j ，则 a , a ；若 ， a , a i j j i 1 则a j , ai ， 即为若 M 中 r 1,则 M 1中 r 1
离散数学-关系的闭包
Warshall算法
9 / 68
设A={x1,x2,…,xn},R为A上的二元关系,R的关系矩阵为M:
1. Mt = M+M2+…+Mn 2. Warshall算法 考虑矩阵序列 M0,M1,…,Mn= Mt : k=0,1,…,n Mk[i,j]=1 当且仅当 在GR中存在一条从xi到xj的路径 并且除端点外中间只经过{x1,x2,…,xk}中的顶点. Mk+1[i,j]=1 当且仅当 在GR中存在一条从xi到xj的路 径并且除端点外中间只经过{x1,x2,…,xk,xk+1}中的顶 点 Mk[i,j]=1 或者 Mk[i,k+1]=1 ∧ Mk[k+1,j]=1
离散数学
集合论
主要内容
集合代数
集合的基本概念 集合的运算 有穷集合的计数 集合恒等式
2 / 68
二元关系
有序对与笛卡儿积 二元关系 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
函数的定义与性质 函数的复合与反函数 双射函数与集合的基数
函数
§7.5 关系的闭包
一. 闭包的定义
现在来证 t(R)的对称性.由于 <x,y>t(R) n(<x,y>Rn) n(<y,x>Rn) <y,x>t(R)
因此t(R)是对称的.
注:由于对称闭包运算不保持传递性,故在运算顺序 上它应放在传递闭包之前,即 t s r(R)=t(s(r(R))).
注
二元关系的闭包仍然是二元关系,还可以求d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>},求
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北大离散数学第7讲关系幂运算与关系闭包
第一页第，一共页50页。
关系的n次幂
关系的n次幂(nth power): 设RAA, nN, 则
(1) R0 = IA; (2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
Rn RRR
n个R
Rn表示的关系, 是R的关系图中长度为n的 有向路径的起点与终点的关系.
1
2
n-1
Байду номын сангаас
n
第二页第，二共页50页。
又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle),
(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~1859)
推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则
至少有一只抽屉装
m k
只以上的物品.
1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
r( R ) = RIA.
第三十页第三，十共页 50页。
定理23
定理23: 设 RAA 且 A, 则
s( R ) = RR-1; 证明: (1) R RR-1;
(2) (RR-1)-1=RR-1 RR-1对称 s( R )RR-1;
(3) Rs( R ) s( R )对称 Rs( R ) R-1s( R ) RR-1s( R )
s( R1R2) = s( R1 )s( R2 )
第二十第六二页十，六共页50页。
定理21(证明(3))
(3) t( R1R2) t( R1 )t( R2 ). 证明(3): 利用定理20,
t(R1R2)t(R1)t(R2). 反例: t(R1R2)t(R1)t(R2) . #
a
b
G(R1)= G(t(R1))
第十七第页十，七共页50页。
关系的n次幂
关系的n次幂(nth power): 设RAA, nN, 则
(1) R0 = IA; (2) Rn+1 = Rn○R, (n1).
Rn RRR
n个R
Rn表示的关系, 是R的关系图中长度为n的 有向路径的起点与终点的关系.
1
2
n-1
Байду номын сангаас
n
第二页第，二共页50页。
又名抽屉原则(Dirichlet drawer principle),
(Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805~1859)
推广形式: 若把m件物品装进k只抽屉, 则
至少有一只抽屉装
m k
只以上的物品.
1.8=2, 1.8=1, -1.8=-1, -1.8=-2.
r( R ) = RIA.
第三十页第三，十共页 50页。
定理23
定理23: 设 RAA 且 A, 则
s( R ) = RR-1; 证明: (1) R RR-1;
(2) (RR-1)-1=RR-1 RR-1对称 s( R )RR-1;
(3) Rs( R ) s( R )对称 Rs( R ) R-1s( R ) RR-1s( R )
s( R1R2) = s( R1 )s( R2 )
第二十第六二页十，六共页50页。
定理21(证明(3))
(3) t( R1R2) t( R1 )t( R2 ). 证明(3): 利用定理20,
t(R1R2)t(R1)t(R2). 反例: t(R1R2)t(R1)t(R2) . #
a
b
G(R1)= G(t(R1))
第十七第页十，七共页50页。
2010秋季学期-离散数学-集合论-关系的闭包运算-v2
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( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) A [ 1 ] [ 3 ] A [ 3 ] [ 6 ] A [ 1 ] [ 4 ] A [ 4 ] [ 6 ] A [ 1 ] [ 5 ] A [ 5 ] [ 6 ] ( 0 ) ( 0 ) A [ 1 ] [ 6 ] A [ 6 ] [ 6 ]= 2 1 + 1 2 = 4
s6
2019/2/10
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0
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云南大学软件学院
（三）应用
• 设 S 为站点集合，定义二元关系 R ， 当且仅当 xy , S ,x R y y 。 x ‘直达（无需换乘）’
2 •R R R { x ,| z y ( x R y y R z ) }
x到y可直达
y到z可直达
添加哪些序偶使其具有“传递性”？
2019/2/10 云南大学软件学院 4
（二）定义及定理
• 设 R 是 A 上的二元关系，如果有另外一个关系 R 满足： （a）R 是“自反的”（对称的，传递的） （b）R R （c） 对于任何自反的（对称的，传递的）关系 R 。如果有
R R 就有 R R
2 从x出发至多换乘一次可达y x , y S ,x Ry
( R R R ) z { x , z | y ( x ( R R ) y y R z ) } • x
x到y至多换乘1次可达 x到y直达
如果 x
Rz
，x R 2 z ，并且
xR 3z
，那么x到z需换乘2次可达。
2 3 • tR () R R R . . . 描述了站点间所有可达关系
i 设 R S 且 S 具有传递性，则 i1 R S
关系的闭包教学-PPT精品.ppt
关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图的顶点集相等。 为了得到r(R)的关系图，在R的关系图中，考察每
个顶点, 如果没有环就加上一个环； 为了得到s(R)的关系图，在R的关系图中，考察每
条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G中加 一条 xj 到 xi 的反方向边；
例5：A = {a1,a2,a3,a4,a5}, R = {<a1,a2>,<a2,a3>,<a3,a3>,<a3,a4>,
<a5,a1>,<a5,a4>}，求R的传递闭包。
解：先写出R的关系矩阵
0 1 0 0 0
考察第1列，m51=1，于
0
0
1
0
0
M 0 0 1 1 0
是应将第1行元素加到第
R也不具备对称性，增加有序对<1,,1>,<1,2>},具有对称性。 闭包运算即：添加最少的有序对，使得原关系具 有某种性质的运算。
2020/12/30
2
一、闭包定义
定义：设R是A上的二元关系，R的自反（对称、 传递）闭包是关系R1，则 ① R1是自反的（对称的、传递的） ② RR1 ③ 对A上的任何自反的（对称的、传递的）关系 R2，若RR2，则R1R2。
<b,c> R1,<c,b> R1，而<b,b> R1 <c,a> R1, <a,c> R1，而<c,c> R1
R2 ={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>, <a,a>,<b,b>,<c,c>}
个顶点, 如果没有环就加上一个环； 为了得到s(R)的关系图，在R的关系图中，考察每
条边, 如果有一条 xi 到 xj 的单向边, i≠j, 则在G中加 一条 xj 到 xi 的反方向边；
例5：A = {a1,a2,a3,a4,a5}, R = {<a1,a2>,<a2,a3>,<a3,a3>,<a3,a4>,
<a5,a1>,<a5,a4>}，求R的传递闭包。
解：先写出R的关系矩阵
0 1 0 0 0
考察第1列，m51=1，于
0
0
1
0
0
M 0 0 1 1 0
是应将第1行元素加到第
R也不具备对称性，增加有序对<1,,1>,<1,2>},具有对称性。 闭包运算即：添加最少的有序对，使得原关系具 有某种性质的运算。
2020/12/30
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一、闭包定义
定义：设R是A上的二元关系，R的自反（对称、 传递）闭包是关系R1，则 ① R1是自反的（对称的、传递的） ② RR1 ③ 对A上的任何自反的（对称的、传递的）关系 R2，若RR2，则R1R2。
<b,c> R1,<c,b> R1，而<b,b> R1 <c,a> R1, <a,c> R1，而<c,c> R1
R2 ={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>, <a,a>,<b,b>,<c,c>}
4_4_关系的闭包[10页]
![4_4_关系的闭包[10页]](https://img.taocdn.com/s3/m/a937c08de518964bce847c93.png)
,
M
t
(R)
M
k R
k 1
[关系图运算] 从关系图上看，自反闭包是为每个结点添上自环，对称闭包为每 条线段加上箭头相反的连线，传递闭包将所有可达的结点对之间用连线直接相 连。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
4.4.2 闭包计算
Discrete mathematics
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
4.4.2 闭包计算
Discrete mathematics
[定理4-12] 若|X|=n，R是X上的二元关系，则存在一个正整数m≤n，使得
证明略。
m
t(R) Rk R R2
Rm
k 1
定理说明，若|X|=n，传递闭包至多需要计算到Rn即可。因此，定理可写成
的自反闭包（reflexive closure）（对称闭包（symmetric closure）、传递闭 包（transitive closure）），记作r(R) （s(R)、t(R)）。
最小性
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
4.4.1 闭包的概念
Discrete mathematics
对∀<x,y>∊S ，有正整数m ，使<x,y>∊Rm 。因此，有t1，t2，…，tm-1，使
x,t1 R， t1,t2 R， ， tm2,tm1 R， tm1, y R
因R⊆T ，有
x,t1 T， t1,t2 T， ， tm2,tm1 T，<tm1,y> T
因T是传递的，有<x,y>∊T 。故S⊆T 。
沈阳工业大学 牛连强 陈欣 张胜男 niulq@
(2)记 S=R∪R-1。