反比例函数的性质
反比例函数的图像与性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 反比例函数基本概念 • 反比例函数图像特征 • 反比例函数性质分析 • 反比例函数在实际问题中应用举例 • 反比例函数与一次函数、二次函数比较 • 总结回顾与拓展延伸
01
反比例函数基本概念
定义与表达式
反比例函数定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的函数称 为反比例函数。
通过直接观察反比例函数的图像，可以判断其单调性。当比例系数大于0时，函数图像在第一、三象限内单调递 减；当比例系数小于0时，函数图像在第二、四象限内单调递增。
导数法
对反比例函数求导，通过导数的正负判断函数的单调性。当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时，函 数单调递减。
奇偶性判断方法
奇函数质
综合应用探讨
反比例函数与一次函数的 综合应用
在解决某些实际问题时，可以将反比例函数 与一次函数结合起来，例如分段函数中的一 部分为反比例函数，另一部分为一次函数。 通过比较和分析这两个函数的图像和性质， 可以更好地理解问题的本质和解决方案。
反比例函数与二次函数的 综合应用
在某些复杂的问题中，可能需要同时考虑反 比例函数和二次函数的性质。例如，在经济 学中研究成本、收益与产量之间的关系时， 可能会遇到同时包含反比例函数和二次函数 的模型。通过综合运用这两个函数的性质和
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即 如果点(x, y)在图像上，那么点(-x, y)也在图像上。
VS
反比例函数的图像也关于直线y = x 和y = -x对称。这意味着如果点(x, y) 在图像上，那么点(y, x)和(-y, -x)也在 图像上。
第14讲 反比例函数的性质及其图象
考点二、反比例函数表达式的确定
确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函 数y=k/x中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或 图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析 式。
对于反比例函数y=3/x，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点（1，-3） B．图象在第二、四象限 C．x＞0时，y随x的增大而增大 D．x＜0时，y随x增大而减小 解析： A.∵反比例函数y=3/x，
在x轴的正半轴上，若点D在
（x＜0）
【考点】反比例函数图象
上点的坐标特征；平行四 边形的性质．
完成过关测试：第
题.
完成课后作业：第
题.
故答案为：没有实数根.
小结：此题综合考查了反比例函数的图象与性质、一 元二次方程根的判别式.注意正确判定a的取值范围是 解决问题的关键.
【例题2】（2016·深圳市）如图，四边形ABCO是平行四
边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO
绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落
正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=6/x的图象的交点
位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：
【例题1】关于x的反比例函数 y a 4 的图象如
x
图，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对
称．△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于
点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程 a 1 x2 x 1 0 的根的情况是 没有实数根 ．
∴xy=3，故图象经过点（1，3），故此选项错误； B.∵k＞0，∴图象在第 一、三象限，故此选项错误； C.∵k＞0，∴x＞0时，y随x增大而减小，故此选项错误； D.∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确．
反比例函数反比例函数的图象与性质
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数的定义图象及性质
【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 反比例函数的定义．2. 反比例函数的图象和性质．二. 知识要点： 1. 反比例函数（1）一般地，形如y ＝kx （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数．其表达式也可以写成y ＝kx －1，有时利用变形式子xy ＝k ．（2）确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数y ＝kx 中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定解析式． 2. “反比例关系”与“反比例函数”的异同 如果xy ＝k （k 是常数，k ≠0），那么x 与y 这两个量成反比例关系，这里x 、y 既可代表单独的一个字母，也可代表多项式或单项式，成反比例的关系式，不一定是反比例函数，如y －3＝k z ＋2中，y －3与z ＋2成反比例，但y 与z 不是反比例函数；又如y ＝2x 2中，y 与x 2成反比例，但y ，x 不是反比例函数，但反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的两个变量必成反比例关系．3. 反比例函数的性质和图象（1）反比例函数的图象的形状是双曲线，它不是连续的整体图形，而是断开的两个独立的分支，它无限接近两坐标轴但永远也不能到达坐标轴．（2）反比例函数的图象的位置与增减性，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．（3 4. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义过双曲线y ＝kx上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，所得的矩形PMON 的面积为S＝PM ·PN ＝︱y ︱·︱x ︱＝︱xy ︱，∵y ＝kx ，∴xy ＝k ，∴S ＝︱k ︱．即①过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形的面积为︱k ︱．②过双曲线上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，由该点、垂足和原点所构成的三角形的面积都是12︱k ︱．三. 重点难点：本节的重点是反比例函数的图象和性质，难点是在学习过程中要全面理解其性质及图象的特征，结合图象来理解，采用数形结合的思想方法．【典型例题】例1. 判断下列函数式，y 与x 是反比例函数关系的有哪些？①y ＝2x ＋1；②y ＝πx ；③y ＝a x ；④y ＝4x 2＋x －x 2；⑤xy ＝3；⑥y ＝13x ；⑦x （y ＋1）＝3；⑧2x ·3y ＝7．分析：按照反比例函数关系式的特征判断．①中，y 与x ＋1成反比例，不是y 与x 成反比例．③中没有说明a 的条件．⑦化简后为y ＝3x－1不符合反比例函数的形式，所以①③⑦不是反比例函数．对于②中，π为常数．④中化简得y ＝4x ．⑤可变形为y ＝3x．⑥可变形为y ＝13x ．⑧可变形为y ＝76x ．都符合反比例函数的一般形式，所以②④⑤⑥⑧是反比例函数． 解：②④⑤⑥⑧是反比例函数． 评析：（1）判断两种量是否成反比例关系时，通常写出这两种量的关系式．然后化简，再对照反比例函数式的特征进行解答．（2）反比例函数式y ＝kx （k 为常数，k ≠0）还可以写成y ＝kx －1或xy ＝k （k 为常数，k ≠0）．例2. 已知y 是x 的反比例函数，且当x ＝3时，y 的值是－5．（1）求y 与x 的关系式．（2）求当x ＝－5时，y 的值．分析：y 是x 的反比例函数，即x 与y 满足y ＝kx 这个关系式，且当x ＝3时，y 的值是－5，将这两个数值代入即可求出k 的值．解：（1）设y ＝k x （k ≠0），把x ＝3，y ＝－5代入得，－5＝k3．解之得，k ＝－15，所以，解析式为y ＝－15x．（2）把x ＝－5代入，得y ＝－15－5＝3．所以，当x ＝－5时，y 的值是3．评析：待定系数法求反比例函数解析式的步骤是：（1）设出函数解析式的一般形式为y ＝kx（k ≠0）．（2）把对应的x 与y 的值代入，得到一个关于k 的方程．（3）解方程，求出待定系数k 的值．（4）代入解析式即可得到要求的解析式．例3. （1）已知反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则该函数关系式是__________．（2）已知反比例函数y ＝1－3mx 的图象上有两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当x 1＜0＜x 2时，有y 1＜y 2，则m 的取值范围是__________．分析：（1）因为反比例函数y ＝（a －2）52-a x ，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a 2－5＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a 2＝4 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＝±2 ．所以a ＝－2，当a ＝－2时，函数关系式为y ＝－4x．（2）反比例函数的图象有两种情况：当1－3m ＞0时，如图（1）所示，此时y 1＜y 2；当1－3m ＜0时，如图（2）所示，此时y 1＞y 2；故可得1－3m ＞0，即m ＜13．(1)(2)解：（1）y ＝－4x （2）m ＜13评析：（1）对于y ＝kx （k 为常数，k ≠0）来说，当k ＞0时，反比例函数的图象的两个分支位于一、三象限．在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 的增大而增大．所以在此题中，应该有a －2＜0．（2）反比例函数y ＝kx ，当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，但并不是说反比例函数的整个图象是从左往右上升的，因此一定注意，“在每个象限内”这个条件．例4. （1）（2008年上海）若反比例函数y ＝k x （k <0）的函数图像过点P （2，m ）、Q （1，n ），则m 与n 的大小关系是：m __________n （选择填“>”、“＝”、“<”）．（2）函数y ＝－ax ＋a 与y ＝－ax（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）分析：（1）由k ＜0知函数图象在二、四象限，且y 随x 的增大而增大，又图象过点P （2，m ）、Q （1，n ），2＞1，则m ＞n ．（2）由函数图象判断－a 的正负，看是否一致，可以发现函数y ＝－ax ＋a 中，当x ＝1时，y ＝0，即直线过定点（1，0），所以可排除B 和D ．在A 中，根据直线的图象可知－a ＜0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是一致的．在C中，根据直线的图象可知－a ＞0，根据双曲线的图象可知－a ＜0，它们是不一致的，应排除．解：（1）＞（2）A例5. 点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y ＝1x 于点A ，连接OA ．（1）如图（1）所示，当点P 在x 轴的正方向上运动时，R t △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出R t △AOP 的面积；若改变，试说明理由．（2）如图（2）所示，在x 轴上的点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线DB 交双曲线y ＝1x 于点B ，连接BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1__________S 2．（选填“＞”“＜”或“＝”）解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），则x ＞0，y ＞0．S △AOP ＝12·OP ·AP ＝12·x ·y ＝12×1＝12．所以当点P 在x 轴的正方向移动时，R t △AOP 的面积不发生变化．（2）由（1）的结果可知S △AOP ＝S △BOD ，而梯形BCPD 的面积小于S △BOD ，所以有S △AOP ＞S 梯形BCPD ，即S 1＞S 2．评析：从双曲线y ＝kx （k ≠0）上任一点向x 轴作垂线．则该点垂足及坐标原点构成的三角形面积都相等，其值为12︱k ︱．【方法总结】1. 反比例函数的图象是双曲线，双曲线所在的象限由比例系数k 来决定，当k ＞0时，双曲线在第一、三象限；当k ＜0时，双曲线在第二、四象限．2. 若两个变量的积是一个不为零的常数，则这两个变量成反比例．3. 求函数关系式时，一般用待定系数法．4. 在记忆反比例函数图象的性质时，要与正比例函数的性质相对照，不要混淆．5. 在反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象上任取一点向x 轴作垂线，则由垂足、原点及该点构成的三角形的面积不变，其值为12︱k ︱．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 下列函数表达式中，是反比例函数的是（ ）A ．y ＝x －1B ．y ＝1x －1C ．y ＝x2D ．xy ＝－22. 一个长方形的面积为10，则这个长方形的长与宽之间的函数关系是（ ）A ．正比例函数关系B ．反比例函数关系C ．一次函数关系D ．不能确定3. 下列函数中，图象经过点（1，－1）的反比例函数解析式是（ ）A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x4. 已知（3，－1）是曲线y ＝kx（k ≠0）上一点，则下列各点中不在该图像上的点是（ ）A ．（13，－9）B ．（3，1）C ．（－1，3）D ．（6，－12）5. 如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数y ＝1x 的图象上，那么（ ）A ．y 2＜y 1＜0B ．y 1＜y 2＜0C ．y 2＞y 1＞0D ．y 1＞y 2＞0*6. 若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间的函数关系的图象大致是（ ）BC D7. 已知反比例函数y ＝2x，下列结论中，不正确的是（ ）A. 图象必经过点（1，2）B. y 随x 的增大而减小C. 图象在第一、三象限内D. 若x ＞1，则y ＜28. 反比例函数y ＝kx （k ＞0）的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为（ ）A. S 1＞S 2B. S 1＝S 2C. S 1＜S 2D. 无法确定二. 填空题1. 反比例函数y ＝kx 的图像经过点（2，－1），则k 的值为__________．2. 反比例函数y ＝15x 中，k ＝__________．3. 如果y ＝1x2n －5是反比例函数，则n ＝__________．4. 反比例函数y ＝kx的图象经过点（2，3），则这个反比例函数的解析式为_______________．5. 已知反比例函数y ＝kx 的图象分布在第二、四象限，则一次函数y ＝kx ＋b 中，y 随x 的增大而________（填“增大”、“减小”、“不变”）．*6. 如图，双曲线y ＝kx 与直线y ＝mx 相交于A 、B 两点，B 点坐标为（－2，－3），则A点坐标为__________．**7. 双曲线y ＝8x与直线y ＝2x 的交点坐标为__________．三. 解答题1. 指出下列式子哪些是反比例函数解析式？并指出x 的取值．（1）y ＝x 5 （2）y ＝－23x （3）y ＝13x 2 （4）y ＝3x2. 已知反比例函数y ＝ kx 的图象与一次函数y ＝3x ＋m 的图象相交于点（1，5）．求这两个函数的解析式；3.x 和y 的一些值：（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）根据求出的函数关系式完成上表．*4. 已知点P （2，2）在反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象上，（1）当x ＝－3时，求y 的值；（2）当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．**5. 如图所示，R t △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝kx与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32．求这两个函数的表达式；【试题答案】一. 选择题1. D2. B3. B4. B5. D6. B7. B8. B二. 填空题1. －22. 153. 34. y ＝6x 5. 减小 6. （2，3） 7. （2，4）和（－2，－4）三. 解答题1. （2）和（4）是反比例函数，其取值范围都是x ≠0．2. y ＝5x，y ＝3x ＋23. （1）y ＝20x（2）如下表所示：4. （1）－43（2）43＜y ＜45. y ＝－3x ，y ＝－x －2。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质一、反比例函数的概念：形如(0)ky k x=≠的函数，叫做反比例函数.其中x 是自变量,y 是函数 ,k 叫做比例系数. 【注】1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数,y 的取值范围也是不等于0的一切实数.2、在反比例函数ky x=(k≠0)的左边是函数y ,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如1y x =,312y x =等都是反比例函数,但21y x =+就不是关于x 的反比例函数. 3、反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y =kx -1或xy =k 的形式.4、反比例函数中,两个变量成反比例关系. 二、反比例函数的图形与性质与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．，b ）在双曲线的一支上，则(),a b --在双曲线的即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k |.所以已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.【练】1、下列函数中，哪些是反比例函数？（1）31y x =-；（2）22y x =；（3）1y x =；（4）23x y =；（5）3y x =； （6）23y x =-；（7）12y x -=；（8）41y x =+；2、已知函数()231m m y m x +-=-中，y 是x 的反比例函数，求当3x =时，y 的值.反比例函数的图像与性质专项练习解答题1. 若变量y 与x 成正比例变量x 与z 成反比例，则 ( )A.y 与z 成反比例函数关系B.y 与z 成正比例函数关系C.y 与z 2成正比例函数关系D.y 与z 2成反比例函数关系2. 点P （1，3）在反比例函数ky x=(k≠0)的图象上，则k 的值是） A.13 B.3 C. 13- D.-3 3. 在反比例函数1ky x-=的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．24. 如图，A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）A. S=2B. S=4C. 2<S<4D. S>45. 在函数22a y x--=（a 为常数）的图象上有三点()()()112233,,,,,x y x y x y ，且1230x x x ＜＜＜，则123,,y y y 的大小关系是 。
反比例函数性质
反比例函数性质
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。
反比例函数性质
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.
2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.反比例函数图像会无限接近于坐标轴但不相交（坐标轴是反比例函数图像的渐近线）
4.∣k∣越大，抛物线开口越大；∣k∣越小，抛物线开口越小。
反比例函数
5. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2 ,且等于|k|.
6.反比例函数的图象是双曲线，有两支，既是轴对称图形，对称轴是y=x或y=-x，又是中心对称图形，对称中心是坐标原点.
7.反比例函数图像中，|k|的值越大，图像越远离坐标轴.。
反比例函数的意义及性质
#O5
#2022
在物理学中的应用
电流与电阻的关系
01
在电路中，电流与电阻成反比关系，即当电阻增大时，电流减小；反之，当电阻减小时，电流增大。这一规律在电子设备、电力系统和电路分析等领域有着广泛的应用。
声学中的声压级
02
在声学中，声压级与距离声源的距离成反比关系。这意味着随着距离声源的距离增加，声压级会减小。这一规律在噪声控制、音响设计和声音传播等领域具有实际意义。
反比例函数在现实生活中的应用
物理学中的电阻定律 当导体的长度和截面积一定时，其电阻与电阻率成反比，即 R = k/S，其中 R 是电阻，S 是截面积，k 是电阻率。 经济生活中的供需关系 在一定条件下，商品的需求量与价格成反比，即需求量 = k/价格，其中 k 是常数。 化学中的反应速率 在一定条件下，化学反应的速率与反应物的浓度成反比，即速率 = k/浓度，其中 k 是常数。
生物种群数量变化
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反比例函数的图像
#O2
#2022
反比例函数的图像特点
无限接近x轴和y轴
反比例函数的图像位于x轴和y轴的两侧，随着x的增大或减小，y的值会无限接近于0，但永远不会等于0。
双曲线形状
反比例函数的图像是双曲线，其形状取决于比例系数k的正负。当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
反比例函数图像的绘制方法
确定k的值 描点 连线 验证 首先需要确定比例系数k的值，根据k的正负确定图像所在的象限。 在坐标系上选取一些特定的x值，计算对应的y值，并描出对应的点。 使用平滑的曲线将这些点连接起来，形成反比例函数的图像。 通过代入一些已知的x值来验证所绘制的图像是否准确。
反比例函数的图象与性质定
奇偶性
反比例函数是奇函数，因为对于所 有 x，都有 f(-x) = -f(x)。
无界性
由于反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象在 x = 0 处无 界。
反比例函数的性质
01
02
03
分母不为零
反比例函数的分母不能为 零，因此其定义域为 x ≠ 0。
无界性
反比例函数的值域为 y ≠ 0 和 y ≠ -∞，因此其图象 在 x = 0 处无界。
当$x<0$时，反比例函数的图象位于 第三象限，与直线$y=kx+b$相交于 一点，这一点也是它们的切点。
与二次函数的关系
二次函数是形如 $y=ax^2+bx+c$的函数，其 中$a, b, c$是常数且$a neq 0$
。
反比例函数的图象是一个双曲 线，分布在第一和第三象限。
二次函数的图象是一个抛物线 ，可以开口向上或向下。
反比例函数的图象与性质
目 录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的关系 • 反比例函数的扩展知识
01 反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
反比例函数的值域
反比例函数是一种数学函数，其定义 为 f(x) = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。
磁场强度与电流
在电磁学中，磁场强度与电流之间的关系可以用反比例函数 描述，通过分析反比例函数的特性，可以研究电磁感应和电 磁波的传播。
与其他数学知识的结合
代数方程
反比例函数可以与其他代数方程 结合，用于解决代数问题，例如 求解代数方程的根或解决代数不 等式问题。
反比例函数图像和性质
VS
化学反应中的浓度问题
在某些化学反应中，反应物的浓度与反应 时间可能成反比例关系。可以利用反比例 函数来分析这种关系，并求解相关问题， 如反应速率、反应时间等。
05
反比例函数与其他类型函数关系探讨
与一次函数关系
反比例函数与一次函数的交点
在某些特定条件下，反比例函数和一次函数可能会有交点。这些交点可以通过解方程组 来找到。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
反比例函数定义：形如 $y = frac{k}{x}$ （$k$ 为常数 ，$k neq 0$）的函数称为反比例函数。
反比例函数性质
当 $k < 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐增大。
反比例函数图像：反比例函数的图像是双曲线，且以原 点为对称中心。当 $k > 0$ 时，双曲线位于第一、三 象限；当 $k < 0$ 时，双曲线位于第二、四象限。
图像法
通过观察反比例函数的图像，可以发 现其关于原点对称，这也是奇函数的 一个特征。
周期性讨论
周期性定义
周期函数是指函数在某个特定的非零周期长度内重复出现的性质。对于反比例函数，由于其图像不呈 现周期性变化，因此不是周期函数。
非周期性证明
可以通过反证法证明反比例函数的非周期性。假设反比例函数是周期函数，那么在其周期内应该存在 两个相同的点，但是根据反比例函数的定义和性质，这是不可能的。因此，反比例函数不是周期函数 。
变速直线运动
在某些情况下，物体做变速直线运动时，其速度与时间也可能成反比例关系。同样可以利用反比例函数来进行分 析和求解。
浓度问题建模与求解
溶液稀释问题
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶液 的体积成反比例关系。可以通过反比例 函数来描述这种关系，并求解相关问题 ，如稀释后的浓度、所需溶质的质量等 。
反比例函数图像与性质知识点总结
反比例函数图像与性质知识点总结一、反比例函数公式口诀反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线，x、y的顺序可交换。
二、反比例函数图象当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交。
图象画法1）在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。
2）用平滑的曲线连接点。
当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。
当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用过反比例函数y=k/x（k≠0）图象上任意一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为|k|。
过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为|k|/2。
研究函数问题要透视函数的.本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
这个常数是k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
三、反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
反比例函数图像和性质
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例。
形如y=k/x（k为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。
公式：xy=k ，y=k1/x ，y=k/x反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
画出Y=12/X的函数图像根据函数图像研究函数的性质
1．反比例函数 的图象经过点（－1， 2），那么这个反比例函数的解析式为 ，图象在第 象限，它的图象关于 成中心对称． 2．反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于点A （1，m ），则m ＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． (0)k y k x =≠(0)k y k x =≠2y x
=。
反比例函数的概念与性质
反比例函数在经济学中的应用
描述供求关系：反比例函数可以用来描述经济学中的供求关系，帮助分析 市场上的供需变化。
解释边际效用递减规律：反比例函数可以解释经济学中的边际效用递减规 律，即随着消费量的增加，单位消费所带来的效用逐渐减少。
反比例函数与二次函数的联系与区别
反比例函数与二次函数都是非线性函数，具有不同的函数图像和性质。
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，而二次函数的图像可能位于x轴上 方或下方。
反比例函数的导数在x=0处不存在，而二次函数的导数在x=0处存在。
反比例函数在x>0时单调递减，在x<0时单调递增，而二次函数在x<0时 单调递减，在x>0时单调递增。
反比例函数与幂函数的联系与区别
反比例函数与幂函数在形式上的联系：两者都是形如y=k/x（k为常数）的函数，具有反比例关 系的函数形式。
反比例函数与幂函数在性质上的区别：反比例函数的图像分布在第一、三象限，而幂函数的图 像根据幂次的不同分布在各象限；反比例函数的图像是关于原点对称的，而幂函数的图像则关 于：双曲 线，位于两轴之 间
图像位置：取决于 比例常数k，k>0 时位于一三象限， k<0时位于二四象 限
图像变化趋势： 随着x的增大或减 小，y值逐渐减小 或增大
图像与坐标轴的 交点：原点 O(0,0)和点(k,0)
反比例函数的解析式
定义：形如 y = k/x (k为常数且k≠0) 的函数称为反比例函数 解析式：y = k/x (k为常数且k≠0) 图像：双曲线，位于x轴和y轴的两侧 性质：当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限
反比例函数的图像与性质教案
反比例函数的图像与性质教案教案标题：反比例函数的图像与性质教学目标：1. 理解反比例函数的定义及其特点；2. 掌握绘制反比例函数图像的方法；3. 理解反比例函数图像的性质。
教学准备：1. 教师：准备反比例函数的定义、性质和图像的讲解材料；2. 学生：准备笔、纸和计算器。
教学过程：导入（5分钟）：1. 引入反比例函数的概念，与学生一起回顾比例函数的定义及其性质；2. 提问：你们对反比例函数有什么了解？它与比例函数有何不同？讲解（15分钟）：1. 讲解反比例函数的定义：y = k/x，其中k为常数且不等于0；2. 解释反比例函数的性质：当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；3. 通过实例演示如何计算反比例函数的值，并讨论k的正负对函数图像的影响；4. 讲解反比例函数图像的特点：曲线经过第一象限的原点，且与坐标轴无交点。
练习（15分钟）：1. 学生在纸上绘制反比例函数y = 3/x的图像，并标出至少5个点；2. 学生计算并填写表格：x取1、2、3、4、5时，对应的y值；3. 学生观察表格数据，并总结反比例函数图像的特点。
拓展（10分钟）：1. 引导学生思考：如果反比例函数的定义中的k为负数，图像会有什么变化？2. 学生尝试绘制反比例函数y = -2/x的图像，并与之前的图像进行比较；3. 学生讨论负数k对反比例函数图像的影响，并总结出结论。
归纳（5分钟）：1. 教师与学生一起总结反比例函数的图像与性质；2. 学生回答以下问题：反比例函数图像经过哪个象限的原点？与坐标轴是否有交点？作业：1. 学生完成课堂练习的剩余部分，并绘制反比例函数y = -4/x的图像；2. 学生回答书面问题：反比例函数图像的性质与比例函数图像的性质有何不同？评估：1. 教师检查学生在课堂练习中的图像绘制情况；2. 教师评估学生对反比例函数图像与性质的理解程度。
教学延伸：1. 学生可以进一步探索反比例函数的应用，如在实际问题中的应用；2. 学生可以尝试绘制更多不同参数的反比例函数图像，比较它们之间的差异。
反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质（No.4）一、知识要点 1、反比例函数（1）定义：一般地，形如xky =（k 为常数，k≠0）的函数. 说明：①自变量x 在分母上，指数为1；②比例系数k ≠0；③自变量x 的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y ≠0；④反比例函数的其他形式：k xy =，1-⋅=x k y . （2）图象：反比例函数的图象是双曲线，也称为双曲线x ky =（k≠0）. （3）性质2、待定系数法求反比例函数的解析式——只需图象上一个点的坐标即可求出k 值.3、反比例函数的图象的对称性 （1）中心对称：对称中心是原点；（2）轴对称：对称轴是直线y=x 和直线y=－x.二、基础演练1、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ） A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数2、若反比例函数y=(2m －1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.－1或1B.小于21的任意实数 C.－1 D.1 3、反比例函数xky =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2的大小关系为___________．第3题图 第5题图 第6题图4、若函数||1m xm y -=为反比例函数，则m=___________． 5、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=xk k 122++的图象上．若点A 的坐标为（－2，－2），则k的值为（） A ．1 B ．－3 C ．4 D ．1或－36、如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k 1，k 2，k 3的大小关系是_____________________．7、已知y=y 1＋y 2，而y 1与x ＋1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x=1时，y=2；x=0时，y=2，求y 与x 的函数关系式．8、如图所示，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y ＝xm的图象交于M 、N 两点． （1）根据图中条件求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）当x 为何值时一次函数的值大于反比例函数的值．二、能力提升9、下列选项中，阴影部分面积最小的是（ ）A ．B ．C ．D ． 10、（1）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是_____________．（2）直线y=kx （k ＜0）与双曲线y=x2-交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值为______． 11、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行．点P （3a ，a ）是反比例函数y=xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为_____________．第11题图 第12题图 第13题图12、如图，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ACBD 的面积为_________． 13、如图，已知反比例函数)0(>=k xky 的图象经过直角△OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为12，则k 的值为_______________．14、如图，□AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线)0(>=k xky 经过A 、E 两点，若□AOBC 的面积为12，则k=_______．第14题图 第15题图 第16题图 第17题图15、如图，在函数)0(8>=x xy 的图象上有点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1，点P 1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P 1、P 2、P 3…、P n 、P n+1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1、S 2、S 3…、S n ，则S 1=________，S n =______________．（用含n 的代数式表示） 16、如图，双曲线x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足32=AB AO ，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．17、如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xky 上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若△BCE 的面积为8，则k=_______．18、如图，直线2-=kx y (k ＞0)与双曲线xky =在第一象限内的交点为R ，与x 轴的交点为P ，与y 轴的交点为Q ；作RM ⊥x 轴于点M ，若△OPQ 与△PRM 的面积是4：1，求k 的值．。
反比例函数的图象与性质
第17讲 反比例函数的图象与性质考点·方法·破译1．反比例函数的定义：形如k y x=（或1y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大.经典·考题·赏析【例１】（西宁）已知函数ky x=-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ）k ＞0，而一 次A 01．已知反比例函数a y x=（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小，则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与my x=（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2，y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数10y x =，6y x=图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ .ABCDABC D【解法指导】在反比例函数kyx=中，k的几何意义为：中122121106()()22222ODE OBEk kS S S S S S∆∆-=+-+=-=-=【变式题组】01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=过点A，则k的值是（）A．2 B．－2 C．4 D．－402．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线3yx=（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线3yx=上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若S阴影＝1，则S1＋S2＝.04．（河池）如图，A、B是函数2yx=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（）A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞405．（泰安）如图，双曲线kyx=（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）A．1yx=B．2yx=C．3yx=D．6yx=【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数myx=的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图⑵求△AOB 的面积.【解法指导】利用割补法求图形面积.解：⑴∵点A （－2，1）在反比例函数my x=的图象上， ∴m ＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为2y x=-.∵点 B （1，n ）也在反比例函数2y x=-图象上，∴n ＝－2，即B （1，－2）把点A （－2，1）点B （1，－2）代入一次函数y ＝kx ＋b 中，得212k b k b -+=⎧⎨+=-⎩ 解得11k b =-⎧⎨=-⎩ ∴一次函数的表达式为y ＝－x －1． ⑵在y ＝－x －1中，当y ＝0时，得x ＝－1，∴直线y ＝－x －1与x 轴的交点为C （－1，0），∵线段OC 将△AOB 分成△AOC 和△BOC ，∴1113111212222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=+=.【变式题组】01．（徐州）如图，已知A (n ,－2),B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．⑴求反比例函数和一次函数的关系式； ⑵求△AOC 的面积； ⑶求不等式kx ＋b mx-＜0的解集（直接写出答案）02．已知反比例函数112k y x=的图象与一次函数22y k x b =+的图象交于A 、B 点，A (1，n )，B (12-，－2). ⑴求两函数的解析式；⑵在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，说明理由. ⑶求AOB △S ；⑷若y 1＞y 2，求x 的取值范围.03．如图，A 是反比例函数1ky x=（x ＞0）上一点，AB ⊥x 轴，C 是OB 的中点，一次函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点A 、C 两点，并交y 轴为D （0，－2），AOD S ∆＝4. ⑴求两函数的解析式；⑵在y 轴右侧，若y 1＞y 2时，求x 的取值范围.04．如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y ＝－x －(k ＋1)在第二象限的交点，AB ⊥x 轴于B ，32ABO S ∆=. ⑴求这两个函数的解析式； ⑵求A 、C 两点的坐标；⑶若P 是y 轴上一动点，5PAC S ∆=，求点P 的坐标.【例4】（咸宁）两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）【解法指导】∵A 、B 两点在1y x=的图象上，根 据反比例函数ky x=中k 的几何意义可知12ODB OAC S S ∆∆==，因而①正确；∵1ODB OAC PDOC PAOB S S S S k ∆∆=--=-矩形四边形，当k 不变时，若P 变动，而四边形PAOB 的面积不变．因1x =而是②正确；若设P （t ,k t ），则A （t ,1t），B （,t k k t ），∴PA ＝11k k t t t --=，PB ＝t t k -.若PA ＝PB ，则有1(1)k t k t k--=.∵k ≠1,∴2t k =,∵t ＞0,t =,∴当P时，有PA ＝PB ，并不是PA 与PB 始终相等，因而③不正确；当A 为PC 的中点时，OAC OPA OBD S S S ∆∆∆==，OPC ODP S S ∆∆=，∴ODB OPB S S ∆∆=，∴DB ＝PB ，因而④正确；故填①，②．④.【变式题组】01．（武汉）如图，已知双曲线ky x=（k ＞0）经过矩形OABC 的边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k ＝ . 02．如图，矩形ABCD 对角线BD 中点E 与A 都在反比例函数ky x=的图象上，且3ABCD S =矩形，则k ＝ .03．如图，P 为x 轴正半轴上一点，过点P 作x 轴的垂线，交函数1y x =（x ＞0）的图象于点A ，交函数4y x=（x ＞0）的图象于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交1y x=（x ＞0）于点C ，连接AC ，当点P 的坐标为（t ，0）时，△ABC 的面积是否随t 的变化而变化？ 04．函数2y x =（x ＞0）与8y x=（x ＞0）的图象如图所示，直线x ＝ t （t ＞0）分别与两个函数图象交于A 、C 两点，经过A 、C 分别作x 轴的平行线，交两个函数图象于B 、D两点，探索线段AB 与CD 的比值是否与t 有关，请说明理由.第1题图第3题图05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.演练巩固·反馈提高01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数22yx=的图象点A（2，1）、B （－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＞2或－1＜x＜0C．－1＜x＜2 D．x＞2或x＜－102．（常州）若反比例函数1kyx-=的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．－1 B．3 C．0 D．－303．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数kyx=的图象上，那么k的值是（）A．3 B．6 C．12 D．15 404．（丽水）点P在反比例函数1yx=（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右第4题图平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P /，则在第一象限内，经过点P /的反比例函数图象的解析式是（ ） A ． 5y x =-（x ＞0） B ． 5y x =（x ＞0） C ． 6y x =-（x ＞0） D ． 6y x=（x ＞0）05．（铁岭）如图所示，反比例函数y 1与正比例函数y 2的图象的一个交点坐标是A （2，1），若y 2＞y 1＞0，则x 的取值范围在数轴上表示为（ ）06．（泰安）函数1y x x=+图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ） A ．该函数的图象是中心对称图形 B ．当x ＞0时，该函数在x ＝1时取得上值2C ．在每个象限内，y 随x 的增大而减小D ． y 的值不可能为1 07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 向上平移一个单位长度得到直线l , 直线l与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （a ,2）则k 的值等于 . 08．（广安）如图，在反比例函数4y x=-（x ＞0）的图象上有三点P 1、P 2、P 3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x 轴、y 轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝ .09．（十堰）已知函数y ＝－x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与双曲线ky x=交于点A 、D ，若AB ＋CD ＝BC ，则k 的值为 . 10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数ky x=（x ＞0，常数k ＞0）的图象经过点A （1，2），B （m ,n ）,(m ＞1),过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ，若△ABC 的面积为2，则点B 的坐标为 .11．如图，点P 的坐标为（2，32），过点P 作x 轴的平行线交y 01 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 A B CD y x A (2,1) 0 1 2 1 Y 1 Y 2第5题图B l C1 O yx A 第3题图y x 0 1 －2 －1 第6题图2 y x0 1 2 3 第8题图P 1 P 2 P 3轴于点A，交双曲线kyx=（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于kyx=（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，⑴求k的值；⑵求△APM的面积.12．如图，反比例函数kyx=的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C 为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.13．如图，已知双曲线kyx=（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线kyx=（x＞0）的图象经过点A，若BECS∆＝8，求k的值.15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为42033y x=-+，AC＝3，若AB的D在双曲线ayx=（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B 落在双曲线上时，求三角形平移的距离.16．（荆州）如图，D 为反比例函数ky x=（k ＜0）图象上一点，过D 作DC ⊥y 轴于C ，DE ⊥x 轴于E ，一次函数y x m =-+与323y x =-+的图象都经过点C ，与x 轴分别交于A 、B 两点，若梯形DCAE 有面积为4，求k 的值.17．（四川广安）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于点A （－1，2）、点B （－4，n ）⑴求一次函数和反比例函数的解析式； ⑵求△AOB 的面积.培优升级·奥赛检测01．如图，直线l 与反比例函数m y x =与ny x=（m ＞n ＞0）的图象分别交于点A 、B ，且直线l ∥x 轴，连接PA 、PB ，小芳与小丽同学针对△PAB 面积的讨论，有以下两种意见：小芳：点P 在x 轴上移动时，△PAB 的面积总保持不变； 小丽：当直线l 上下平移时，△PAB 的面积总保持不变； 那么，你认为她们的说法中（ ）A ．只有小芳正确B ．只有小丽正确C ．两人都正确D ．两人都不正确02．（南昌市八年级竞赛题）在函数21a y x+=-（a 为常数）的图象上有三点：（－1，y 1）,(21,4y -),( 31,2y )则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y ＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线kyx=（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜404．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数3yx=的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数kyx=（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是.（用含m的代数式表示）06．如图，已知直线12y x=与双曲线kyx=（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线kyx=（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.07．（北京）如图，A、B两点在函数myx=（x＞0）的图象上，⑴求m的值及直线AB的解析式；⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数myx=在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，⑴求m、n的值；⑵求直线AB的函数解析式；⑶求证：△AEC≌△DFB．09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF 中和正方形OABC不重合的部分面积为S.⑴求点B的坐标和k的值；⑵当92S=时，求点P的坐标；⑶写出S关于m的函数关系式.。
反比例函数的图象与性质
反比例函数在数学学科中有着 重要的地位，是中考和高考的 重要内容之一。
02
反比例函数的图象特 征
反比例函数在坐标系中的位置
当k>0时，图象分别位于第一、三象限；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限。
反比例函数的增减性
当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
反比例函数的极值
当k>0时，函数无极值；
当k<0时，在x轴上存在两个极值点，当x取这两个极值点对 应的横坐标时，y的值为无穷大。
03
反比例函数的性质
反比例函数的奇偶性
01
02
03
奇函数
反比例函数是奇函数，因 为对于所有实数x，都有 f(-x)=-f(x)。
图像对称
由于反比例函数是奇函数 ，所以它的图像关于原点 对称。
05
反比例函数与其他知 识点的联系
与一次函数的联系
斜率
反比例函数的斜率是常数，而一 次函数的斜率是变量。
截距
反比例函数没有截距，而一次函 数有截距。
函数性质
反比例函数具有单调性，而一次 函数没有单调性。
与二次函数的联系
表达式
二次函数的表达式是二次多项式，而反比例函数 的表达式是分式。
极值
二次函数有极值，而反比例函数没有极值。
图形
二次函数图像是抛物线，而反比例函数的图像是 双曲线。
在数学竞赛中的应用
代数问题
反比例函数在数学竞赛的代数问题中经常出现，如解方程、求最 值等。
几何问题
反比例函数与几何图形的结合也是数学竞赛的热点之一，如与圆、 三角形等结合。
正比例_反比例函数性质
正比例函数：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。
正比例函数属于一次函数，是一次函数的特殊形式，即一次函数 y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k代表斜率）设该正比例函数的解析式为 y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。
另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。
反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k 为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数性质1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大.k>0时，函数为减函数；k<0时，函数为增函数。
定义域为x<0或x>0；值域为R。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S25. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点..抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
反比例函数图像与性质教案
反比例函数图像与性质教案教案标题：反比例函数图像与性质教案教案目标：1. 了解反比例函数的定义及其性质。
2. 掌握绘制反比例函数图像的方法。
3. 理解反比例函数图像与性质之间的关系。
4. 能够应用反比例函数解决实际问题。
教学步骤：引入活动：1. 利用实际生活中的例子介绍反比例函数的概念，如速度与时间、工人数量与完成任务所需时间等。
2. 引导学生思考反比例函数的特点，如一个变量的增大导致另一个变量的减小，两个变量的乘积始终保持不变等。
知识讲解：3. 介绍反比例函数的定义：当两个变量x和y满足xy=k（k为常数）时，称y为x的反比例函数。
4. 解释反比例函数的性质：a. 当x趋近于0时，y趋近于无穷大；当x趋近于无穷大时，y趋近于0。
b. 反比例函数的图像通常是一个双曲线，以原点为对称中心。
c. 反比例函数的图像在第一、第三象限上。
d. 反比例函数的图像是渐近线y=0和x=0。
图像绘制：5. 指导学生绘制反比例函数的图像：a. 给定一个常数k，列出一组x和y的值，计算xy=k。
b. 绘制坐标系，并标出坐标轴和原点。
c. 根据计算得到的x和y的值，绘制点，并将它们连成一条曲线。
图像性质探究：6. 引导学生观察反比例函数图像的性质：a. 观察当x趋近于0时，y的变化情况。
b. 观察当x趋近于无穷大时，y的变化情况。
c. 观察反比例函数图像与x轴和y轴的关系。
d. 讨论反比例函数图像的对称性和渐近线。
应用实例：7. 提供一些实际问题，要求学生应用反比例函数解决问题，如速度与时间、工人数量与完成任务所需时间等。
总结和拓展：8. 总结反比例函数的定义和性质。
9. 引导学生思考反比例函数的应用领域，如经济学、物理学等。
10. 鼓励学生进一步探究反比例函数与其他数学概念的关系，如直线函数、二次函数等。
教学评估：11. 给学生几道练习题，检验他们对反比例函数图像与性质的理解和应用能力。
12. 针对学生的答题情况进行评估和反馈，及时纠正错误并加强巩固。
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反比例函数定义
一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。
k大于0时，图像在一、三象限。
k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
反比例函数图像及性质
反比例函数图像：
1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或
第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每
一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。
反比例函数性质：
1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为
增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与
x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与
坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x
（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B
两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则
n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称。
10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为
|k|
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
13.[对称性]反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也
是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。
反比例函数知识点汇总
若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于0的实数。
同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.
1、反比例函数的表达式
X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方）
y=k\x(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n
2、函数式中自变量取值的范围
①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）
y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）
3、反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？
过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。