大一上学期高等数学复习大纲

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《高等数学A （一）普本》期末复习

函数与极限

1.会求函数定义域；会将复合函数进行拆分;了解基本初等函数的性质。

2.了解极限概念；会利用极限的四则运算法则和复合运算法则求极限：会讨论(1)a a ∞>型极限或arctan ∞型极限

3.掌握两个重要极限.

4.会比较无穷小;掌握常见的等价无穷小，并利用等价无穷小求极限; 会利用无穷小乘有界仍是无穷小来求极限

5.会求分段函数(或可转化为分段函数的函数，如含绝对值的函数)在分段点处的左右极限，会判断函数在分段点处极限是否存在.

6. 能根据极限确定极限表达式中的参数

7.了解连续定义，会判是否间断点及第一类断间断点的类型和是否无穷间断点. 会补充或改变可去间断点的函数值的定义，使()f x 在该点连续. 8.会求函数的水平渐近线和垂直渐近线及斜渐近线

9.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在性、介值定理（零点原理））； 会用零点原理证明方程根的存在性

导数与微分

1.理解导数定义；了解左右导数概念；在已知一点导数的情况下，会利用导数定义求特殊类型的极限.

2.了解导数的几何意义，会利用几何意义求曲线在一点的切线和法线方程.

3.了解可导与连续的关系.

4.掌握求导法则和常用的求导公式（基本初等函数的求导公式必须熟练），会求初等函数的导数.

5.了解微分定义，掌握可微与可导之间的关系，会求微分.

6.会求具体函数或简单的抽象函数的二阶导数

7.会求隐函数确定的函数的导数（含二阶导数），会用对数求导法将幂指函数或由多个函数乘积或商或开、平方运算得到函数的导数。 8. 会求参数方程确定函数的导数（含二阶导数）

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微分中值定理与导数的应用

1.理解解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；柯西中值定理了解即可; 了解泰勒公式，了解拉格朗日型余项;

2.会针对满足条件的简单的函数验证罗尔定理成立;

3.会利用罗尔定理和拉格朗日中值定理进行简单的证明（存在ξ使某个等式成立）;

4.利用拉格朗日中值定理证明不等式

5.掌握常用函数（,sin ,cos ,ln(1)x e x x x +等）的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式。

6.洛必达法则（重点）：掌握洛必达法则的使用条件，会用洛必达法则求00，∞

∞

型未定式的极限，能将一些简单的0

;0;0;1∞

∞-∞⋅∞型未定式的极限转化为

00，∞

∞

型未定式的极限。 7.会求函数单调区间和极值，会求曲线的凹凸区间与拐点,会求闭区间上连续函数的最值 8.会利用单调性证明不等式（包括分单调区间讨论或利用二阶导数）

积分及其应用

1.掌握原函数的概念、掌握求导与积分的关系及积分的运算性质；掌握求导和积分并不是严格意义下的互逆运算。

2.掌握连续函数的积分上限函数是被积函数的原函数；会求变限积分的求导；会求含变限积分的极限.

3.了解定积分的定义，性质，几何意义；了解定积分与不定积分的区别与联系。

4.会求一些常见函数的不定积分与定积分；会利用对称区间上奇函数或偶函数的积分来简化定积分计算 例题：(凑微分)

(1

)⎰ (2) 232

(4)x dx x +⎰ (3) 22423x dx x x ++-⎰ （4）()2015

52x dx -⎰ (5) sin x x

e e dx ⎰

(6)

219dx x +⎰ （7）2

9x dx x +⎰ (8)23

sin cos x xdx ⎰ (9)52

tan sec x xdx ⎰

（10

）

(11)1

1x x

e dx e -+⎰ (12) 1ln x dx x +⎰ 例题：(第二类换元法和分部积分法)

（1）sin 2x xdx ⎰ （2）cos3x xdx ⎰

（3）

()21x

x e dx -+⎰

3

（4）arcsin 2x xdx ⎰ （5）arccos 2xdx ⎰ （6）arctan xdx ⎰ （7）ln 3

x x dx ⎰

（8

）e

-⎰

（9

）sin ⎰ （10

）; (11)

⎰

例题：(定积分).

(1

)

(2)3

20

sin cos x xdx π

⎰

(3

)10

⎰

(4) 11ln e

x

dx x

+⎰

(5)

4

⎰

（6

）2

⎰

(7) 0

⎰

（8）32

sin x dx π

π-⎰

(9)

π

π

-

⎰ （10

）2

2-⎰ (11) 321

21sin 21

x x dx x -++⎰ 定积分的应用

1.会求简单的平面图形的面积；

2.会求平面图形绕x 轴和y 轴旋转的旋转体的体积；

3.会求一些比较简单的平面曲线弧的弧长

常微分方程

1.了解微分方程的有关概念（阶数，通解与特解、初始条件与初值问题）

2.会解一阶微分方程（可分离变量的微分方程：一阶齐次方程；一阶线性微分方程方程（不含贝努力方程） 4.会解)()

(x f y

n = 型的微分方程；会解不显含y 的()y x f y '='',型的微分方程；了解不

显含自变量x 的()y y f y '='',型的微分方程的解法

5.会求二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的通解与特解；

6.能根据二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''中()f x 的类型（两种类型）确定特解y *

的形式；

能根据给定的二阶常系数非齐次线性微分方程的通解形式确定方程)(x f qy y p y =+'+''；会求()f x 比较简单的时候)(x f qy y p y =+'+''的通解