信号与系统习题答案

x(1-t)
x(t ) x(1 t )
1 x(2t+2) 2
2
x(t ) x(2t 2)
1 -3 -2 -1 0 1 t -3/2 -1 -1/2
0 1/2
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第 3 页
x(t)
2 1 -1 0 1 2
x(t+1)
（1-2）P35
第 1 页
练习：已知x(t)的波形如下图所示，画出x(t-2) , x(1-t),x(2t+2),x(1-t/2)的波形
x(t)
2 1 -1 0 1 2
t
3
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第
解：
-1
x(t)
2 1 0 1 2 3 t
2 页
x(t+1) 2 2 t 0 -3 -2 -1 1 -3 -2 -1 0 1 x(t+2) 2 2
-1
2 1 1 2
x1 ( t )
t -1
2
t
0 1 2
x3 (t ) x1 (t 1) x1 (t )
y3 (t ) y1 (t 1) y1 (t )
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第
1.27 已知LTI系统的输入x(t)=u(t),初始状态
全解为 y(t ) (1 / 2e t e2t 1 / 2e3t )u(t )
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第 13
2.15
图中h1 (t ) u(t ), h2 (t ) (t 1), h3 (t ) (t ),求系统总冲激响应。
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第 14 页
3.6
已知系统的差分方程为 y[n] (5 / 6) y[n 1] (1 / 6) y[n 2] x[n] 输入x[n] (1 / 5) n u[n], 初始条件 y0 [1] 6, y0 [2] 25 求(a )零输入响应; (b)零状态响应; (c )全响应。
第 17 页
4.8 求图所示函数的傅立叶变换
x(t) A t 1
(b) 解：
0 -2 A 2 ( t 2) 2 t 0 x( t ) A( t 1) 0 t 1 0 其它 t 0 A 1 jt X ( ) ( t 2)e dt A( t 1)e jt dt 2 2 0 0 A 1 1 jt jt te dt Ate dt Ae jt dt 2 2 0 2 A 3 j 1 j2 2 [ e e ] 2 2
2 1 1 1 2 3 t 0 1 2 t
y(t )
0
2 1
x(t )
t -1 1 2
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1.24
1
y1 ( t ) x1 ( t )
1 t 0 1 2
第 8 页
t 0 1 2
x3 ( t )
y3 ( t )
x1 ( t 1)
9 页
x1 (0) 1, x 2 (0) 2时响应y(t ) (6 e2t 5 e3t )u(t ).
如果输入改为x(t)=3u(t)而初始状态不变，则输出 y(t ) (8 e2t 7 e3t )u(t ). 求(a)当初始状态 x1 1, x2 2时的零输入响应。 (b)当x(t)=2u(t)时的零状态响应。 解： (b) x(t)=2u(t) 时的零状态响应
1
2
t
3
-2
-1 0
1
2
t
x(-t+1)
2 1 -2 -1 0 1 2
x(-t/2+1)
2 1
t
t
-4 -2 0 2 4
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（1-21） 1.21 判断下列信号是否周期信号?如果是周期的,试求出它 的基波周期。
第 4 页
(b)e j( πt 1) 2π 2π 解：是连续的周期信号T0 , 2 0 π ( g )2 cos(πn / 4) sin( n / 8) 2 cos(πn / 2) π
c1 c3 1 c1 c2 c3 1 c 2c c 2 2 3 1
c1 3 / 4 c 2 3 / 2 c 1 / 4 3
yh (t ) (3 / 4e t 3 / 2te t 1 / 4et )u(t )
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第 16 页
1 ( 5 / 2) n 1 1 ( 5 / 3) n 1 3 (1 / 5) n 2(1 / 5)n u[n] 1 5/ 2 1 5/ 3 {2 (1 / 5) n [(5 / 2)n1 1] 3(1 / 5) n [(5 / 3)n1 1]}u[n] [5(1 / 2)n 5(1 / 3)n (1 / 5)n ]u[n]
页
h1(t)
x(t )
h1(t)
h2(t)
h3(t)
y(t )
解：h( t ) h1 ( t ) h1 ( t ) * h2 ( t ) * h3 ( t ) u( t ) u( t ) * ( t 1) * [ ( t )] u( t ) u( t ) * ( t 1) u( t ) u( t 1)
(c ) 全响应： y[n] y0 [n] y x [n] 3 / 2(1 / 2) n 2 / 3(1 / 3) n (1 / 5) n
y0[n] 13/ 3(1 / 3)n 7 / 2(1 / 2)n
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3 2 ( 1) ( 2)
解： （3 2 1 0 ）
2 （ 1 （ 1 0 1, 2 1，3 1 ） ） yh ( t ) c1e t c2 te t c3e t
( yh1) ( t ) c1e t c2e t c2 te t c3e t ( yh2 ) ( t ) c1e t c2e t c2e t c2 te t c3e t
页
y x [n] x[n] h[n] 3(1 / 2)n u[n] (1 / 5)n u[n] 2(1 / 3) n u[n] (1 / 5)n u[n]
n n k n k k n k 3 (1 / 2) (1 / 5) 2 (1 / 3) (1 / 5) u[n] k 0 k 0 n n n k n k 3(1 / 5) (5 / 2) 2(1 / 5) (5 / 3) u[n] k 0 k 0
y x (t ) y(t ) y(t ) (2 e2t 2 e3t )u(t )
(a)零输入响应
y 0 ( t ) y( t )
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1 y x ( t ) (5 e 2 t 4 e 3 t )u( t ) 2
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( h) 1 e j4πn / 7 e j2πn / 5 4π / 7 2 解：e N 7, e j2πn / 5 2π 7 是离散周期信号, N 0 5 7 35
j4πn / 7
2π
2π / 5 1 N 5 2π 5
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解：各离散项的周期分别为 Ω1 π / 4 1 N1 8 2π 2π 8 Ω3 π / 2 1 N3 4 2π 2π 4
基波周期T0 2
Ω2 π / 8 1 N 2 16 2π 2π 16
Ω0 m 为有理数 2π N
离散信号周期为 16 N
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1.21 判断下列信号是否周期信号?如果是周期的,试求出它 的基波周期。
第 5 页
( f )2 cos( t 1) sin( t 1) 10 4 2π π 2π 2π π 解：是连续的周期信号T1 , , T2 1 10 5 2 4 2 基波周期T0 π
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第 15
(b) 零状态响应 先求h[n] : h[n] 5 / 6h[n 1] 1 / 6h[n 2] [n] n 0时h[n]齐次解：h0 [n] c1 (1 / 3)n c2 (1 / 2) n 由初始值h[0] 1, h[1] 0得：c1 2, c2 3 h[n] [3(1 / 2)n 2(1 / 3)n ]u[n]
x1 ( t )
2 1 0 1 2 3 1
y2 (t ) y1 (t ) y1 (t 2)
y1 ( t )
t
t 1 2
0
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第 7
（1-24）P37
页
练习： LTI系统输入输出如右图求输入为下图时的输出
并画出波形。
x(t )
由初始条件: 解得:
c1 c2 1 c1 2, c2 1
c1 2c2 0
y(t ) (2e t e2t )u(t )
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第
2.1
求零输入响应
11 页
(d ) (D D D 1) y(t ) 0 , y(0) 1, y (0) 1, y (0) 2
第 10
（2-1b）P69
页
(b) (D2 3D 2) y(t ) 0; 2.1 求零输入响应
y(0) 1, y (0) 0
(1)
解：特征方程 2 3 2 0 1 1， 2 2
齐次解
yh (t ) c1e t c2e2t
( yh1) (t ) c1e t 2c2e2t
1.24
已知一个LTI系统对信号 x1 ( t )的响应 y1 ( t )如图所示 求：该系统对输入 x 2 ( t ), x 3 ( t )的响应，并求波形
第 6 页
x 2 (t )
y2 (t )
3 4 2 t
1 0 1 2
t
4 1 2
x2 (t ) x1 (t ) x1 (t 2)
解： (a )零输入响应
2 5 / 6 1 / 6 0， 1 1 / 3， 2 1 / 2
y0 [n] c1 (1 / 3) n c2 (1 / 2) n 由初始条件得 c1 13 / 3, c2 7 / 2 y0 [n] 13 / 3(1 / 3) n 7 / 2(1 / 2) n
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（2-3b）P70
第 12 页
2.3 (b) (D2 4D 3) y(t ) e2t u(t ) y(0) y1 (0) 0 解： ① 由特征方程 2 4 3 0
解得特征根为两单根 齐次解为
1 1，2 3
yh (t ) c1e t c2e3t
② 特解为
y p (t ) Ae2t
A 1
4 Ae2t 8 Ae2t 3 Ae2t e2t
全解为 y(t ) yh (t ) y p (t ) c1e t c2e3t e2t ③ 由初始条件 y(0) c1 c2 1 0, y(1) (0) c1 3c2 2 0 解得 c1 1 / 2, c2 1 / 2