排队论基础及模型共87页
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排队论基础
Network Laboratory
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
t时刻， k状态 则：Δ t—Δ t内到达1人概率
Δ t—Δ t内离去1人概率
t+Δt时刻处于k状态（概率 pk(tt)），由下述情 况形成：
t为k-1态，Δt内到达1人，无人离去，概率: p k 1 ( t) t( 1 t) p k 1 ( t) t
Network Laboratory
复杂性：在于随机性——到达与离去（服务 率）均不确定——工作于随机状态 资源少——顾客排队长——服务质量下降 资源多——服务闲置——资源浪费
Network Laboratory
目标：为顾客提供满意服务同时提高资 源利用率。（与统计参数和工作方 式有关）
在通信网的业务分析和性能计算中，排队论 是不可缺少的
k
pk k p0
Network Laboratory
求p0: 用归一化条件
1 pk
k0
(12 )p01 1p0
p01
p0——系统无人概率（空闲率） 1-p0=—系统有人概率（忙概率） 忙 太大不稳
得通解： pkkp0k(1)
无后效性
顾客到达时刻相互独立
不相交区间内到达顾客数相互独立
系统顾客数具有马氏性
稀疏性：
Δ t内到达2个或2个以上顾客概率为0
有限区间内的k为有限，或
p(k)0
Network Laboratory
(1)T内有k个顾客到达的概率
在以上假设下： T内到达顾客数为k
Δ=T/N
............ .....
Network Laboratory
1-Δ t-Δ t
Δ t
第六章排队论-PPT精选
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq； ③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W；
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第二节 M／N／1模型
模型的条件是： 1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到
达完全是随机的，单个到来，到达过程 服从普阿松分布，且是平稳的； 2、排队规则――单队，且队长没有限制， 先到先服务； 3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
第六章 排 队 论
随机服务系统理论
第六章 排 队 论
排队系统描述 基本概念 M / M / 1 模型 M / M / S 模型
第一节 排队系统描述
顾客－－－要求服务的对象统称为“顾 客”
服务台－－－把提供服务的人或机构称 为“服务台”或“服务员”
各种形式的排队系统
各种形式的排队系统
(2)其他常用数量指标
Pn PNn:稳态系统任一 为n时 的刻 概状
特别n＝ 当0时（系统中0顾 ）客 ，数为 P0即稳态系统所 全有 部服 空务 闲台 的概
(2)其他常用数量指标
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平 均服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量 排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时， 表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地 说是很大的。这时，等待时间一定很短，服务 台有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1， 那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
2020/11/30
7
排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
2020/11/30
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
2020/11/30
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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21
➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
2020/11/30
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
2
无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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20
❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
排队论(讲义)ppt课件
概率关系着对时间的数量分配。一个事件A的概率 P(A)是对应事件A要发生可能性 的数量分配。概率有很多不同的定义，常用的有三种：
(1)古个典数定。义：P(A)=NA/N 其中N是可能结果的总个数，NA是事件A在其中发生的结果的
例1. 求抛两个骰子并且决定和为7的概率p。
总共有36种可能的结果，所以N= 36
排队论 Queueing Theory
主讲：周在莹
；.
1
CONTENUNIT 1 排队模型
UNIT 2 排队网络模型
UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统
结束语
；.
PREPARATION 概率论和随机过程
Part 1．概率论基础
1。 概率的定义
独立性： 如果P(AB)=P(A)P(B)，事件A和B叫做相互独立的事件 独立性的概念可以推广到三个或多个事件。
；.
3 全概率公式和贝叶斯定理 全概率公式：给定一组互斥事件E1，E2，，…，En，这些事件的并集包括所有可能的
结果，同时给任一个任意事件A，那么全概率公式可以表示为： n
P(A)=∑P(A|Ei)P(Ei) i=1
在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描 绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中，指数分布是很重要的。
；.
6 k-爱尔朗分布 概率密度: f(x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0，λ>0.
0 x<0 数字特征： E[X]=1/λ; Var[X]=1/（kλ2 ）
；.
5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0
第六章 排队论模型
4
排队模型及类型
根据顾客到达和服务台数，排队过程可用下列模型表示：
模型1 单服务台排队模型
模型2
单队列多服务台并联的排队模型
5
模型3
多队列多服务台的并联排队模型
模型4
单队多个服务台的串联排队模型
6
模型5
多队列多服务台混联网络模型
纵观上述排队模型，实际上都可由下面模型加以统一描述：
称该统一模型为随机聚散服务系统。由于顾客到来的时刻和服务台提 供服务的时间长短都是随机的，因此任一排队系统都是一个随机聚散 7 服务系统。 “聚”表示顾客的到达,“散”表示顾客的离去。
1修理店空闲的概率2店内恰有3个顾客的概率3店内至少有1个顾客的概率4在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间6等待服务的平均顾客数7每位顾客平均等待服务时间8顾客在店内等待时间超过10min的概率581001594在店内的平均顾客数5每位顾客在店内的平均逗留时间067607每位顾客平均等待服务的时间02678顾客在店内逗留时间超过10min的概率由于逗留时间服从参数的负指数分布即分布函数为1003679注
20
例如：某排队问题为M／M／S／∞／∞／FCFS， 则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(泊松流)； 服务时间为负指数分布；有s(s＞1)个服务台；系统 等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先 到先服务规则。 某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的 前3个、4个、5个符号。如不特别说明则均理解为系 统等待空间容量无限；顾客源无限，先到先服务， 单个服务的等待制系统。
11
(2) 等待制。指当顾客来到系统时，所有服务台 都不空，顾客加入排队行列等待服务。 例如，排队等待售票，故障设备等待维修等。 等待制中，服务台在选择顾客进行服务时，常有 如下四种规则：
Queue Theory
排队论课件
21
M/M/1/N/ 举例
M/M/s with Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 NUMBER IN SYSTEM 28 30 32 34 36 38 40
♂
Probability
排队论课件
24
其他模型
M/M/c/K/K
1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
排队论课件23M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
排队论(讲稿)PPT课件
概况2
+ 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后。
概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
19
清华大学出版社
第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
清华大学出版社
1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
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概况3
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
(1) 队长：系统中的顾客数，期望值记作Ls； 排队长：系统中排队等待服务的顾客数，期望值记作Lq；
系统 中 在队列中正 等在 待服务 顾客 数 服务的顾 的 客顾 数客数
(2) 逗留时间：顾客在系统中的停留时间，期望值记作Ws； 等待时间：顾客在系统中排队等待的时间，期望值记作Wq， ［逗留时间］＝［等待时间］＋［服务时间］
在实际应用中，大多数系统会很快趋于稳态，而无需等到t→∞以 后。
❖ 求稳态概率Pn时，不需要求t→∞时Pn(t)的极限， 而只需令导数dPn(t)/dt=0即可。
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第12章 排队论
第1节 基本概念 第2节 到达间隔的分布和服务时间的分布 第3节 单服务台负指数分布排队系统的分析 第4节 多服务台负指数分布排队系统的分析 第5节 一般服务时间M/G/1模型 第6节 经济分析——系统的最优化 第7节 分析排队系统的随机模拟法
服务机构
修理技工 发放修配零件的管理员 医生(或包括手术台) 交换台 打字员 仓库管理员 跑道 货码头(泊位) 水闸管理员 我方高射炮
6
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1.2 排队系统的组成和特征
❖ 排队系统由三个基本部分组成：
①输入过程 ②排队规则 ③服务机构
排队理论模型课件
表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务 n
时间所构成的序列
{ }n 服从相互独立的且与某一随机
变量
有相同分布，其中
的概率分布是已知的可以
根据原始资料判断得到的，主要有的分布为负指数分布(定长分布，一般独立分布等) (3)排队与服务规则 顾客排队和等待的规则，排队规则一般有等待制，消失制和混合制。所谓等待制(系统容量
3.排队系统的主要指标 研究排队问题的目的，是研究排队系统的运行效率估计服务质量，确定系统参数最优值，以决定系统的结构是否合理，设 计改进措施等，所以必须确定用来判断系统运行优劣的基本数量指标，这些数量指标通常是 (1)队长:是指系统中顾客(包括排队等待和正在接受服务的)的数目，它的期望值为
排队等待的顾客数，其期望记为 (队长)=等待服务的顾客数+正被服务的顾客数，所以
煤矿
火车
煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有 (6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互关系。 2.根据现有的数据，运用适当的统计检验，假设检验有关分布。
3.应用已得到的概率分布，确定描述整个系统的运行特征。 4.根据系统的特征，通过应用适当的决策模型，改进系统的功能。 （四）、生灭过程的差分微分方程组 当顾客到达时间间隔为负指数分布(即输入过程具有Poisson特征，N(t)服从Poisson分布)，服务时间为负指数分布， 则系统的排队过程是Markov(马尔科夫)过程，而且它具有一类特殊Markov过程的特征，通常称这类随机过程的生灭过程。
t n(t)
n
' n(t)
第10章 排队论 《运筹学》PPT课件全
WL
Wq
Lq
W
1
M/M/s 混 合 制 排 队 模 型
一、 单服务台混合制模型
M/M/1/K： 顾客的相继到达时间服从参数 为λ的负指数分布(即顾客的到达过程为 Poisson流)，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为μ的负指数分布，系统的空间 为K。
单
平稳状态下队长N的分布pn=P{N=n},n=0,1,2,…。
服
由于所考虑的排队系统中最多只能容纳K个顾 客(等待位置只有K-1个)，因而有
务 台
n
0
n
n=0,1,2,...,K-1 n≥K n=1,2,...K
混 合
有
Cn
(
)n
n
n=0,1,2,...,K
0
n>K
制
故 pn n p0 n=1,2,…,K
模 型
1
其中，p0
1
1
K
n
1
K
1
1
n1
统
其分布函数为B(t)，密度函数为b(t)，则
的
常见的分布有： (1) 定长分布(D)
描
(2) 负指数分布(M)
述
(3) k阶爱尔朗分布(Ek)：
排
排队系统的符号表示
队
“Kendall记号”，其一般形式为：X/Y/Z/A/B/C，其中 XX：顾客到达时间间隔的分布
系
YY：服务时间的分布
统
Z Z：服务台个数
的
A ：系统容量 B B：顾客源数量
符
C C：服务规则
号
例 （M / M / 1 /
FCFS）表示：
表
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分 布，1个服务台，顾客源无限，系统容量也无限，
第13章排队论(脱产)PPT课件
在一定的时间间隔内到达K个顾客 (K=1、2、 )的概率是多大。顾客
流的概率分布一般有定长分布、二项 分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
1.基 本 概 念
2.服务规则。一般可以分为损失制、 等待制和混合制等3大类。
(1)损失制。指如果顾客到达排队系 统时，所有服务台都已被先来的顾客 占用，那么他们就自动离开系统永不 再来。例如,电话拔号后出现忙音，顾 客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即 为损失制。
2、顾客在系统中平均等待时间和逗留时间 3、系统中平均总顾客数和排队的顾客数。
前言
排队论(Queuing Theory)， 又 称 随 机 服 务 系 统 理 论 (Random Service System Theory),是一门 研究拥挤现象(排队、等待)的科 学。具体地说，它是在研究各种 排队系统概率规律性的基础上， 解决相应排队系统的最优设计和 最优控制问题。
数(又称为队长)小于K，则可进入系统排
队或接受服务；否则，便离开系统，并不 再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的 床位是有限的。
15
1.基 本 概 念
② 等待时间有限。即顾客在系统中
的等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动离去，
并不再回来。如易损坏的电子元器件的 库存问题，超过一定存储时间的元器件 被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐， 等了一定时间后不愿再等而自动离去另 找饭店用餐。
1.基 本 概 念
（二）排队系统的基本组成部分
通常，排队系统都有输入过程、服务 规则和服务台等3个组成部分：
1．输入过程．一般可以从3个方面来 描述—个输入过程。
(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。 这是指顾客的来源。顾客源可以是有限 的，也可以是无限的。例如，到售票处 购票的顾客总数可以认为是无限的，而 某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
流的概率分布一般有定长分布、二项 分布、泊松流(最简单流)、爱尔朗分 布等若干种。
1.基 本 概 念
2.服务规则。一般可以分为损失制、 等待制和混合制等3大类。
(1)损失制。指如果顾客到达排队系 统时，所有服务台都已被先来的顾客 占用，那么他们就自动离开系统永不 再来。例如,电话拔号后出现忙音，顾 客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即 为损失制。
2、顾客在系统中平均等待时间和逗留时间 3、系统中平均总顾客数和排队的顾客数。
前言
排队论(Queuing Theory)， 又 称 随 机 服 务 系 统 理 论 (Random Service System Theory),是一门 研究拥挤现象(排队、等待)的科 学。具体地说，它是在研究各种 排队系统概率规律性的基础上， 解决相应排队系统的最优设计和 最优控制问题。
数(又称为队长)小于K，则可进入系统排
队或接受服务；否则，便离开系统，并不 再回来。如水库的库容是有限的，旅馆的 床位是有限的。
15
1.基 本 概 念
② 等待时间有限。即顾客在系统中
的等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动离去，
并不再回来。如易损坏的电子元器件的 库存问题，超过一定存储时间的元器件 被自动认为失效。又如顾客到饭馆就餐， 等了一定时间后不愿再等而自动离去另 找饭店用餐。
1.基 本 概 念
（二）排队系统的基本组成部分
通常，排队系统都有输入过程、服务 规则和服务台等3个组成部分：
1．输入过程．一般可以从3个方面来 描述—个输入过程。
(1)顾客总体数，又称顾客源、输入源。 这是指顾客的来源。顾客源可以是有限 的，也可以是无限的。例如，到售票处 购票的顾客总数可以认为是无限的，而 某个工厂因故障待修的机床则是有限的。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
2奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
排队论基础及模型
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
•
47、采菊东篱下，悠然见南山。
•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
▪
谢谢！
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