解析几何：抛物线

第49讲
抛物线
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易错问题
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5．抛物线问题的易错点：忽视 p的符号；忽视抛物线的类 型；不注意抛物线的方程的标准形式． (1) 抛 物 线 x2 ＋ 2py ＝ 0 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 4 ， 则 p ＝ ________． (2)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标 准方程为________．
[答案] y2＝8x
[解析] 由抛物线的准线方程为 x＝－2 知 p＝4，且开口向 右，故抛物线方程为 y2＝8x.
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3．[教材改编] 图 7491 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，水位下降 1 m 后，则水面的 宽为________m.
图 7491
图形
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标准方程 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其 中 P(x0，y0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p>0) (p>0) O(0，0) y ＝0 x＝0 p p p p (0 ， － ) ( － ， 0) (0 ， ) (2，0) F________ F______ F______ F________ 2 2 2 e＝________ 1 p p p p x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2 2 2 ________ ________ _______ ________ 2 x≥0， y∈R x≤0，y∈R y≥0， x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ p p p p －x0＋2 －y0＋ x0 ＋ y0 ＋ 2 2 2 ________ ________ ________ ________
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抛物线
• ► 探究点一 抛物线的定义 • 考向1 动弦中点到坐标轴距离最短 例 1 已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 问题
的中点到 x 轴的最短距离为( 3 3 A.4 B.2 C．1 D．2 )
[ 思路点拨 ] 利用梯形的中位线的性质，将所求距离 转化为A，B到准线的距离，运用抛物线的定义，再一 次转化为A，B到焦点的距离．
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4．[教材改编] 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3 ，则 |AB| 等于 _______________．
[答案] 8
[解析] 抛物线的准线方程为 x＝－1， 则 AB 中点到准线的距 离为 3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
[答案] (1)± 4 (2)y2＝16x 或 x2＝－8y
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[解析] (1)将方程 x2＋2py＝0 化为 x2＝－2py，则有|p|＝4，所 以 p＝± 4. (2)令 x＝0 得 y＝－2；令 y＝0 得 x＝4.所以抛物线的焦点是 F(4，0)或 F(0，－2)，故所求的抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
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1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动 相等 ；(3)定点 点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离________ 不在 定直线上． ________ 2.抛物线的标准方程和几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准 (p＞0) (p＞0) (p>0) (p>0) 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
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通性通法
6．应用抛物线定义解题：抛物线上的点到焦点的距离常 用定义转化为点到准线的距离． 1 2 若抛物线 x ＝ay 过点 A(1，4)，则点 A 到此抛物线的焦点 的距离为________． 5 [答案] 4
[解析] 由题意可知，点 A 在抛物线 x2＝ay 上，所以 1 1 ＝4a，解得 a＝4，得 x2＝4y.由抛物线的定义可知，点 A 到 焦点的距离等于点 A 到准线的距离， 所以点 A 到抛物线的焦 1 5 点的距离为 yA＋1＝4＋1＝4.
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8．直线与抛物线的位置关系：代数法． 直线 x－y＋3＝0 与抛物线 x2＝2py(p>0)相交于 A， B 两点， 若|AB|＝8 2，则 p＝________．
[答案] 2
[解析] 将直线方程与抛物线方程联立，消去 y，得 x2－2px－ 6p＝0.设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2p，x1x2＝－ 6p，所以|AB| ＝ 1＋12· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2× 4p2＋24p ＝8 2，即 p2＋6p－16＝0，解得 p＝2 或 p＝－8(舍去)．
[答案] 2 6
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[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2， －2)，代入方程得 p＝1，则抛物线的方程为 x2＝－2y.当水面 下降 1 m 时，y＝－3，代入抛物线方程得 x＝± 6，所以此时 水面的宽为 2 6 m.
y2＝2px (p＞0)
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链接教材
3 2 1．[教材改编] 已知抛物线 y＝4x ，则它的焦点坐标 是________．
1 [答案] (0， ) 3
3 2 4 2 1 2 [解析] 由 y＝4x ， 得 x ＝3y， ∴p＝3， ∴焦点坐标为(0， 3).
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2．[教材改编] 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ＝－2，则抛物线的方程是________．
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7．焦半径公式 过抛物线 y2＝x 的焦点且倾斜角为 45°的直线与抛物 线交于点 A，B，则|AB|＝________．
[答案] 2
1 1 [解析] p＝2，抛物线的焦点为4，0，直线的斜率为 1，所 1 12 以直线方程为 y＝x－4，代入抛物线方程，得 x－4 ＝x，即 3 1 3 2 x － x＋ ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ .所以|AB| 2 16 2 3 1 ＝x1＋x2＋p＝2＋2＝2.