解析几何：抛物线
抛物线知识点
抛物线知识点抛物线是数学中的一种曲线形式，由于其独特的形状和性质，被广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍抛物线的定义、性质和应用，并对其相关概念进行阐述。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一种曲线，可以由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
抛物线的图像呈现出对称、开口向上或向下的特征。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其顶点对称，即任意一点P在抛物线上，其关于顶点的对称点P'也在抛物线上。
2. 最值点：抛物线的最值点为其顶点，当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
3. 切线性质：抛物线上任意一点处的切线与该点处的斜率有关，斜率等于该点的横坐标对应的导数。
4. 焦点与准线：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的点，而准线是与抛物线上任意一点的距离相等的直线。
5. 弧长：抛物线的弧长可以通过定积分来计算。
三、抛物线的应用1. 物理学：抛物线的运动规律被广泛应用于物理学中的抛体运动和弹道问题，例如抛物线运动的轨迹、抛射物的飞行轨迹等。
2. 工程学：抛物线的形状在工程学中经常被用于设计桥梁、天桥、水利工程等，以保证结构的稳定性和均衡性。
3. 计算机图形学：抛物线的数学模型被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制、三维建模等领域，用于实现平滑曲线的绘制和物体的形状设计。
4. 照明学：抛物面反射器是一种常见的照明设备，其形状为抛物线，可以将光线聚焦到特定的区域，提高照明效果。
5. 天文学：抛物线的轨迹在天文学中被用于描述彗星或行星等天体的运动轨迹。
抛物线作为一种特殊的数学曲线，具有对称性、最值点、切线性质等特点，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
深入理解和掌握抛物线的定义、性质和应用，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题，并推动科学技术的发展。
平面解析几何中的抛物线
平面解析几何中的抛物线展开和解析平面几何中的抛物线一、概念介绍抛物线是平面解析几何中的一种重要图形，它由一个固定点（焦点）和到该焦点到另一个固定直线（准线）的距离相等的所有点的轨迹构成。
抛物线具有对称性、焦准关系和很多重要的性质，对于解决实际问题具有重要意义。
二、基本方程和性质1. 抛物线的基本方程：对于平面直角坐标系下的抛物线，其一般方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。
这个方程中的参数a决定了抛物线的开口方向，参数b决定了抛物线在x轴上的位置，参数c决定了抛物线与y轴的位置。
2. 焦准关系：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
该性质是抛物线定义的基础，通过焦准关系可以确定抛物线的形状和位置。
3. 对称性：抛物线具有关于准线和焦点的对称性。
即抛物线上任意一点关于准线和焦点对称的点也在抛物线上。
4. 焦点和准线的坐标：对于抛物线方程y=ax^2+bx+c，焦点的坐标为(-b/2a, 1/4a)。
准线的方程为y=-(b^2-4ac)/(4a)。
三、抛物线的标准形式在平面解析几何中，为了便于研究和运算，一般将抛物线的方程转化为标准形式。
标准形式的抛物线方程为y^2=4ax，其中a为常数，表示了焦点到准线的距离。
四、抛物线的性质和应用1. 焦距：抛物线的焦距是焦点到准线的距离，用2a表示。
焦距决定了抛物线的形状，焦距越大，抛物线越扁平。
2. 切线和法线：抛物线上任意一点的切线斜率等于该点处抛物线的导数，法线斜率等于切线斜率的负倒数。
3. 几何性质：抛物线与x轴和y轴的交点分别是(0,0)和(-c,0)。
抛物线开口向上（a>0）时，顶点为抛物线的最低点；抛物线开口向下（a<0）时，顶点为抛物线的最高点。
5. 应用：抛物线的数学模型在科学、工程和日常生活中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，抛体的运动轨迹可以通过抛物线来描述；在光学中，抛物面用于设计反射望远镜、摄影镜头等；在土木工程中，抛物线拱桥是一种常见的桥梁。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中重要的曲线之一，它具有独特的性质和应用，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
下面是关于抛物线知识点的总结。
1. 抛物线的定义：平面上到一个定点F的距离与到一条固定直线L的距离相等的点的集合，称为抛物线，定点F称为焦点，直线L称为准线。
2. 抛物线的标准方程：抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
该方程的图像是一个开口向上或向下的曲线。
3. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线的最高点或最低点，它的横坐标是-x =b/2a，纵坐标是y = c - b^2/4a。
4. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是通过顶点并且垂直于x轴的直线，它的方程是x = -b/2a。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于对称轴上，离顶点的距离是p，焦点的横坐标是-x = b/2a，纵坐标是y = c - p，其中p为焦距。
抛物线的准线也位于对称轴上，离顶点的距离也是p，准线的方程是y = c - p。
6. 抛物线的开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
7. 抛物线的平移：抛物线y = ax^2 + bx + c关于x轴平移h个单位，得到y = a(x -h)^2 + b(x - h) + c；抛物线y = ax^2 + bx + c关于y轴平移k个单位，得到y = a(x + k)^2 + b(x + k) + c。
8. 抛物线的对称性：抛物线关于对称轴对称。
9. 抛物线的焦点和准线的性质：焦点到顶点的距离等于焦距的两倍，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
10. 抛物线的切线：抛物线上任意一点的切线斜率等于该点的导数。
11. 抛物线和直线的交点：抛物线和直线的交点是求解方程组y = ax^2 + bx + c和y = mx + n的解。
若有两个交点，直线与抛物线相交；若有一个交点，直线与抛物线相切；若没有交点，直线与抛物线相离。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.7抛物线
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【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的
特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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变式2（1） 设为坐标原点，直线 = 2与抛物线: 2 = 2 > 0 交于，两点.
若 ⊥ ，则的焦点坐标为(
A. 1,0
焦点
准线
叫做抛物线.点叫做抛物线的______，直线叫做抛物线的______.
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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
简单几何性质
标准方程
2 = 2
>0
2 = −2
>0
图形
开口
向右
_____
向左
焦点
,0
_______
2
− ,0
2
准线
=
−
2
=
______
2
范围
对称轴
4 = 4 3,解得 =
3
.故所求抛物线的方程为 2
3
=
2 3
.故选A.
3
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（3）已知是抛物线 2 = 8的焦点，点 4,2 ，为抛物线上一点，点不在直线
上，则△ 的周长的最小值是(
A.4
B.6
)
C.6 + 2
√
2
D.6 + 2
解：抛物线 2 = 8的焦点 2,0 ，准线为 = −2.
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
平面解析几何 抛物线
平面解析几何抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0F ⎝⎛⎭⎫0，p 2F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p 2y 0＋p 2－y 0＋p 2通径长2p拓展1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，因为直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切．思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题型一 抛物线的定义和标准方程 命题点1 定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1， 则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4， 即|PB |＋|PF |的最小值为4.本例中的B 点坐标改为(3,4)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案 25解析 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝22＋42＝25，即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案 32－1解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－12y 或y 2＝16x B ．x 2＝12y 或y 2＝－16x C ．x 2＝9y 或y 2＝12x D ．x 2＝－9y 或y 2＝－12x答案 A解析 对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝36xC ．y 2＝4x 或y 2＝36xD ．y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ， 则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p 2＝10.① 因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .(2)(2020·四川资阳、眉山、遂宁、广安四市联考)已知点A (－1,0)是抛物线y 2＝2px 的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则|PF ||P A |的最小值为( ) A.13 B.22 C.45 D.32答案 B解析 由题设知p ＝2，设点P (x ，y )，点P 到直线x ＝－1的距离为d ，则d ＝x ＋1. 所以|PF ||P A |＝d|P A |＝x ＋1(x ＋1)2＋4x ＝11＋4x (x ＋1)2＝11＋4xx 2＋2x ＋1＝11＋4x ＋1x ＋2≥22.故当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，即当x ＝1时，|PF ||P A |取得最小值22.题型二 抛物线的几何性质例3 (1)(2020·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( ) A ．4 B ．9 C ．10 D ．18 答案 C解析 抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.由题意可得4＋p 2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.(2)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94 答案 D解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，即4x －43y －3＝0. 方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0， 则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.(3)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2 答案 C解析 利用|FP →|＝4|FQ →|转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →，∴|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4， ∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34.∴|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.跟踪训练2 (1)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( ) A.627 B.1827 C.427 D.227 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.(2)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.题型三 直线与抛物线例4 (2018·全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题意知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1. 因此l 的方程为x －y －1＝0.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(x 0－y 0－1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，且|AF |＝2. (1)求p 的值；(2)若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN .记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值．解 (1)因为点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，且|AF |＝2， 所以p2＋1＝2，所以p ＝2. (2)由(1)得抛物线方程为y 2＝4x .因为点A (1，a )(a >0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2.设直线AM 方程为x －1＝m (y －2)(m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝m (y －2)，y 2＝4x 消去x ， 得y 2－4my ＋8m －4＝0， 即(y －2)(y －4m ＋2)＝0， 所以y 1＝4m －2.因为AM ⊥AN ，所以用－1m 代替m ， 得y 2＝－4m －2，所以d 1d 2＝|(y 1＋2)(y 2＋2)|＝⎪⎪⎪⎪4m ×⎝⎛⎭⎫－4m ＝16.。
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
解析几何中的抛物线方程
解析几何中的抛物线方程抛物线是一种特殊的曲线，它在解析几何中起着重要的作用。
在二维平面上，抛物线是一条非直线的曲线，由于它具有一些独特的性质，因此在物理学、数学、天文学等领域中都有广泛的应用。
一、抛物线的定义与性质抛物线是由平面上的一点（焦点）和一条直线（准线）共同确定的一条平面曲线。
其定义可以采用以下几种方式：（1）一个点到直线的距离等于另一个点到同一直线的距离，其中一个点为焦点。
（2）准线上一点到焦点的距离等于该点到抛物线的距离。
（3）一条过焦点且垂直于准线的直线与抛物线的交点和该点到焦点的距离成正比。
抛物线还有一些重要的性质：（1）对称性：抛物线与其准线关于焦点对称。
（2）焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。
（3）方程：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c 为常数。
二、求解抛物线方程的方法对于给定的焦点和准线，我们需要求出抛物线的具体方程。
在解析几何中，有几种求解抛物线方程的方法：（1）几何法：通过画图作图的方式来求解。
（2）代数法：通过利用抛物线的性质，利用代数方法求解方程。
（3）微积分法：通过对抛物线进行微积分分析，求解方程。
其中，代数法是最为常用的一种方法。
在解析几何中，可以通过已知点和方程中的参数来求出方程。
例如，当给定抛物线的焦点为F(x1,y1)和准线为y=k时，我们可以根据抛物线的性质列出该方程如下：y = 1/4p(x-x1)²+y1其中，p为焦距，即p=(y1-k)/2，由此可以求出抛物线的具体方程。
三、抛物线的一些应用抛物线具有多种实际应用，以下就是一些典型的应用场景：（1）物理学：在自由落体、抛射运动等物理学问题中，都可以利用抛物线进行模拟和计算。
（2）工程学：在建筑工程中，抛物线可以用于设计拱形和圆顶。
（3）计算机图形学：在计算机图形学中，抛物线可以用于生成曲线和表面，以及模拟自然物体的形态等。
（4）天文学：在天文学中，抛物线可以用于描述行星和彗星的轨道。
解析几何《抛物线》
解析几何【7】抛物线1、抛物线的定义、图像与性质2、直线与抛物线的位置关系联立直线:l y kx m 和抛物线22y px （0p ）消y ，整理得 22220k x km p x m ．（1）当0k 时，①0 直线与抛物线相交，有两个不同公共交点；②0 直线与抛物线相切，只有一个公共交点；③0 直线与抛物线相离，没有公共交点．（2）当0k 时，则直线是抛物线的对称轴或是与对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能称为相切．向右向左向上向下0x ，y R 0x ，y R 0y ，x R 0y ，x R图像关于x 轴对称图像关于y 轴对称原点0,0O ,02p F ,02p F 0,2p F 0,2p Fp xp x2p yp y【温馨点睛】1、抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．2、求抛物线标准方程的两种方法（1）定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程．（2）待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为2y ax （0a ），焦点在y 轴的，设为2x ay （0a ）．3、设过抛物线22y px （0p ）的焦点,02p F的直线与抛物线交于 11,A x y 、 22,B x y ，直线OA 与212AB x x p ；【例（1）（2）【同类变式】设直线l 的方程为210x By ，倾斜角为 ．（1）试将 表示为B 的函数；（2）若263，求B 的取值范围：（3）若 ,21,B ，求 的取值范围．【例（1）（2）（3）【同类变式】求适合下列条件的直线方程．（1）经过点 0,2A ，它的倾斜角的正弦值是35；（2）经过点 5,2B ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（3）经过点 5,4C ，与两坐标轴围成的三角形面积为5．【考点三】直线过定点问题【例3】已知直线 :2311l a y a x ．（1）求证；无论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）直线l 是否有可能不经过第二象限？若有可能，求出a 的范围；若不可能，说明理由．【同类变式】已知直线方程为 22140m x m y ．（1）该直线是否经过定点？若经过，求出该点坐标；若不经过，说明你的理由；（2）当m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？（3）当m 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？【考点四】求与最值有关的直线方程【例4】如图，已知直线l 过点 3,2P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【同类变式】（1）若本例条件不变，求OA OB 的最小值及此时直线l 的方程；（2）若本例条件不变，求PA PB的最大值及此时直线l 的方程．【真题自测】1.现有下列四个命题：①经过定点 000,P x y 的直线都可以用方程 00y y k x x ；②经过任意两个不同的点 111,P x y 、 222,P x y 的直线都可以用方程121121x x y y y y x x 表示；③不经过原点的直线都可以用方程1x ya b表示：④经过定点0,A b 的直线都可以用方程y kx b 表示．.A 0；2..A .B .C .D 3.直线:tan105l x y的倾斜角．4.已知点 2,3A 、 1,4B ，则直线AB 的点法式方程为．5.已知点 3,4A 、 2,2B ，直线20mx y m 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是．6.1212x y y ．k ，0k。
高三抛物线的基本知识点
高三抛物线的基本知识点在高三数学学习中，抛物线是一个重要的知识点。
它不仅是高考重点，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、特点、方程和性质等方面。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中一种重要的曲线，它是一个二次曲线。
抛物线由一个定点（焦点）F和一条定直线（准线）l组成。
准线l 与焦点F之间的距离等于点P到焦点F的距离，即PF = PM。
其中P是抛物线上任意一点，M是准线上的垂足。
二、抛物线的特点抛物线具有以下特点：1. 对称性：抛物线是关于准线对称的，即抛物线上任意一点P关于准线l有相应的对称点P'。
对称轴是准线l，焦点F在对称轴上。
2. 焦点和准线的关系：焦点F到抛物线上任意一点的距离等于焦距，焦距等于焦点到准线的垂直距离。
在抛物线上，焦点F距离准线的距离相等，且等于焦距的一半。
3. 宽度和高度：抛物线的宽度取决于焦点到准线的距离，高度取决于焦点到顶点的距离。
三、抛物线的方程抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据a的正负可以确定抛物线开口的方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
通过已知条件可以确定抛物线方程的具体形式。
例如，已知抛物线过定点P(x1, y1)，则可以将这个点带入标准方程，得到一个方程组。
通过解方程组可以求得a、b、c的值，从而确定抛物线方程。
四、抛物线的性质抛物线具有以下性质：1. 切线和法线：抛物线上任意一点处的切线方向与过此点的准线方向垂直。
法线方向与切线方向相互垂直。
2. 定点关系：抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于焦点到准线的距离，即PF = PM。
3. 对称性：抛物线是关于准线对称的。
对称轴是准线，焦点F 在对称轴上。
4. 最值问题：抛物线的顶点是抛物线的最值点。
当抛物线开口向上时，顶点是最小值点；当抛物线开口向下时，顶点是最大值点。
除了以上介绍的基本知识点外，抛物线还与其他数学概念和定理密切相关，例如二次函数、平移变换、焦半径定理等。
解析几何中的抛物线与直线的关系分析
解析几何中的抛物线与直线的关系分析一、引言解析几何是数学中的一个重要分支，通过使用坐标系统和代数方法来研究几何图形。
抛物线和直线是解析几何中常见的两种曲线，它们之间的关系非常有意义和重要。
本文将对抛物线与直线的关系进行分析。
二、定义和特性1. 抛物线：抛物线是一种二次曲线，可以由方程y = ax^2 + bx + c表示，其中a、b和c是常数。
抛物线有几个重要特性，如焦点、顶点、对称轴等。
2. 直线：直线是一种直角度量最小的曲线，可以由方程y = mx + n表示，其中m和n是常数。
直线也有一些特性，如斜率、截距等。
三、抛物线与直线的关系1. 交点：抛物线和直线可以相交于一或两个点。
通过解方程组找到抛物线和直线的交点，可以求出它们的坐标。
2. 切线：直线可以作为抛物线的切线。
当直线与抛物线相切时，它们只有一个交点，并且在该点的切线与抛物线的切线方向相同。
3. 平行：如果直线与抛物线没有交点，且直线与抛物线的对称轴平行，则它们是平行的。
4. 垂直：如果直线与抛物线相交于抛物线的顶点，且直线与抛物线的切线垂直，则它们是垂直的。
四、实际应用抛物线与直线的关系在实际应用中有广泛的应用。
例如，在物理学中，抛物线的轨迹可以表示物体的运动路径，而直线可以表示物体的速度方向。
在工程学中，抛物线和直线的相交点可以用来计算曲线的最高点或最低点。
五、结论通过对抛物线与直线的关系进行分析，我们可以了解它们之间的几何性质和相互作用。
这些知识对于解析几何的研究和实际应用具有重要意义。
六、参考文献（根据需求添加）。
解析几何中的抛物线
解析几何中的抛物线抛物线作为解析几何中的一个重要概念，在数学中有着广泛的应用。
它是指平面上满足一定几何特征的曲线，具有独特的性质和形态。
本文将深入探讨抛物线的定义、性质和应用。
一、抛物线的定义抛物线是平面上所有离定点（焦点）距离等于定直线（准线）距离的点的轨迹。
焦点和准线的关系是抛物线的核心要素。
在解析几何中，我们通常使用坐标系来描述抛物线，其中焦点的坐标为(Fx, Fy)，准线的方程为y = Px。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，即抛物线上任意一点P(x, y)关于准线对称的点为P'(-x, y)。
2. 焦点定理：对于抛物线上的任意一点P(x, y)，其到焦点的距离等于到准线的距离的平方。
即FP² = |y - Fy|² = (x - Fx)²。
3. 切线性质：抛物线上任意点P(x, y)处的切线斜率等于准线的斜率，即y' = Px。
4. 曲率性质：抛物线上任意点P(x, y)处的曲率为k = 2|Px| / (1 + (Px)²)³/²。
5. 焦距与准线的关系：抛物线焦点到准线的距离等于焦距的绝对值，即Fy = ±2Px。
三、抛物线的标准方程在解析几何中，通常使用标准方程来表示抛物线。
对于顶点在原点的抛物线，其标准方程为y² = 4Px，焦点为(Fx, Fy)，准线为y = Px。
而对于顶点不在原点的抛物线，其标准方程为(x - h)² = 4p(y - k)，焦点为(Fx + h, Fy + k)，准线为y = k + p。
四、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下列举几个实际应用的例子：1. 炮弹飞行轨迹：抛物线可以用来描述炮弹在抛射过程中的飞行轨迹，利用抛物线的性质可以计算出炮弹的落点和最大射程等参数。
2. 天体运动轨迹：行星或其他天体的运动轨迹可以近似看作抛物线，通过研究抛物线的性质可以精确计算天体的运动轨迹和相关参数。
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是解析几何中的一个重要概念，在高中数学中经常遇到。
抛物线的定义是平面上到定点和定直线的距离相等的点的集合。
抛物线有许多基本性质和相关公式，下面是对抛物线的知识点的总结。
1. 抛物线的定义抛物线是平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点的集合。
2. 抛物线的方程抛物线的一般方程形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是抛物线的最低点（顶点在上凸抛物线中为最高点）。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为抛物线方程。
4. 抛物线的对称轴抛物线的对称轴是通过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
5. 抛物线的焦点和准线焦点是到定点相等距离的点，准线是到定直线相等距离的点。
焦点的坐标为(-b/2a, c - (b^2-1)/4a)，准线的方程为y = c - (b^2-1)/4a。
6. 抛物线的开口方向抛物线的开口方向取决于系数a的正负。
如果a > 0，则抛物线开口向上；如果a < 0，则抛物线开口向下。
7. 抛物线的对称性抛物线具有对称性，即抛物线上的任意一点关于对称轴的对称点也在抛物线上。
8. 抛物线的性质- 抛物线是一条连续曲线。
- 抛物线没有最大值或最小值。
- 开口向上的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都大于或等于对称轴上的点的纵坐标。
- 开口向下的抛物线在对称轴上方的点的纵坐标都小于或等于对称轴上的点的纵坐标。
9. 抛物线与二次函数的关系二次函数是一种特殊的抛物线，即二次函数的图像为一条抛物线。
10. 抛物线的平移和缩放抛物线的平移可以通过改变抛物线方程中的常数项b和c的值来实现。
抛物线的缩放可以通过改变抛物线方程中的系数a的值来实现。
11. 抛物线的判别式抛物线的判别式D用来判断抛物线的开口方向和是否与x轴相交。
当D > 0时，抛物线与x轴有两个交点；当D = 0时，抛物线与x轴有一个交点；当D < 0时，抛物线与x 轴无交点。
高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（ ）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
【证明】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ，垂足分别为 C 、D ．取 线段 AB 中点 M ，作 MH 垂直 l 于 H ．
由抛物线的定义有： AC AF ， BD BF ，所以 AB AC BD ．
∵ ABDC 是直角梯形， MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例，设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，准线为 l ，点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点．则有:
焦半径 MF
x0
p 2
；过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p ．
（二）抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点 的距离与点到直线的距离的转化：
（2）如图，设 AFK ．
∵
AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
，∴
AF
p 1 sin
，
又
BF
BB1
p
BF
sin
，∴
BF
p 1 sin
，
∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 （定值）．
AF BF
p
pp
【变式训练】求证：以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．
高中数学解析几何抛物线性质与定义(精)
抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
1、抛物线的定义平面内到一个定点 F 和不过 F 的一条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合称之为抛物线。
F 称为 " 抛物线的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。
如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M为 x 轴,建立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+⎪⎭⎫⎝⎛-整理可得抛物线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐标为( , 2p 对应的准线方程为 2p x -=对应的顶点坐标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式一共有以下四种:2、抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。
(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+++=++抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形状的曲线?例 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则∠ A1FB 1=__________。
解析几何中的曲线与抛物线
解析几何中的曲线与抛物线解析几何是数学中的一个分支，研究的是几何图形的性质和变换。
而曲线则是解析几何中一个非常重要的概念，它是由一系列点组成的连续的线条。
在曲线的研究中，抛物线是一种经典的曲线，具有许多独特的性质和应用。
一、抛物线的定义与性质抛物线是在解析几何中最常见的曲线之一，它可以由一个平面上的点P和一个定点F以及一个定直线l确定。
我们定义抛物线为，到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹。
这个点P称为焦点，定直线l称为准线。
抛物线的特点是对称性，我们可以通过平行于准线并经过焦点的直线来获得抛物线上的其他点。
抛物线的数学表达式是y^2=4ax，其中a是焦点到准线的距离。
从这个表达式我们可以看出，抛物线是关于y轴对称的，开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向右；当a<0时，抛物线开口向左。
另一个重要的性质是焦点和准线的关系。
对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点F(a, 0)的距离可以表示为PF = √((x-a)^2 + y^2)，而它到准线l的距离可以表示为PM = |y|。
根据抛物线的定义，这两个距离相等，即√((x-a)^2 + y^2) = |y|。
消去绝对值符号后得到(x-a)^2 = y^2，即x=a+y^2/4a。
这个方程描述的就是抛物线上任意一点P的坐标。
二、抛物线的应用抛物线作为一种经典的曲线，具有许多实际应用。
以下介绍几个典型的应用场景。
1. 抛物线的光学应用在光学中，抛物线经常被用来设计反射器和聚光器。
抛物面反射器具有将平行光线聚集到焦点的特性，因此广泛应用于望远镜、抛物面反射望远镜等光学仪器中。
而聚光器则通过将光线反射到焦点上，实现对光的集束和聚焦，广泛应用于舞台灯光、汽车大灯等领域。
2. 抛物线在物理中的应用在牛顿力学中，抛物线也有重要的应用。
当一个物体在水平面上以一定的初速度和初角度被抛出时，其轨迹将是一条抛物线。
这是因为在水平方向上，物体保持匀速直线运动；而在竖直方向上，物体受到重力加速度的影响，运动遵循自由落体的规律。
高中数学解析几何专题之抛物线[汇总解析版]
![高中数学解析几何专题之抛物线[汇总解析版]](https://img.taocdn.com/s3/m/ea4b1b235f0e7cd18425368b.png)
圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。
注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（lF∉）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。
注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。
以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。
二、抛物线的标准方程1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1）pxy22=（>p），其焦点为)0,2(pF，准线为2px-=；（2）pxy22-=（0>p），其焦点为)0,2(pF-，准线为2px=；（3）pyx22=（>p），其焦点为)2,0(pF，准线为2py-=；（4）pyx22-=（0>p），其焦点为)2,0(pF-，准线为2py=.2.抛物线的标准方程的特点抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向.三、抛物线的性质以标准方程px y 22=（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：0≥x ，R y ∈； （2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ； （4）开口方向：向右； （5）焦参数：p ；（6）焦点：)0,2(p F ； （7）准线：2p x -=；（8）焦准距：p ； （9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若),(00y x P 为抛物线px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF +=；（11）通径长：p 2.注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。
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第49讲
抛物线
[解析] (1)将方程 x2＋2py＝0 化为 x2＝－2py，则有|p|＝4，所 以 p＝± 4. (2)令 x＝0 得 y＝－2；令 y＝0 得 x＝4.所以抛物线的焦点是 F(4，0)或 F(0，－2)，故所求的抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－8y.
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第49讲
抛物线
• ► 探究点一 抛物线的定义 • 考向1 动弦中点到坐标轴距离最短 例 1 已知抛物线 x2＝4y 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 问题
的中点到 x 轴的最短距离为( 3 3 A.4 B.2 C．1 D．2 )
[ 思路点拨 ] 利用梯形的中位线的性质，将所求距离 转化为A，B到准线的距离，运用抛物线的定义，再一 次转化为A，B到焦点的距离．
第49讲
抛物线
4．[教材改编] 过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3 ，则 |AB| 等于 _______________．
[答案] 8
[解析] 抛物线的准线方程为 x＝－1， 则 AB 中点到准线的距 离为 3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
第49讲
抛物线
►
通性通法
6．应用抛物线定义解题：抛物线上的点到焦点的距离常 用定义转化为点到准线的距离． 1 2 若抛物线 x ＝ay 过点 A(1，4)，则点 A 到此抛物线的焦点 的距离为________． 5 [答案] 4
[解析] 由题意可知，点 A 在抛物线 x2＝ay 上，所以 1 1 ＝4a，解得 a＝4，得 x2＝4y.由抛物线的定义可知，点 A 到 焦点的距离等于点 A 到准线的距离， 所以点 A 到抛物线的焦 1 5 点的距离为 yA＋1＝4＋1＝4.
图形
第49讲
抛物线
标准方程 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 焦半径(其 中 P(x0，y0)
y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py (p＞0) (p>0) (p>0) O(0，0) y ＝0 x＝0 p p p p (0 ， － ) ( － ， 0) (0 ， ) (2，0) F________ F______ F______ F________ 2 2 2 e＝________ 1 p p p p x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2 2 2 ________ ________ _______ ________ 2 x≥0， y∈R x≤0，y∈R y≥0， x∈R y≤0，x∈R 向右 向左 向上 向下 |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ |PF|＝ p p p p －x0＋2 －y0＋ x0 ＋ y0 ＋ 2 2 2 ________ ________ ________ ________
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第49讲
抛物线
8．直线与抛物线的位置关系：代数法． 直线 x－y＋3＝0 与抛物线 x2＝2py(p>0)相交于 A， B 两点， 若|AB|＝8 2，则 p＝________．
[答案] 2
[解析] 将直线方程与抛物线方程联立，消去 y，得 x2－2px－ 6p＝0.设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝2p，x1x2＝－ 6p，所以|AB| ＝ 1＋12· （x1＋x2）2－4x1x2＝ 2× 4p2＋24p ＝8 2，即 p2＋6p－16＝0，解得 p＝2 或 p＝－8(舍去)．
[答案] 2 6
Hale Waihona Puke 第49讲抛物线[解析] 以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2， －2)，代入方程得 p＝1，则抛物线的方程为 x2＝－2y.当水面 下降 1 m 时，y＝－3，代入抛物线方程得 x＝± 6，所以此时 水面的宽为 2 6 m.
[答案] y2＝8x
[解析] 由抛物线的准线方程为 x＝－2 知 p＝4，且开口向 右，故抛物线方程为 y2＝8x.
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抛物线
3．[教材改编] 图 7491 是抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，水位下降 1 m 后，则水面的 宽为________m.
图 7491
抛物线
第49讲
抛物线
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动 相等 ；(3)定点 点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离________ 不在 定直线上． ________ 2.抛物线的标准方程和几何性质 y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py 标准 (p＞0) (p＞0) (p>0) (p>0) 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离
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抛物线
7．焦半径公式 过抛物线 y2＝x 的焦点且倾斜角为 45°的直线与抛物 线交于点 A，B，则|AB|＝________．
[答案] 2
1 1 [解析] p＝2，抛物线的焦点为4，0，直线的斜率为 1，所 1 12 以直线方程为 y＝x－4，代入抛物线方程，得 x－4 ＝x，即 3 1 3 2 x － x＋ ＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ .所以|AB| 2 16 2 3 1 ＝x1＋x2＋p＝2＋2＝2.
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抛物线
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易错问题
5．抛物线问题的易错点：忽视 p的符号；忽视抛物线的类 型；不注意抛物线的方程的标准形式． (1) 抛 物 线 x2 ＋ 2py ＝ 0 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 4 ， 则 p ＝ ________． (2)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标 准方程为________．
y2＝2px (p＞0)
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抛物线
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链接教材
3 2 1．[教材改编] 已知抛物线 y＝4x ，则它的焦点坐标 是________．
1 [答案] (0， ) 3
3 2 4 2 1 2 [解析] 由 y＝4x ， 得 x ＝3y， ∴p＝3， ∴焦点坐标为(0， 3).
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2．[教材改编] 设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x ＝－2，则抛物线的方程是________．