新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
北师大版八年级上第2章《实数》练习题及答案解析
第二章实数2.1认识无理数专题无理数近似值的确定1. 设面积为3的正方形的边长为x,那么关于x的说法正确的是()A.x是有理数B.x取0和1之间的实数C.x不存在 D.x取1和2之间的实数2.(1)如图1,小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板,你能帮他求出正方形纸板的边长吗?(2)若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开,拼成如图2所示的一个大正方形,你能帮他求出这个大正方形的面积吗?它的边长是整数吗?若不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间.3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗?你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗?请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书?这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢?请你对每一个问题给出估测的数据,再把估算的过程结果一一写出来.答案:1.D 【解析】 ∵面积为3的正方形的边长为x ,∴x 2=3,而12=1,22=4,∴1<x 2<4,∴1<x <2,故选D. 2.解:(1)边长为5cm.(2)设大正方形的边长为x ,∵大正方形的面积=32+32=18,而42=16,52=25,∴16<x 2<25,∴4<x <5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间.3.解:估算的过程:教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来;数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来,也可以用直尺测量出来;我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书,就是能供多少名学生使用,再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数,然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了.估测的数据、估算的结果略.2.2平方根专题一 非负数问题1. 若2(2)a +与1+b 互为相反数,则a b -的值为( )A .2B .21+C .21-D .12-2. 设a ,b ,c 都是实数,且满足(2-a )2+2a b c +++|c+8|=0,ax 2+bx+c=0,求式子x 2+2x 的算术平方根.3. 若实数x ,y ,z x 1y -2z -= 14(x+y+z+9),求xyz 的值.专题二 探究题 4. 研究下列算式,你会发现有什么规律?131⨯+=4 =2;241⨯+=9=3;351⨯+=16=4;461⨯+=25=5;…请你找出规律,并用公式表示出来.5.先观察下列等式,再回答下列问题: ①2211112++=1+ 11111-+- =112;②2211123++ =1+ 11221-+=116; ③2211134++=1+ 11331-+=1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想2211145++的结果,并验证; (2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数).答案:1.D 【解析】 ∵2(2)a +与|b+1|互为相反数,∴2(2)a ++|b+1|=0, ∴2+a =0且b+1=0, ∴a=2,b=﹣1,a b -=12-,故选D.2.解:由题意,得2-a=0,a 2+b+c=0,c+8=0. ∴a=2,c=-8,b=4. ∴2x 2+4x-8=0. ∴x 2+2x=4.∴式子x 2+2x 的算术平方根为2.3.解:将题中等式移项并将等号两边同乘以4得x-4x +y-41y -+z-42z -+9=0,∴(x-4x +4)+(y-1-41y -+4)+(z-2-42z -+4)=0, ∴(x-2)2+(1y --2)2+(2z --2)2=0,∴x-2=0且1y --2=0且2z --2=0, ∴x=21y -=2 2z -=2,∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.∴xyz=120.4.解:第n 项a n =(2)1n n ++=2(1)n +=n+1,即a n =n+1. 5.解:(1)2211145++=1+ 11441-+=1120. 验证:2211145++=1111625++=25161400400++=441400=1120. (2)22111(1)n n +++=1+111n n -+=1+1(1)n n +(n 为正整数).2.3立方根专题 立方根探究性问题1. (1)填表:a 0.000001 0.001 1 1000 10000003a(2)由上表你发现了什么规律(请你用语言叙述出来);(3)根据发现的规律填空:①已知33=1.442,则33000=_____________;②已知30.000456=0.07696,则3456=_____________.2.观察下列各式:(1)223=223;(2)338=338;(3)4415=4415.探究1:判断上面各式是否成立.(1)________;(2)________;(3)________ .探究2:猜想5524= ________ .探究3:用含有n的式子将规律表示出来,说明n的取值范围,并用数学知识说明你所写式子的正确性.拓展:3227=2327,33326=33326,34463=43463,…根据观察上面各式的结构特点,归纳一个猜想,并验证你的猜想.答案:1.解:(1)直接开立方依次填入:0.01;0.1;1;10;100.(2)从表中发现被开方数小数点向右移动三位,立方根向右移动一位.(3)①14.42 ②7.6962.解:探究1:(1)成立 (2)成立 (3)成立 探究2:5524探究3:21n nn -=21nn n -(n≥2,且n 为整数).理由如下: 21n n n -=321n n n n -+-=221n n n ⨯-=21n n n -. 拓展:331n nn -=331n n n -.理由如下: 331n n n -=4331n n n n -+-=3331n n n ⨯-=331n n n -.2.4估算专题 比较无理数大小1. 设a=1003+997,b=1001+999,c=21001,则a ,b ,c 之间的大小关系是( )A .a >b >cB .a >c >bC .b >a >cD .c >b >a2. 观察下列一组等式,然后解答后面的问题:(2+1)(2-1)=1,(3+2 )(3- 2)=1,(4+3)(4-3)=1,(5+4)(5-4)=1…(1)观察上面的规律,计算下列式子的值. (121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1).(2)利用上面的规律,试比较1211-与1312-的大小.3. 先填写下表,通过观察后再回答问题.问:(1)被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律? 若有规律,请写出它的移动规律;(2)已知:a =1800,- 3.24 =-1.8,你能求出a 的值吗?(3)试比较a 与a 的大小.答案:1. D 【解析】 ∵a 2=2000+21003997⨯,b 2=2000+21001999⨯,c 2=4004=2000+2×1002,1003×997=1 000 000-9=999 991,1001×999=1 000 000-1=999 999,10022=1 004 004. ∴c >b >a .故选D .2.解:(1)由上面的解题规律可直接写出111n n n n=+-++,则(121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1) =[(2-1)+ (3- 2)+(4-3)+…+(2013-2012)](2013+1) =( 2013-1) ( 2013+1) =.(2)∵11211-=1211+,11312-=1312+,又1211+<1312+,∴11211-<11312-, ∴1211->1312-.3.解:依次填:0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000. (1)有规律,当被开方数的小数点每向左(或向右)移动2位,算术平方根的小数点向左(或向右)移动1位.(2)观察1.8和1800,小数点向右移动了3位,则a 的值为3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000; (3)当0<a <1时,a >a ;当a=1或0时,a =a ;当a >1时,a <a .2.6实数专题 实数与数轴1.如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴于点A ,则点A 表示的数是( ) A .2 B .22 C .12 D .122.如图所示,直线L 表示地图上的一条直线型公路,其中A 、B 两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处.若将直尺放在此地图上,使得刻度15,18的位置分别对准A ,B 两点,则此时刻度0的位置对准地图上公路的第( )公里处 A .17 B .55 C .72 D .853. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动,起始位置如图,顶点C 和A 在数轴上的位置表示的实数为-1和1.那么当顶点C 下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是___________.4. 如图,已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的数a 、b 、c .(1)化简:|a-b|+|c-b|+|c-a|; (2)若a=4x y ,b=-z 2,c=-4mn .且满足x 与y 互为相反数,z 是绝对值最小的负整数,m 、n 互为倒数,试求98a+99b+100c 的值;(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D ,满足D 点表示的整数d 到点A ,C 的距离之和为10,并求出所有这些整数的和.答案:1.B 【解析】由勾股定理得:正方形的对角线为2,设点A表示的数为x,则2-x=2,解得x=2-2.故选B.2.B 【解析】根据题意,数轴上刻度15,18的位置分别对准A,B两点,而AB两点间距离157-140=17(公里),即数轴上的3个刻度对应实际17公里的距离.又有数轴上刻度0与15之间有15个刻度,故刻度0的位置对准地图上公路的位置距A点有15×173=85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置对准地图上公路的55公里处.故选B.3.3+22【解析】在直角△ABC中,AC=CB=2,根据勾股定理可以得到AB=22,则当顶点C下一次落在数轴上时,所在的位置表示的实数是4+22-1=3+22.故答案为:3+22.4.解:(1)由数轴可知:a-b>0,c-b<0,c-a<0,所以原式=(a-b)-(c-b)-(c-a)=a-b-c+b-c+a=2a-2c.(2)由题意可知:x+y=0,z=-1,mn=1,所以a=0,b=-(-1)2=-1,c=-4,∴98a+99b+100c=-99-400=-499.(3)满足条件的D点表示的整数为-7、3,它们的和为-4.2.7二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列.若规定(m ,n )表示第m 排从左到右第n 个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是( )A.1B.2C. 23D.6 2. 观察下列各式及其验证过程:322322=+,验证:228222223333⨯+===. 333388+=,验证:2327333338888⨯+===.(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想1544+的变形结果并进行验证; (2)针对上述各式反映的规律,写出用a (a 为任意自然数,且2a ≥)表示的等式,并给出验证;(3)针对三次根式及n 次根式(n 为任意自然数,且2n ≥),有无上述类似的变形,如果有,写出用a (a 为任意自然数,且2a ≥)表示的等式,并给出验证.3. 阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+22=221)(+,善于思考的小明进行了以下探索:设a+b 2=22)(n m +(其中a 、b 、m 、n 均为正整数),则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时,若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ,得:a = ,b = ;(2)利用所探索的结论,找一组正整数a 、b 、m 、n 填空: + 3 =( + 3)2;(3)若a +43=2)3(n m +,且a 、m 、n 均为正整数,求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式22a aa 的结果是( ) A.2a B.2a C. 2a D.2a5.如图,实数a .b 在数轴上的位置, 化简:222)(b a b a -+-.答案:1.D 【解析】 从图示中知道,(4,2)所表示的数是6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数,∴(21,2)表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现,212÷4=53,∴(21,2)表示的数是6.∴(4,2)与(21,2)表示的两数之积是666⨯=.2.解:(1)44441515+=.验证:24644444415151515⨯+===. (2)2211a a a a a a +=--(a 为任意自然数,且2a ≥). 验证:3322221111a a a a a aa aa a a a -++===----. (3)333311-=-+a a a a a a (a 为任意自然数,且2a ≥). 验证:33334433331111aa a aa aa aa a a a -++===----. 11nnn na aa a a a +=--(a 为任意自然数,且2a ≥). 验证:n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 111111-=-=-+-=-+++. 3. 解:(1)223n m + 2mn (2)21 12 3 2(3) ∵223n m a +=,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数,∴m=1,n=2或m=2,n=1, ∴a=13或a=7.4.B 【解析】若二次根式有意义,则22a a+-≥0,-a-2≥0,解得a≤-2,∴原式=2a a a=2a .故选B .5.解:由图知,a <0,b >0,∴a ﹣b <0,∴222)(b a b a -+-=|a |﹣|b |+|a ﹣b |=(﹣a )﹣b +(b ﹣a )=﹣2a .。
数学北师大八年级上册2.6《实数》练习题
2.6 实数基础题知识点1 实数的概念及分类1.实数-是(A)A .无理数B .分数C .整数D .正数2.(上海中考)下列实数中,是有理数的为(D)A. B.43C .πD .03.下列说法正确的是(D)A .实数包括有理数、无理数和零B .有理数包括正有理数和负有理数C .无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D .无论是有理数还是无理数都是实数4.下列判断中,你认为正确的是(C)A .0的倒数是0 B.的值是±3C.>1D.3π是分数5.把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内:0,-7.5,,4,179,32,-273,0.31,-3π,4.··21,(53-)0,-|-4|.(1)有理数集合{0,-7.5,4,32,-273,0.31,4.··21,(53-)0,-|-4|…};(2)无理数集合{,179,-3π…};(3)正实数集合{,4,179,32,0.31,4.··21,(53-)0…};(4)负实数集合{-7.5,-273,-3π,-|-4|…}.知识点2 实数的相反数、倒数和绝对值6.(青岛中考)-的绝对值是(C)A .-51B .-C. D .57.下列各组数中互为相反数的是(D)A .3和B .-31和-3C .-3和-273D .-|-3|和-(-3) 8.实数的相反数是-,倒数是71,绝对值是.知识点3 实数与数轴的关系9.到原点的距离等于的实数为±.10.如图,以数轴上的单位线段长为宽,以2个单位线段长为长,作一个矩形,以数轴原点为圆心,以矩形的对角线为半径画弧,交数轴的正半轴于A 点,则点A 表示的数是.11.如何在数轴上画出表示的点?解:如图,在数轴上,过表示3的点A 作数轴的垂线段,且AB =2,连接OB ,则OB =,以O 为圆心,OB 的长为半径作弧与数轴的正半轴交于点C ,则点C 就表示.12.画一条数轴,把-21,,3各数和它们的相反数在数轴上表示出来,并比较它们的大小,用“<”号连接.解:因为-21的相反数是21,的相反数是-,3的相反数是-3;它们在数轴上表示为:所以-3<-<-21<21<<3.中档题13.|1-|的相反数为(A)A .1- B.-1C .1+D .-1-14.下列说法正确的是(D)A .(2π)0是无理数B.33是有理数C.是无理数D.-83是有理数15.下面说法中,不正确的是(D)A .绝对值最小的实数是0B .算术平方根最小的实数是0C .平方最小的实数是0D .立方根最小的实数是016.下列说法错误的是(B)A .a 2与(-a)2相等B.与互为相反数C.a 3与-a 3是互为相反数D .|a|与-|a|互为相反数17.如图,在数轴上点A 和点B 之间的整数是2.18.请写出一个实数a ,使得实数a -1的绝对值等于1-a 成立,你写出的a 的值是答案不唯一,只要写出的a 的值不大于1即可.19.把下列各数分别填在相应的括号内:,-3,0,43,0.3,722,-1.732,,-163,|-13|,-,-2π,3+,0.101 001 000 1….(1)整数{-3,0,,|-13|,…};(2)分数{0.3,722,-1.732,…};(3)正数{,43,0.3,722,,|-13|,3+,0.101 001 000 1…,…};(4)负数{-3,-1.732,-163,-,-2π,…};(5)有理数{-3,0,0.3,722,-1.732,,|-13|,…};(6)无理数{,43,-163,-,-2π,3+,0.101 001 000 1…,…}.20.计算:(1)2+3-5-3;解:原式=-3.(2)|-2|+|-1|.解:原式=1.综合题21.如图,已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的实数a 、b 、c.(1)化简:|a -b|+|c -b|+|c -a|;(2)若a =2 017x +y ,b =-z 2,c =-4mn ,且满足x 与y 互为相反数,z 是绝对值最小的负整数,m 、n 互为倒数,试求98a +99b +100c 的值;(3)在(2)的条件下,在数轴上找一点D ,满足D 点表示的整数d 到点A ,C 的距离之和为10,并求出所有这些整数的和.解:(1)由数轴可知:a -b >0,c -b <0,c -a <0,所以原式=(a -b)-(c -b)-(c -a)=a -b -c +b -c +a=2a -2c.(2)由题意可知:x +y =0,z =-1,mn =1,所以a =0,b =-(-1)2=-1,c =-4.所以98a+99b+100c=-99-400=-499.(3)满足条件的D点表示的整数为-7或3,整数的和为-4.。
北师大版八年级上册数学第二章实数知识点总结及经典习题(无答案)
第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值,如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b ,反之亦成立。
2、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“a ”,读作根号a 。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一个数x 的平方等于a ,即x 2=a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a 的平方根记做“a ±”,读作“正、负根号a ”。
性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性:-a (a <0) a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a (a ≥0)0≥a==a a 2 ;注意a 的双重非负性: -a (a <0) a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
初二数学上册知识点.复习及配套练习(新北师大版本)
.新北师大版八年级数学上册知识点复习第一章勾股定理1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;即 2 2 2a b c 。
2.勾股定理的证明:用三个正方形的面积关系进行证明(两种方法)。
2 2 23.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c 满足a b c ,那么这个三角形是2 2 2直角三角形。
满足a b c 的三个正整数称为勾股数。
第二章实数1.平方根和算术平方根的概念及其性质:(1)概念:如果 2x a,那么x 是a 的平方根,记作: a ;其中 a 叫做a 的算术平方根。
(2)性质:①当a≥0 时, a ≥0;当a <0时, a 无意义;②2a =a ;③ 2a a 。
2.立方根的概念及其性质:(1)概念:若(2)性质:①33 a ;x a ,那么x 是a 的立方根,记作:33 a3 a ;② 3 a a;③ 3 a = 3 a3.实数的概念及其分类:(1)概念:实数是有理数和无理数的统称;(2)分类:按定义分为有理数可分为整数的分数;按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数;小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数;其中有限小数和无限循环小数称为分数。
4.与实数有关的概念:在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致;在实数范围内,有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此,数轴正好可以被实数填满。
a a5.算术平方根的运算律:(a ≥0,b ≥0);(a ≥0,b >0)。
a b a bb b第三章位置与坐标1.直角坐标系及坐标的相关知识。
2.点的坐标间的关系:如果点A、B横坐标相同,则AB ∥y 轴;如果点A、B 纵坐标相同,则AB∥x 轴。
3.将图形的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的1倍,所得到的图形与原图形关于y 轴对称;将图形的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的1倍,所得到的图形与原图形关于x 轴对称;将图形的横、纵坐标都变为原来的1倍,所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 知识点总结
第二章 实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一点,归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数,如32,7等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如3π+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;(4)某些三角函数,如sin60o 等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=-b ,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ,那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
正数a 的平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
a (a ≥0) 0≥a ==a a 2 ;注意a 的双重非负性:-a (a <0) a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。
一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
第二章 实数 易错剖析+重难点突破训练(含答案)2024-2025-北师大版数学八年级上册
第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰【例1】 在−π ,227,0,3−4,5.⋅6,−2.5656656665⋯ (相邻两个5之间6的个数逐次加1)中,无理数有( ).A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个(1)实数分类可以按正负分,也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.(2)实数范围内,所有的分数都是指的有理数,同时无限循环小数也属于分数,即也是有理数;但要记住不能说所有带分数线的数都是分数,如:23.跟踪练习1. 下列各数:3.14159,−27,0,−π ,−17,其中有理数有( ).A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在0,227,−1,−π2,0.101001⋯ (相邻两个1之间0的个数逐次加1)中,无理数的个数是( ).A. 1B. 2C. 3D. 4易错点二 不能够熟练掌握实数比较大小的方法【例2】 比较大小:52 33(填“> ”“=”或“< ”).实数大小比较的常用方法:(1)根据性质比较:正数>0> 负数;(2)数轴法:数轴上的两个数比较大小,右边的数总比左边的数大;(3)差量法:对于任意两个实数a ,b ,①当a−b >0时,a >b ;②当a−b =0时,a =b ;③当a−b <0时,a <b ;(4)平方法:若要比较任意两个实数a ,b 的大小,可以先比较它们的平方,由平方倒推a ,b 本身的大小;(5)近似值法:对于实数中含有二次根式部分时,可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.跟踪练习3. 下列实数中,最小的数是().A. −2B. −3C. 1D. 34. 实数a,b在数轴上的位置如图所示,下列各式正确的是().A. a>0B. b<0C. a>bD. |a|>|b|易错点三二次根式的化简要彻底【例3】计算:12−27+613.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母,也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.跟踪练习5. 计算:(1)232−18−12;(2)35+4135−75115;(3)128−0.5−412+250.重难点突破重难点一实数的相关概念熟练掌握实数的有关概念:有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方,实数涉及的概念较多,且均属于基础知识,往往稍不注意就容易出错,像相反数、倒数、绝对值的意义、概念就容易混淆出错,此部分知识主要在选择题中考查,很少在填空题或者解答题中出现.提醒:多注意0和π的特殊性以及平方根和算术平方根的概念理解.1. 实数−2的相反数是().A. −2B. 2C. −12D. 122. 下列各数是无理数的是().A. 0B. 2C. −13D. 3.33. 25的平方根是 .4. 无理数5的倒数是().A. −5B. −55C. −5 D. 555. 16的算术平方根的相反数是().A. 2B. −2C. 4D. −46. 下列说法中,正确的是().A. 16的平方根是4B. 任何实数都有立方根C. 若一个数的绝对值是它本身,则这个数是正数D. 算术平方根等于本身的数只有17. 一只蚂蚁位于数轴的原点,现在向右爬了4个单位长度到了点A,则点A所表示的数是().A. 4B. −4C. ±4D. ±8重难点二实数的混合运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等,其中减法可以转化为加法运算,除法可以转化为乘法运算;同时要掌握好实数的有关概念、性质,灵活地运用各种运算律,关键还要把握好符号关;实数的运算顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先算括号内的;同级运算,按照从左到右的顺序进行,能用运算律的可用运算律简化计算.提醒:注意零指数幂和负整数指数幂的运算,还有绝对值的化简及乘方运(a≠0);特别地:算有括号和无括号的区别,公式:a0=1(a≠0);a−p=1a p(a≠0).a−1=1a.8. 计算:3−8−|2−5|+(1−3)0+4×529. 计算:4+|−2|−(−2024)0+(12)−1.10. 计算:−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1.11. 计算:|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4.12. 计算:|−5|+2−2−(π−2024)0.重难点三利用实数性质及二次根式化简求值实数及其相关概念:有理数、无理数、相反数、绝对值、数轴、平方根、算术平方根、立方根、乘方.实数是牵连概念最多的一个考点,需要我们准确掌握各种概念的定义及其考察方向.二次根式的性质:①(a)2=a(a≥0);②a2 =a(a≥0);③a2=|a|(a取全体实数).做这类习题需先根据实数的性质得出结论,或先对二次根式进行化简,再代入求值,注意书写格式.13. 实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图,则化简|a+b|−a2−3(b−a)3的结果为 .14. 实数a,b,c在数轴上的位置如图所示.化简:a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|.15. 实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简:a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+ |a−b|.16. 先化简,再求值:x (6−x )+(x +5)(x−5),其中x =6−2.17. 已知a =13−2,b =13+2.(1) 求a +b 的值;解:a =13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b =13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.(2) 求a 2−3ab +b 2的值.第二章 实数易错点剖析易错点一 对实数分类方法不清晰跟踪练习1.C 2.B(1)实数分类可以按正负分,也可以按整数、分数分,具体方法需牢记.(2)实数范围内,所有的分数都是指的有理数,同时无限循环小数也属于分数,即也是有理数;但要记住不能说所有带分数线的数都.是分数,如:23【例1】 A易错点二不能够熟练掌握实数比较大小的方法跟踪练习3.B4.D实数大小比较的常用方法:(1)根据性质比较:正数>0>负数;(2)数轴法:数轴上的两个数比较大小,右边的数总比左边的数大;(3)差量法:对于任意两个实数a,b,①当a−b>0时,a>b;②当a−b=0时,a=b;③当a−b<0时,a<b;(4)平方法:若要比较任意两个实数a,b的大小,可以先比较它们的平方,由平方倒推a,b本身的大小;(5)近似值法:对于实数中含有二次根式部分时,可以直接根据二次根式部分的近似值估算两个实数间的大小.【例2】>易错点三二次根式的化简要彻底跟踪练习5.(1)解:232−18−12=82−32−22=922.(2)35+4135−75115=155+1215−515=36155.(3)128−0.5−412+250=12×22−22−322+2×52=2−22+102=92.二次根式的化简结果中被开方数不应有能开得尽方的因数和分母,也就是二次根式化简的结果是最简二次根式或者整式.【例3】解:原式=23−33+6×33=23−33+23=3.重难点突破重难点一实数的相关概念1.B2.B3.±54.D5.B6.B7.A重难点二实数的混合运算8.解:3−8−|2−5|+(1−3)0+4×52=−2−(5−2)+1+25=−2−5+2+1+25=5+1.9.解:4+|−2|−(−2024)0+(12)−1=2+2−1+2=5.10.解:−(−2)+(π−3.14)0−|1−3|+(−13)−1=2+1−(3−1)+(−3)=2+1−3+1−3=1−3.11.解:|−1|+(−2)2−(π−1)0+(13)−1−4=1+4−1+3−2=5.12.解:|−5|+2−2−(π−2024)0−1=5+14=4+14.=174重难点三利用实数性质及二次根式化简求值13.−a−2b14.解:根据数轴可得c<b<0<a,∴a−b>0,c−a<0,b+c<0,∴a2−|a−b|+(c−a)2+|b+c|=a−(a−b)−(c−a)−(b+c)=a−a+b−c+a−b−c=a−2c.15.解:由数轴可知a<0,b>2,∴a−b<0,a−3<0,3−b<0,∴a2+(−b)2−|a−3|−|3−b|+|a−b|=|a|+|−b|−[−(a−3)]−[−(3−b)]+[−(a−b)]=−a+b+a−3+3−b+b−a=b−a.16.解:原式=6x−x2+x2−5=6x−5,当x=6−2时,原式=6×(6−2)−5=6−23−5=1−23.17.(1)解:a=13−2=3+2(3−2)(3+2)=3+2,b=13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2.17.(1)a+b=3+2+3−2=23.(2)∵ab=(3+2)(3−2)=3−2=1,∴a2−3ab+b2=(a+b)2−5ab=(23)2−5=12−5=7.。
最新北师大版八年级数学上册《实数》综合练习题及答案解析
最新北师大版八年级数学上册《实数》综合练习题及答案解析第2章实数一、选择题1.的值等于()。
A。
3 B。
-3 C。
±3 D。
无法确定2.在 -1.414,√2,π,3.5,2+√2,3.xxxxxxxx1…,3.14 这些数中,无理数的个数为()。
A。
5 B。
2 C。
3 D。
43.下列结论:①在数轴上只能表示无理数;②任何一个无理数都能用数轴上的点表示;③实数与数轴上的点一一对应;④有理数有无限个,无理数有无限个。
其中正确的是()。
A。
①② B。
②③ C。
③④ D。
②③④4.下列计算正确的是()。
A。
√4=2 B。
√-4= C。
-√4= -2 D。
√-3+5= -√3+55.下列说法中,不正确的是()。
A。
3是 (-3)²的算术平方根 B。
±3是 (-3)²的平方根 C。
-3是 (-3)²的算术平方根 D。
-3是 (-3)³的立方根6.若 a、b 为实数,且满足 |a-2|+|b-2|=0,则 b-a 的值为()。
A。
2 B。
0 C。
-2 D。
以上都不对7.若。
则 a 的取值范围是()。
A。
a>3 B。
a≥3 C。
a<3 D。
a≤38.若代数式有意义,则 x 的取值范围是()。
A。
x>1 且x≠2 B。
x≥1 C。
x≠2 D。
x≥1 且x≠29.下列运算正确的是()。
A。
-x=-(-x) B。
3-2=1 C。
√2+√2=2√2 D。
5-b=5-b10.2015年4月25号,尼泊尔发生8.1级地震,为了储存救灾物资,特搭建一长方形库房,经测量长为40m,宽为20m,现准备从对角引两条通道,则对角线的长为()。
A。
50m B。
10m C。
20m D。
30m二、填空题11.5的算术平方根是 ______。
12.-1的相反数是 ______,绝对值是 ______。
13.已知一个正数的平方根是 3x-2 和 5x+6,则这个数是______。
(2021年整理)北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x .因此:1、当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;2、当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。
3、当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。
例1。
(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ; (2) 的平方根是它本身。
(3)若x 的平方根是±2,则x= ;的平方根是 (4)当x 时,x 23-有意义。
(5)一个正数的平方根分别是m 和m —4,则m 的值是多少?这个正数是多少? 知识点二、【算术平方根】:1、如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ",读作,“根号a”,其中,a 称为被开方数。
特别规定:0的算术平方根仍然为0.2、算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a .3、算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±.例2.(1)下列说法正确的是 ( )A .1的立方根是1±;B .24±=; (C )、81的平方根是3±; ( D)、0没有平方根;(2)下列各式正确的是( )A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- (3)2)3(-的算术平方根是 。
北师大版八年级数学上册第二章 实数期末复习练习题(含答案)
北师大版八年级数学上册第二章实数期末复习练习题(含答案)一.选择题1.在实数,,﹣,0.0,π,,0.301300130001…(3与1之间依次增加一个0)中,无理数的个数为()A.3B.4C.5D.62.4的算术平方根是()A.±2B.2C.±16D.163.的平方根是()A.±5B.5C.±D.4.一个正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1,则这个正数为()A.4B.16C.3D.95.如果a,b,c满足|a﹣2|++(c﹣3)2=0,则a+b﹣c的值为()A.5B.5+C.5+5D.5﹣56.下列说法正确的是()A.是2的平方根B.﹣1的立方根是1C.1的平方根是1D.﹣3没有立方根7.有一个数值转换器,原理如图所示,当输入的数x为﹣512时,输出的数y的值是()A.﹣B.C.﹣2D.28.若的整数部分为x,小数部分为y,则x﹣y的值是()A.1B.C.3﹣3D.39.已知数a,b,c的大小关系如图,下列说法:①ab+ac>0;②﹣a﹣b+c<0;③;④|a ﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|=﹣2b;⑤若x为数轴上任意一点,则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.410.计算()A.2B.C.D.3二.填空题11.已知某数的一个平方根是,那么它的另一个平方根是.12.已知:≈1.421267…,≈4.494441…,则(精确到0.1)≈.13.已知≈1.2639,≈2.7629,则≈.14.若x2=(﹣5)2,=﹣5,那么x+y的值是.15.①=.②=.③写出﹣和之间的所有整数.16.比较大小:24.17.若|x|=,则实数x=.18.如图,长方形OABC放在数轴上,OA=2,OC=1,以A为圆心,AC长为半径画弧交数轴于P点,则P点表示的数为.19.式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是.20.已知a ≥﹣1,化简=.三.解答题21.无限循环小数如何化为分数呢?请你仔细阅读下列资料:由于小数部分位数是无限的,所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数.转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”.一般是用扩倍的方法,把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同,然后这两个数相减,这样“大尾巴”就剪掉了.例题:例如把0.和0.2化为分数请用以上方法解决下列问题(1)把0.化为分数(2)把0.3化为分数.22.定义:等号两边都是整式,只含有⼀个未知数,且未知数的最高次数是2的⼀程,叫做⼀元⼀次⼀程.如x2=9,(x﹣2)2=4,3x2+2x﹣1=0…都是⼀元⼀次⼀程.根据平⼀根的特征,可以将形如x2=a(a≥0)的⼀元⼀次⼀程转化为⼀元⼀次⼀程求解.如:解⼀程x2=9的思路是:由x=±,可得x1=3,x2=﹣3.解决问题:(1)解⼀程(x﹣2)2=4.解:∵x﹣2=±,∴x﹣2=2,或x﹣2=.∴x1=4,x2=.(2)解⼀程:(3x﹣1)2﹣25=0.23.已知2a﹣1的平方根是,3a+b﹣1的算术平方根是6,求a+4b的平方根.24.已知某正数的两个平方根分别是﹣1和a﹣4,b﹣12的立方根为2.(1)求a,b的值.(2)求a+b的平方根.25.求出下列x 的值:(1)4x 2﹣16=0; (2)3(x +1)3=24.26.如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,根据图回答下列问题: (1)比较大小:a ﹣1 0;b +1 0;c +1 0;(2)化简﹣|a ﹣1|+|b +1|+|c +1|.27.计算:(1)2﹣2+; (2)×﹣;(3); (4)(π﹣3)0+(﹣)﹣1+|﹣|+.28.计算:(1)(+10)+(﹣11.5)+(﹣10)﹣4.5; (2)(﹣6)2×(﹣)﹣23;(3)(﹣270)×+0.25×21.5+(﹣8)×(﹣0.25); (4)﹣+6÷(﹣)×.29.操作探究:已知在纸面上有一数轴(如图所示)(1)折叠纸面,使表示的点1与﹣1重合,则﹣2表示的点与 表示的点重合; (2)折叠纸面,使﹣1表示的点与3表示的点重合,回答以下问题:①5表示的点与数表示的点重合;②表示的点与数 表示的点重合;③若数轴上A 、B 两点之间距离为9(A 在B 的左侧),且A 、B 两点经折叠后重合,此时点A 表示的数是 、点B 表示的数是(3)已知在数轴上点A 表示的数是a ,点A 移动4个单位,此时点A 表示的数和a 是互为相反数,求a 的值.30.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2,善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a=,b=;(2)若a+4=(m+n)2,且a、m、n均为正整数,求a的值;(3)化简:.参考答案一.选择题1.【解答】解:=2,,﹣,0.0都是有理数,而π,,0.301300130001…(3与1之间依次增加一个0)都是无限不循环小数,因此是无理数,所以无理数的个数有3个,故选:A.2.【解答】解:∵22=4,∴4的算术平方根是2.故选:B.3.【解答】解:∵=5,∴的平方根是±,故选:C.4.【解答】解:∵正数的两个平方根分别是2a﹣5和﹣a+1,∴(2a﹣5)+(﹣a+1)=0,解得a=4,∴2a﹣5=3,∴这个正数为32=9,故选:D.5.【解答】解:根据题意得:a﹣2=0,b﹣5=0,c﹣3=0,解得a=,b=5,c=,则a+b﹣c=2+5﹣=5﹣.故选:A.6.【解答】解:A、是2的平方根,正确;B、﹣1的立方根是﹣1,故本选项错误;C、1的平方根是±1,故本选项错误;D、﹣3的立方根是﹣,故本选项错误;故选:A.7.【解答】解:由题中所给的程序可知:把﹣512取立方根,结果为﹣8,因为﹣8是有理数,所以再取立方根为﹣2,﹣2是有理数,所以再取立方根为=,因为是无理数,所以输出,故选:A.8.【解答】解:∵1,∴x=1,y=﹣1,∴x﹣y=×1﹣(﹣1)=1,故选:A.9.【解答】解:由题意b<0,c>a>0,|c|>|b|>|a|,则①ab+ac>0,故原结论正确;②﹣a﹣b+c>0,故原结论错误;③++=1﹣1+1=1,故原结论错误;④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|=a﹣b+c+b﹣(﹣a+c)=2a,故原结论错误;⑤当b≤x≤a时,|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b,故原结论正确.故正确结论有2个.故选:B.10.【解答】解:原式=1+(2×)2016×2=1+2=3.故选:D.二.填空题11.【解答】解:若一个数的一个平方根是,则它的另一个平方根是.故答案为:.12.【解答】解:∵≈4.494,∴≈44.9(精确到0.1),故答案为:44.9.13.【解答】解:∵≈1.2639,∴==×=﹣×≈﹣0.12639.故答案为:﹣0.12639.14.【解答】解:根据题意得:x=﹣5或5,y=﹣5,当x=﹣5时,x+y=﹣5﹣5=﹣10;当x=5时,x+y=5﹣5=0.故答案为:﹣10或0.15.【解答】解:①因为>2,所以|2﹣|=﹣2;故答案为:﹣2;②×===2;故答案为:2;③因为﹣3<﹣、<4,所以﹣和之间的所有整数:﹣2,﹣1,0,1,2,3.故答案为:2,﹣1,0,1,2,3.16.【解答】解:2=,4=,∵28<32,∴<,∴2<4.故答案为:<.17.【解答】解:∵,则实数x=,故答案为:.18.【解答】解;∵四边形OABC是长方形,∴∠AOC=90°,∴AC===,∵以A为圆心,AC长为半径画弧交数轴于P点,∴AP=AC=,∴OP=AP﹣OA=﹣2,∴点P表示的数是2﹣,故答案为:2﹣.19.【解答】解:由题意得:5﹣x≥0,解得:x≤5,故答案为:x≤5.20.【解答】解:∵a≥﹣1,∴a+1≥0,则原式==|a+1|=a+1,故答案为:a+1.三.解答题21.【解答】解(1)∵0.×100=17.∴0.×100﹣0.=17.﹣0.0.×(100﹣1)=17,0.=,(2)∵0.3×10=3.①0.3×1000=313.•②∴由②﹣①得0.3×1000﹣0.3×10=313.﹣3.,0.3(1000﹣10)=310,0.3=.22.【解答】解:(1)∵x﹣2=±,∴x﹣2=2,或x﹣2=﹣2.∴x1=4,x2=0.(2)∵(3x﹣1)2﹣25=0∴(3x﹣1)2=25,∴3x﹣1=±,∴3x﹣1=5,或3x﹣1=﹣5.∴x1=2,x2=﹣.故答案为:﹣2,0.23.【解答】解:根据题意,得2a﹣1=17,3a+b﹣1=62,解得a=9,b=10,所以,a+4b=9+4×10=9+40=49,∵(±7)2=49,∴a+4b的平方根是±7.24.【解答】解:(1)由题意得,a﹣4=1,b﹣12=8,所以a=5,b=20;(2)由(1)得,a+b=25,所以.25.【解答】解:(1)4x2﹣16=0,4x2=16,x2=4,x=±2;(2)3(x+1)3=24,(x+1)3=8,x+1=2,x=1.26.【解答】解:(1)从数轴可知:b<﹣1<c<0<a<1,所以a﹣1<0,b+1<0,c+1>0,故答案为:<,<,>;(2)由(1)可知:a﹣1<0,b+1<0,c+1>0,所以﹣|a﹣1|+|b+1|+|c+1|=a﹣1﹣b﹣1+c+1=a﹣b+c﹣1.27.【解答】解:(1)2﹣2+=2×3﹣2×+=6﹣+=6;(2)×﹣=﹣=6﹣7=﹣1;(3)=3+4﹣4﹣=7﹣4﹣1=6﹣4;(4)(π﹣3)0+(﹣)﹣1+|﹣|+=1﹣3+2﹣2=﹣4+2.28.【解答】解:(1)原式=﹣11.5﹣4.5+(10﹣10)=﹣16+0=16;(2)(﹣6)2×(﹣)﹣23=36×﹣36×﹣8=12﹣18﹣8=﹣14;(3)(﹣270)×+0.25×21.5+(﹣8)×(﹣0.25)=×(﹣270+21.5+8)=×(﹣240)=﹣60;(4)﹣+6÷(﹣)×=﹣6﹣9×(﹣2)=﹣6+18=12.29.【解答】解:(1)折叠纸面,使表示的点1与﹣1重合,折叠点对应的数为=0,设﹣2表示的点所对应点表示的数为x,于是有=0,解得x=2,故答案为2;(2)折叠纸面,使表示的点﹣1与3重合,折叠点对应的数为=1,①设5表示的点所对应点表示的数为y,于是有=1,解得y=﹣3,②设表示的点所对应点表示的数为z,于是有=1,解得z=2﹣,③设点A所表示的数为a,点B表示的数为b,由题意得:=1且b﹣a=9,解得:a=﹣3.5,b=5.5,故答案为:﹣3,2﹣,﹣3.5,5.5;3)①A往左移4个单位:(a﹣4)+a=0.解得:a=2.②A往右移4个单位:(a+4)+a=0,解得:a=﹣2.答:a的值为2或﹣2.30.【解答】解:(1)∵(m+n)2=m2+6n2+2mn,a+b=(m+n)2,∴a=m2+3n2,b=2mn.故答案为m2+3n2,2mn;(2)∵(m+n)2=m2+3n2+2mn,a+4=(m+n)2,∴a=m2+3n2,mn=2,∵m、n均为正整数,∴m=1、n=2或m=2,n=1,∴a=13或7;(3)===2+1,则====﹣1.。
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第2章实数》章末综合知识点分类练习(附答案) 一.平方根1.已知一个数的平方根是2a +5与﹣3a +25,求这个数.2.(1)若5a +1和a ﹣19是数m 的两个不同的平方根,求m 的值. (2)如果y =+3,试求2x +y 的值.二.算术平方根3.已知实数a ,b ,c 满足:b =+4,c 的平方根等于它本身.求的值.4.若一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2, 是5的算术平方根,求x +5y 的平方根.三.非负数的性质:算术平方根 5.已知:(x +2)2与互为相反数,求(x +y )2018的平方根.6.若+(1﹣y )2=0.(1)求x ,y 的值; (2)求+++…+()()202220221++y x 的值.四.立方根 7.已知M =是m +3的算术平方根,N =是n ﹣2的立方根,求:M ﹣N 的值的平方根. 五.计算器—数的开方8.(1)观察下表,你能得到什么规律?n 0.008 8 8000 80000000.2220200(2)请你用计算器求出精确到0.001的近似值,并利用这个近似值根据上述规律,求出和的近似值.六.无理数9.在实数:3.14159,,1.010010001…,,0,,中,无理数有()A.1个B.2个C.3个D.4个七.实数10.把下列各数填在相应的大括号里:﹣(﹣2)2,,﹣0.101001,﹣|﹣2|,﹣0.,0.202002…,,0,负整数集合:(…);负分数集合:(…);无理数集合:(…).八.实数的性质11.若|a|=,则﹣的相反数是.12.已知|x﹣1|=,求实数x的值.九.实数与数轴13.如图1,已知在数轴上有A、B两点,点A表示的数是﹣6,点B表示的数是9.点P 在数轴上从点A出发,以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动,同时,点Q在数轴上从点B出发,以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动,当点Q到达点A时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)AB=;t=1时,点Q表示的数是;当t=时,P、Q两点相遇;(2)如图2,若点M为线段AP的中点,点N为线段BP中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长;(3)如图3,若点M为线段AP的中点,点T为线段BQ中点,则点M表示的数为;点T表示的数为;MT=.(用含t的代数式填空)十.实数大小比较14.先填写表,通过观察后再回答问题:a…0.00010.01110010000……0.01x1y100…(1)表格中x=,y=;(2)从表格中探究a与数位的规律,并利用这个规律解决下面两个问题:①已知≈3.16,则≈;②已知=8.973,若=897.3,用含m的代数式表示b,则b=;(3)试比较与a的大小.十一.估算无理数的大小15.阅读下面文字,然后回答问题.大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,所以的小数部分我们不可能全部写出来,由于的整数部分是1,将减去它的整数部分,差就是它的小数部分,因此的小数部分可用﹣1表示.由此我们得到一个真命题:如果=x+y,其中x是整数,且0<y<1,那么x=1,y=﹣1.请解答下列问题:(1)如果=a+b,其中a是整数,且0<b<1,那么a=,b=;(2)如果﹣=c+d,其中c是整数,且0<d<1,那么c=,d=;(3)已知2+=m+n,其中m是整数,且0<n<1,求|m﹣n|的值.十二.实数的运算16.(π﹣1)0+(﹣)﹣1+|5﹣|﹣2.17.(1)计算:(2)求x的值:(x﹣5)3=﹣8十三.二次根式的定义18.已知是整数,则满足条件的最小正整数n是.十四.二次根式有意义的条件19.使在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是.20.已知:a、b、c是△ABC的三边长,化简.十六.最简二次根式21.在二次根式,,,,,,中,最简二次根式有个.十七.二次根式的乘除法22.化简:(b<0).十八.化简分母中的二次根式23.计算:=.24.阅读下面计算过程:==﹣1;==﹣;==﹣2.求:(1)的值.(2)(n为正整数)的值.(3)+++…+的值.十九.可以合并的二次根式25.若最简二次根式与是可以合并的二次根式,则a的值为.26.若最简二次根式和是可以合并的二次根式.(1)求x,y的值;(2)求的值.二十.二次根式的加减法27.计算:+的结果为.28.化简.29.化简:()2﹣=.二十二.二次根式的化简求值30.若x,y是实数,且y=++,求(x+)﹣(+)的值.参考答案一.平方根1.解:∵一个数的平方根是2a+5与﹣3a+25,∴2a+5+(﹣3a+25)=0,解得a=30,∴2a+5=2×30+5=65,∴这个数是:652=4225.2.解:(1)∵5a+1和a﹣19是数m的两个不同的平方根,∴5a+1+a﹣19=0,解得a=3,所以,5a+1=3×5+1=16,m=162=256;(2)由题意得,x2﹣4≥0且4﹣x2≥0,所以,x2≥4且x2≤4,所以,x2=4,解得x=±2,又∵x+2≠0,∴x≠﹣2,所以,x=2,y=3,所以,2x+y=2×2+3=7.二.算术平方根3.解:∵﹣(a﹣3)2≥0,∴a=3把a代入b=+4得:∴b=4∵c的平方根等于它本身,∴c=0∴=.4.解:∵一正数x 的平方根是2a ﹣1和﹣a +2, ∴2a ﹣1﹣a +2=0,解得:a =﹣1. ∴2a ﹣1=﹣3, ∴x =(﹣3)2=9. ∵是5的算术平方根,∴3×9﹣2y ﹣9=2,解得:y =8. ∴x +5y =49.∴x +5y 的平方根是±7. 三.非负数的性质:算术平方根 5.解:因为:(x +2)2与互为相反数,所以:(x +2)2+=0,又因为:(x +2)2≥0,≥0, 所以 x +2=0,x +2y =0, 所以x =﹣2,y =1, 所以(x +y )2018=1,所以(x +y )2018的平方根是±1. 6.解:(1)根据题意得,解得;(2)原式=+++…+202320241=1﹣+﹣+﹣+…+20231﹣20241=1﹣20241=20242023. 四.立方根 7.解:∵M =是m +3的算术平方根,∴m ﹣4=2,解得m=6,∴M==3;∵N=是n﹣2的立方根,∴2m﹣4n+3=3,即12﹣4n+3=3,解得n=3,∴N==1,∴M﹣N=3﹣1=2,∴M﹣N的值的平方根是±.五.计算器—数的开方8.解:(1)被开方数的小数点每向右(左)移动3位,立方根的小数点向相同的方向移动1位;(2)∵,∴,.六.无理数9.解:3.14159,=4,0,是有理数,1.010010001…,﹣,是无理数,共有3个,故选:C.七.实数10.解:在﹣(﹣2)2,,﹣0.101001,﹣|﹣2|,﹣0.,0.202002…,,0,中,负整数集合是:(﹣(﹣2)2,﹣|﹣2|,…);负分数集合是:(﹣0.101001,﹣0.,…);无理数集合是:(0.202002…,,…).八.实数的性质11.解:∵|a|=,∴a2=6,∴﹣=﹣=﹣2,﹣2的相反数是2.故本题的答案是2.12.解:∵|x﹣1|=,∴x﹣1=±.解得:x=+1或x=﹣+1.∴x的值为1﹣或1+.九.实数与数轴13.解:(1)AB=9﹣(﹣6)=15,t=1时,BQ=3,OQ=6,设t秒后相遇,由题意(2+3)t=15,t=3,故答案为15,6,3(2)答:MN长度不变,理由如下:∵M为AP中点,N为BP中点∴MP=AP,NP=BP,∴MN=MP+NP=(AP+BP)=AB=7.5.(3)则点M表示的数为t﹣6;点T表示的数为9﹣t;MT=15﹣t;故答案为t﹣6,9﹣t,15﹣t;十.实数大小比较14.解:(1)x=0.1,y=10;(2)①根据题意得:≈31.6;②根据题意得:b=10000m;(3)当a=0或1时,=a;当0<a<1时,>a;当a>1时,<a,故答案为:(1)0.1;10;(2)①31.6;②10000m十一.估算无理数的大小15.解:(1)∵=a+b,其中a是整数,且0<b<1,2<<3,∴a=2,b=﹣2;(2)∵﹣=c+d,其中c是整数,且0<d<1,2<<3,﹣3<﹣<﹣2,∴c=﹣3,d=3﹣;(3)∵2+=m+n,其中m是整数,且0<n<1,∴m=4,n=﹣2,则|m﹣n|=|4﹣+2|=6﹣.故答案为:2,﹣2;﹣3,3﹣,6﹣.十二.实数的运算16.解:(π﹣1)0+(﹣)﹣1+|5﹣|﹣2=1﹣2+3﹣5﹣2=﹣6+.17.解:(1)原式=5﹣4+2=3;(2)开立方得:x﹣5=﹣2,解得:x=3.十三.二次根式的定义18.解:∵8=22×2,∴n的最小值是2.故答案为:2.十四.二次根式有意义的条件19.解:由题意,得3﹣x≥0,且x≠0,解得x≤3且x≠0,故答案为:x≤3且x≠0.十五.二次根式的性质与化简20.解:∵a、b、c是△ABC的三边长,∴a+b>c,b+c>a,b+a>c,∴原式=|a+b+c|﹣|b+c﹣a|+|c﹣b﹣a|=a+b+c﹣(b+c﹣a)+(b+a﹣c)=a+b+c﹣b﹣c+a+b+a﹣c=3a+b﹣c.十六.最简二次根式21.解:,是最简二次根式,故答案为:2.十七.二次根式的乘除法22.解:∵由二次根式的性质可得a<0,b<0,∴原式=•(﹣b)•(a)÷3=﹣3a2b÷3=﹣3a2b×(﹣)=a2b2×=ab.十八.化简分母中二次根式23.解:原式===3.故答案为:3.24.解:(1)==﹣;(2)==﹣;(3)+++…+=(﹣1)+(﹣)+(2﹣)+…+(10﹣)=10﹣1=9.十九.可以合并的二次根式25.解:∵最简二次根式与是可以合并的二次根式,∴2a﹣3=5,解得:a=4.故答案为:4.26.解:(1)根据题意知,解得:;(2)当x=4、y=3时,===5.二十.二次根式的加减法27.解:原式=+=+2=.故答案为:.28.解:=﹣=﹣=﹣=+4﹣﹣1=3.二十一.二次根式的混合运算29.解:根据题意得3﹣x≥0,解得x≤3,所以原式=3﹣x﹣=3﹣x﹣(3﹣x)=0.故答案为0.二十二.二次根式的化简求值30.解:∵x,y是实数,且y=++,∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0,解得:x=,∴y=,∴(x+)﹣(+)的值.=2x+2﹣x﹣5=x﹣3=﹣3=﹣.。
新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章:实数知识梳理【无理数】1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。
(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如:2-π是无理数 (4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,(5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π)3.有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.33……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。
(填序号) (2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】:1. 定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。
例如32=9,那么9的算术平方根是3,即39=。
特别规地,0的算术平方根是0,即00=,负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性:(1)若a 有意义,则被开方数a 是非负数。
(2)算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结
一、知识归纳(一)平方根与开平方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。
即X2二a , X叫做a的平方根。
2. 平方根的性质与表示⑴表示:正数a的平方根用一,a表示,叫做正平方根,也称为算术平方根,-'七叫做a的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根:-、a(根指数2省略)■0有一个平方根,为0,记作= ° ;负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方:求一个数a的平方根的运算。
l ,a a^o _卞a = a 「a a c0 W a $ = a a 王0⑷'a的双重非负性a_0且a-0(应用较广)例:、.x-4「4-x =y 得知x=4, y =0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位,它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
区分:4的平方根为--------4的平方根为------ -4二——完全平方类*非完全平方类3计算ja的方法精确到某位小数*若a nb〉0,贝>v'b(二)立方根和开立方1 .立方根的定义如果一个数的立方等于a,呢么这个数叫做a的立方根,记作3 a.2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一个负数。
0的立方根是0 .3. 开立方与立方求一个数的立方根的运算。
a 写a3 = a a = -Va0的平方根和立方根都是0本身。
(三)推广:n次方根1 .如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时,这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时,这个数叫做a的偶次方根。
2 .正数的偶次方根有两个:-殳a;0的偶次方根为0:有偶次方根。
北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结4丄■. 9 3、仁、开立方:(需i(a取任何数)正数的奇次方根为正。
0的奇次方根为0。
负数的奇次方根为负(四)实数1. 实数:有理数和无理数统称为实数(1) —a2一定是负数吗?一 a 一定是正数吗?(2) 大豕都知道Js 是一 -个无理数,那么£ —1在哪两个整数之间?(3) 15的整数部分为a,小数部分为b,则a= , b= __________________ 。
北师大版八年级数学上册第二章实数复习精品
第二章:实数本章的知识网络结构:知识梳理一.数的开方主要知识点:【1】平方根:如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x 。
因此:4.当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;5.当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。
6.当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。
【算术平方根】:(1)如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根号a ”,其中,a 称为被开方数。
特别规定:0的算术平方根仍然为0。
(2)算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a 。
(3)算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。
【立方根】(1)如果x 的立方等于a ,那么,就称x 是a 的立方根,或者三次方根。
记做:3a ,读作,3次根号a 。
注意:这里的3表示的是开根的次数。
一般的,平方根可以省写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。
(2)平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有平方根,只有非负数才能有平方根。
【无理数】(1)无限不循环小数的小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
在初中阶段,无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)开方开不尽的数,如:39,5,2等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。
八年级上册北师大版数学第二章_实数总结
第二章实数二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
2、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。
(|a|≥0)。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
3、倒数如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地,0的算术平方根是0。
表示方法:记作“a”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
±”,读作“正、负根号a”。
表示方法:正数a的平方根记做“a性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
a≥注意a的双重非负性:a≥03、立方根一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法:记作3a性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
五、算术平方根有关计算(二次根式)1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、性质:(1))0()(2≥=a a a)0(≥a a(2)==a a 2)0(<-a a(3))0,0(≥≥∙=b a b a ab ()0,0(≥≥=∙b a ab b a )(4))0,0(>≥=b a b a b a ()0,0(>≥=b a ba b a ) 3、最简二次根式:运算结果若含有“a ”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
八年级数学上册第二章实数知识点新版北师大版
第二章:实数一、无理数1. 定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)特殊结构的数(看似循环而实则不循环):如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。
(3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如:2-π是无理数(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,(5)开方开不尽的数,如:39,5,2等;应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π)3.有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。
例:(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有____;是无理数的有___。
(填序号)(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个二、算术平方根1. 定义:如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根号a”,其中,a 称为被开方数。
例如32=9,那么9的算术平方根是3,即39=。
特别规地,0的算术平方根是0,即00=,负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性:(1)若a 有意义,则被开方数a 是非负数。
(2)算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。
因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。
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新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习案场各岗位服务流程销售大厅服务岗:1、销售大厅服务岗岗位职责:1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点;2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品(糕点)添加茶水工作要求1)眼神关注客人,当客人距3米距离时,应主动跨出自己的位置迎宾,然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!”3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人;4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品);7)在满座位的情况下,须先向客人致歉,在请其到沙盘区进行观摩稍作等待;阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料(糕点服务)1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用托盘;2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一下,请问您需要什么饮品”为起始;3)服务方向:从客人的右面服务;4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时,必须询问客人是否需要再添一杯,在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触;5)在客人再次需要饮料时必须更换杯子;下班程序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导;2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会;4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1)为来访的客人提供全程的休息及饮品服务;2)保持吧台区域的整洁;3)饮品使用的器皿必须消毒;4)及时补充吧台物资;5)收集客户意见、建议及问题点;1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范问询需求按需求提供饮品客户离开后清理桌面阶段工作及服务流程服务准迎客:保得知需客户班中工作程序工作要求注意事项1)在饮品制作完毕后,如果有其他客户仍在等到则又销售大厅服务岗呈送;2)所有承装饮品的器皿必须干净整洁;下班程序5)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导;6)填写物资领用申请表并整理客户意见;7)参加班后总结会;8)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.4展示区服务岗岗位职责1.3.4.1车场服务岗1.3.4.1.1车场服务岗岗位职责1)维护停车区的正常停车秩序;2)引导客户车辆停放,同时车辆停放有序;3)当车辆挺稳时,上前开车门并问好;同时提醒客户锁好车门;4)视情况主动为客户提供服务;5)待车辆停放完好后,仔细检查车身情况请客户签字确认;1.3.4.1.2阶段工作及服务流程班前阶段1)自检仪容仪表2)检查周边及案场区设备、消防器材是否良好,如出现异常现象立即报告或报修3)检查停车场车位是否充足,如有异常及时上报上级领导班中工作程序服务流程行为规范1.敬礼2.指引停车3.迎客问好4.目送阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项1)岗位应表现良好的职业形象时刻注意自身的表现,用BI规范严格要求自己2)安全员向客户敬礼,开车门,检查车辆情况并登记,用对讲系统告知销售大厅迎宾,待客人准备离开目送客人离开;迎送引导敬为问指引销售检查车为引敬下班程序1)检查使用的工具情况,异常情况及时记录并报告上级领导;2)参加班后总结会;3)统计访客量;4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.4.2展示区礼宾岗1.3.4.2.1展示区礼宾岗岗位职责1)对过往的客户行标准的军礼,目视;2)与下一交接岗保持信息联系,及时将信息告知下一岗位,让其做好接待工作;3)热情礼貌的回答客户的提问,并做正确的指引;4)注视岗位周边情况,发现异常及时上报上级领导;1.3.4.2.2展示区礼宾岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1)自检仪容仪表2)检查周边及案场区设备、消防器材是否良好,如出现异常现象立即报告或报修班中工作程序服务流程敬礼问指引样板敬礼目送行为规范1.迎接客户2.指引客户3.为客户提供帮助4.目送客户工作要求注意事项1)礼宾岗必须掌握样板房户型、面积、朝向、在售金额、物业服务管理费用等客户比较关注的话题;2)礼宾岗上班后必须检查样板房的整体情况,如果发现问题必须及时上报并协助销售进行处理;3)视线范围内见有客户参观时,远处目视,待客户行进1.5米的距离时,敬军礼并主动向客户微笑问好,“欢迎您来参观样板房,这边请,手势指引样板房方向”;阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项4)参观期间,礼宾岗需注意背包或穿大衣等可以重点人员进行关注,避免样板房的物品丢失,当巡检时发现有物品丢失及时上报上级领导,对参观的可疑人员进行询问,根据销售部的意见决定是否报警;5)样板房开放时间,在未经销售、项目部允许而进行拍照、摄像等行为劝阻,禁止任何人员挪动展示物品;6)样板房开放时礼宾岗要关注老人、小孩、孕妇及行动不便的人群,对在参观过程中出现的意外及物品损坏必须及时上报上级领导,根据销售部的意见进行处理并做好登记;7)样板房开放期间礼宾岗要礼貌准确的回答客户的问题,对不能回答的问题需引导给销售人员由其进行解答,严禁用含糊不清或拒绝来回答;8)留意客户是否离开样板房,通知电瓶车司机来接客户;9)当客户参观完毕离开样板房,待客户1.5米距离时微笑敬礼目送客户,手势指向出门的方向,若电瓶车未到,向客户致歉并说明电瓶车马上就到;10)每天下班要对样板房物品进行检查并做好登记,如出现丢失或损坏须向上级领导呈报,根据销售部意见进行处理并做好记录;11)礼宾岗下班后要关闭样板房的水源、电源及监控系统并与晚班人员做好交接;12)对于特殊天气,样板房礼宾岗要检查周边环境,以防不则;下班程序1)检查使用的工具情况,异常情况及时记录并报告上级领导;2)参加班后总结会;3)统计访客量;4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.4.3电瓶车服务岗1.3.4.3.1电瓶车服务岗岗位职责1)严格按照规定的路线及线路行驶,将客人送到指定地点;2)正确执行驾驶操作流程,确保车行安全;3)了解开发建设项目的基本情况并使用统一说辞,在允许的情况下礼貌回答客户问题;4)车辆停放时及时对车辆进行清洁,确保车辆干净;5)负责车辆的检查;6)对车辆实施责任化管理,未经允许任何人不得驾驶;7)不允许非客户人员乘坐电瓶车;8)做好电瓶车的交接工作1.3.4.3.2电瓶车服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1)自检仪容仪表2)检查电瓶车运行状态,如发现问题立即上报上级领导进行维修并做好记录班中工作程序服务流程行为规范1)迎接客户上车2)转弯、减速、避让提示客户3)下车提示客户小心工作要求注意事项1)电瓶车驾驶员载客至样板房过程中禁止鸣笛、超速、遇车避让;2)客户上车时应主动问好,欢迎您来到XX项目,车辆行驶时应提示客户坐稳扶好,到达目的地时,驾驶员提示客户样板房已经到达请小心下车,客户离开电瓶车时应说:欢迎下次乘坐,谢谢再见,问指引车辆起车辆行驶下请慢走;3)带客户下车时应检查车上是否有遗留物品,并提示客户随身带好物品;4)电瓶车必须严格按照规定路线行驶;5)做好行车记录;下班程序1)待客户全部离开后将电瓶车开至指定位置,并将车辆进行清洁及充电;2)整理客户意见,参加班后会;3)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.5样板房服务岗1.3.5.1样板房讲解岗岗位标准1.3.5.1.1样板房讲解岗岗位职责1)负责来访样板房客户的全程接待与讲解;2)协助、配合置业顾问介绍;3)客户离开后,样板房零星保洁的处理;4)收集客户意见、建议及现场问题点的填写(样板房日常庶务)反馈单,下班后递交案场负责人;1.3.5.1.2样板房讲解刚工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶1)自检仪容仪表,以饱满的工作状态进入工段作;2)检查样板房设备设施运行情况,如有异常及时上报并做好登记;3)检查样板房保洁情况及空调开启情况;设备设施班中工作程序服务流程行为规范1)站立微笑自然2)递送鞋套3)热情大方、细致讲解4)温馨道别保持整洁工作要求注意事项1)每日对接样板房设备清单,检查空调开启及保洁状态;2)站在样板房或电梯口,笑意盈盈接待客户;3)顾客出现时,身体成30度角鞠躬“欢迎光顾XX样板房”4)引领入座并双手递上鞋套,双手递上时不宜过高,与客人坐下时的膝盖同高;5)与客户交谈时声音要足,吐字清晰避迎客,引导客协助置向客户免重复;6)专注你接待的客户,勿去应其他客户,以示尊重,对其他客户微笑点头以示回应;7)若无销售人员带领的客户,要主动介绍房子的户型及基本信息,谈到房子的价位时请客户直接与销售人员联系不要直接做回答;8)参加样板房时,未经销售或其他人员允许谢绝拍照及录像,谢绝动用样板房物品及附属设施,对客遗失物品做好登记并上报上级领导;9)时刻注意进入样板房的客户群体,特别是小孩,要处处表达殷勤的关心,以示待客之道;10)时刻留意客户的谈话,记下客户对样板房的关注点和相关信息;11)送别,引领客户入座示意脱下鞋套双手承接,客户起身离去时,鞠躬说感谢您参观样板房,并目送客户离开;下班程序1)检查样板房设备设施是否处于良好的运营状态,如出现异常及时维修;2)需对接样板房物品清单;3)整理客户意见,参加班后会;4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班时间已经到,必须待客人离开后下班;1.3.5.2样板房服务岗岗位标准(参见销售大厅服务岗岗位标准)1.3.6案场服务岗管理要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1)公司企业文化2)客户服务技巧3)客户心理培训4)突发事件处理5)营销知识培训6)职业安全7)7S现场管理例会日会:每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会:每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗样板房客户车场岗客户监督考核1)考核频次:至少每月一次;2)考核人:案场管理岗;3)每月汇总客户信息反馈表,依据上级检查及客户满意度调查情况进行绩效加减;4)由案场负责人直接考核;5)连续两个月考核不合格者直接辞退1.4案场基础作业岗1.4.1案场基础作业岗任职资格岗位类型岗位名称任职资格基础作业岗安全岗基本要求:1)男性:身高1.80米以上;2)年龄:(18-30)岁;3)普通话标准;4)学历:高中以上;技能要求:1)熟悉项目的基本情况2)具备过硬的军事素质素质要求:1)性格:开朗、主动服务意识强有亲和力;2)从业经历:具有同岗位经验半年以上案场保洁岗及绿化养护岗基本要求:1)男女不限;2)年龄30岁以下3)学历:初中以上技能要求“案场保洁岗:熟知药剂使用及工具使用案场绿化养护岗:熟知树木习性及绿化养护知识素质要求:具有亲和力,对保洁及绿化工作有认同感案场技术保障岗基本要求:男性五官端正学历:中专(机电一体化)技能要求:1)具有水或电及空调证书;2)熟悉各岗位操作工具的使用;3)同岗工作一年以上素质要求:踏实肯干,具有亲和力及主动服务意识1.4.2案场基础作业岗通用行为规范通用规范 参照标准君正物业员工BI 规范手册1.4.3安全岗岗位标准1.4.3.1安全岗岗位职责1)负责销售案场管理服务区域的安全巡视工作,维持正常秩序;2)监督工作区域内各岗位工作状态及现场情况及时反馈信息;3)发现和制止各种违规和违章行为,对可疑人员要礼貌的盘问和跟踪察看;4)谢绝和制止未经许可的各类拍照、摆放广告行为;1.4.3.2安全岗作业要求1)按照巡视路线巡视签到检查重点部位;2)遇见客户要站立、微笑、敬礼,礼貌的回答客户的提问并正确引导;3)人过地净,协助案场保洁人员做好案场的环境维护;4)在每一巡视期内检查设备设施运行状态并做好记录;5)协助做好参观人员的车辆引导、指引和执勤工作;6)积极协助其他岗位工作,依据指令进行协助;1.4.4保洁岗岗位标准1.4.4.1保洁岗岗位职责1)负责案场办公区域、样板房及饰品的清洁工作;2)负责案场外围的清洁工作;3)负责案场垃圾的处理;4)对案场杂志等资料及时归位;1.4.4.2保洁岗作业要求1)每天提前半小时上岗,对案场玻璃、地面等进行全方位清洁;2)卫生间每十分钟进行一次巡视性清洁;3)阴雨天提前关闭门窗;4)掌握清洁器具的使用;5)熟知清洁药剂的配比及使用;1.4.5绿化岗岗位标准1.4.5.1绿化岗岗位职责1)负责管理区域内一切绿化的养护;2)确保绿化的正常存活率;3)对绿植进行修剪及消杀;1.4.6案场技术岗岗位标准1.4.6.1案场技术岗岗位职责1)全面负责案场区域内设备设施的维护、维修及保养;2)协助管理岗完成重大接待工作案场的布置;3)现场安全的整体把控;1.4.6.2案场技术岗岗位要求1)每日案场开放前对辖区设备设施进行检查,保障现场零事故;2)每日班后对设备设施进行检查保障正常运行并做好相关记录;3)报修后5分钟赶到现场;4)接到异常天气信息,对案场设备进行安全隐患排除;1.4.7案场基础作业岗岗位要求培训及例会岗前培训BI规范及楼盘基本情况在岗培训每月至少一次1)公司企业文化2)客户服务技巧3)客户心理培训4)突发事件处理5)营销知识培训6)职业安全7)7S现场管理例会日会:每日参加案场管理岗组织的总结会并及时接收案场信息周会:每周参加管理岗组织的服务类业务点评会客户信息收集反馈每日汇总客户信息反馈到案场管理岗监督考核1)考核频次:至少每月一次;2)考核人:案场管理岗;3)每月汇总客户信息反馈表,依据上级检查及样板房客户车场岗客户客户满意度调查情况进行绩效加减;4)由案场负责人直接考核;5)连续两个月考核不合格者直接辞退2服务创新案例项目推荐亮点服务为客户爱车提供遮阳服务服务员面向客户时刻关注客户上午11点给客户送上点心,关怀到心2服务创新案例项目推荐亮点服务夏日毛巾送清凉,冬日毛巾暖人心洗手间提供百宝箱样板房门口提供卷尺待客户使用摆件销售大厅销售大厅标准摆设:布置整齐规范布置整齐规范水中花、烟缸、百宝箱、项目推介书茶几物品、花、烟缸水中花时尚周围用木桩装饰垃圾桶装饰(石子边缘放置一枚花卉)垃圾桶上方加印LOGO整齐的伞架样板房没有电样板房门口鞋销售大厅设置梯所设的温馨字画套分门别类摆放娱乐实施(桌球等)第二章:实数知识梳理【无理数】1.定义:无限不循环小数的小数叫做无理数;注:它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。