高等数学 第七章 第三节 齐次方程习题课

7.3 齐次方程习题解答
对于齐次方程
dy
=
y f( )
dx x
解题思路：作因变量代换化为可分离变量的方程
令 u = y ，即 y = xu，则 dy = u + x du 。
x
dx
dx
代入原式 dy = f ( y )，化为 u + x du = f (u)
dx x
dx
分离变量并积分：
du = ln x + C f (u) − u
=
2y 3−(y
x x)2
令 u= y
x
du 2u u + x dx = 3 − u2
分离变量
3 − u2 u3 − u
du
=
dx x
(
u
1 −
1
+
u
1 +
1
−
3 u
)du
=
dx x
ln u −1 + ln u + 1 − ln u3 = ln x + ln C
还原整理得通解
y2 − x2 y3 = C
代入初值条件
y =1 x=0
C =1
y3 = y2 − x2
第七章 第三节
5
第七章 第三节
3
2 求解 ( x3 + y3 )dx − 3 xy2dy = 0
解：变形为齐次方程
dy dx
=
x3 + y3 3 xy2
=
1+(y 3( y
x)3 x)2
令 u = y，代入 y = xu ，dy = u + x du
x
dx
dx
du 1 + u3
u+ x = dx
3u2
分离变量得
3u2du dx
1 − 2u3 = x
ln 1 − 2u3 = −2 ln x + ln C
1 − 2u3
=
C x2
还原得通解 x3 − 2 y3 = Cx
第七章 第三节
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求解
( y2 − 3x2 )dy + 2xydx = 0 , y = 1 x=0
解：变形为齐次方程
dy dx
=
2 xy 3x2 − y2
解：变形为齐次方程 dy = y (ln y + 1)
dx x x
令 u = y，代入 y = xu ，dy = u + x du
x
dx
dx
u + x du = u(ln u + 1) dx
分离变量得
du u ln u
=
dx x
ln ln u = ln x + ln C
ln u = Cx 还原得通解 y = xeCx
还原，得原方程的通解：(
f
du
(u)
−
u
)
u=
y x
=
ln x
+C
第七章 第三节
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1 求解 xy = y(ln y + 1) x
2 求解 ( x3 + y3 )dx − 3 xy2dy = 0
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求解
( y2 − 3x2 )dy + 2xydx = 0 , y = 1 x=0
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1 求解 xy = y(ln y + 1) x