代数式方程与不等式

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代数式的概念

代数式的概念一、代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

单独一个数和字母也是代数式。

例如：ax+2b，－2/3，b^2/26，√a+√2等。

二、代数式的性质：(1)单独一个数或一个字母也是代数式，如-3，a.(2)代数式中只能有运算符号，不应含有等于号（=、≡）、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≮）、约等号≈，也就是说，等式或不等式不是代数式，但代数式中可以含有括号。

可以有绝对值。

例如：|x|，|-2.25| 等。

(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义，即在实际问题中，字母表示的数要符合实际问题。

三、代数式的分类：在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。

一、有理式有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。

这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).1.单项式没有加减运算的整式叫做单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2.多项式个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。

不含字母的项叫做常数项。

多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。

不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。

实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。

对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。

数学中的代数式和方程

数学中的代数式和方程一、代数式的概念与分类1.代数式的定义：代数式是由数字、变量以及运算符号组成的式子，表示数与数之间的关系。

2.代数式的分类：a)单项式：只含有一个变量或常数的代数式，如2x、3、-5y^2等。

b)二项式：含有两个变量的代数式，如x+y、2x-3y等。

c)多项式：含有两个以上变量的代数式，如x2+2xy-3y2等。

d)函数式：表示一个变量与另一个变量之间函数关系的代数式，如f(x)=2x+1等。

二、代数式的运算1.加减法：同号相加，异号相减。

2.乘除法：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减。

3.乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。

4.合并同类项：将含有相同变量的同类项合并。

三、方程的概念与分类1.方程的定义：方程是含有未知数的等式，表示两个表达式之间的相等关系。

2.方程的分类：a)一元一次方程：未知数的最高次数为1，如2x+3=7。

b)一元二次方程：未知数的最高次数为2，如x^2-5x+6=0。

c)二元一次方程：含有两个未知数的一次方程，如2x+3y=8。

d)多元方程：含有两个以上未知数的方程。

四、方程的解法1.解一元一次方程：a)加减消元法：将方程中的同类项合并，消去未知数。

b)乘除消元法：将方程中的未知数乘以或除以一个数，使其系数变为1。

c)移项法：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到另一边。

2.解一元二次方程：a)因式分解法：将方程左边进行因式分解，使其变为两个一次方程。

b)配方法：将方程左边变为完全平方形式，求解未知数。

c)公式法：直接应用一元二次方程的求根公式。

五、方程的应用1.实际问题与方程：将实际问题转化为方程，求解未知数，解决问题。

2.方程组：同时解多个方程，求解多个未知数。

3.不等式与不等式组：表示未知数满足的关系，求解未知数的取值范围。

代数式和方程是数学中的基础知识点，掌握它们的定义、分类和解法对于中学生来说至关重要。

通过学习代数式和方程，我们可以更好地理解数与数之间的关系，解决实际问题，并为进一步学习高级数学打下基础。

数与式知识点总结

数与式知识点总结一、基本概念1. 数的分类数的分类主要包括自然数、整数、有理数、无理数和实数等。

自然数是最简单的数，包括0、1、2、3……即正整数和零。

整数包括正整数、负整数和零。

有理数是可以写成分数形式的数，无理数则不能用分数形式表示。

实数包括有理数和无理数。

2. 数轴及数的比较数轴是用来表示数的一条直线，通过数轴可以方便地对数进行比较。

在数轴上，数越往右越大，越往左越小，可以通过数轴方便地表示数的大小关系。

3. 数的运算数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法则不满足。

另外，零是加法和乘法的零元素，1是乘法的幺元素。

二、式的概念1. 代数式代数式是由常数、变量、运算符号和括号等符号组成的表达式，可以表示数或者表示一种计算关系。

代数式由于有变量的存在，所以具有一定的未知数的性质。

2. 方程与不等式方程是含有未知数的等式，可以通过求解来得到未知数的值。

不等式则是关于未知数的大小关系的式子，可以表示一种范围。

三、数与式的运算1. 加减法数的加减法是最基本的运算，可以通过列竖式进行计算。

代数式的加减法也是基本的运算操作，需要根据运算法则进行化简和计算。

2. 乘除法乘法和除法是数学中重要的运算，也是代数式合并、化简的重要手段。

3. 括号运算括号运算是代数式中优先级最高的运算，可以通过括号对式子进行分解、合并和化简。

4. 有理数的加减乘除运算有理数的加减乘除运算是数学中的重要内容，需要注意正负号的运算规则，以及除法中的零的性质等。

五、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是代数中的基础内容，通过解一元一次方程可以得到未知数的值，方程的解就是方程的根。

2. 一元一次不等式一元一次不等式是关于未知数的大小关系的式子，可以通过求解得到不等式的解集。

3. 二元一次方程二元一次方程是含有两个未知数的一次方程，通过解二元一次方程可以得到未知数的值。

4. 二元一次不等式二元一次不等式是含有两个未知数的不等式，通过求解可以得到不等式的解集。

大一代数式知识点

大一代数式知识点作为大一学生，代数式是我们学习数学的重要基础内容之一。

在这篇文章中，我将为大家详细介绍大一代数式的知识点。

一、代数式的定义和基本概念代数式是由数和字母组成的式子，可以利用代数式表示数与数之间的关系。

其中，数称为常数项，字母称为变量。

代数式可以包含加法、减法、乘法、除法、指数和根号等运算符号。

二、代数式的运算法则1. 同类项的合并法则当代数式中含有同一个字母的时候，可以将它们进行合并。

合并时，将同类项的系数相加，字母部分保持不变。

例如：2x + 3x = 5x4a^2b - 2ab^2 = 2ab(a - b)2. 乘法法则代数式中的乘法法则可以通过分配率、指数法则来进行计算。

例如：2x(3 + 4) = 2x * 3 + 2x * 4 = 6x + 8x = 14x(a^2)^3 = a^(2 * 3) = a^63. 平方差公式(a + b)(a - b) = a^2 - b^2例如：(3 + 2)(3 - 2) = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5三、代数式的因式分解和乘法公式1. 因式分解将代数式进行因式分解可以简化计算，找出公因式后进行提取。

例如：12x^2 + 6x = 6x(2x + 1)2. 乘法公式代数式中常用的乘法公式有平方公式、立方公式等。

例如：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2四、代数式的化简与展开1. 化简代数式化简代数式是指将其中的项合并、合并同类项、约分等操作，使其尽可能简洁。

例如：2x + 3x = 5x4a + 2a - 3a = 3a2. 展开代数式展开代数式是将其进行计算，得出最终结果。

例如：(2x + 3)(5 - x) = 2x * 5 + 2x * (-x) + 3 * 5 + 3 * (-x) = 10x - 2x^2 + 15 - 3x = -2x^2 + 7x + 15五、代数式的方程与不等式代数式的方程和不等式是代数式运用于实际问题中的运算形式。

代数与方程的概念

代数与方程的概念甘肃甘南合作市藏族小学徐忠一、代数的概念式子：指算式、代数式、方程式等的统称。

算式：用运算符号联结数字而成的式子。

算式是指在进行数的计算时所列出的式子，包括数和运算符号。

等式：表示相等关系的式子叫做等式。

不等式：表示不等关系的式子叫做不等式。

代数：用符号和字母代表一般的数来研究数的关系，数的性质，数的法则，就是代数。

代数式：用加、减、乘、除等运算符号，把数和表示数的字母连接而成的式子，就称为代数式。

如：3+5x，x+y等，（单独的一个字母或数字，如: a,x,8等，都可以叫做代数式。

）代数式的值：在代数式中当字母的数值确定后，把它代入原式中进行计算，所得的结果就是含字母式子的值，又称代数式的值。

1.用字母表示数的规则：在含有字母的式子里，数字与字母、字母与字母中间的乘号可以记作“•”，也可以省略不写。

但是要注意，在省略乘号的时候，应当把数字写在字母的前面，如a×4省略乘号写成4a。

当1和任何字母相乘时，“1”省略不写，如1×a写成a。

2.用字母可以表示那些数和数量关系？用字母可表示具体的数，数量关系，运算定律，公式和一些运算法则，也可用字母表示计量单位。

3.为什么要用字母表示数或数量关系？（1）为了把数量关系简明地表达出来，常用字母表示数，这为研究和解决实际问题带来了很大方便。

（2）用字母表示运算定律、性质及计算公式和法则时，省去许多文字叙述，比用语言文字表达简明、易记。

（用字母表示常用的公式时，要注意按习惯,用固定的字母表示，如几何形体的周长用C表示，面积一般用字母S表示，体积用V表示。

）（3）用字母表示计量单位时易记易写。

二、方程的概念含有未知数的等式，叫做方程。

判断一个式子是不是方程要具备两个条件：一是含有未知数，二是等式，两者缺一不可。

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程。

1.方程的解与解方程的区别：方程的解是一个数，这个数带入到方程中，能使方程左右两边的数值相等，方程的解是一个具体的数值。

知识必备02 方程与不等式(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集）（大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

专题01 代数式、方程、不等式的计算(原卷版)

专题01 代数式、方程、不等式计算目录热点题型归纳 ................................................................................................................................................................................. 1 题型01 实数计算 .......................................................................................................................................................................... 1 题型02 代数式的运算 .................................................................................................................................................................. 2 题型03 二元一次方程、分式方程的计算 .................................................................................................................................. 3 题型04 一元二次方程的计算 ...................................................................................................................................................... 5 题型05 解一元一次不等式（组） .............................................................................................................................................. 5 中考练场 .. (9)题型01 实数计算【解题策略】（1）绝对值化简：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：（2）根式化简：2(0)||(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（3）指数化简：011(0)(0).p p a a a a a-==≠，≠不会改变原数的正负性；（4）特殊的三角函数值要记牢。

第二讲式-代数式与不等式

第二讲式、代数式与不等式用字母表示数，数学研究的对象便从数扩展到式。

式本身不仅是代表数的符号，也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。

按照一定的数学法则，把数学符号连接起来的符号串，我们称之为数学式。

数学式是数学研究的基本对象。

一、数学符号简史古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符号。

欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。

中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，包括使用0，也大量求解方程，但是因为计算过程依赖于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，0只是一个空格。

公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数，使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是一项重大贡献，但是他们仍然以文字表述为主。

最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。

现存于德累斯顿图书馆的数学手稿（1486年）中，首见此符号。

1631年，英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法，而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，这样可以避免“×”和字母x混淆。

除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。

等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。

表示方程的符号，世界各国很不相同，可以说五花八门。

19世纪末20世纪初国际交往的扩大，终于有了比较统一的国际通用的数学符号。

中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。

满清政府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用上拒绝和国家接轨。

1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题：详见《中学代数研究》38P1859年《代微积拾级》出版算起，w z y x ,,,取代天、地、人、元的过程，前后经历了半个世纪之久。

二、数学符号语言——代数式自学《中学代数研究》40~38P三、字母表示数自学《中学代数研究》42~40P四、解析式解析式——用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。

代数式：只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。

高中数学知识点总结及公式大全代数运算与多项式的因式分解

高中数学知识点总结及公式大全代数运算与多项式的因式分解高中数学知识点总结及公式大全——代数运算与多项式的因式分解代数运算是高中数学中的重要部分，用于解决各种数学问题。

本文将对高中代数运算的基本知识点进行总结，并提供相关公式大全。

同时，还将介绍多项式的因式分解的基本理论和方法。

一、代数运算的基本知识点1. 符号及运算法则代数运算中常用的符号包括加号（+）、减号（-）、乘号（×）、除号（÷）、等号（=）等。

根据运算法则，可以进行加减乘除运算，并遵循按照先乘除后加减的原则。

2. 代数式的展开与因式分解代数式的展开是将多项式进行化简的过程，通过应用分配律等法则，将括号内的项与括号外的各项按照相应的运算法则进行运算，并进行合并和整理。

代数式的因式分解则是相反的过程，将复杂的多项式拆分为最简单的因式相乘的形式。

因式分解可以帮助我们更好地理解多项式的结构，简化计算过程，并解决实际问题。

3. 代数方程与不等式代数方程是指包含未知数的等式，常见的代数方程包括一元一次方程、二次方程等。

通过运用代数方程的解法，可以求解未知数的值，解决实际问题。

代数不等式是指包含未知数的不等式，通常使用数轴和图像表示。

通过解不等式，可以确定未知数的取值范围，并判断不等关系成立的条件。

不等式在数学和实际问题中都有广泛应用。

二、代数运算公式大全以下是一些常用的代数运算公式，供参考使用：1. 二次根式公式：- 平方差公式：$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$- 完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$- 差平方公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$2. 代数式展开公式：- 二次式展开公式：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$- 三次式展开公式：$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$3. 代数式因式分解公式：- 二次差平方公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$- 一元三次多项式因式分解公式：$ax^3 + bx^2 + cx + d = (mx + n)(px^2 + qx + r)$4. 代数方程与不等式公式：- 一元一次方程：$ax + b = 0$- 二次方程求根公式：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$- 线性不等式：$ax + b > 0$三、多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式写成若干个因式相乘的形式。

高中数学必修一等式与不等式知识点总结

高中数学必修一等式与不等式知识点总结一、基本概念1. 等式：左右两边相等的代数式2. 不等式：左右两边不相等的代数式3. 方程：带有未知数的等式4. 不等式组：包含两个或更多个不等式的集合5. 绝对值：一个数与0的距离，表示为|a|二、等式的性质1. 可以对等式两边同时加或减相同的量2. 可以对等式两边同时乘或除相同的非零量3. 可以交换等式两边的位置4. 可以用等式左边的代数式替换等式右边的代数式，反之亦然三、不等式的性质1. 可以对不等式两边同时加或减相同的量2. 可以对不等式两边同时乘或除相同的正数3. 可以交换不等式两边的位置，但是要改变不等式符号的方向4. 可以用不等式左边的代数式替换不等式右边的代数式，反之亦然，但是需要保证代数式符号的一致性四、一元一次方程1. 基本形式为ax+b=02. 解一元一次方程的步骤：1. 移项，将常数项移到一边2. 约项，将同类项合并3. 系数化为1，将未知数系数变为14. 检验解五、一元二次方程1. 基本形式为ax²+bx+c=02. 解一元二次方程的步骤：1. 求出判别式△=b²-4ac的值2. 当△>0时，方程有两个不相等的实根；当△=0时，方程有一个二重根；当△<0时，方程无实根，有两个共轭复数根3. 代入求解，根据公式x1,2=(-b±√△)/2a求出根4. 检验解六、一元一次不等式1. 基本形式为ax+b>0或ax+b<02. 解一元一次不等式的步骤：1. 移项，将常数项移到一边2. 约项，将同类项合并3. 乘以一个正数或负数，使得未知数系数的符号与不等式的符号一致4. 检验解七、一元二次不等式1. 基本形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<02. 解一元二次不等式的步骤：1. 求出解集，将不等式化为(ax-d)·(ax-e)>0或(ax-d)·(ax-e)<0的形式，再根据函数图像、零点、辅助函数等方法求解2. 将求出的解集与区间合并，得到不等式的解集以上是高中数学必修一等式与不等式知识点的总结，通过掌握这些知识点，可以有效地解决数学中的方程与不等式问题。

代数的基本概念与运算

代数的基本概念与运算代数是数学的一个重要分支，它研究数与数之间的关系和运算规律。

在代数中，我们通过使用符号和公式来表示数和运算，并研究它们的性质和规律。

本文将介绍代数的基本概念和运算。

一、代数的基本概念1. 数和变量：代数中的数可以用具体的数字表示，也可以用表示数的字母或符号表示，这些字母或符号称为变量。

通过使用变量，我们可以表示一类数而不是具体的数值。

2. 代数式：由数字、变量和代数运算符（如加减乘除等）组成的式子称为代数式。

代数式可以包含一个或多个变量，并且可以进行求值。

3. 方程和不等式：代数中的方程是等式，它表示两个代数式之间的相等关系。

不等式则表示两个代数式之间的大小关系，可以是大于、小于、大于等于或小于等于。

4. 函数：代数中的函数描述了一种输入与输出之间的关系。

函数可以用公式或图形表示，通过给定输入，我们可以求出对应的输出。

二、代数的基本运算1. 加法和减法：代数中的加法和减法与我们平常所熟悉的运算规则相似。

我们可以将代数式中的相同变量合并，将相同系数的项相加或相减。

2. 乘法和除法：代数中的乘法和除法也有相应的运算规则。

在乘法中，我们将两个代数式相乘，将相同变量的指数相加；在除法中，我们将一个代数式除以另一个代数式，可以利用因式分解等方法化简。

3. 幂运算和根号运算：代数中的幂运算表示将一个数自乘若干次，幂指数表示幂运算的次数。

根号运算则表示求一个数的平方根、立方根等。

4. 多项式运算：多项式是代数中的一类代数式，由一个或多个单项式组成。

多项式可以进行加减乘除等运算，可以化简或进行因式分解。

5. 求值和解方程：在代数中，我们可以给定变量的值，求出代数式的具体数值。

解方程则是求出使方程成立的变量值，并通过求解方程组来确定多个变量的值。

三、代数的应用领域1. 几何和物理：代数在几何和物理中有广泛的应用。

通过使用代数，我们可以解决几何问题，求出图形的面积、周长等。

在物理中，代数可以用于建立物理方程，描述物体的运动、力学等。

初三代数式知识点归纳总结

初三代数式知识点归纳总结代数式是初中数学学习中的重要内容，它是数学语言的一种表达方式，既简洁又灵活。

在初三阶段，我们学习了很多代数式的知识点。

下面就对初三代数式的相关内容进行归纳总结。

1. 代数式的定义和基本概念代数式由字母、数字和运算符号组成的式子，它可以表示一类数，并可根据需要进行计算和变形。

代数式由项构成，项由系数和字母的乘积构成。

代数式可以通过合并同类项、提取公因式等方式进行简化和变形。

2. 一元一次代数式一元一次代数式是由一个字母的一次幂和常数项构成的代数式。

一元一次代数式的一次幂指数为1，例如：2x + 3。

我们学习了解一元一次方程的求解过程，可以通过各种运算，将方程化简为最简形式，并求得方程的解。

3. 多项式代数式多项式代数式是由多个项相加或相减而成的代数式，其中每个项可以是常数项或含有字母的项。

多项式代数式可以进行加法、减法和乘法运算。

我们学习了多项式的合并同类项、提取公因式、因式分解等基本运算法则。

4. 代数式的乘法公式和因式分解代数式的乘法公式是用于展开代数式的重要工具。

其中，平方差公式和求和差公式是最基本的乘法公式。

在因式分解中，我们学习了怎样将一个代数式分解成几个乘积的形式，以便于进行进一步的计算和运算。

5. 二次根式和二次代数式二次根式是指含有平方根（二次根号）的根式，例如：√(2x + 3)。

我们学习了二次根式的化简和运算法则，例如消去根号、分解因式等。

二次代数式是含有平方项的代数式，例如：x^2 + 2x + 1。

对于二次代数式，我们学习了使用配方法、完全平方公式等进行变形和求解。

6. 代数式的方程与不等式代数式可以用于表示方程和不等式。

在初三阶段，我们学习了一元二次方程和一元二次不等式的解法，以及用图像解法、配方法等求解代数式方程和不等式的方法。

我们还学习了方程和不等式的根、解集等概念。

通过对初三代数式的归纳总结，我们对代数式的定义、基本概念和运算法则都有了更深入的理解。

代数式与不等式

第1节.代数式与不等式一、知识要点（一）代数式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式定义：用运算符号把数或表示数的字母联结而成的式子。

单独的一个数或字母，也是代数式。

整式1、单项式①没有加减运算的整式叫做单项式。

②系数：单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的数字系数，简称系数。

③次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如5x 3y 这个单项式，它的系数是5，次数为4。

2、多项式①几个单项式的和叫做多项式。

②多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项。

③常数项：不含字母的项叫做常数项。

④同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。

3、整式的运算（1）幂的运算a m •a n =a m+na m ÷a n =a m-n(a m )n =a mn(ab)n=a n bn(b a )n =nnba(ab )-p =(b a )p （2）整式的加减法：整式加减法的一般步骤：①去括号；②合并同类项。

合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项的法则是字母不变，系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

去括号法则：括号前面是“+”时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是“－”时，去掉括号，括号内“+”变“－”，“－”变“+”。

添括号法则：如果括号前面是“+”，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是“－”，括到括号里的各项都改变符号。

（三）整式的乘除法①单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数相乘、相同字母的幂相加，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

②单项式乘以多项式：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

③多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

数学课程标准解读——数与代数部分

• •
（2）会利用待定系数法确定一次函数的表达式。（3）能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达
式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变
• ④能根据一次函数的图象求
化情况。
二元一次方程组的近似解。 • （4）理解正比例函数。
• ⑤能用一次函数解决实际问题。
• （3）会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
Байду номын сангаас
一、数与代数- 4．整式与分式
• ①了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
• ②了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
• （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为“顶点式”的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
• （4）会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
• （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
具体内容变化的主要表现
• ①能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
• ②经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］
• ③会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
• ④理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
• （1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

数与代数的内容包括数与式(实数、整式、分式)方程与不等式.

复习的策略与方法
1. 宏观把握，整体规划
对课程内容的宏观把握上，要依纲（数学课程标准）靠
本（教材），熟悉课程理念，明确课程目标及内容要求.
对中考考试的宏观把握上，要认真研究中考说明，明确
考试的范围、侧重点、每一个考点的具体要求，做到：
① 以中考考试说明为指导，以近年来中考命题的稳定性风格为导向； ② 以课标为大纲，抓住根本应万变，以教材为依据，又不拘泥于教材； ③ 以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年中考试题为基本素材.
例1. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，A点坐标为（2，1）, 分别以A、B 为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和是多少？（两个阴影部分面积和看作一个圆的面积12×π＝π. ）
思想方法:中心对称变换的思想、整体思想、数形结合.
复习的策略与方法
4. 创设情境，概括建模思想
同学应该选择包车还是乘公共汽车去景点？
教师引导学生：
（1）用函数模型解决问题1；
（2）对解决问题的过程进行总结和解释；
（3）归纳利用函数模型解决实际问题的基本模式.
用代数式表示两种
乘车方式的车费总开支
实际问题
函数问题
实际问题的解
解释函数问题解的实际意义
函数问题的解
问题2：出发那天，小明数了数人数，发现有24人要去旅游，由于小客车不能超载，小明准备与3个同学一起乘公共汽车去景点. 由于临时叫车，在其他同学乘小客车出发后，小明等了15分钟，并与乘小客车出发的同学约定同时到达景点，如果公共汽车的平均速度是小客车速度的1.5倍，问公共汽车的平均速度是多少？
例4. 起点题：某水果批发市场的香蕉价格如下表：

数与式、方程、不等式

数与式实数与代数式1、数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001∙∙∙叫无理数；有理数和无理数统称实数。

实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。

2、实数和数轴上的点是一一对应的．2．（1）互为倒数的积为1；（2）互为相反数的和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。

3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离去绝对值法则：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值是它的相反数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a数轴：①定义（三要素：原点、正方向，单位长度）；②点与实数的一一对应关系。

(2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

5、近似数和有效数字：测量的结果都是近似的；利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

6、科学记数法；一般地，一个大于10的数可以表示成ａ×10 n 的形式,其中1≤a ﹤10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0）负整指数幂的性质：pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序10、无理数的错误认识：（1）无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2（3但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较整式1、代数式的有关概念．(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入2、整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式(3)多项式的降幂排列与升幂排列(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．3、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

代数式知识点

代数式知识点代数式知识点概述一、代数式的定义代数式是由数字、字母（代表变量或系数）、和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）按照一定的规则组合而成的数学表达式。

例如：3x+2、4a^2 - 5ab + 6b^3、7x^0 等。

二、代数式的分类1. 单项式：只包含一个项的代数式，如 5a、-3b^2。

2. 多项式：由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，如 x^2 + 3x - 2。

3. 有理式：包含分数形式的代数式，分子和分母都是多项式，如(x+2)/(x-1)。

4. 无理式：包含根号的代数式，如√(x+3)。

三、代数式的运算规则1. 加法与减法：- 同类项可以相互合并，不同类项保持不变。

- 合并同类项时，系数相加或相减，字母与指数不变。

- 去括号法则：正负号影响括号内的每一项。

2. 乘法：- 单项式乘单项式：系数相乘，相同字母的指数相加，其余不变。

- 单项式乘多项式：将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。

- 多项式乘多项式：使用分配律，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式相乘，然后合并同类项。

3. 除法：- 多项式除单项式：将多项式的每一项都除以单项式，然后将结果相加。

- 多项式除多项式：需要使用长除法或待定系数法。

4. 乘方：- 幂的乘方：底数不变，指数相乘。

- 积的乘方：每个因数分别取方，然后将结果相乘。

四、代数式的简化1. 合并同类项：将具有相同字母和指数的项合并。

2. 应用运算法则：正确使用加法、乘法、除法和乘方的规则来简化表达式。

3. 因式分解：将多项式分解为若干个单项式的乘积，以简化表达式。

五、代数式的运算技巧1. 使用分配律简化乘法运算。

2. 利用结合律和交换律重新排列运算顺序。

3. 通过观察和试错法找到最佳的因式分解方法。

4. 利用特殊值法检验多项式是否满足特定条件。

六、代数式的应用1. 解方程：通过代数式的运算找到未知数的值。

2. 优化问题：在实际问题中，通过最大化或最小化代数表达式来找到最优解。

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代数式、方程与不等式
1. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++26
21133y x y x 的解是 2. 满足方程532=-++x x 的x 的取值范围是。

3. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。

4. 方程2009=xyz 的所有整数解有组。

5. 已知三个非负实数c b a ,,满足：523=++c b a 和132=-+c b a ，若c b a m 73-+=，则m 的最
小值为。

6. 已知关于ｘ的方程2ｘ2-4ｘ+ａ-1=0至少有一个正实数根,则ａ的取值范围是..
7. 已知ａ2
-ａ-1=0,且42323293,2112a xa a xa a -+=-+-则ｘ=. 8. 已知关于x 的方程02)2()3(22
34=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则
所有实根的平方和为。

9. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为。

10. 在平面直角坐标系中,点Ｐ的坐标是
+ｍ
+ｎ),这里ｍ,ｎ都是有理数,过点Ｐ作ｙ轴的垂线,垂
足为Ｈ,
已知△ＯＰＨ的面积为2
,其中Ｏ为坐标原点,则满足条件的有序数对(ｍ,ｎ)有对.. 11. 已知实数ｘ,ｙ满足方程(ｘ2+2ｘ+3)(3y 2+2ｙ+1)=43
则ｘ+ｙ=. 12. 求满足方程ｘ2+ｙ2=2(ｘ+ｙ)+ｘｙ的所有正整数ｘ,ｙ. 13. 已知：关于x 的方程①
()2220x m x m -++-=有两个符号不同的实数根1x ，2x ，且1x ＞2x ＞0；关于x 的方程②
()22230mx n x m +-+-=有两个有理数根且两根之积等于2。

求整数n 的值。