新定义数列专题

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新定义数列为背景的解答题

【名师综述】解决新定义问题,首先考察对定义的理解。其次是考查满足新定义的数列的简单

应用,如在某些条件下,满足新定义的数列有某些新的性质,这也是在新环境下研究“旧”性质,此时需要结合新数列的新性质,探究“旧”性质.第三是考查综合分析能力,主要是将新性质有机地应用在“旧”性质上,创造性地证明更新的性质.

类型一 以数列和项与通项关系定义新数列

典例1 设数列{}n a 的首项为1,前n 项和为n S ,若对任意的*n N ∈,均有n n k S a k +=-(k 是常数且*k N ∈)成立,则称数列{}n a 为“()P k 数列”.

(1)若数列{}n a 为“()1P 数列”,求数列{}n a 的通项公式;

(2)是否存在数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +数列”?若存在,求出符合条件的数列

{}n a 的通项公式及对应的k 的值;若不存在,请说明理由;

(3)若数列{}n a 为“()2P 数列”, 22a =,设3

1223222

2

n

n n a a a a T =

++++

,证明: 3n T <. 【答案】(1)12,*n n a n N -=∈.(2)见解析;(3)见解析.

(2)假设存在这样的数列{}n a ,则有n n k S a k +=-,故有11n n k S a k +++=- 两式相减得: 11n n k n k a a a ++++=-,故有332n n k n k a a a +++++=- 同理由{}n a 是“()2P k +数列”可得: 132n n k n k a a a +++++=-, 所以13n n a a ++=对任意*n N ∈恒成立

所以22n n k n k n S a k a k S ++++=-=-=,即2n n S S +=,又2222n n k n S a k S +++=--=-,即22n n S S +-=,两

者矛盾,故不存在这样的数列{}n a 既是“()P k 数列”,也是“()2P k +数列”. (3)因为数列{}n a 为“()2P 数列”,所以22n n S a +=- 所以132n n S a ++=-

故有, 132n n n a a a +++=-,又n =1时, 132a a =-,故33a =,满足: 321a a a =+ 所以21n n n a a a ++=+对任意正整数n 恒成立,数列的前几项为:1,2,3,5,8,

故31223234512358

2222222222n n n n n

a a a a a T =

++++=++++++

所以, 12345111235

2222222

n n n n n a a T -+=+++++

两式相减得: 122341

2341111121112

22222222222

22

n n n n n

n n n n n a a a a a T --++-=+++++-=+++++

- =21

31442n n n a T -++-,显然21,02n n n n a T T -+,故131

244

n n T T <+,即3n T <. 【名师指点】(1)准确转化,紧扣定义,区别已有概念;(2)恰当选取特例法、演绎法,结合性质求解;(3)耐心读题,挖出隐含条件,分析与综合相结合.

【举一反三】若数列{}n a 同时满足:①对于任意的正整数n , 1a n a a +≥恒成立;②对于给定的正整数k , 2n k n k n a a a -++=对于任意的正整数()n n k >恒成立,则称数列{}n a 是“()R k 数列”. (1)已知22,,{

2,,

n n n a n n -=为奇数为偶数判断数列{}n a 是否为“()2R 数列”

,并说明理由; (2)已知数列{}n b 是“()3R 数列”,且存在整数(1)p p >,使得33p b -, 31p b -, 31p b +, 33p b +成等差数列,证明: {}n b 是等差数列. 【答案】(1)是(2)见解析

【解析】

22n n a a -++= ()()222242n n n n a -++==.

所以,数列{}n a 是“()2R 数列”. (2)由题意可得: 332n n n b b b -++=,

则数列1b , 4b , 7b , ⋅⋅⋅是等差数列,设其公差为1d , 数列2b , 3b , 8b , ⋅⋅⋅是等差数列,设其公差为2d , 数列3b , 6b , 9b , ⋅⋅⋅是等差数列,设其公差为3d . 因为1n n b b +≤,所以313234n n n b b b +++≤≤, 所以()1122111b nd b nd b n d +≤+≤++,

所以()2112n d d b b -≥-①,()21121n d d b b d -≤-+②. 若210d d -<,则当12

21

b b n d d ->

-时,①不成立; 若210d d ->,则当121

21

b b d n d d -+>

-时,②不成立;

若210d d -=,则①和②都成立,所以12d d =.

同理得: 13d d =,所以123d d d ==,记123d d d d ===. 设31333131p p p p b b b b --+--=- 3331p p b b λ++=-=, 则()()()313231311n n p p b b b n p d b n p d ---+-=+--+--

3131p p b b d d λ-+=-+=-.

同理可得: 331313n n n n b b b b d λ-+-=-=-,所以1n n b b d λ+-=-. 所以{}n b 是等差数列.

【另解】3133p p b b λ--=- ()()()2312b p d b p d =+--+- 23b b d =-+,

3131p p b b λ+-=- ()()12121b pd b p d b b d =+-+-=-+,

3331p p b b λ++=- ()3131b pd b pd b b =+-+=-,

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