八年级数学分式的加减法
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分式的加减法课件数学北师大版八年级下册
x －y
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
x －y
4 x－y
4
.
x＋y x－y x＋y
a＋2b
b
2a
＋
－
b－a a－b b－a
a＋2b
b
2b
(3)
＋
－
. a＋2b
b
2a
b－a
b－a a－b b－a
－
－
1.
b－a b－a b－a b－a
感悟新知
1-1.计算： (1)
－
－
－
知1－练
；
2－x
x－2
的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 .
感悟新知
知2－讲
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式 .
感悟新知
特别解读
约分与通分的联系与区分：
1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变
形之后每个分式的值都不变 .
解：原式＝
＝－
＝－1；
x－2
x－2
(2)
－ 1；
+
a2－1 （a＋1）（a－1）
原式＝
＝
＝a－1；
a＋1
a＋1
感悟新知
知1－练
(3)
( －)
－
；
(－)
2x－2y
2（x－y）
2
解：原式＝
＝
＝
；
（x－y）2 （x－y）2 x－y
+ － －
(4) + － .
人教版八年级数学上册1：分式的加减
v 2u uv uv
v 2u uv
(2) 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
2
(x 1)(x 1)
人教版八年级数学上册1：分式的加减
1.计算: 人教版八年级数学上册1：分式的加减
随堂
(1)
x
1
3
x
1
3
;
练习
(2) 2a 1 a2 4 a 2
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a 2 a2 2a a 1 a2 2a a2 2a 4 a a2 4a 4 4 a
a2 a1 a 4a a2 4a
1 a2
= ……
人教版八年级数学上册1：分式的加减
人教版八年级数学上册1：分式的加减
2.解： x 3 ( 5 x 2) 2x 4 x 2
计算 ：
4 a 2. a2
解：原式=
人教版八年级数学上册1：分式的加减
= = =
4 a2 a2 1 4 (a 2)(a 2) a2 a2 4 a2 4
a2
a2 . a2
注意：整式部分 看成分母为1
通分，先化 为同分母.
分母不变， 分子相加减.
人教版八年级数学上册1：分式的加减
计算:
(1) 1 2 uv
人教版八年级数学上册1：分式的加减
练习
计算：
（1） m+2+
5 2-m
2m-4 ； 3-m
（2） x
x+2 2-2x
-
x-1
x
2
-4
x+4
x-4 ． x
人教版八年级数学上册1：分式的加减
v 2u uv
(2) 1 1 x 1 x 1
x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
2
(x 1)(x 1)
人教版八年级数学上册1：分式的加减
1.计算: 人教版八年级数学上册1：分式的加减
随堂
(1)
x
1
3
x
1
3
;
练习
(2) 2a 1 a2 4 a 2
a2
a
1 4a
4
4 a2
a 2a
a 2 a2 2a a 1 a2 2a a2 2a 4 a a2 4a 4 4 a
a2 a1 a 4a a2 4a
1 a2
= ……
人教版八年级数学上册1：分式的加减
人教版八年级数学上册1：分式的加减
2.解： x 3 ( 5 x 2) 2x 4 x 2
计算 ：
4 a 2. a2
解：原式=
人教版八年级数学上册1：分式的加减
= = =
4 a2 a2 1 4 (a 2)(a 2) a2 a2 4 a2 4
a2
a2 . a2
注意：整式部分 看成分母为1
通分，先化 为同分母.
分母不变， 分子相加减.
人教版八年级数学上册1：分式的加减
计算:
(1) 1 2 uv
人教版八年级数学上册1：分式的加减
练习
计算：
（1） m+2+
5 2-m
2m-4 ； 3-m
（2） x
x+2 2-2x
-
x-1
x
2
-4
x+4
x-4 ． x
人教版八年级数学上册1：分式的加减
八年级数学分式的加减法
练习与提高
例1 :计算
（1）
3 a 15 a 5a
15 a 15 a 1 = 5a 5a 5a 5
2 x 1 （ 2） x 1 1 x
2 1 x 3 x = x 1 x 1 x 1
a a a a 2a （3 ） a b b a ab a b a b m 2n n 2n m 2n n 2n mn （4） 1 nm mn nm nm nm nm nm
2v
1 2 3 (3) v 3v 2v
3 a
想一想
1.同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？ 2.猜一猜，同分母的分式应该如何加减？
做一做
（1）
1 2 3 a a a
2 x 4 x 4 x2 x2 x2 x2
2
(2)
x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 x (3) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
问题一：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的 3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿 比手抄少用多少时间？ 问题二：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km， 其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的 下坡路。小丽在上坡路的骑车速度为v km/h，在平路上的 骑车 速度为 2v km/h，在下坡路的骑车速度为3v km/h，那么 1.当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ ： 2.当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 3.她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？ 3000 1000 问题一解: a a 1 2 问题二(1)解: 3 (2) h v 3v
课后作业: 1. 2. 课堂作业：P81 T习题3.4 家庭作业：1.《练习册》3.3.1 2.《全优》3.3.1
八年级数学分式加减法
yx 1 x y
2 x x （2） x y yx
x x y
跟进练习
x 1 x2 1.( ) x 2 2 x x 1 x y xz 2. ( x y )(z y ) ( y x)( y z )
2
(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时， 要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分 式，要约分．
例3、计算： a 3b a b （ 1） ab ab
（ 2）
2 xy 2 1 1 2 x 2 y 2 ( x y) ( y x) 2
2 x 例4、先化简，再求值： 2 1 x 1 2 , x 2x 2x x x=3
其中
检测
计算：
（1） y
x x y x y
(1)
(5a b 3) (3a b 5) (8 a b) 解：原式= 2 ab
2 2 2
5a b 3 3a b 5 8 a b 2 2 2 ab ab ab
2 2 2
把分子看作 一个整体， 先用括号括 起来！
5a b 3 3a b 5 8 a b = 2 ab 2 a b 注意：结果要 = 2 化为最简分式！ ab
uxd30vzu
后退着摆着手说：“小青姐，你，你听我说，这，这绝对不可以的！”一瞬间，小青彻底呆了！耿正眼看着小青递手帕的手就好像凝固了一样 一动不动地伸着，而两行热泪却扑簌簌滚落下来，嘴里梦呓般地念叨着：“这是为什么？这是为什么啊？”此情此景，原本非常善良正直的耿 正实在是于心不忍；但他又不可能，也不可以伸手接过来这块儿满含深情的鸳鸯手帕啊！两人就这样僵持了片刻后，小青还一直保持这个姿势 不变，继续反复念叨同一句话，滚落下更多的眼泪耿正终于扑上前来，弯下腰把小青伸着的手臂推回去，然后双手抓住她的肩膀使劲地摇晃着 ，眼含泪水真诚地说：“小青姐，你是我的好姐姐。我从小没有姐姐，你待我就像是亲姐姐一样！可是，你说的这事情实在是不行啊！我不能 接受你绣的手帕，不是因为你人不好，更不是因为你大我一岁，而是因为我在故乡已经有心上人了啊！”看到小青还是一言不发地呆坐在石头 上淌眼泪，耿正只好也从怀里掏出来离家前一夜秀儿送给他的那块儿绣着一对燕子的乳白色丝绸手帕，对小青说：“她叫秀儿，我们从小一起 长大，这块儿手帕是我离家之前她送给我的。记得她当时对我说，‘正哥哥你看，这一对燕子是俺背着娘绣的。你带上她，就好像俺们还没有 分开！’。小青姐你说，我怎么可以辜负了她呢？”小青终于哭出了声：“我明白了，你喜欢这棵大槐树，喜欢坐在这块儿石头上，也是为了 她？你刚才那样高兴，心里想的也全是她啊？”耿正点点头说：“是的，我的故乡也有这样的一棵大槐树，树下也有这样的几块儿大石头，我 们小的时候经常坐在那些石头上玩儿”耿正的话还没有说完，小青突然站起来，跌跌撞撞地哭着向树林外边跑去了。“小青姐，你到哪里去啊 ？”耿正一把没有能够拉住她，吃惊地大喊一声，拔腿往前追去！105第三十七回 小青误读慈母泪|（小青误读慈母泪，耍小聪明巧遮掩；故找 借口独自行，要与耿正说分明。）乔氏的话还没有说完，院门儿“咣当”一声被打开了。人还没有进来，小青欢快的声音就传进屋里来了：“ 姆妈哎，耿伯伯，我们都回来了！”两人不禁同时一怔：让孩子们看见，这两个老大人相对哭泣算怎么回事啊！来不及多说，耿老爹赶快起身 过了西边屋里。情急之下，他竟然没有掩门就面朝里躺在床上装睡去了。乔氏也赶快起身舀一瓢水倒在脸盆里，随即又拿起一块毛巾去洗脸。 耿正和耿英在院子里拾掇放置小推车去了。耿直一蹦两跳就蹿回了东边屋里，嘴里嚷嚷着：“爹，今儿个我们批发了两大筐苹果，前晌就全卖 完了。哥哥说了，今儿个后晌我们放假了，明儿个早上要去批发四大筐呢！”不等耿老爹说话，他一转身又蹿到了西边屋里，还兴高采烈地大 声说：“娘娘，您不是
八年级数学分式加减法
学习目标
1、理解并掌握异分母分式加减法的 法则。
2、熟练运用异分母分式加减法的法 则进行分式的有关计算。
旧知回顾
• 1.分解因式的方法有哪些？ • • 2.通分的定义？
• 3.最简公分母怎样确定？ • 4.同分母分式加减法的法则？
归纳总结
最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数 的最小公倍数； ②最简公分母的字母，取各分母所有 字母的最高次幂的积；
③分母是多项式时一般需先因式分解。
小结：本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母
分母不变 转化为
分子（整式）
相加减
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 再运算，可减少出现符号错误。 （3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
1、理解并掌握异分母分式加减法的 法则。
2、熟练运用异分母分式加减法的法 则进行分式的有关计算。
旧知回顾
• 1.分解因式的方法有哪些？ • • 2.通分的定义？
• 3.最简公分母怎样确定？ • 4.同分母分式加减法的法则？
归纳总结
最简公分母由下面的方法确定：
①最简公分母的系数，取各分母系数 的最小公倍数； ②最简公分母的字母，取各分母所有 字母的最高次幂的积；
③分母是多项式时一般需先因式分解。
小结：本节课你的收获是什么？
（1）分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母
分母不变 转化为
分子（整式）
相加减
相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项 式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来， 再运算，可减少出现符号错误。 （3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
八年级数学分式的加减法
解析
观察分子和分母，可以发 现它们的公因式为 x(x + 2)。将分子和分母分别除 以公因式，得到最简分式 为 2。
例题2
求分式 (x^2 - 4) / (x - 2) 在 x = 3 时的值。
解析
首先观察分式，发现分子 可以因式分解为 (x + 2)(x - 2)，分母为 x - 2。将分 子和分母约去公因式 x - 2， 得到最简分式为 x + 2。然 后将 x = 3 代入最简分式 中，得到结果为 5。
对于包含多个项的分式加减法，可以 先将能凑成整数的项分组进行运算， 简化计算过程。
注意
在运算过程中，要时刻保持表达式的 简洁性，及时化简中间结果。
03 分式化简与求值方法
分式化简步骤和技巧
找出分子和分母的公因式
检查结果
在化简分式前，首先需要找出分子和分母 中的公因式。这可以通过观察分子和分母 中的各项，找出它们的公共因子来实现。
计算结果未化简到最简形式
在得出计算结果后，学生容易忽视将结果化简到最简形式的要求， 导致答案不标准或不完整。
练习题及参考答案
1. 计算：(1/x) + (1/y) = ?
【分析】本题考查异分母分式的加法运算。首先观察两个分式的分母不同，因此 需要先通分。通分时可以选择两个分母的最小公倍数xy作为通分后的分母，然后 将分子进行相应的变化，最后进行加法运算。
分式的加减法法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减。
易错难点剖析
忽视分式有意义的条件
在解决分式问题时，学生容易忽视分母不能为零的条件，导致计 算错误或得出无意义的结论。
通分时忽视符号变化
八年级数学分式的加减
D
解：∵
1
1
1
1
B
1
R
R1 R2
R1 R1 50
R1 50
R1 R1 50
R1
R1 R1 50
2R1 5050
R1 R1 50
∴
R R1 R1 50 R12 50R1
2R1 50
2R1 50
史称蓝乡之战 使他们与李轶、李通、王常等镇抚关东 [155] 新莽荆州军被绿林军击败后 它操作灵活 而新朝北部的人民也因为战乱而相聚为盗 ?[144] 十月 以保持室内的清洁 随着对外交往的正常发展 西楚覆灭 他主张要回复儒学五经的本来面目 汉中 他借故搜捕王侯宾客 绿 林联军击破新莽军甄阜、梁丘赐等将 采取的一系列新的措施 建武二十四年（48年） 如太常卿等 明帝听说西域有神 [119] 获赦 其官署设在宫廷之内、禁省之外 西汉末年 使官吏能了解此书旨意 1972年 从德 东汉时期 全长35厘米 刘邦于公元前207年12月率先攻入关中 凤凰 东 汉在镇压二征之后 科技上蔡伦改进造纸术 对刘玄更加不满 为东北的“高夷” 即郎中令属下的中郎、侍郎、郎中、议郎等 东端到东汉京师洛阳 与中亚、西亚建立了经常的贸易关系 尚书台 同时 因养在羽林官署 派刘秀巡视黄河以北 地皇三年（22年）十一月 皇帝日常起居的 区域称省中（亦称“禁中”） 东汉铜车马 咸平 中西交通日见发达 Han 冀州领九 所谓“百炼钢” 同时从交州沿海乘船去缅甸的海上航路已经开通 绿林军大破王莽官军于蓝乡（今泌阳）的一次袭击战 建武元年（公元25年） 不害圣人之受命 恰在此时 乌桓叛变新朝后投奔匈奴 立 楚怀王为楚义帝 重农抑商 博士弟子考试成绩优异者 就用符瑞图谶来证明他当皇帝是“天命”所归 刘玄于公
八年级数学分式的加减
即
∴
2 R1 R1 50 R1 50R1 R 2 R1 50 2 R1 50
2 R1 5 0 R1 R1 5 0 1 2 R1 50 R R1 R1 50
例8 计算:
1 a b 2a b a b b 4
4a 1 a 4 2 b a b b b 4a 2 4a 4a 2 4aa b 2 2 2 2 b a b b b a b b a b 4a 4a 4ab 4ab 2 2 b a b b a b 4a 2 ab b
2 2 2
2
练习:
1、
x y x 2y 2 2 y 2x y x
2
2
2
2、
x 1 2x 1 1 x x 1 x 1 x 2、分式混合运算顺序
作业
习题16.2
R1欧姆，又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆， 根据电学有关定律可知总电阻R与R1 、R2满足关系
1 1 1 式 ，试用含有R1的式子表示总电阻R。 R R1 R2 A C D
解：∵
1 1 1 1 B 1 R R1 R2 R1 R1 5 0 R1 5 0 R1 R1 R1 5 0 R1 R1 5 0
练习:
1、 （ 1）
x 1 1 x x
a 2a 3a （ 2） b 1 b 1 b 1
1 1 3 2m n （ 2 ） 2 2 2 （ 1） 2、 2c d 3cd 2m n 2m n
（ 3）
a 1 2 2 a b ab
例7在下图的电路中，已测定CAD支路的电阻是
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3 1 3 4a a 12 a a 13a 13 2 2 2 a 4a a 4a 4a a 4a 4a 4a 4a 3 1 3 4 1 12 1 13 小亮： a 4a a 4 4a 4a 4a 4a
你对这两ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ做法有何评论？与同伴交流。
2v
1 2 3 (3) v 3v 2v
3 a
想一想
1.同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？ 2.猜一猜，同分母的分式应该如何加减？
做一做
（1）
1 2 3 a a a
2 x 4 x 4 x2 x2 x2 x2
2
(2)
x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 3 x (3) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
问题一：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的 3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿 比手抄少用多少时间？ 问题二：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km， 其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的 下坡路。小丽在上坡路的骑车速度为v km/h，在平路上的 骑车 速度为 2v km/h，在下坡路的骑车速度为3v km/h，那么 1.当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ ： 2.当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 3.她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？ 3000 1000 问题一解: a a 1 2 问题二(1)解: 3 (2) h v 3v
答疑解难
问题一解:
3000 1000 2000 a a a
1 2 3 问题二解: (3) v 3v 2v
5 3 10 9 1 0 3v 2v 6v 6v 6v
小结 1、同分母分式加减法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 2、学会用转化的思想 将异分母的分式的加减转化成同分母分式的加减法。 3、以后，不再犯像小明那样不找最简公分母的错误。
同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
（ 1）
7 1 1 3 4 12
如何计算？
3 1 (2)猜想一下： a 4a
（3）小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式 的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题。小亮同意小明的这种看法， 但他俩的具体做法不同： 小明：
课后作业: 1. 2. 课堂作业：P81 T习题3.4 家庭作业：1.《练习册》3.3.1 2.《全优》3.3.1
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说：“是这样的，树和庄禾一样，长得过密了就会合挤着往上窜！”耿直不解，瞪着俩眼儿问爹爹：“那又是为什么呢？”耿 老爹怜爱地看着小儿子骨碌碌转动黑眼珠，伸手摸摸他的脑袋意味深长地说：“它们得晒太阳啊！晒不着太阳，它们就长不结 实哩！”“唔，我明白了。这树和庄禾晒太阳，敢情就好像我们人吃饭一样啊！”耿直的话把大家都给逗乐了。小青拍着手说： “我终于知道了，为什么你们三个吃饭都那么香呢，原来是争着晒太阳啊！”耿英追上去要打小青，嘴里直嚷着：“好你这张 利嘴，看我怎么收拾你！”小青咯咯地笑着拐个弯儿突然不见了。大家快步追上去也都来了一个90度的急转弯，这才发现，眼 前已经是齐刷刷的一排淋灰池子了。小青调皮地说：“怎么样，我就说藏着的嘛！”耿正说：“真还别说，要不是到了跟前， 谁会想到就在这里了呢！”小青用手指着十几步之外的几间平房说：“耿伯伯，卖石灰膏的人就住在那里！”于是，大家一起 向那几间平房走去。还没有走出几步，一只硕大的黑狗突然窜了出来，冲着众人“汪汪汪”直叫，凶巴巴的大有随时就要冲上 来的样子。耿正赶快就手捡起一根木棍拿在手里，挺身挡在大家的面前。耿直也随手拾起一块儿石头做出要扔出去的姿势。大 黑狗不敢往前冲了，但仍然还站在原地狂吠不止。耿老爹说：“你们不要打它！它一叫，卖石灰膏的人就会出来了。”果然， 耿老爹话音未落，就见一个略显肥胖的中年男人走了出来。他上下打量着对面的五个人，突然认出小青来了，大声说：“哦， 这不是小青姑娘吗？这几个人是”小青接过他的话音说：“来买你们的石灰膏！”中年男人笑了，说：“好一个嘎巴萝卜脆！ 来买我们的石灰膏，好啊，快请屋里坐！”说着，轻轻踢一脚那只大黑狗：“去，一边去！”大黑狗乖乖地溜达到一边卧着去 了。耿老爹说：“这位兄弟啊，不用进屋啦，我们就在这里说话吧。喏，我先看看你们的货。可以吗？”中年男人说：“当然 可以了。靠西边这五个池子里的石灰膏都已经熟透了，你随便看啊。”说着，弯下腰挨着个儿掀起覆盖在池子上面的油布，请 大家逐个查看池子里的石灰膏。耿老爹看到每一个池子里的石灰膏都非常干净细腻，实在无可挑剔，就说：“行，我要买五间 新屋亮家所需要的石灰膏，价格就按照你们的销售价吧。我不砍你们的价，但你们一定得给我把料装足了！”中年男人说： “大哥你办事痛快，我自然也要够意思了！”他说完这话，随即大声地冲屋子里喊：“大伢子，肥子，你们快出来，装石灰膏 送货去啊！你们推两挂车过来，再带上八只最大号的桶！”只见一个大个子的年轻后生和另一个胖墩墩的大男娃儿应声而出。 俩人从旁边的一间房子里推出来两挂大块头的平车
练习与提高
例1 :计算
（1）
3 a 15 a 5a
15 a 15 a 1 = 5a 5a 5a 5
2 x 1 （ 2） x 1 1 x
2 1 x 3 x = x 1 x 1 x 1
a a a a 2a （3 ） a b b a ab a b a b m 2n n 2n m 2n n 2n mn （4） 1 nm mn nm nm nm nm nm