高考中立体几何与三棱柱

C

B

A D

C 1

A 1

1.【2012高考重庆文20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 已知直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点。（Ⅰ）求异面直线1CC 和AB 的距离；（Ⅱ）若11AB AC ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。

【解析】（Ⅰ）如答（20）图1，因AC=BC ， D 为AB 的中点，故CD ⊥AB 。又直三棱柱中，1CC ⊥ 面ABC

，故1CD CC

⊥ ，所以异面直线

1CC 和AB 的距离为=（Ⅱ）：由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ，从而1CD DA ⊥ ，1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角。

因1A D 是1AC 在面11A ABB 上的射影，又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从而11A AB ∠，1A DA ∠都与1B AB ∠互余，因此111A AB A DA

∠=∠，所以1Rt A AD ≌11Rt B A A ，因此

1111

AA A B AD AA =得

2

1118AA

AD A B =

⋅=

从而111A D B D A D ===所以在11A DB 中，由余弦定理得222111111111

cos 23

A D D

B A B A DB A D DB +-=

=⋅ 2.【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】

3.【2012高考陕西文18】（本小题满分12分） 直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，AB=A A 1 ，CAB ∠=2

π

（Ⅰ）证明11B A C B ⊥;

（Ⅱ）已知AB=2，11C A AB - 的体积 【答案】

4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)

如图，直三棱柱/

/

/

ABC A B C -，90BAC ∠=，AB AC =AA ′=1，点M ，N 分别为

/A B 和//B C 的中点。

(Ⅰ)证明：MN ∥平面/

/

A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/

A MNC -的体积。 （椎体体积公式V=

1

3

Sh,其中S 为地面面积，h 为高） 5.【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱111

ABC A B C -

中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，

为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．

【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，

，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平

面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 6. （2013新课标Ⅱ）18．（本小题满分12分）

如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，

1AA AC CB AB ===

．

A

B

C

C 1

A 1

B 1

（Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）求二面角1

D AC

E --的正弦值． 7. （2013新课标1卷18）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB CA =,1AA AB =,0160=∠BAA

（1）证明：C A AB 1⊥；

（2）若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值

解：（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ， ∵AB=1AA ，1BAA ∠=0

60，∴1BAA ∆是正三角形， ∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1AC ； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，

又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC ∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴

EC ⊥1EA ， ∴

EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA 的方向为x 轴正方向，|

EA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -， 有题设知A(1,0,0),

1A

(0,

,0),C(0,0,

),B(－1,0,0),则BC =

（1,0，

）,1BB =1AA =(－),1A C =(0,),

……9分

设

n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量，

则100BC BB ⎧∙=⎪⎨

∙=⎪⎩n n ，即0

x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可取n =

，1，-1）， ∴1cos ,A C

n =

11|A C A C ∙n |n ||

∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为

……12分