具有6个结点12条边的简单连通平面图

2019/12/27
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第十二章
1. 深刻理解平面图、面、对偶图的定义； 2. 熟记欧拉公式和二个平面图的必要条件, 并能
使用它们来判断图的非平面性； 3. 了解库拉托夫斯基（ Kuratowski）定理和细
分图的概念；
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第十三章
1. 深刻理解欧拉图和欧拉道路的定义，对于 给定的图能判断它是否为欧拉图或存在欧 拉道路；
2. 掌握 Fleury 算法并会用 Fleury 算法求 出欧拉图中的欧拉回路；
3. 理解中国邮递员问题算法并会用中国邮递 员算法求出无向图中的欧拉回路；
4. 深刻理解哈密顿道路及其哈密顿图、图的 闭包概念；
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5. 会用哈密顿图和含哈密顿道路的充分条件来 判断某些图是哈密顿图或是否含有哈密顿道 路；
（反证法）假设图G中存在两个结点v1,v2,
其度数之和不大于等于6, 即 d(v1)+ d(v2) ≤5。
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而删去这两个点后, 至多删去图 G 中的 5
条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为:
具有4个结点, 至少7条边的无向简单图, 但 这样的无向简单图不存在(4阶无向简单图最
6. 会用破坏哈密顿图的某些必要条件的方法判 断某些图不是哈密顿图
7. 严格区分哈密顿图的充分条件和必要条件 8. 理解判断哈密顿图的充分必要条件 9. 了解推销商问题的分枝定界求解方法
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例一
证明当每个结点的度数大于等于 3 时，
不存在有 7 条边的连通简单平面图。
证明:(反证法) 设图的边数m=7
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21、 证明:正则二叉树必有奇数个结点。
证明：

由正则二叉树的定义，其叶结点的个
数必为偶数，设叶数为 t，分支数为 i

由定理 11.5
(m-1)i=t-1

∵ m=2

∴ i=t-1 即分支点数是奇数
故结点数 n=i+t= 奇数，且n=2t-1，
即 t=（n+1）/2
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2（t-1），式中t是叶的数目。
证明：设叶结点的个数为t，分支数为 i，边
的数目为L，
由定理 11.5
(m-1)i=t-1

∵ m=2 ∴ i=t-1
由完全二叉树的定义和握手定理，
2L=t+3i-1=t+3(t-1)-1=4t-4
∴ L=2(t-1)
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在T（E1）中，u和v的度数之和大于等于 3.
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而在 T（E2）中， u 和 v 分别同其它结点相邻， 且相关联的边∈ E2.故在 G 中， d(u)+d(v) ≥ 5.
∵ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树 ∴ m（E1）＋m（E2）=2(n-1)
2m(G)=2(m（E1）＋m（E2）)=4(n-1)，由握手定理，
由题意，d(Vi) ≥3，Vi为结点
则由握手定理， 2m d(Vi )
i
则
14
2 7 d(Vi ) 3n n i
3
∴结点的个数不超过4个，而结点个数为4的完全
图的边数为 6,
故应有环或平行边，不是简单连通平面图。
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例二
有 6 个村庄 Vi ， i=l，2，…，6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示，其中边表示道路，边上的数字表 示修建该道路所需费用，问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低?要求写出求解过程，画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
k2
由树的定义
i
m nk L 1
k2
i
i
knk L 2 nk 2L 2
k2
k2
i
L (k 2)nk 2 (i k 2)
k2
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16、 证明:在 完 全二叉树 中 ， 边 的 数 目 等 于
主要内容
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第十一章
1. 深刻理解树（六个等价命题）及生成树、树 枝、树补的定义，掌握生成树的主要性质， 并能灵活应用它们；
2. 熟练地应用 Kruskal 算法求最小生成树； 3. 掌握根树、m叉树、完全m叉树、正则m叉树、
最优树的概念,熟练掌握 Huffman 算法，并 使用它求最优二叉树；
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V1 1
V2
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V3
3
V4 V6
7 V5
5
费用=18
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例三
设图G是具有6个顶结点、12条边的无向 简单图, 证明图 G 是哈密顿图。
证明：已知一个图是哈密顿图的充分条件是： 图中任意不同两点的度数之和大于等于n。
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习题十二
3、证：（反证法） 设 G=（n，m）和 G′=（n，m′）都是平面图 由G和G′的定义 m+m′=n(n-1)/2 由定理 12.5 m ≤3n-6, m′≤3n-6
∴ m+m′=n(n-1)/2 ≤ 6n-12 整理上式有 n2-13n+24=(n-11)2+9n-97 ≤ 0 又∵（ n-11)2 ≥0，n≥11 时,9n-97≥2 ∴ （n-11)2+9n-97≥2 与上式相矛盾， 故 G 与 G′至少有一个是非平面图
2m d(w) d(w) d(u) d(v) 4(n 2) 5
wG
wu、v
4(n-1) ≥ 4(n-2)+5，矛盾
所以 uv E 。
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习题十一
1,解：设 L 是叶的数目， m 是树的边数 由握手定理
i
knk L 2m
多有6条边), 由此证明图G中任意不同两点的 度数之和大于等于6, 图G是哈密顿图。
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例四
设简单连通图 G=（V，E）的边集Biblioteka BaiduE 恰
好可以分划为 G 的两个生成树的边集。证明：
如果 G 中恰有两个 4 度以下的结点 u 和 v，
则 uvE。 证：（反证法）设E=E1 ∪ E2 ，E1 ∩ E2= φ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树。 如 uv∈E，则 uv∈E1 或 uv∈E2。 不妨设 uv∈E1，由于T（E1）是 G 的生成树， 则 u 或 v 必有其中一个同其它结点相邻，即