具有6个结点12条边的简单连通平面图
证明具有6个顶点12条边的连通平面简单图.
3
10.8 证明：（1）一棵树又是二部图(偶图)。
证明：（1）因为T是一棵树， 所以T中没有回路，也可 以说T中回路的长度都为0（0为偶数），这 样根据二部图的等价定义（即所有回路长 度均为偶数），知： T是二部图。
另证明： （1） T=(V,E) 对于任意一个顶点v0，令 V1={v|从v0走奇数步可以到达点v} V2={v|从v0走偶数步可以到达点v} 显然，(V1, V2)是树T的顶点的二分明：一棵树若有三片树叶，则至少有一个顶点度 数大于等于3。
证明：反证法。 设没有一个顶点度数大于等于3，则
d(v) 3+2(|V|-3)
=2|V|-3 2|V|-2=2(|V|-1)=2|E|。 这与握手定理矛盾。 故至少有一个顶点度数大于等于3
练习十 (p135)
矛盾, 假设错误。 故V1中至少有一片树叶。
练习十 (p135)
5
10.10 求下面图的最小生成树。
2
6
5
43
5
4
4
7
7 3
8
3
3
9
6
解:
5
3
2
6
4
3
4
5
4
7
7
8
3
3
9
6
最小生成树的权为 2+3+3+3+3+4+4+5+5=32
练习十 (p135)
4
10.8 证明：（2）T=(V,E)，V1,V2是作为二部图的顶点分 类，|V1|≥|V2|, 则V1中至少有一片树叶。
证明：（2）设V1中没有树叶， 则V1中每个顶点的度数至少为2
d(v) d(v) 2V1
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟题号一二三四五总分阅卷人得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1.下列表达式正确的有( )（A）（B）（C）（D）2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
（A）（B）（C）（D）3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y A}，则R 的性质为( )（A）自反的（B）对称的（C）传递的，对称的（D）传递的4.设，，其中表示模3加法，*表示模2乘法，在集合上定义如下运算：有称为的积代数，则的积代数幺元是( )（A）<0，0> （B）<0，1> （C）<1，0> （D）<1，1>5.下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是( )6.设为无向图，，则G一定是( )（A）完全图（B）树（C）简单图（D）多重图7.设P：我将去镇上,Q：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）。
（A） P Q （B）Q P （C）P Q （D）8.在有n个结点的连通图中,其边数（）（A）最多有n-1条（B）最多有n 条（C）至少有n-1条（D）至少有n条9.设A－B＝,则有（）（A）B＝（B）B（C）A B （D）A B10.设集合A上有3个元素,则A上的不同的等价关系的个数为（）（A）5 （B）7 （C）3 （D）6二、填空题（每题2分，共20分）1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。
2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。
3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。
4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。
离散数学(144204)济南大学2020级专升本计算机科学技术
⼀、单选题1.设D=为有向图，V={a, b, c, d, e, f}, E={, , , , }是（）。
A、强连通图B、单向连通图C、弱连通图D、不连通图答案： C2.下⾯叙述正确的是( )。
A、B、C、D、答案： B3.下列句⼦为命题的是( )。
A、全体起⽴!B、x=0C、我在说谎D、张三⽣于1886年的春天答案： D4.在⾃然数集N上，下列运算是可结合的是（）A、a*b=a-2bB、a*b=min{a，b}C、a*b=-a-bD、a*b=|a-b|答案： B5.下⾯关于关系R的传递闭包t(R)的描述最确切的是（）A、t(R)是包含R的⼆元关系B、t(R)是包含R的最⼩传递关系C、t(R)是包含R的⼀个传递关系D、t(R)是任何包含R的传递关系答案： B6.欧拉回路是（）。
A、路径B、迹C、既是初级回路也是迹D、既⾮初级回路也⾮迹答案： B7.设完全图Kn有n个结点(n≥2)，m条边，当下⾯条件( )满⾜时，Kn中存在欧拉回路．A、m为奇数B、n为偶数C、n为奇数D、m为偶数答案： C8.设R为实数集，映射σ：R →R ，σ(x) = | 2x | -10，则σ是 ( )。
A、⼊射⽽⾮满射B、满射⽽⾮⼊射C、双射D、既不是⼊射也不是满射答案： D9.设Ｇ＝为⽆向图，|V|=7，|E|=23，则Ｇ⼀定是（）。
A、完全图B、零图C、简单图D、多重图答案： D10.集合A={1，2，…，10}上的关系R={|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）。
A、⾃反的B、对称的C、传递的、对称的D、反⾃反的、传递的答案： B11.公式(p∧q)∨(p∧～q)的主析取范式是( ).A、m1∨m2B、m2∨m3C、m0∨m2D、m1∨m3答案： B12.⽆向图G中有16条边，且每个结点的度数均为2，则结点数是( )。
A、8B、16C、4D、32答案： B13.设A是奇数集合，下列构成独异点的是( )。
《离散数学》复习题及答案
页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。
答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
( )(1)北京是中华人民共和国的首都。
(2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学图论答案
离散数学图论答案【篇一：离散数学图论习题】综合练习一、单项选择题1．设l是n阶无向图g上的一条通路，则下面命题为假的是( )． (a) l可以不是简单路径，而是基本路径 (b) l可以既是简单路径,又是基本路径 (c) l可以既不是简单路径，又不是基本路径 (d) l可以是简单路径，而不是基本路径答案：a2．下列定义正确的是( )．(a) 含平行边或环的图称为多重图(b) 不含平行边或环的图称为简单图 (c) 含平行边和环的图称为多重图(d) 不含平行边和环的图称为简单图答案：d3．以下结论正确是 ( )．(a) 仅有一个孤立结点构成的图是零图 (b) 无向完全图kn每个结点的度数是n (c) 有n(n1)个孤立结点构成的图是平凡图(d) 图中的基本回路都是简单回路答案：d4．下列数组中，不能构成无向图的度数列的数组是( )． (a)(1,1,1,2,3) (b) (1,2,3,4,5) (c) (2,2,2,2,2) (d) (1,3,3,3) 答案：b5．下列数组能构成简单图的是( )． (a) (0,1,2,3)(b) (2,3,3,3)(c) (3,3,3,3)(d) (4,2,3,3) 答案：c6．无向完全图k3的不同构的生成子图的个数为（）． (a) 6 (b)5(c) 4 (d) 3 答案：c7．n阶无向完全图kn中的边数为（）．(a)n(n?1)n(n?1)(b) (c) n (d)n(n+1) 22答案：b8．以下命题正确的是( )．(a) n(n?1)阶完全图kn都是欧拉图(b) n(n?1)阶完全图kn都是哈密顿图(c) 连通且满足m=n－1的图v,e(?v?=n,?e?=m)是树 (d) n(n?5)阶完全图kn都是平面图答案：c10．下列结论不正确是( )．(a) 无向连通图g是欧拉图的充分必要条件是g不含奇数度结点(b) 无向连通图g有欧拉路的充分必要条件是g最多有两个奇数度结点 (c) 有向连通图d是欧拉图的充分必要条件是d的每个结点的入度等于出度(d) 有向连通图d有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外，每个结点的入度等1于出度答案：d11．无向完全图k4是（）．（a）欧拉图（b）哈密顿图（c）树答案：b12．有4个结点的非同构的无向树有 ( )个．(a) 2 (b) 3(c) 4(d) 5 答案：a13．设g是有n个结点，m条边的连通图，必须删去g的( )条边，才能确定g的一棵生成树．(a) m?n?1 (b) n?m (c) m?n?1 (d) n?m?1 答案：a14．设g是有6个结点的完全图，从g中删去( )条边，则得到树． (a) 6 (b) 9 (c) 10 (d) 15 答案：c二、填空题1．数组{1，2，3，4，4}是一个能构成无向简单图的度数序列，此命题的真值是 . 答案：02．无向完全图k3的所有非同构生成子图有个．答案：43．设图g??v,e?，其中?v??n,?e??m．则图g是树当且仅当g是连通的，且m?．答案：n－14．连通图g是欧拉图的充分必要条件是答案：图g无奇数度结点 5．连通无向图g有6个顶点9条边，从g中删去g的一棵生成树t．答案：46．无向图g为欧拉图，当且仅当g是连通的，且g中无答案：奇数度7．设图g??v,e?是简单图，若图中每对结点的度数之和，则g一定是哈密顿图．答案：?8．如图1所示带权图中最小生成树的权是．答案：12三、化简解答题1．设无向图g＝v,e，v={v1，v2，v3，v4，v5，v6}， e={( v1，v2), ( v2，v2), ( v4，v5), ( v3，v4), ( v1，v3),( v3，v1), ( v2，v4)}． (1) 画出图g的图形；2图15图22(2) 写出结点v2, v4，v6的度数； (3) 判断图g是简单图还是多重图．解：(1) 图g的图形如图5所示．(2) deg(v2)?4,deg(v4)?3,deg(v6)?0．(3) 图g是多重图．作图如图2. 2．设图g＝v，e，其中v＝{a,b,c,d,e}, e={(a,b),(b,c),(c,d), (a,e)}试作出图g的图形，并指出图g是简单图还是多重图？是连通图吗？说明理由.b e解：图g如图8所示．. 图g中既无环，也无平行边，是简单图． cd 图g是连通图．g中任意两点都连通.图3所以，图g有9个结点．作图如图3．四、计算题1．设简单连通无向图g有12条边，g中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求g中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．解：设图g有x个结点，由握手定理2?1+2?2+3?4+3?（x?2?2?3）＝12?23x?24?21?18?27x＝9 故图g有9个结点．图4满足该条件的简单无向图如图4所示2．设图g(如图5表示)是6个结点a,b,c, d,e,f的图，试求，图g的最小生成树，并计算它的权．c 解：构造连通无圈的图，即最小生成树，用克鲁斯克尔算法：第一步：取ab＝1；第二步：取af=4第三步：取fe＝3；第四步：取ad=9图5 第五步：取bc=23如图6．权为1+4+3+9+23=403．一棵树t有两个2度顶点，1个3度顶点；3个4问它有几片树叶？解：设t有n顶点，则有n－1条边．t中有2个 2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，其余n－2－1-3个1度顶点．五、证明题1．若无向图g中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．证：用反证法．设g中的两个奇数度结点分别为u和v．假若u和v不连通．即它们之间无任何通路，则g至少有两个连通分支g1，g2，且u和v分别属于g1和g2，于是g1和g2各含有一个奇数度结点．这与握手定理的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．3【篇二：离散数学图论练习题】题1、设g是一个哈密尔顿图，则g一定是()。
离散数学
《离散数学》综合复习资料一、判断题1．如果有限集合A 有n 个元素，则其幂集p(A)有2n 个元素。
2．R1，R2是集合A 上的二元关系，若R1和R2都是反自反的，则R1R2也是反自反的。
3．“这朵玫瑰花多美丽呀！”是一个命题。
4．A 、B 、C 是任意集合，如果A ⊆B 及B ⊆C ，则A ⊆C 。
5．“中国有四大发明”是一个命题。
6．对任意集合A ，A。
7．集合A 的一个划分确定A 的元素间的一个等价关系。
8．含有幺元的半群为独异点。
9．每个图中，边数等于结点度数总和两倍。
二、基本题1. 将下列命题符号化： （1）4是偶数和合数。
（2）如果天不下雨，王荣就去图书馆。
（3）所有人都是要死的。
2. 求命题公式P ∧(P →Q)的主合取范式。
3. 举出A={a,b,c}上的二元关系R 和S 满足： （1）R 是自反的、对称的； （2）S 是对称的、传递的。
4. 已知图G 的邻接矩阵M 如下，结点集为{v1,v2,v3,v4,v5}，试画出该图，并求V2的入度d-(V2)和出度d+(V2)。
M=5. 将下列命题符号化：（1）如果张三和李四都不去，她就去。
（2）今天要么是晴天，要么是雨天。
0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0（3）每一个有理数都是实数。
6. 求命题公式⌝(P →Q)的主析取范式。
7. 举出A={a,b,c}上的二元关系R 和S 满足： （1）R 既不是自反的又不是反自反的； （2）S 既不是对称的又不是反对称的。
8. 已知图G 的邻接矩阵M 如下，结点集为{v1,v2,v3,v4,v5}，试画出该图，并求V2的入度d-(V2)和出度d+(V2)。
M=9. 举出A={a,b,c}上的二元关系R 和S 满足： （1）R 是自反的、传递的； （2）S 是反自反的、传递的。
10. 设集合为A ={1，3，4，12，24}，其上的偏序关系为整除，试列出相应的关系并画出哈斯图。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。
答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。
若是，给出命题的真值。
((1)北京是中华人民共和国的首都。
(2)陕西师大是一座工厂。
)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。
(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。
(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
离散数学第9章习题答案
习题91. 设G 是一个(n ，m)简单图。
证明：，等号成立当且仅当G 是完全图。
证明：（1）先证结论：因为G 是简单图，所以G 的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G 图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n ﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。
根据握手定理，G 图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。
（2） =〉G 是完全图 因为G 具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G 的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。
所以，G 的每个结点的点度都为n-1，G 为完全图。
G 是完全图 =〉 因为G 是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G 的边数 。
■2. 设G 是一个（n ，n +1）的无向图，证明G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
证明：反证法，假设,则G 的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n ，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n 。
与题设m = n+1，矛盾。
因此，G 中存在顶点u ，d （u ）≥3。
■3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5）解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。
因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。
可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai 对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。
最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。
下面以（2）为例说明：(6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G 的点集合V= { v 1,v 2,v 3,v 4,v 5}每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)将奇数3，3 对应的结点v 2,v 3一组，画一条连线其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。
离散数学单项选择题习题(有答案)集
单项选择题第一章第二章1. 下列表达式正确的有( )A. Q Q P ⇒ → ⌝ ) (B.P Q P ⇒∨ C .P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()( D.T Q P P ⇔→→)(2. 下列推理步骤错在( )①))()((x G x F x →∀P ②)()(y G y F →US① ③)(x xF ∃P ④)(y FES③ ⑤)(y GT②④I ⑥)(x xG ∃ EG⑤A.②B.④C.⑤D.⑥3. 设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
A.R Q P ∧→B.S P R ∧→C.R Q S ∧→D.)()(S Q R P ∧∨∧4. 下列公式中哪些是永真式？( )A.(┐P ∧Q )→(Q→⌝R)B.P→(Q→Q)C.(P ∧Q)→PD.P→(P ∧Q)5. 下列等价关系正确的是( )A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ B .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃C.Q x xP Q x P x →∀⇔→∀)())((D.Q x xP Q x P x →∃⇔→∃)())((6. 下列推导错在( )①)(y x y x >∃∀P ②)(y z y >∃US① ③z z >ES② ④)(x x x >∀ UG③A.②B. ④ C . ③ D.无7. 若公式)()(R P Q P ∧⌝∨∧的主析取范式为111110011001m m m m ∨∨∨则它的主合取范式为( )A.111110011001m m m m ∧∧∧B.101100010000M M M M ∧∧∧ ；C.111110011001M M M M ∧∧∧D.101100010000m m m m ∧∧∧ 。
8. 在下述公式中不是重言式为( )A ．)()(Q P Q P ∨→∧B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔C ．Q Q P ∧→⌝)(D ．)(Q P P ∨→9. 下列各式中哪个不成立( )A.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀B.)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃C .)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀ D.Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((10.命题“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”的符号化（P(x)：x 是聪明的，M(x)：x 是人）( )A.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧→∃B.)))()((())()((x P x M x x P x M x ∧∀⌝∧∧∃C.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧∧∃D.)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∨∧∃11.下述命题公式中，是重言式的为( )A.)()(q p q p ∨→∧B.q p ∨))()((p q q p →∨→⇔C.q q p ∧→⌝)(D.q q p →⌝∧)(12.谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中的x 是( )A.自由变元B.约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.既不是自由变元又不是约束变元13.命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为( )设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢yA. ))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∃B.))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∀C. ))),()(()((y x H y F y x M x →∀→∀D.))),()(()((y x H y F y x M x →∀∧∃14.下列等价式成立的有( )A.Q P Q P ⌝→⌝⇔→B.R R P P ⇔∧∨)(C.Q Q P P ⇔→∧)(D.R Q P R Q P →∧⇔→→)()(15.给定公式)()(x xP x xP ∀→∃，当D={a,b}时，解释( )使该公式真值为0。
离散证明及解答题
1. G=<V, E> (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k 3）条边围成的连通平面图，则， 由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图.证：①设G 有r 个面，则，即 。
而 故即得 。
②彼得森图为，这样不成立，2.如下图所示的赋权图表示某七个城市及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。
解：用库斯克（Kruskal ）算法求产生的最优树。
算法略。
结果如图：≥2)2(--≤k v k e rkF d e r i i ≥=∑=1)(2k e r 2≤2=+-r e v k e e v r e v 22+-≤+-=2)2(--≤k v k e 10,15,5===v e k 2)2(--≤k v k e 721,,,v v v树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价。
3.若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。
证明：设G 中两奇数度结点分别为u 和v ，若 u ，v 不连通，则G 至少有两个连通分支G 1、G 2 ，使得u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u ，v 一定连通.4.设G 是具有n 个结点的无向简单图，其边数，则G 是Hamilton 图（8分）证明： 证G 中任何两结点之和不小于n 。
反证法：若存在两结点u ，v 不相邻且,令，则G-V 1是具有n-2个结点的简单图，它的边数,可得，这与G 1=G-V 1为n-2个结点为简单图的题设矛盾，因而G 中任何两个相邻的结点度数和不少于n 。
所以G 为Hamilton 图.5.证明在6个结点12条边的连通平面简单图中， 每个面的面数都是3。
证：n=6,m=12 欧拉公式n-m+f=2知 f=2-n+m=2-6-12=8由图论基本定理知：，而，所以必有，即每个面用3条边围成。
电大 离散数学 形成性考核册 作业(三)答案
离散数学形成性考核作业〔三〕集合论与图论综合练习本课程形成性考核作业共4次，内容由中心电大确定、统一布置。
本次形考作业是第三次作业，大伙儿要认真及时地完成图论局部的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
一、单项选择题1．假设集合A ＝{2，a ，{a }，4}，那么以下表述正确的选项是(B)． A ．{a ，{a }}∈A B ．{a }⊆A C ．{2}∈A D ．∅∈A2．设B ={{2},3,4,2}，那么以下命题中错误的选项是〔B 〕．A ．{2}∈B B ．{2,{2},3,4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2,{2}}⊂B3．假设集合A ={a ，b ，{1，2}}，B ={1，2}，那么〔B 〕． A ．B ⊂A ，且B ∈A B ．B ∈A ，但B ⊄A C ．B ⊂A ，但B ∉A D ．B ⊄A ，且B ∉A4．设集合A ={1,a }，那么P (A )=(C)． A ．{{1},{a }}B ．{∅,{1},{a }}C ．{∅,{1},{a },{1,a }}D ．{{1},{a },{1,a }}5．设集合A ={1，2，3，4，5，6}上的二元关系R ={<a ,b >⎢a ,b ∈A ,且a +b =8}，那么R 具有的性质为〔B 〕． A ．自反的B ．对称的C ．对称和传递的D ．反自反和传递的6．设集合A ={1，2，3，4，5}，B ={1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a ,b >⎢a ∈A ，b ∈B 且1=-b a } 那么R 具有的性质为〔〕．A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反自反的[注重]：此题有误！自反性、反自反性、对称性、反对称性以及传递性指 某一个集合上的二元关系的性质。
7．设集合A ={1,2,3,4}上的二元关系R ={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S ={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}， 那么S 是R 的〔C 〕闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对8．非空集合A 上的二元关系R ，满足(A)，那么称R 是等价关系． A ．自反性，对称性和传递性B ．反自反性，对称性和传递性 C ．反自反性，反对称性和传递性 D ．自反性，反对称性和传递性9．设集合A ={a ,b }，那么A 上的二元关系R={<a ,a >，<b ,b >}是A 上的(C)关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系D ．不是等价关系也不是偏序关系10．设集合A ={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示,假设A 的子集B ={3,4,5}， 那么元素3为B 的〔C 〕．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对11．设函数f ：R →R ，f (a )=2a +1；g ：R →R ，g (a )=a 2．那么〔C 〕有反函数． A ．g •f B ．f •g C ．f D ．g12．设图G 的邻接矩阵为 那么G 的边数为(D)． A ．5B ．6C ．3D ．413．以下数组中，能构成无向图的度数列的数组是(C)． A ．(1,1,2,3)B ．(1,2,3,4,5)C ．(2,2,2,2)D ．(1,3,3) 14．设图G ＝<V ,E >，那么以下结论成立的是(C)． A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈D ．E v Vv =∑∈)deg(解；C 为握手定理。
离散数学题库
院（系） 班级 学号（9位） 姓名 ———————————阅————卷————密————封————装————订————线——————————第 1 页/共 39 页常熟理工学院20 ～20 学年第 学期《离散数学》考试试卷（试卷库01卷）试题总分： 100 分 考试时限：120 分钟题号 一 二 三 四 五 总分 阅卷人 得分一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列表达式正确的有( )（A ） Q Q P ⇒ → ⌝ ) ( （B ）P Q P ⇒∨（C ）P Q P Q P ⇔⌝∧∨∧)()( （D ）T Q P P ⇔→→)(2. 设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为真。
（A ）R Q P ∧→ （B ）S P R ∧→ （C ）R Q S ∧→ （D ）)()(S Q R P ∧∨∧ 3. 集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x,y ∈A}，则R 的性质为( )（A ）自反的 （B ）对称的 （C ）传递的，对称的 （D ）传递的4. 设>=< },2,1,0{1G ，>=<},*1,0{2G ，其中 表示模3加法，*表示模2乘法，在集合21G G ⨯上定义如下运算：,,,,21G G d c b a ⨯>∈<><∀有,,,,>*>=<<∙><d b c a d c b a 称>∙⨯<,21G G 为21G G ⨯的积代数，则21G G ⨯的积代数幺元是( )（A ）<0，0>（B ）<0，1>（C ）<1，0>（D ）<1，1>5. 下图中既不是Eular 图，也不是Hamilton 图的图是( )6. 设>=<E V G ,为无向图，23,7==E V ，则G 一定是( )（A ）完全图 （B ）树 （C ）简单图 （D ）多重图7. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
自考 离散数学教材课后题第五章答案
5.1习题参考答案1、设无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数均小于3，问：G中至少有几个结点。
阮允准同学提供答案:解：设度数小于3的结点有x个，则有3×4＋4×3＋2x≥2×16解得：x≥4所以度数小于3的结点至少有4个所以G至少有11个结点2、设无向图G有9个结点，每个结点的度数不是5就是6，证明：G中至少有5个6度结点或至少有6个5度结点。
阮允准同学答案：证明：由题意可知：度数为5的结点数只能是0,2，4,6，8。
若度数为5的结点数为0,2，4个，则度数为6的结点数为9，7,5个结论成立。
若度数为5的结点数为6,8个，结论显然成立。
由上可知，G中至少有5个6度点或至少有6个5度点。
3、证明：简单图的最大度小于结点数。
阮同学认为题中应指定是无向简单图.晓津证明如下：设简单图有n个结点，某结点的度为最大度，因为简单图任一结点没有平行边，而任一结点的的边必连有另一结点，则其最多有n-1条边与其他结点相连，因此其度数最多只有n-1条，小于结点数n.4、设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3 。
阮同学给出证明如下：证明：设G中所有结点的度数都小于3，即每个结点度数都小于等于2，则所有结点度数之和小于等于2n，所以G的边数必小于等于n，这和已知G有n+1条边相矛盾。
所以结论成立。
5、试证明下图中两个图不同构。
晓津证明：同构的充要条件是两图的结点和边分别存在一一对应且保持关联关系。
我们可以看出，(a)图和(b)图中都有一个三度结点，(a)图中三度结点的某条边关联着两个一度结点和一个二度结点，而(b)图中三度结点关联着两个二度结点和一个一度结点，因此可断定二图不是同构的。
6、画出所有5个结点3条边，以及5个结点7条边的简单图。
解：如下图所示： (晓津与阮同学答案一致)7、证明：下图中的图是同构的。
证明如下：在两图中我们可以看到有a→e,b→h,c→f,d→g两图中存在结点与边的一一对应关系，并保持关联关系。
第10章习题答案
第10章习题答案习题101.(1)图G 的度数列为2、2、3、3、4，则G 的边数是多少(2)3、3、2、3和5、2、3、1、4能成为图的度数列吗为什么(3)图G 有12条边，度数为3的结点有6个，其余结点的度数均⼩于3，问图G 中⾄多有⼏个结点为什么解 (1)设G 有m 条边，由握⼿定理得2m ＝∑∈Vv v d )(＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G 的边数7条。
(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握⼿定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。
(3) 由握⼿定理得∑∈Vv v d )(＝2m ＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所⽤结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G 中⾄多有9个结点。
2.若有n 个⼈，每个⼈恰有3个朋友，则n 必为偶数。
证明设1v 、2v 、…、n v 表⽰任给的n 个⼈，以1v 、2v 、…、n v 为结点，当且仅当两⼈为朋友时其对应的结点之间连⼀条边，这样得到⼀个简单图G 。
由握⼿定理知∑=nk kv d 1)(＝3n 必为偶数，从⽽n 必为偶数。
3.判断下列各⾮负整数列哪些是可图化的哪些是可简单图化的 (1)(1，1，1，2，3)。
(2)(2，2，2，2，2)。
(3)(3，3，3，3)。
(4)(1，2，3，4，5)。
(5)(1，3，3，3)。
解由于⾮负整数列d ＝(d 1，d 2，…，d n )是可图化的当且仅当∑=ni i d 1≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、(3)、(5)能构成⽆向图的度数列。
(1)、(2)、(3)是可简单图化的。
其对应的⽆向简单图如图所⽰。
(5)是不可简单图化的。
若不然，存在⽆向图G 以为1，3，3，3度数列，不妨设G 中结点为1v 、2v 、3v 、4v ，且d(1v )＝1，d(2v )＝d(3v )＝d(4v )＝3。
⽽1v 只能与2v 、3v 、4v 之⼀相邻，设1v 与2v相邻，于是d(3v )＝d(4v )＝3不成⽴，⽭盾。
电子科大研究生图论 图论期末试题
5
2
4
3 G
…………………… 密……………封……………线……………以……………内……………答…… ………题……………无……………效……………………
电子科技大学研究生试卷
（考试时间： 至 ，共_____小时）
课程名称 图论及其应用 教师
学时 60 学分
教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩
迈阿密：亚特兰大，丹佛，路易维尔，纳什维尔 纳什维尔：亚特兰大，波士顿，丹佛，迈阿密 (要求用图论方法求解)
九．(8 分)求下图 G 的色多项式 Pk(G).
图G
电子科技大学研究生试卷
（考试时间： 至 ，共__2_小时）
课程名称 图论及其应用 教师
学时 60 学分
教学方式 讲授 考核日期_2009__年___月____日 成绩
)
(A) 最短路问题；(B) 最小生成树问题；(C) TSP 问题；(D) 最优匹配问题.
三、作图题(10 分)
1、分别作出满足下列条件的图
(1)、E 图但非 H 图；(2) H 图但非 E 图；(3) 既非 H 图又非 E 图；(4) 既是 H 图又是 E 图
2、画出度序列为(3,2,2,1,1,1)的两个非同构的简单图。
四，(10)证明：每棵非平凡树至少有两片树叶(10 分)
五．(10 分) 今有 a,b,c,d,e,f,g 七个人围圆桌开会，已知：a 会讲 英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲日 语和汉语，e 会讲德语和意大利语，f 会讲法语、日语和俄语，g 会 讲法语与德语。给出一种排座方法，使每个人能够和他身边的人交流 （用图论方法求解）。
数=_____;边数=_____； 3．G 是一个完全 l 部图， ni 是第 i 部的的顶点数 i=1，2,3,…, l 。
【免费阅读】2016电子科技大学_图论期末考试复习题
2015电子科技大学 图论考试复习题关于图论中的图，以下叙述不正确的是A ．图中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B ．图论中的图，画边时长短曲直无所谓。
C ．图中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D ．图论中的图，可以改变点与点的相互位置，只要不改变点与点的连接关系。
一个图中最长的边一定不包含在最优生成树内。
下面哪个图形不与完全二分图K 3,3同构？ A ．B ．C ．D ．有10条边的5顶单图必与K 5同构。
完全二分图K m ,n 的边数是 A ．m B ．n C ．m +n D ．mn无向完全图K n 的边数为 A ．n B ．n 2C ．n (n -1)D ．n (n -1)/2若一个无向图有5个顶点，如果它的补图是连通图，那么这个无向图最多有 条边。
对于两个图，如果顶点数目相等，边数相等，次数相等的顶点数目也相等，则这两个图同构。
有15个顶的单图的边数最多是 A ．105B ．210C ．21D ．45图G 如右，则dacbeb A ．是G 中的一条道路B ．是G 中的一条道路但不是行迹C ．是G 中的一条行迹但不是轨道D ．不是G 的一条道路图G 如右，则befcdefA ．是G 的一个圈B ．是G 的一条道路但不是行迹C ．是G 的一条行迹但不是轨道D ．是G 的一条轨道但不是圈v367图G如右图所示，则ω (G)=A．1 B．2C．7 D．8下列图形中与其补图同构的是A．B．C．D．求下图中顶u0到其余各顶点的最短轨长度。
u0v1=8，u0v2=1，u0v3=4，u0v4=2，u0v5=7，v1v2=7，v1v3=2，v1v6=4，v2v4=2，v2v7=3，v3v5=3，v3v6=6，v4v5=5，v4v7=1，v5v6=4，v5v7=3，v6v7=6，请画出6阶3正则图。
请画出4个顶，3条边的所有非同构的无向简单图。
设图G={V(G)，E(G)}其中V={a1, a2, a3, a4, a5}，E(G)={(a1, a2)，(a2, a4)，(a3, a1)，(a4, a5)，(a5, a2)}，试给出G的图形表示并画出其补图的图形。
2022年秋国开《离散数学》形考任务2
形考任务二（占形考总分的20%）1.n阶无向完全图Kn的边数是（B）．单选题(5 分)A.nB. n(n-1)/2C.n-1D.n(n-1)2.n阶无向完全图Kn每个结点的度数是（C）．单选题(5 分)A.nB. n(n-1)/2C. n-1D.n(n-1)3.已知无向图G的结点度数之和为20，则图G的边数为（D）．单选题(5 分)A.5B.15C.20D.104.已知无向图G 有15条边，则G的结点度数之和为（C）．单选题(5 分)A.10B.20C.30D.55.图G如图所示，以下说法正确的是( D) ．Image单选题(5 分)A.{(a, e)}是割边B.{(a, e)}是边割集C.{(a, e) ,(b, c)}是边割集D.{(d, e)}是边割集6.若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (b, c) , (b, d)}，则该图中的割点为（B）．单选题(5 分)A.aB.bC.cD.d7.设无向完全图KImage有n个结点(n≥2)，m条边，当（C）时，KImage中存在欧拉回路．单选题(5 分)A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数8.设G是欧拉图，则G的奇数度数的结点数为( A )个．单选题(5 分)A.0B.1C.2D.49.设G为连通无向图，则（A）时，G中存在欧拉回路．单选题(5 分)A.G不存在奇数度数的结点B.G存在偶数度数的结点C.G存在一个奇数度数的结点D.G存在两个奇数度数的结点10.设连通平面图G有v个结点，e条边，r个面，则．单选题(5 分) BA.v + e - r=2B.r +v - e =2C.v +e - r=4D.v +e – r = – 411.已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15．( A)判断题(5 分)A.正确B.错误12.设G是一个无向图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点度数之和为2|E|．( A) 判断题(5 分)A.正确B.错误13.若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d), (b, c), (b, d)}，则该图中的割边为(b, c)．( A) 判断题(5 分)A.正确B.错误14. 边数相等与度数相同的结点数相等是两个图同构的必要条件.判断题(5 分) AA.正确B.错误15.若图G中存在欧拉路，则图G是一个欧拉图．判断题(5 分) BA.正确B.错误16. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．( A )判断题(5 分)A.正确B.错误17. 设G是具有n个结点m条边k个面的连通平面图，则n-m=2-k.判断题(5 分) AA.正确B.错误18. 设G是一个有6个结点13条边的连通图，则G为平面图．判断题(5 分) BA.正确B.错误19. 完全图K5是平面图．判断题(5 分) BA.正确B.错误20. 设G是汉密尔顿图，S是其结点集的一个子集，若S的元素个数为6，则在G -S中的连通分支数不超过6判断题(5 分) AA.正确B.错误。
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2019/12/27
计算机学院
11
例四
设简单连通图 G=（V，E）的边集 E 恰
好可以分划为 G 的两个生成树的边集。证明：
如果 G 中恰有两个 4 度以下的结点 u 和 v，
则 uvE。 证：（反证法）设E=E1 ∪ E2 ，E1 ∩ E2= φ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树。 如 uv∈E，则 uv∈E1 或 uv∈E2。 不妨设 uv∈E1，由于T（E1）是 G 的生成树， 则 u 或 v 必有其中一个同其它结点相邻，即
计算机学院
16
习题十二
3、证：（反证法） 设 G=（n，m）和 G′=（n，m′）都是平面图 由G和G′的定义 m+m′=n(n-1)/2 由定理 12.5 m ≤3n-6, m′≤3n-6
∴ m+m′=n(n-1)/2 ≤ 6n-12 整理上式有 n2-13n+24=(n-11)2+9n-97 ≤ 0 又∵（ n-11)2 ≥0，n≥11 时,9n-97≥2 ∴ （n-11)2+9n-97≥2 与上式相矛盾， 故 G 与 G′至少有一个是非平面图
2（t-1），式中t是叶的数目。
证明：设叶结点的个数为t，分支数为 i，边
的数目为L，
由定理 11.5
(m-1)i=t-1
∵ m=2 ∴ i=t-1
由完全二叉树的定义和握手定理，
2L=t+3i-1=t+3(t-1)-1=4t-4
∴ L=2(t-1)
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主要内容
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第十一章
1. 深刻理解树（六个等价命题）及生成树、树 枝、树补的定义，掌握生成树的主要性质， 并能灵活应用它们；
2. 熟练地应用 Kruskal 算法求最小生成树； 3. 掌握根树、m叉树、完全m叉树、正则m叉树、
最优树的概念,熟练掌握 Huffman 算法，并 使用它求最优二叉树；
2. 掌握 Fleury 算法并会用 Fleury 算法求 出欧拉图中的欧拉回路；
3. 理解中国邮递员问题算法并会用中国邮递 员算法求出无向图中的欧拉回路；
4. 深刻理解哈密顿道路及其哈密顿图、图的 闭包概念；
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5. 会用哈密顿图和含哈密顿道路的充分条件来 判断某些图是哈密顿图或是否含有哈密顿道 路；
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V1 1
V2
2
V3
3
V4 V6
7 V5
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费用=18
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例三
设图G是具有6个顶结点、12条边的无向 简单图, 证明图 G 是哈密顿图。
证明：已知一个图是哈密顿图的充分条件是： 图中任意不同两点的度数之和大于等于n。
由题意，d(Vi) ≥3，Vi为结点
则由握手定理， 2m d(Vi )
i
则
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2 7 d(Vi ) 3n n i
3
∴结点的个数不超过4个，而结点个数为4的完全
图的边数为 6,
故应有环或平行边，不是简单连通平面图。
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例二
有 6 个村庄 Vi ， i=l，2，…，6 欲修 建道路使村村可通。现已有修建方案如下带权 无向图所示，其中边表示道路，边上的数字表 示修建该道路所需费用，问应选择修建哪些道 路可使得任二个村庄之间是可通的且总修建费 用最低?要求写出求解过程，画出符合要求的 最低费用的道路网络图并计算其费用。
在T（E1）中，u和v的度数之和大于等于 3.
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而在 T（E2）中， u 和 v 分别同其它结点相邻， 且相关联的边∈ E2.故在 G 中， d(u)+d(v) ≥ 5.
∵ T（E1）， T（E2）是 G 的两棵生成树 ∴ m（E1）＋m（E2）=2(n-1)
2m(G)=2(m（E1）＋m（E2）)=4(n-1)，由握手定理，
6. 会用破坏哈密顿图的某些必要条件的方法判 断某些图不是哈密顿图
7. 严格区分哈密顿图的充分条件和必要条件 8. 理解判断哈密顿图的充分必要条件 9. 了解推销商问题的分枝定界求解方法
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例一
证明当每个结点的度数大于等于 3 时，
不存在有 7 条边的连通简单平面图。
证明:(反证法) 设图的边数m=7
2m d(w) d(w) d(u) d(v) 4(n 2) 5
wG
wu、v
4(n-1) ≥ 4(n-2)+5，矛盾
所以 uv E 。
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习题十一
1,解：设 L 是叶的数目， m 是树的边数 由握手定理
i
knk L 2m
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第十二章
1. 深刻理解平面图、面、对偶图的定义； 2. 熟记欧拉公式和二个平面图的必要条件, 并能
使用它们来判断图的非平面性； 3. 了解库拉托夫斯基（ Kuratowski）定理和细
分图的概念；
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第十三章
1. 深刻理解欧拉图和欧拉道路的定义，对于 给定的图能判断它是否为欧拉图或存在欧 拉道路；
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21、 证明:正则二叉树必有奇数个结点。
证明：
由正则二叉树的定义，其叶结点的个
数必为偶数，设叶数为 t，分支数为 i
由定理 11.5
(m-1)i=t-1
∵ m=2
∴ i=t-1Leabharlann 即分支点数是奇数 故结点数 n=i+t= 奇数，且n=2t-1，
即 t=（n+1）/2
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（反证法）假设图G中存在两个结点v1,v2,
其度数之和不大于等于6, 即 d(v1)+ d(v2) ≤5。
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而删去这两个点后, 至多删去图 G 中的 5
条边。 由于图G是具有6个顶点, 12条边的无 向简单图, 删去顶点v1,v2后, 得到的子图为:
具有4个结点, 至少7条边的无向简单图, 但 这样的无向简单图不存在(4阶无向简单图最
k2
由树的定义
i
m nk L 1
k2
i
i
knk L 2 nk 2L 2
k2
k2
i
L (k 2)nk 2 (i k 2)
k2
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16、 证明:在 完 全二叉树 中 ， 边 的 数 目 等 于