概念教学必须体现概念的形成过程_平面向量的概念_的教学与反思_章建跃

概念教学必须体现概念的形成过程)))/平面向量的概念0的教学与反思

章建跃陶维林

(人民教育出版社中数室100081南京师范大学附属中学210003)

当前,不重视章节起始课的教学,概念教学走过场,以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.在章节起始时,许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中;概念教学常常采用/一个定义,几项注意0的方式,在概念的背景引入上着墨不够,没有给学生提供充分的概括本质特征的机会,认为让学生多做几道题目更实惠.更令人担忧的是,有些老师不知如何教概念.

李邦河院士认为,/数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!0[1]以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨,必须纠正.否则,学生在数学上耗费大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少,/数学育人0终将落空.

本文是我们继/函数的概念0教学案例[2]后做的又一个案例,主要指导思想是/数学概念,,首要表现在概念的形成0[1],概念教学必须让学生经历概念的形成过程;基本想法是聚焦概念教学,探索概念教学的基本规律.期待我们的案例能抛砖引玉,希望广大教师积极参与/如何教好数学概念0的讨论.

1对教学内容的基本认识

5平面向量6是/人教A版0数学4的一章,本节课包括/章引言0和/2.1平面向量的实际背景及基本概念0两部分.

在配套的5教师教学用书6中,介绍了章头图和章引言的编写意图,其中有这样的叙述:/章引言说明了向量的研究对象及研究方法,揭示了向量与几何、代数之间的关系,运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算,使几何问题通过向量运算得到解决,,0.因此,/章引言0(包括/章头图0)起/导游图0作用,是本章学习的/先行组织者0,应有充分的重视.教学时,可以渗透在具体内容中,不必作抽象讲解,以避免空洞说教.

许多老师认为,/平面向量的实际背景及基本概念0一节/概念多但不难理解0,但我们认为/其实不然0.事实上,从/概念的形成0的角度看,本节内容,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径,这是一个带有/本源0性质的过程.

这里,为了帮助学生建立向量的概念,与数、形的相关概念(数及其运算、直线(段)的平行关系等)类比与联系是值得重视的.在学生的已有经验中,与本节内容相关的有:数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度)、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等,这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供/固着点0.具体教学时,要设计一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等)中领悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识/向量的集合0,类比直线(段)的基本关系认识向量的基本关系.要使学生从中体会到认识一个数学概念的/基本套路0:从具体背景中抽象出共同本质特征)))定义)))表示)))定义/相等0(这件事情很重要,但往往不被注意)、/单位元0、/0元0)))某些特殊关系.由此看来,向量概念的形成并不是一件容易的事情.

2教学过程概述

2009年11月初,在河南省举办的高中数学课标教材跟进式培训中,我们以本节课为载体开

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2010年第49卷第1期数学通报

26数学通报2010年第49卷第1期

问题4 观察图1中的正六边形AB CDE F .给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说说你所标注的向量之间的关系.(举例

)

图1

意图:不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义,再做练习巩固,而是让学生参与概念的定义过程,使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.

留给学生足够的时间,并提出问题5,组织学生交流.

问题5 你是怎样研究的?比如,你画了哪几个向量?你认为它们有怎样的关系?

意图:不仅关注结果,更要关注过程.尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程.

(课堂中,有的学生首先关注大小;有的学生首先画出向量ED 与A B ,认为它们长度相等且方向相同,是相等的向量;也有学生首先画出向量EO 与OB ,认为它们是共线的向量;等.教师适时介入,解释数学中的向量是自由向量,可以平移,因此,ED 与A B 也称为共线向量./平行向量0的产生比较顺利,但/相反向量0的产生有困难,其间还类比了/相反数0.)

归纳得到:

(1)从/方向0角度看,有方向相同或相反的,就是平行向量,记为a M b ;

(2)从/长度0角度看,有模相等的向量,|a |=|b |;

(3)既关注方向,又关注长度,有相等向量a =b ,相反向量a =6b .

T :我们规定:零向量与任意向量都平行,即0M a .

问题6 由相等向量的概念知道,向量完全由它的方向和模确定.由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗?另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别?

意图:让学生注意把向量概念与物理背景、几

何背景明确区分,真正抓住向量的本质特征,完成/数学化0的过程.2.3 阅读课本

请同学们把课本看一遍,看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致,有什么遗漏?有什么不同?

意图:通过阅读,对本课的内容再一次进行归整、明晰.引导学生重视课本.2.4 课堂练习

教科书P 77中的/练习0部分.

2.5 课堂小结

问题7 (引导学生自己小结)能否画个图,把今天学的内容梳理一下?

(有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分,与图2所呈现的内容基本一致,只是把/特殊关系0说成了/向量的性质0,这也是正确的.教师肯定了她的结论,展示了图2.)

图2

T :今天我们学习了向量的概念及其表示方

法,并初步研究了向量这个集合,发现了其中的两个特殊向量,以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路,即:从同类具体事例中抽象出共同本质特征)))下定义)))符号表示)))认识特殊对象)))考察某些特殊关系.

这里特别要注意,因为向量带有方向,所以只用代数的形式已无法表示,必须结合几何的形式.因此,向量具有代数形式和几何形式的/双重身份0.随着学习的深入,我们会看到这种身份给向量带来的力量.

另外,我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合.我们知道,数与运算分不开,数的概念的发展也与运算不可分割.例如,为了解方程x 2

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