极值点偏移问题的处理策略及探究

极值点偏移问题的处理策略

所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像

没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12(,)2x x M b +，而往往1202

x x

x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移

此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 一、不含参数的问题.

例1.（2010天津理）已知函数()()x

f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2.

x x +>

【解析】法一：()(1)x

f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上

单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

x →-∞时，()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函

数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且

1

(1)f e

=,如图所示.

由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则

21

()(1)(1)(1)0x x x F x f x f x e e

+'''=++-=

->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，

()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，

所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为

122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减，

所以122x x -<，即证12 2.

x x +>

法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为

()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =，

故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由

22

1()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e

--'''=+-=

->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立.

法三：由12()()f x f x =，得1

212x x x e

x e --=，化简得212

1

x x x e x -=

…✍， 不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入✍式，得

11t t x e x +=

，反解出11t t x e =-，则121221

t t

x x x t t e +=+=+-，故要证：122x x +>，即证：221

t

t t e +>-，又因为10t

e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…✍， 构造函数()2(2)(1),(0)t

G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t

t

G t t e G t te '''=-+=>，

故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，

()(0)0G t G >=，即证✍式成立，也即原不等式122x x +>成立.

法四：由法三中✍式，两边同时取以e 为底的对数，得2

21211

ln

ln ln x x x x x x -==-，也即21

21

ln ln 1x x x x -=-，从而2

2121212121222121111

1

ln ln ()

ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-++=+==---， 令21(1)x t t x =

>，则欲证：122x x +>，等价于证明：1ln 21

t t t +>-…✍， 构造(1)ln 2

()(1)ln ,(1)11

t t M t t t t t +==+>--，则2212ln ()(1)t t t M t t t --'=-，

又令2

()12ln ,(1)t t t t t ϕ=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ϕ'=-+=--，由于

1ln t t ->对