第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
第4课时 相似三角形的判定(3) 公开课一等奖课件
知识与技能 使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定 理的证明方法并会运用． 过程与方法 1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗 透和培养学生对类比思想的认识和理解． 2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知 识证明新命题的能力． 情感、态度与价值观 通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物 辩证法的观点．
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
三、练习新知 1．如图，锐角△ABC 的边 AB，AC 上的高 CE，BF 相交于点 D，请写 出图中的两对相似三角形．
人教版九年级下册数学27.2.1 两角分别相等的两个三角形相似教案与反思
27.2.1 相似三角形的判定古之学者必严其师，师严然后道尊。
欧阳修铁山学校何逸春第4课时两角分别相等的两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比ABA′B′，ACA′C′，BCB′C′相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．二、合作探究探究点：两角分别相等的两个三角形相似【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE ＝60°.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B ＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ABDC＝BDDE，∴xx－3＝32，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．变式训练：见《学练优》课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】添加条件证明三角形相似如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________．解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝可以得出△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或ADAC＝AEAB.方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】相似三角形与圆的综合应用如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦E 交AB 于点F ，求证：AC 2＝AG ·AE .解析：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，根据圆周角定理，可证明∠ACG ＝∠E ，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG ∽△EAC ，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．证明：延长CG ，交⊙O 于点M ，连接AM ，∵AB ⊥CM ，∴AC ︵＝AM ︵，∴∠ACG ＝∠E ，又∵∠CAG ＝∠EAC ，∴△CAG ∽△EAC ，∴AC AE ＝AG AC，∴AC 2＝AG ·AE . 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合如图，在▱ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE上一点，且∠BFE ＝∠C .若AB ＝8，BE ＝6，AD ＝7，求BF 的长．解析：可通过证明∠BAF ＝∠AED ，∠AFB ＝∠D ，证得△ABF ∽△EAD ，可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系．已知AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，进而求出BF 的长．解：在平行四边形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAF ＝∠AED .∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，∴BE ⊥AB ，∴∠ABE ＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝82＋62＝10.∵△ABF ∽△EAD ，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF 7＝810，∴BF ＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型五】 相似三角形与二次函数的综合如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5m ，AB ＝10m.M 点在线段CA 上，从C 向A 运动，速度为1m/s ；同时N 点在线段AB 上，从A 向B 运动，速度为2m/s.运动时间为t s.(1)当t 为何值时，△AMN 的面积为6m2?(2)当t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值．解析：(1)作NH ⊥AC 于H ，证得△ANH ∽△ABC ，从而得到比例式，然后用t 表示出NH ，根据△AMN 的面积为6m2，得到关于t 的方程求得t 值即可；(2)根据三角形的面积计算得到有关t 的二次函数求最值即可．解：(1)在Rt △ABC 中，∵AB 2＝BC 2＋AC 2，∴AC ＝53m.如图，作NH ⊥AC 于H ，∴∠NHA ＝∠C ＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA ∽△BCA ，∴AN AB ＝NH BC ，即2t 10＝NH5，∴NH ＝t ，∴S △AMN ＝ 12t (53－t )＝6，解得t 1＝3，t 2＝43(舍去)，故当t 为3秒时，△AMN 的面积为6m2.(2)S △AMN ＝12t (53－t )＝－12(t 2－53t ＋754)＋752＝－12(t －532)2＋752，∴当t ＝532时，S 最大值＝752m2. 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．三、板书设计 1．三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；2．应用判定定理解决简单的问题．在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
北师大版九年级上册数学《探索三角形相似的条件》图形的相似说课课件教学(第4课时)
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC.
A
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC.
D
E
B
F
C
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，
∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，
3．易错警示： (1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要把
对应顶点写在对应位置上． (2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．若
当△ABC∽△A′B′C′时， AB BC AC k,
AB BC AC
则当△A′B′C′∽△ABC时，
A'B' B'C ' A'C ' 1 . AB BC AC k
则有△ADE ∽△ABC，∠ADE =∠B.
∵∠B=∠B′，
∴∠ADE=∠B′.
A
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC.
D
E
B
C
A '
B' C'
归纳： 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'.
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点． 理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
两角对应相等的两个三角形相似
【学习过程】
一、自主学习
预习P55”？
二、合作探究
1. 如图，若△ABC∽△ACD，需要条件
2.如图， ，则图中相似的三角形有（ ）
A．2对 B.3对
C.4对 D.5对
3.如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC ,
4.在△ABC中，AB、AC边上的高CE、BD相交于点P，图中的相似三角形共有_________对.
5．关于三角形相似下列叙述不正确的是( )
A．有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有等边三角形都相似
D．顶角对应相等的两个等腰三角形相似
6.如图，在直角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，图中
9．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由．
(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
10.如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，若∠A＝35°，∠C＝85°，
∠AED＝60°，则AD·AB＝AE·AC，请你说明理由.
求证：△ABC∽△DEF.
4.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高,试说明△ABC∽△CBD∽△ACD.
5.如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，试说明：△ABC∽△DEF.
三、学以致用
1.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
2.如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有对。
6.4探索三角形相似的条件（2）
班级姓名学号等级____________
北师大版九年级上册相似三角形判定定理证明课件
定 定理2:两边成比例且夹角相等的
理 证
两个三角形类似.
明
类似三角形
定理3：三边成比例的两个三
判定定理的
角形类似.
证明
定理的运用
再见
∴BACB＝BBDE ， 即：BBCE＝BADB .
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD， ∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠DBE＝∠ABC且 BBCE＝BADB. ∴△DBE∽△ABC.
练习 1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF类似 吗？请证明你的结论.
∴ ΔADE≌ΔA'B'C'， ∴ ∠ADE=∠B'，
A A'
又∵ ∠B'=∠B，
∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
D
E
B
C B'
C'
∴ Δ A'B'C' ∽ΔABC
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形类似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE， ∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证 的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证 两个三角形类似，可再找一对角相等，或
者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看 到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例 的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD， ∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中 点，点F在BC上，且FC= 1 BC．图中类似
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
27.2.1.3两角分别相等的两个三角形相似教案
2.教学难点
（1）判定两个三角形相似时，学生容易混淆AAS与AAA（两个角和它们之间的对边相等）的判定方法；
（2）在证明两个三角形相似的过程中，学生可能难以理解如何正确找出相应的对应角和对应边；
（3）将相似三角形的性质应用于解决实际问题时，学生可能不知道如何建立数学模型。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的基本概念、AAS判定方法以及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
，二、核心素养目标
《27.2.1.3两角分别相等的两个三角形相似》核心素养目标：
1.几何直观：通过观察和探索，使学生能够发现并理解两角分别相等的两个三角形之间的相似关系，培养空间想象力和直观感知力。
2.逻辑推理：通过引导学生运用AAS（两个角和它们之间的对边相等）判定方法，培养学生严密的逻辑推理能力和证明技巧。
3.数学抽象：帮助学生从具体的三角形相似实例中提炼出一般的数学规律，形成数学抽象思维。
4.数学建模：培养学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解和掌握两角分别相等的两个三角形相似的条件，即AAS判定方法；
（2）运用AAS判定方法证明两个三角形相似；
（3）应用相似三角形的性质解决实际问题。
相似三角形的判定 数学北师大版九年级上册
第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定（1）
类比引入
可否用比较少的条件来判定三角形相似呢？ 类比全等三角形
相似多边形
各角分别相等、各边成比例
相似三角形
三角分别相等、三边成比例
复习回顾
[——北师版 七年级 数学下册 教材P93、P98、P101、P103]
A
C B A'
C' B'
例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长. A
平行
角相等
△相似
解：∵ DE∥BC，
D
∴∠ADE＝∠B，∠AED=∠C.
B
∴△ADE∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ AD DE .
AB BC
CP AC
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相 似比为1:2.
A
E
B
F
C
①取AB、BC的中点 E、F，连接EF. 则△ABC∽△EBF， 且相似比为1:2
3. 如图，画一个三角形，使它与△ABC相似，且相
似比为1:2.
E
A
则△ABC∽△EBF，
且相似比为1:2
B
C
F
②分别延长AB、BC，使EB=2AB，FB=2CB.
AB AC
∴△ABC∽△A′B′C′
B′
A
C A′
C′
例 如图，D，E分别是△ABC的边 AC ，AB上的点，AE＝1.5，
AC＝2，BC＝3，且 AD ，3 求DE的长 .
AB 4
两角对应相等的两个三角形相似
滦平三中九年级数学学案学生姓名：
课题25.4相似三角形的判定——
两角对应相等的两个三角形相似审核人
几何语言：
二、完成学案、训练应用
1、判断（1）所有等边三角形都相似（2 ）所有直角三角形都相似
（ 3 ）所有等腰直角三角形都相似（4 ）有一个锐角相等的两个直角三角形都相似
2、如图△ABC和△DEF相似吗？为什么？
3、如图∠C=∠B，请指出图中相似三角形
4、如图M、N分别在△ABC的边AC、AB上
（1）若∠1=∠2，则∽
（2）若∠B=∠2，则∽
（3）若MN=BC，则∽
学习目标1、理解相似三角形的判定定理
2、能利用“两角相等两个三角形相似”进行两个三角形相似的证明
重难点难点：定理的证明重点：目标2
学习方案
一、预习自学、探究问题
1、对应角，对应边的两个三角形相似。
2、图中的两个等腰直角三角形相似吗？说明理由
3、图中的两个直角三角形有两组角相等，它们相似吗？说明理由
4、如图，△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，△ABC和△DEF相似吗？说明理由结论：相似三角形的判定定理一：
典例分析：
已知，Rt△ABC，∠C=90°，E为CA 边上一点，DE⊥AB，垂足为D。
求证：△ABC∽△AED 达标测评：
如图在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。
求证：△ACB∽△ADC △ACB∽△CDB。
最新人教版八年级上册数学第十二章全等三角形第4课时 三角形全等的判定(3)——ASA和AAS
数学
3.(课标)会利用基本作图完成:已知两角及其夹边作三角形. 4.能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角相等的问题. 5.通过画、量、观察、比较和猜想等过程,探索、归纳、证明 两个三角形全等的条件,提高运用知识的能力.
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数学
知识要点
知识点一:三角形全等的判定(ASA) 两角和它们的 夹边 分别相等的两个三角形全等(简写成 “角边角”或“ASA”). 几何语言:在△ABC和△A'B'C'中,
(简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言:
在△ABC 和△A'B'C'中,
∠A＝∠A',
∠B＝∠B',
BC＝B'C',
∴△ABC≌ △A'B'C' ( AAS )
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3.如图,已知AC＝EC,∠ACB＝∠ECD,要利用“AAS”判定 △ABC≌△EDC,应添加的条件是 ∠B＝∠D .
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解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E＝∠ADC＝∠ACB＝90°,
∴∠EBC+∠BCE＝90°,∠BCE+∠ACD＝90°,
∴∠EBC＝∠ACD,
∠EBC＝∠DCA 在△BEC 和△CDA 中, ∠E＝∠ADC ,
BC＝CA
∴△BEC≌△CDA(AAS),
∴CE＝AD＝5 cm,BE＝CD,
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数学
6.【例2】(北师7下P101)如图,BE与CD交于点A,且∠C＝∠D. 添加一个条件: AC＝AD(答案不唯一) ,使得△ABC≌△AED.
小结:已知∠C=∠D,且对顶角相等,则添加一组对应边相等即可.
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
最新华东师大版九年级数学上册《相似三角形的应用》教学设计
华师大版九年级上册23.3.4相似三角形的应用教案教学内容：课本Ｐ72~７６页。
教学目标：１、应用相似三角形的的判定和性质解决实际问题；２、通过应用，构建相似三角形模型。
教学重点：相似三角形的判定和性质的综合应用；教学难点：相似三角形的判定和性质的综合应用；教学准备：课件。
教学方法：讲授法。
教学过程：一、复习１、相似三角形的判定定理：判定定理１：两角分别相等的两个三角形相似；判定定理２：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；判定定理３、三边成比例的两个三角形相似；２、相似三角形的性质；性质１：相似三角形的对应边成比例，对应角相等；性质２：相似三角形对应边上的高的比等于相似比，对应边上的中线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比；性质３、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；二、相似三角形的应用例１、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图，为了测量金字塔的高度ＯＢ，先竖一根已知长度的木棒Ｏ′Ｂ′，比较木棒的影长Ａ′Ｂ′与金字塔的影长ＡＢ，即可近似算出金字塔的高度ＯＢ。
如果Ｏ′Ｂ′＝１米，Ａ′Ｂ′＝２米，ＡＢ＝２７４米，求金字塔的高度ＯＢ。
例２、为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点Ａ，再在河的一边选定点Ｂ和Ｃ，使ＡＢ⊥ＢＣ，然后，再选定点Ｅ，使ＥＣ⊥ＢＣ，用视线确定ＢＣ和ＡＥ的交点Ｄ。
此时如果测得ＢＤ＝118米，ＤＣ＝６１米，ＥＣ＝５０米，求河的宽度。
（精确到0.1米）。
例３、如图，已知Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上的点，且∠ＡＤＥ＝∠Ｃ。
求证：ＡＤ·ＡＢ＝ＡＥ·ＡＣ。
学生练习：课本Ｐ７４页第１、２题。
例４、（2012重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3。
E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG 和梯形ABCD在BC的同侧．(l）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；(2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B'EFG的边EF与AC交于点M，连接B'D,B'M，DM，是否存在这样的t，使△B'DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3）在（2）问的平移过程中，设正方形B'EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解：（3）分别从，，和时去分析求解即可求得答案：三、小结１、学生小结。
相似三角形的判定数学教学教案(优秀6篇)
相似三角形的判定数学教学教案（优秀6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第4课时两角分别相等的两个三角形相似PPT课件
证明:连接AC，DB. ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角 ∴ ∠A= ∠D 同理 ∠C= ∠B ∴ △PAC ∽ △PDB
∴ P A P C 即PA·PB=PC·PD
PD PB
-
10
2、如图，PA、PN分别为⊙O的切线和割线，求证：PA2 =PM•PN
变:1：若割线不过圆心呢？下图中PA2 =PM•PN还成立吗？说明理由。
过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC
∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′
∴∠ADE=∠B′
又∵∠A=∠A′, AD=A′B′
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△A′B′C′∽△ABC
-
6
归纳：
A
A'
B
C B'
C'
相似三角形的识别
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
成比例后，如何找夹角？？横？竖？发现∠C公共。得证。
结论：三角形的两高得到两垂足，连这两垂足，得到的三
角形与原三角形相似。
-
13
活动2：探究利用“HL”判定两直角三角形相似
对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么， 满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
A A'
B B'
-
11
结论：切割线定理
变式2：若PA不是切线，而也是割线呢？你 能得到什么结论？？
结论？？自己归纳。
-
12
3、△ABC中，AD、BE为高，求证： △CDE∽△CAB
分析方法1：四点共圆， 外角等于内对角，角角 相似，简单。
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∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等的
两个三角形相似）. E
F
7
例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内
一点P,求证:PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角
∴ ∠A= __∠__D___
同理 ∠C= ___∠__B__
∴ △PAC ∽ △PDB
D C
9
二、判定两个直角三角形相似
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C′=90°. 根据前面的判定定理，不难得知当 ∠A=∠A′ 或
A' ∠B=∠B′ 时，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. A
C
B C'
B'
归 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 纳 有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
若 AB=6, AD=2, 则AC= 18
.
BD=
.
A D
BC=
.
B
C
15
4.如图，∠1=∠2=∠3， 求证：△ABC∽△ADE．
证明： ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC， ∵ ∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE. 又∵ ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE
计算出它们的比值.由此，你能得到什么？
（2）试证明△ABC∽△A′B′C′.
4
证明：在△ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截取
AD=A′B′，过点 D 作DE//BC，交AC于点 E，则有
△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.
∵∠B=∠B′， ∴∠ADE=∠B′.
A A'
又∵ AD=A′B′，∠A=∠A′，
D
E
∴△ADE≌△A′B′C′，
B
∴△A′B′C′∽△ABC.
C B'
C'
由此得到相似三角形的判定定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
5
练一练
如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB，
求证：△ADE∽△EFC.
A
证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB，
D
E
∴∠AED＝∠C，
∠A＝∠FEC. B
∴ △ADE∽△EFC.
10
思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判 定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两 个直角三角形相似吗？
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,
AB AC .
AB AC
A'
求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
A
目标： BC AB AC
∴ BC AB AC
A
BC AB AC
∴＿＿＿＿＿＿＿＿
∴Rt △ABC∽Rt △A′B′C′.
C
B C'
B'
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
12
当堂练习
1．如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角
形共有( C )
A．1对
B．2对
C．3对
BC AB AC
C
B C'
B'
11
证明：设___AA_BB____AA_CC__ _= k . 由 勾股定理 ，得
则AB kAB, AC kAC. BBCC AABB2 AAC22.
BC B C
AB 2 AC 2 B C
k 2 AB2 k 2 AC2 B C
kBC k
BC A'
问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°，45°, 75° . ①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗?
3
一、两角分别相等的两个三角形相似
如图，△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′, ∠B=∠B′，探究下列问
题： A
A' 我发现这两个三 角形是相似的
B
C B'
C'
（1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC, A′B′, B′C′, A′C′的长，并
第二十七章 相 似 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似
1
1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；
学
习
2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法（重点、难点）
目
标
3.掌握判定两个直角三角形相似的方法.
2
观察与思考
问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°）， 会相似吗？测量一下，得出你的猜想.
D．4对
13
2.如图，△ABC 的高AD、BE交于点F． 求证：AF EF .
BF FD
证明： ∵ △ABC 的高AD、BE交于点F， ∴ ∠FEA=∠FDB=90°,∠AFE =∠BFD(对顶角相等). ∴ △FEA ∽ △ FDB， ∴ AF EF .
BF FD
14
3.如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于D.
C F
（两角分别相等的两个三角形相似）
6
典例精析
例1.如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°,
∠E=80 ° , ∠F=60 ° ．求证：△ABC∽△DEF. A 证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ，
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °.
B
C
∵ 在△ DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °.D
PA PD
∴PPC_B__பைடு நூலகம்__
即PA·PB=PC·PD
8
做一做
如图， ∠ABD=∠C, AD=2，AC=8，求AB的长.
解： ∵ ∠ A= ∠ A ，∠ABD=∠C，
A
∴ △ABD ∽ △ACB .
∴ AB : AC=AD : AB.
∴ AB2= AD ·AC.
B
∵ AD=2，AC=8，
∴ AB =4.
16
课堂小结
利用两角判定三角形相似
两角分别相等的 两个三角形相似
直角三角形相似的判定
17