中职数学-等比数列
【人教版】中职数学(基础模块)下册：6.3《等比数列》教案(Word版)
【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
++n a a 式的两边分别减去(2)式的两边，得111=-a a 式得等到数列
【教师教学后记】
−。
人教版中职数学(基础模块)下册6.3《等比数列》word教案(可编辑修改word版)
【课题】 6．3 等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前项和公式．n 能力目标：通过学习等比数列前项和公式,培养学生处理数据的能力．n 【教学重点】等比数列的前项和的公式．n 【教学难点】等比数列前项和公式的推导．n 【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前n 项和公式；难点是前项和公式的推导、求等比数列的项数的问题及知识的简单实际n n n 应用．等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解n 并学会应用．等比数列的通项公式与前项和公式中共涉及五个量：n ，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.n n S a n q a 、、、、1教材中例6是已知求的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利n n S a a 、、1n q 、用指数相等来求解的方法是研究等比数列问题的常用方法.n 【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】教学 过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3 等比数列．*创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】从趣过 程行为行为意图间传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．质疑引导分析思考参与分析味小故事出发使得学生自然的走向知识点10*动脑思考 探索新知下面来研究求等比数列前n 项和的方法．等比数列的前n 项和为{}n a (1).321n n a a a a S ++++= 由于故将(1)式的两边同时乘以q ，得1,n n a q a +⋅= (2) 2341+=+++++ n n n qS a a a a a ．用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 (3)()()1111111+-=-=-⋅=-n n n n q S a a a a q a q ．当时，由(3)式得等到数列的前项和公式1≠q {}n a n 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等比数列通项公式过程行为行为意图间 (6.7)1111-=≠-nn a q S q q()()．知道了等比数列中的、n 和，利用公式{}n a 1a ),1(≠q q （6.7）可以直接计算．n S 由于,11q a a q a n n n ==+因此公式（6.7）还可以写成(6.8)111-=≠-n n a a q S q q ()．当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和1=q n 为．(6.9) 1na S n =【想一想】在等比数列中，知道了、q 、n 、、五个量{}n a 1a n a n S 中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？【注意】在求等比数列的前n 项和时，一定要判断公比q 是否为１．引导分析参与分析引导启发学生思考求解35*巩固知识 典型例题例5 写出等比数列,27,9,3,1--的前n 项和公式并求出数列的前8项的和．解 因为，所以等比数列的前n 项313,11-=-==q a 说明强调引领观察思考通过例题进一过程行为行为意图间和公式为，1[1(3)]1(3)1(3)4n nn S ⨯----==--故 ．881(3)16404S --==-*例6 一个等比数列的首项为，末项为，各项的和4994为，求数列的公比并判断数列是由几项组成．36211解 设该数列由n 项组成，其公比为q ，则，194a =，．49n a =21136n S =于是 9421149361q q-⋅=-,即，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-q q 944936)1(211解得 ．23q =所以数列的通项公式为 192,43n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭于是 ，1492943n -⎛⎫= ⎪⎝⎭即,323241⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 解得 ．5n =故数列的公比为，该数列共有5项．23【注意】讲解说明引领分析强调含义主动求解观察思考求解领会步领会注意观察学生是否理解知识点45过 程行为行为意图间例6中求项数n 时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？国王承诺奖赏的麦粒数为，646419641(12)21 1.841012S -==-≈⨯-据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×g ，约合7360多亿吨．我国2000年小麦1710的全国产量才约为1.14亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！说明思考反复强调50*运用知识 强化练习练习6.3.31．求等比数列，，，，…的前10项的和．919294982．已知等比数列｛｝的公比为2，＝１，求．n a 4S 8S 启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*巩固知识 典型例题【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”．例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76%， 说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会注意观察学生是否过 程行为行为意图间如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）解 货款第一年后的本利和为2020 5.76%20(10.0576) 1.057620,+⨯=+=⨯第二年后的本利和为21.057620 1.057620 5.76% 1.057620,⨯+⨯⨯=⨯依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列…231.057620,1.057620,1.057620,⨯⨯⨯其通项公式为11.057620 1.0576 1.057620-=⨯⨯=⨯n n n a 故．55 1.05762026.462886=⨯=a 答 小王应偿还银行26.462886万元．引领分析强调含义说明观察思考求解领会思考求解理解知识点反复强调4550*运用知识 强化练习张明计划贷款购买一部家用汽车，贷款15万元，贷款期为5年，年利率为5.76%，5年后应偿还银行多少钱?质疑求解强化60*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的前n 项和公式是什么？结论：).1(1)1(1≠--=q qq a S n n 质疑归纳回答理解及时了解学生知识掌握情况70过程行为行为意图间).1(11≠--=q qq a a S n n 强调强化*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1．已知等比数列｛｝中，求n a 13226==a S ，，3q a 与．2．等比数列｛｝的首项是6，第6项是，这个数列n a 316-的前多少项之和是？25564提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A 组（必做）；教材习题6．3B 组（选做）(3)实践调查：运用等比数列求和公式解决现实生活中的实际问题．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；−辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。
中职数学的等比数列单元复习题
中职数学的等比数列单元复习题一、知识点回顾等比数列是数列的一种特殊形式，也是考试中常考的重要知识点。
它具有确定的通项公式和求和公式，可以解决各种实际问题。
在复习等比数列时，我们需要明确以下几点：1等比数列的定义：一个数列如果每一项（从第二项开始）都是前一项乘以一个常数，则这个数列称为等比数列。
这个常数称为公比。
2等比数列的通项公式：在等比数列中，第n项可以表示为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比。
3等比数列的求和公式：对于一个等比数列，其前n项和S_n可以表示为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
二、典型例题解析例1：求等比数列的公比和首项。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，且前n项和为S_n = 2 * (1 - (-3)^n) / (1 - (-3))，求该数列的公比和首项。
解析：根据等比数列的定义，该数列的公比为-3，首项为2。
例2：求等比数列的前n项和。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的前10项和S_10。
解析：根据等比数列的求和公式，可得 S_10 = 2 * (1 - (-3)^10) /(1 - (-3))。
三、易错点提醒1、不要忘记公比的符号。
在等比数列的定义中，公比q是一个负数，因此要注意符号问题。
2、使用求和公式时需要注意公比的符号。
在求和公式中，分母中的括号内不能有负号，因此需要注意公比的符号。
3、注意使用正确的公式。
在解决等比数列问题时，需要根据具体的问题选择合适的公式进行求解。
四、练习题1、求等比数列的第n项。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的第5项a_5。
解析：根据等比数列的通项公式，可得 a_5 = 2 * (-3)^4 = 72。
2、求等比数列的前n项和。
已知一个等比数列的首项为2，公比为-3，求该数列的前5项和S_5。
解析：根据等比数列的求和公式，可得 S_5 = 2 * (1 - (-3)^5) / (1 - (-3)) = -94。
等比数列知识点归纳总结中职数学
等比数列知识点归纳总结中职数学在中职数学学习中，等比数列是一个重要的知识点。
本文旨在对等比数列的相关概念、性质及其应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握等比数列的知识。
一、等比数列的定义与基本性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。
具体地说，如果一个数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，则该数列就是一个等比数列。
1. 公比的概念：等比数列中相邻两项的比值称为公比，用q表示。
公比q是等比数列的重要参数，它决定了数列的增减趋势。
2. 首项与通项：等比数列中的第一项称为首项，用a1表示；数列中第n项的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
3. 公比的取值范围：当公比q>1时，数列是递增的；当0<q<1时，数列是递减的；当q=1时，等比数列退化为等差数列。
4. 等比数列的性质：等比数列有许多重要性质，包括等差数列没有的特点。
比如，等比数列不存在有限项的和公式，但存在无穷项和的条件。
二、等比数列的常见问题及解答1. 如何判断一个数列是否是等比数列？要判断一个数列是否是等比数列，可以从两个方向入手。
一是计算相邻两项的比值，若得到的比值相等，则数列是等比数列；二是观察数列的通项公式，若满足an=a1*q^(n-1)，则数列是等比数列。
2. 如何确定等比数列的公比和首项？已知一个数列是等比数列，若给出了数列的任意两项，可以通过求相邻两项的比值来确定公比q。
公比确定后，再利用已知的某一项和对应的索引值，可以求解首项a1。
3. 如何求等比数列的前n项和？与等差数列不同，等比数列没有固定的有限项和公式。
但当公比q 满足|q|<1时，等比数列存在无穷项和的条件，即S∞=a1/(1-q)。
其中，S∞表示等比数列的无穷项和。
4. 如何判断等比数列的性质和特点？通过观察数列的增减趋势和公比的取值范围，可以判断等比数列的性质和特点。
山东中职数学教材第一册等比数列
山东中职数学教材第一册等比数列一、地位作用数列是高中数学重要的内容之一，等比数列是在学习了等差数列后新的一种特殊数列，在生活中如储蓄、分期付款等应用较为广泛，在整个高中数学内容中数列与已学过的函数及后面的数列极限有密切联系，它也是培养学生数学能力的良好题材，它可以培养学生的观察、分析、归纳、猜想及综合解决问题的能力。
基于此，设计本节的数学思路上：利用类比的思想，联系等差数列的概念及通项公式的学习方法，采取自学、引导、归纳、猜想、类比总结的教学思路，充分发挥学生主观能动性，调动学生的主体地位，充分体现教为主导、学为主体、练为主线的教学思想。
二、教学目标知识目标：1）理解等比数列的概念。
2）掌握等比数列的通项公式。
3）并能用公式解决一些实际问题。
能力目标：培养学生观察能力及发现意识，培养学生运用类比思想、解决分析问题的能力。
三、教学重点1）等比数列概念的理解与掌握关键：是让学生理解“等比”的特点2）等比数列的通项公式的推导及应用四、教学难点“等比”的理解及利用通项公式解决一些问题。
五、教学过程设计（一）预习自学环节。
（8分钟）首先让学生重新阅读课本105页国际象棋发明者的故事，并出示预习提纲，要求学生阅读课本P122至P123例1上面。
回答下列问题1）课本中前3个实例有什么特点？能否举出其它例子，并给出等比数列的定义。
2）怎样推导等比数列通项公式？课本中采取了什么方法？还可以怎样推导？3）等比数列通项公式与函数关系怎样？（二）归纳主导与总结环节（15分钟）这一环节主要是通过学生回答为主体，教师引导总结为主线解决本节两个重点内容。
通过回答问题（1）（2）给出等比数列的定义并强调以下几点：①定义关键字“第二项起”“常数”。
②引导学生用数学语言表达定义：=q（n≥2）。
③q=1时为非零常数数列，既是等差数列又是等比数列。
引申：若数列公比为字母，分q=1和q≠1两种情况。
引入分类讨论的思想。
④q＞0时等比数列单调性不定，q＜0为摆动数列，类比等差数列d＞0为递增数列，d＜0为递减数列。
中职数学基础模块6.3.1等比数列的概念教学设计教案人教版.docx
课时教学设计首页（试用）授课时间：年月日课题 6.3.1 等比数列的概念课型新授第几1课时1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等课时比中项的概念．教学2. 逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题．目标3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，（三维）培养学生类比分析的能力．教学重点：教学等比数列的概念及通项公式重点与教学难点：难点教学方法与手段使用教材的构想灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题类比教学法和自主探究教学法充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的太原市教研科研中心研制第1 页（总页）课时教学流程教学内容生互意☆补充设计☆复提：（１）等差数列的定；教提出．回以前学的（２）等差数列的通公式；学生思考回答．知，知迁移做（３）算公差 d 的方法；准．（４）等差中的定及公式．学生手操作：教用引学生察通手操作解把一折 5 次，写出每相两的关系，根据前面所答，体数学次折后的数．学等差数列的知，出和造的程．通学生手操作可得折的数等比数列的定．是2， 4， 8，16， 32．新1．等比数列的定一般地，如果一个数列从第 2 起，每一与它前一的比都等于同一个常数，个数列叫做等比数列，个常数就叫做等比数列的公比．公比通常用字母“q”表示．学生比等差、等比两数培养学生列的异同．，比推与的能力．一教出示目．通一答：下列数列是否等比数列？学生思考、答．，加深学生等比①8， 16，32，64， 128， 256，⋯；：你能出一中，数列定的理解．②1， 1， 1，1， 1， 1， 1，⋯；等比数列的公比？用答的方式，③243， 81，27， 9，3， 1，，，⋯；教出示一中的等比激学生的思，④16， 8， 4， 2， 0，－ 2，⋯；数列．学生的学极⑤1，－ 1，1，－ 1，1，－ 1，1，⋯；学生出各的公比 q．性．⑥1，－ 10，100，－ 1000，⋯．：等比数列中，某一在教的引注意：可以 0 ？公比 q 可以 0下，合等比数列定（ 1）求公比 q 一定要用后除以前？什么？，得出，，而不能用前除以后；：常数列是等比数列提高学生、（ 2）等比数列中，各和公比均不？解决的能力．太原市教研科研中心研制第2 页（总页）课 时 教 学 流 程0；（ 3）q= 1 ， { a n } 常数列．2．等比数列的通 公式首 是 a 1，公比是 q 的等比数列 { a n }的通 公式可以表示a n = a 1 q n －1．根据 个通 公式，只要已知首a 1 和公比 q ，便可求得等比数列的任意 a n ．事 上，等比数列的通 公式中共有四个 量，知道其中三个，便可求出第四个．学生根据定 ， 得出 ．： 仿照等差数列通引 学生 察、公式的推 程， 等、猜想，培养学比数列的通 公式．生合理的推理能力学生分 探究．和合作意 ．a 2= a 1 q ，a 3=q = q = a 1 ，a 4=q =q = a 1，⋯⋯a n = a 1．二个 学生在黑板巩 固 加 深 等已知一个等比数列的首1，公比上做 ．比数列概念及其通 － 1，求 个数列的第9 ．教 正．公式的理解， 能运用等比数列解决一三学生做 三．些 的 ．求下列等比数列的第4 和第 8 ：（ 1）5，－ 15， 45，⋯； （ 2）1.2， 2.4， 4.8，⋯； （ 3）23， 12， 38，⋯；（ 4） 2， 1， 2，⋯．2例 1 已知一个等比数列的第 3 和 第 4 分 是 12 和 18，求它的第 1 和第 2 ．解 个数列的第一 是a 1，公比是 q ，2= 12， ①a 1 q a 1 q 3= 18．②解①②所 成的方程 ，得教 引 学生分析本 ， 教 注 重 引已知什么？求什么？怎么求？学生分析 意，教会教 启 学生，当用一个学生思考 、解决式子解决不了 的 候，考的思路与方法．构成方程 来解决．教 板 解 程．引 学生注意求公比的方太原市教研科研中心研制第 3 页 （总页）课 时 教 学 流 程31616 3法：两式相除．q = 2，a 1 = 3 ，a 2 = a 1q = 3 ×2 =8．即这个数列的第1 项是16，第 2 项3是 8．练习四学生解答练习四．通过练习， 让学1．一个等比数列的第4，公请学生在黑板上做题．生进一步掌握等比9 项是 9教师巡视指导．数列中， 求公比的独比是－ 1，求它的第1 项．特方法．32．一个等比数列的第2 项是 10，第3 项是 20，求它的第 1 项和第4 项．例 2 将 20，50，100 三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q.教师引导学生利用等比数此题看似复杂，解 设所加常数为 a ，依题意 20+a ，列的定义列出方程．实际上学生自己可50+a ， 100+a 成等比数列，则以完成．另外例 2 的思路50+a ＝ 100+a ， 与以下等比中项的20+a50+a去分母， 得(50+ a)2 ＝ (20+a) (100+ a)，即思路一致， 可以在讲2 500+100 a + a 2 ＝2 000+120a + a 2， 完等比中项以后让 解得 a ＝25．学生再回顾此题．50+a 50+25 5代入计算，得 20+a ＝ 20+25＝3，所以公比 q ＝ 5．33．等比中项的定义由特殊数列 2， 4， 8 引出在 2 与 8 之间插入一个数 4，那么 2， 等比中项的定义．4， 8 成等比数列．师： 2，－ 4， 8 是否构成一般地， 如果 a ，G ，b 成等比数列，等比数列？－ 4 是不是 2 和 8那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．的等比中项？4. 等比中项公式学生思考、合作探究，得培 养 学 生 发 现如果 G 是 a 与 b 的等比中项，则出等比中项公式．问题，进行类比、推G 2 = a b ，即 G =± ab ．教师引导学生注意等比中导以及归纳总结的 容易看出，一个等比数列从第2 项项的值有两个．能力．太原市教研科研中心研制第 4 页 （总 页）课时教学流程起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．练习五求下列各组数的等比中项：（ 1） 2， 18；（2）16，4．学生口答练习五．师生统一订正．太原市教研科研中心研制第5 页（总页）课时教学设计尾页（试用）☆补充设计☆板书设计1．等比数列的定义．2．等比数列的通项公式．3．等比中项的定义及公式．作业设计教材 P23，习题第 1， 2 题教学后记太原市教研科研中心研制第6 页（总页）。
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【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
式的两边分别减去(2)式的两边，得
【教师教学后记】
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教学
步骤
教学内容
（课题内容）
学生
活动
手段方法时间分配
复习
新课
举例
练习
举例
练习
§6.3等比数列
一、问题情境
把一张纸连续对折5次，试写出每次对折后纸的层数。
通过学生动手操作可得折纸的层数是2，4，8，16，32。纸的层数所形成的数列反映了一种均匀变化现象，本节我们就来研究这类特殊的数列。
答问
讨论
练习
讨论
练习
问答5’
讲授25’
练习15’
讲授30’
练习15’
课堂
小结
等比数列的定义、通项公式及前n项和
板书设计或教学组织流程图
等比数列的概念 探究 练习 例题 练习 课堂归纳总结
素质
目标
通过对等比数列知识的学习，培养学生细心观察、认真分析、正确总结的科学思维习惯和严谨的学习态度。
教学
重点
等比数列的概念及通项公式、前n项和公式的推导过程及运用。
教学
难点
对等比数列的通项公式与求和公式变式运用。
教学内容
调整
无
学生知识与
能力准备
数列的概念
课后拓展
练习
习题（P.21）：3，4．
教学
反思
二、数学建构
1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数，则称这个数列为等比数列，这个常数称为公比，通常用q来表示。由定义可知，首项是 ，公差是q的等差数列{ }的通项公式可以表示为 .
2.等比数列前n项和 ，即 ，（1）
也可以写作 （2）.
（1）式和（2）式两边分别相加，得 .由此得出等比数列的前n项和公式 ，将等差数列的通项公式代入此式可得前n项和的另一种形式 。
中职数学 等比数列的前n项和公式
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房, 可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30 天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付 息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块
砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2
n项和公式, 并求出数列的8项的和．
刚才学习 了等比数列求 和公式哦
Sn
a1 1 qn 1 q
求等比数列
1 1 1 , , , 2 4 8
的前8项的和．
练习 1 等比数列的公比q=﹣ 3 ,前4项的和为 5 , 9 求这个等比数列的首项?
一个等比数列的首项为 ,末项为 , 各项的和为 211 ,求数列的公比并判断 36 数列是有几项组成?
能否找到一 个式子与原 式相减能消 去中间项？
S30 1 2 22 228 229
2
22
23
2 29
230
S30 1 2 2 2 2
2 28
29
①
30
两边同时乘以2，
2S30 2 2 2 2 2
2 3 29
②
由①-②得,
倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗 ？
同学们,根据以上条件,你能提取到什 么信息?
建立出数学模型:
赊借：令常数列{an }, 其中a1 10000,
S 30 10000 30 3.0 10 ;
' 5
建筑队在这30 天内向砖厂赊 借与返还的砖 数分别记为 、
S '30 S30
S30 1 2
'
30
即
中职教育数学《等比数列》课件
是 q 1
(4) 1，2，4，6，3，4，……；
不是
(5) 5, 0, 5, 0, …….
不是
等比数列中不能
存在为0的项。
练习6.3.1
1.在等比数列{an }中，a3 6，q 2，试写出a4、a6 .
解：a4 a3q 6 2 12
a5 a4 q 12 2 24
2
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
1
对于数列② ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
2
20
对于数列③ ，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__;
共同特点:
从第二项起，每一项与其前一项的比是
同一个常数
一、等比数列的定义：
如果一个数列的首相不为零，且从第
2项开始，每一项与它前一项的比都等
a2
a4
q a4 a3 q a1q 3
a3
……
由此归纳等比数列的通项
公式可得：
an a1q
n1
其中 a1与q均不为零，当
n 1时上面等式也成立
an a1q
n 1
思考：你能写出下列等比数列的通项公式吗？
(1)2，4，8，16，32，64，...
(2)1，3，9，27，81，243，…
• ③计算机病毒传播时，假设每一轮每一台
计算机都感染20台计算机，则这种病毒每一
轮感染的计算机数构成的数列是：
1， 20，202， 203， …
归纳：
①
②
1,2,4,8,16,32,...
1 1 1 1
1， ， ， ， ，
...
2 4 8 16
③
《等比数列》中职数学(基础模块)下册6.3【高教版】3
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
与此相反，如果坐在前面，首先心情就很不同，自己比别人靠前的感觉让你听课时的态度变得更积极。与老师眼神交会的机会增多，感觉就好像是老师在做一对一个人辅导。
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
一项的比都等于同一个不为零的常数，那么这样
的数列称为等比数列，这个常数称为公比，通常
用q（q≠0）来表示
a2 a3 a4 an1 q(q 0)
a1 a2 a3
an
在等比数列1，2，4，8，16，…中，试回答： 问题1：a6 32 ， 问题2：a10 512 。
中职数学-等比数列的前n项和公式
再见
①
两边同时乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.0 1010.
而S30' 3.0 105 ,显然S30比S30'大得多,
因此，建筑队队长最好不要同意这样的条 件,否则会亏大的.
,
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
某建筑队,由于资金短缺,向某砖厂赊借红砖盖房, 可砖厂厂长很风趣,提出了这样一个条件:在一个月（30 天）内,砖厂每天向建筑队提供10000块砖,为了还本付 息,建筑队第一天要向厂方返还1块砖,第二天返还2块 砖,第三天返还4块砖,即每天返还的砖数是前一天的2 倍,请问,假如你是建筑队队长,你会接受这个条件吗 ？
4
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
中职数学拓展模块课件-等比数列
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当一个数列既是等差数列，又是等比数列 时，这个数列具有什么特征？
7.3.1 等比数固练习 归纳总结 布置作业
例1 在等比数列an 中， a1=2，q=4，求an，a5．
解 根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1；
我国古代数学著作《孙子算经》中有
这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤 有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽， 禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各 几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的 数量计算出来，这组数有什么规律？
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
当G是a与b的等差中项时,有 因此G²=ab或
例如,若3,G,12三个数构成等比数列,则G²=3×12,从而 3与12的 等比中项G=±6.
7.3.1 等比数列的概念
练习
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
7.3.1 等比数列的概念
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例7 已知等比数列1，2，4，8，…，求该数列第5项至第10项的和． 分析 第5项至第10项的和为a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数 列前10项的和减去其前4项的和． 解
7.3.2 等比数列前n项和公式 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
一般地,如果一个数列an从第二项起,每一项与它前一 项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列, 这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示．
（完整版）中职数学-等比数列
（完整版）中职数学-等比数列等比数列1、公式默写（1）等比数列的定义：____________________________________________________________________ __；（2）等比数列的通项公式：n a =_______________，n N +∈。
（3）等比中项：,a b 的等差中项A =________；（4）等比数列的前n 项和n S =______________________＝________________________；（5）对于等比数列，若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+，则有___________________________；2、在等比数列{}n a 中，131,4a a ==，则5a =（） A 、8 B 、16 C 、32 D 、643、（99广东）已知}{n a 是等比数列，且2531=+-a a a ，5753=+-a a a ，那么=+-975a a a （）A 、8B 、15C 、25D 、225 4、（01广东）设}{n a 是等比数列，如果===642,6,3a a a 则（）A 、9 B 、12 C 、16 D 、365、（04-8）实数等比数列{}n a 中，===173,163,31a a a 则（）A 、34±B 、34C 、94± D 、94 6、（07-12）某厂2006年的产值是a 万元，计划以后每一年的产值比上一年增加%20，则该厂2010年的产值（单位：万元）为（）A 、5%)201(+aB 、4%)201(+a C 、%204?+a a D 、 %205?+a a7、（11-19）已知等比数列{}n a 满足1234561,2a a a a a a ++=++=-，则{}n a 的公比q =___8、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，每次分裂的规律是每个细菌分裂2个细菌，那么，经过2小时，这种细菌由1个分裂成（）A 、63个B 、64个C 、31个D 、32个9、在等比数列{}n a 中，54,252==a a ，则公比q 等于（） A 、2 B 、3 C 、9 D 、27 10、四个数4321,,,a a a a 中，已知11=a ，33=a ，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则（）A 、22-=a ，294=a B 、22=a ，294=a C 、22=a ，294-=a D 、22-=a ，294-=a 11、（00广东）以n S 记等比数列前n 项和，363,12S S ==，则9S ＝（）A 、27B 、30C 、36D 、3912、（02-18）等比数列}{n a 的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（）A 、75B 、68C 、63D 、5413、（06-6）设}{n a 为等比数列,其中首项1212a a ==，,则}{na 的前n 项和n S 为（）A 、2)1(-n n)1(+n n C 、121--n D 、12-n14、已知等比数列}{n a ，且0>n a ，252645342=++a a a a aa ，则53a a +的值为（）A 、1B 、5C 、10D 、1515、在等比数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，7,232==S a ，那么公比q ＝（）A 、21± B 、221或 C 、221--或 D 、2±16、在等比数列}{n a 中，若91,a a 是方程02522=+-x x 的两根，则64a a ?＝（）A 、5B 、25C 、2D 、117、已知等比数列{}n a 中，29-=a ，则此数列前17项的积等于（）A 、162B 、162-C 、172D 、172-18、（05-10）已知b 是a 与c 的等比中项，且8=abc ，则=b （）A 、 4B 、22D 、219、（06-21）设}{n a 是等比数列，且3512,48a a ==，则=62a a20、（09-2）已知a 为实数，且,2,4a a 成等比数列，则a =（）A 、0B 、2C 、1D 、4321、（08-3）已知}{n a 是等比数列，1232,24a a a =+=，则公比q 的值为（）A 、－4或－3B 、－4或3C 、－3或4D 、3或422、设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，（1）若1103,39a a ==，求50S ；（2）若2412,20b a b b =+=，求4b 。
中职 等比数列
等比数列的通项公式是a_n=a_1*q^(n-1)，其中a_1是首项，a_n是第n项，q是 公比。
等比数列的性质
01
02
03
递增性
当q大于0时，等比数列是 递增的；当q小于0时，等 比数列是递减的。
对称性
等比数列的任意两项之和 等于这两项间距离的2倍 。
奇偶性
当q为整数时，等比数列 的奇数项符号相同，偶数 项符号相反。
06
等比数列的习题及解析
习题一：求等比数列的公比
总结词
掌握等比数列的公比的求法， 理解等比数列的定义。
详细描述
等比数列的公比是任意两项之 间的比值，对于一个等比数列 ，任意一项除以前一项都等于 公比。
习题解析示例
已知一个等比数列的首项为2， 第二项为4，求其公比。
解答
根据等比数列的定义，第二项 除以首项等于公比，即4除以2 等于2，所以这个等比数列的公
取值范围。
04
等比数列的应用题
生活中的等比数列
投资回报
在投资中，等比数列被用来描述投资回报率，其中每个时期的回 报率都按固定比例增长。
人口增长
人口增长可以被描述为一个等比数列，其中每个时期的人口数量都 按固定比例增加。
储蓄和贷款
在储蓄和贷款中，等比数列被用来描述复利增长。
金融中的等比数列
股票价格
中职 等比数列
汇报人： 2023-12-11
目录
• 等比数列的定义 • 等比数列的表示方法 • 等比数列的求和 • 等比数列的应用题 • 等比数列与复利 • 等比数列的习题及解析
01
等比数列的定义
定义与通项公式
等比数列的定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。这个常数叫做等比数列的公比，记作q。
中职数学-等比数列 课件
探究等比数列的通项公式
练习3 求数列3,6,12,24,48,…… 的第101项。
分析：由题意知，这是首项为3，公比为2的等比数列。
采用归纳法，可以求出等比数列的通项公式，即：
a1 3
a2 3 2 a1q
a3 3 2 2 a1q 2
a4 3 2 2 2 a1q 3
问：公比q为什么不可以为0？
例如数列：3,0,3,0,3,0，……
证明：根据等比数列的定义，从第二项起，
每一项与它前一项的比为同一个常数，
0÷3=0,3÷0不成立，因为0不可以做除数。
总结：公比q 可为正数、负数，但是
不可以为0.
练习1 请指出以下等比数列的公比q.
1, 2, 4, 8, 16, 32
___帆风顺
一
二
三心 ___ 意
四
五湖___海
八
七上___下
十五的月亮 十六
____
圆
1，2，4，8，16
色 盲 测 试
1， 3， 9， 27，81
庄 子 天 下 篇
“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”
意思“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。
如果将“一尺之棰”视为单位
“1”，那么日取其半可以得到
怎样的数列？
1 1 1 ,1 1
1， ， ， ， ，
2 4 8 16 32
探究等比数列的定义
拉面扯面
填字游戏
色盲测试
1，2，4，8，16、、、259
1，2，4，8，16
1，3，9，27，81
《庄子 天下篇》
1 1 1
1
1
1， ， ， ， ，
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等比数列
1、 公式默写
（1）等比数列的定义：______________________________________________________________________； （2）等比数列的通项公式：n a =_______________，n N +∈。
（3）等比中项：,a b 的等差中项A =________；
（4）等比数列的前n 项和n S =______________________＝________________________；
（5）对于等比数列，若,,,m n p q N +∈，且m n p q +=+，则有___________________________； 2、在等比数列{}n a 中，131,4a a ==，则5a =（ ）
A 、8
B 、16
C 、32
D 、64
3、（99广东）已知}{n a 是等比数列，且2531=+-a a a ，5753=+-a a a ，那么=+-975a a a （ ）
A 、8
B 、15
C 、25
D 、
2
25
4、（01广东）设}{n a 是等比数列，如果===642,6,3a a a 则（ ）A 、9 B 、12 C 、16 D 、36
5、（04-8）实数等比数列{}n a 中，==
=
173,16
3,31a a a 则（ ） A 、3
4±
B 、
3
4 C 、9
4±
D 、
9
4
6、（07-12）某厂2006年的产值是a 万元，计划以后每一年的产值比上一年增加%20，则该厂2010年的产值（单位：万元）为（ ）
A 、5%)201(+a
B 、4%)201(+a
C 、%204⨯+a a
D 、 %205⨯+a a 7、（11-19）已知等比数列{}n a 满足1234561,2a a a a a a ++=++=-，则{}n a 的公比q =___
8、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，每次分裂的规律是每个细菌分裂2个细菌，那么，经过2小时，这种细菌由1个分裂成（ ）
A 、63个
B 、64个
C 、31个
D 、32个
9、在等比数列{}n a 中，54,252==a a ，则公比q 等于（ ） A 、2
B 、3
C 、9
D 、27
10、四个数4321,,,a a a a 中，已知11=a ，33=a ，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则（ ）
A 、22-=a ，294=a
B 、22=a ，2
94=
a
C 、22=a ，2
94-
=a D 、22-=a ，2
94-
=a
11、（00广东）以n S 记等比数列前n 项和，363,12S S ==，则9S ＝（ ） A 、27
B 、30
C 、36
D 、39
12、（02-18）等比数列}{n a 的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（ ） A 、75 B 、68 C 、63 D 、54
13、（06-6）设}{n a 为等比数列,其中首项1212a a ==，,则}{n a 的前n 项和n S 为（ ）
A 、
2
)
1(-n n B 、
2
)
1(+n n C 、12
1
--n D 、12-n
14、已知等比数列}{n a ，且0>n a ，252645342=++a a a a a a ，则53a a +的值为（ ）
A 、1
B 、5
C 、10
D 、15
15、在等比数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，7,232==S a ，那么公比q ＝（ ）
A 、2
1±
B 、
22
1或 C 、22
1--
或 D 、2±
16、在等比数列}{n a 中，若91,a a 是方程02522=+-x x 的两根，则64a a ⋅＝（ ）
A 、5
B 、
2
5 C 、2 D 、1
17、已知等比数列{}n a 中，29-=a ，则此数列前17项的积等于（ ）
A 、162
B 、162-
C 、172
D 、172-
18、（05-10）已知b 是a 与c 的等比中项，且8=abc ，则=b （ ）
A 、 4
B 、22
C 、 2
D 、2
19、（06-21）设}{n a 是等比数列，且3512,48a a ==，则=62a a 20、（09-2）已知a 为实数，且,2,4a a 成等比数列，则a =（ ）
A 、0
B 、2
C 、1
D 、
43
21、（08-3）已知}{n a 是等比数列，1232,24a a a =+=，则公比q 的值为（ ）
A 、－4或－3
B 、－4或3
C 、－3或4
D 、3或4
22、设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， （1）若1103,39a a ==，求50S ； （2）若2412,20b a b b =+=，求4b 。
23、已知等比数列{}n a 中，0n a >且24n n a a +=，则该数列的公比是（ ）
A 、4
B 、2
C 、2±
D 、－2
24、等比数列{}n a 满足1113,2
n n a a a +==-，则n S =_________________
25、在等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，设2410,4,28n a a S a >=-=，则3n n
a a +=（ ）
A 、6
B 、8
C 、12
D 、16
26
__________________
27、已知2,,,8x y 成等比数列，则y x
的值为（ ）
A 、4
B
C
D 、16。