复变函数的可导与解析

z x 0
z
lim ux0 x, y0 ivx0 x, y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
x0
x
u i v x x
当z沿虚轴趋于零，即x 0, z iy 0
时，有
lim
z iy 0
f
z0 z z
f
z0
lim ux0 , y0 y0 ivx0 , y0 y0 ux0 , y0 ivx0 , y0
f (z)在 z 1 i 处可导，在复平面上 处处 不解析.
（3） f (z) x 2 iy
解 u( x, y) x 2 , v( x, y) y，而
ux 2x, uy 0, v x 0, v y 1 ux ,uy ,vx ,vy在复平面上处处连续， 但仅在直线x 1 上满足C R条件
w u iv z x iy
uxx uyy o( (x)2 (y)2 ) i[vxx v yy o( (x)2 (y)2 )] x iy
C
R条件
u
x
x
v
x
y
i（v
x
x
u
x
y)
o(
(x)2 (y)2 )
x iy
(ux ivx )(x iy) o( (x)2 (y)2 ) x iy
2
f (z)在直线 x 1 上 可导，在复平面上 2
x0 y0
(x)2 (y)2
所以u( x, y),v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微 且u( x, y),v( x, y)在( x0 , y0 ) 处满足 C R条件, 前已证得。
(充分性） u( x, y), v( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 处可微
u ux x u y y o( (x)2 (y)2 ) v v x x v y y o( (x)2 (y)2 )
二. 复变函数
复变函数 ：
f : z x iy w u iv xy平面上的点集 uv平面上的点集
w f (z) u( x, y) iv( x, y)
一个复变函数
二个二元实函数
例如：
w f (z) z 2 ( x iy)2 x 2 y 2 2ixy,
u( x, y) x 2 y 2 , v( x, y) 2xy
设 z re i r(cos i sin ),则 z 的n次幂 为 z n (re i )n r n (cosn i sinn )
复数的方根：
设 z re i r(cos i sin ),则 z 的n次 方 根
为
n
z
r
1 n
(cos
2k
i sin
2k )
n
n
(k 0,1,2, n 1)
f
z
在
z
的导
0
数,
记
作
f
z0
dw dz
z z0
lim zz0
f z f z0
z z0
如果 f z在区域D内每一点都可导,则 称 f z在D内可导.
例1. 求f(z)=zn, (n 为正整数 ) 的导数.
解 f z lim f z z f z
z 0
z
lim z zn z n
z 0
,
y
）
0
连
续
（lim f (z) f (z0 )） （ lim u( x, y) u( x0 , y0 ),
zz0
( x, y)( x0 , y0 )
lim v( x, y) v( x0 , y0 )
( x, y)( x0 , y0 )
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大(小) 值应理解为连续的复变函数模的最大(小)值定理.
可导必连续,连续不一定可导
复合函数求导法则:
(1) C 0, 其中C为复常数;
(2) z n nzn1 ;
(3) f z gz f z gz;
(4) f zgz f zgz f zgz;
(5)
gf zz
gz f
z f g2 z
z
g
z
,
gz 0;
(6) f gz f wgz, 其中w gz;
(a ib)(x iy) (1 i 2 )(x iy)
ax by 1x 2y i(bx ay
2x 1y)
u ax by 1x 2y
v bx ay 2x 1y
而 lim 1x 2y 0,
x0 y0
(x)2 (y)2
lim 2x 1y 0
Argz z的 幅 角.
任 一 非 零 复 数 有 无 穷 多个 幅 角 ， 称 在
范 围( , ]内 的 幅 角 为 主 幅 角 ， 记为arg z. Argz arg z 2k , k 0,1,
arg
z
arctan
arctan arctan
y
x y
y x
z在 第 一 象 限 z在 第 二 象 限 z在 第 三 象 限
今后的讨论中 G 常常为一个平面区域, 称其为定义域.
可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定 义复变函数的极限，连续。
例如：
极限 lim f (z) lim u( x, y) iv( x, y)
zz0
( x, y )( x0 , y0 )
f (z)在 z0连续
u(
x,
y)，v(
x,
y)在
(
x0
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复 数 集 ：C z x iy x, y R
x Re z, y Im z, i 1
复 数 集C中 的 四 则 运 算 满 足 ： 加法 与 乘 法 的 交 换 律 ， 分 配 律 ， 且 复数 集 中 有 零 元(0)， 单 位 元(1)及 逆 元(z 1 ),于 是 复 数 集C构 成 一 个 数 域 复 数 域C
复数z x iy 有序数组( x, y) 复数域 复平面
复数的表示法：
1. z x iy 2. 复 平 面 上 的 点P ( x, y)或 向 量OP
3. z r(cos i sin ) (三 角 表 示 法 ）
4. z re i（指数表示法）
其 中 ：r z x 2 y 2 z的 模
x
arctan
y x
z在 第 四 象 限
性质：
z1
z2
z1
z2，
z1 z 2
z1
z
，（z1
2
z2
）
z1 z2
zz z 2 , z1z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
Arg(z1 z2 ) Argz1 Argz 2
Arg z1 z2
Argz1
Argz 2
复数的乘幂：
arg z在 负 实 轴 上 不 连 续 ， 因为
lim arg z , lim arg z
y0
y0
x0
x0
三. 复变函数的导数
定义2
设函数w f z在 z0 的某邻域内有定义,如
果极限
lim f z f z0 lim w
zz0
z z0
z0 z
存在,则称 f z在 z0可导,其极限值称为
(7)
f z
1
w
,
其
中
与
为
两个互为
反
函
数的单值函数, 且 w 0.
需 要 注 意 的 是 ， 复 变 函数 的 导 数 定 义 与 一 元 实 函 数 的 导 数 定 义 ， 虽然 形 式 上 一 样 ， 但 在 本 质 上 有 很 大 的 不 同 。因 为 一 元 实 函 数 导 数 定 义 中 的 极 限 是 一 元 实函 数 的 极 限 ， 而 复 变 函 数 导 数 定 义 中 的 极 限对 应 于 二 元 实 函 数 的 极限。
y0
iy
v i u y y
uLeabharlann Baidu i v x x v i u
y y
u x
v y
v
u
x y
柯西－黎曼(Cauchy-Riemann)方程
如 例2 中，f (z) z x iy, u( x, y) x, v( x, y) y
u 1, u 0, v 0, v 1 u v , v u
两个解析函数的和、差、积、商(除去分母 为零的点)都是解析函数,解析函数的复合函 数、反函数(单值)仍是解析函数.
设 f (z)在 z0 可导，即极限
lim w lim f z0 z f z0
z z0
z 0
z
存在.
当z沿实轴趋于零，即y 0, z x 0
时，有 lim f z0 z f z0
x y x y
x y x y
处处不可导。
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？
例 3 证明 ：f (z) Re z Im z 在 z 0满足C R
条件，但不可导。
证 ：f (z) Re z Im z xy ,
u( x, y) xy , v( x, y) 0
ux (0,0)
定义1
设有复平面上的点集G和复数集G , f 是 一 个 确 定 的 对 应 规 则, 如 果 对G中 每 一 个
点z, 通过 f , 在G 中有一个或多个复数w 与之对应, 则称f是定义在G上的复变函数,
记为 f : z w f z或简记为w f z G 称为 f z的定义集合,
G w w f z, z G称为函数值集合,
f z f 0
lim
不存在
z 0
z
f (z) 在 z 0 不可导。
定理 1
函数 f z ux, y ivx, y在D上解析的 充要条件是: ux, y和vx, y在D内任一点
z x0 iy0 可微,而且满足C R方程 : ux v y , uy v x
且 f z u i v v i u
f (z)在复平面上处处可导，处处 解析，且 f (z) ux ivx e x (cos y i sin y) f (z)
（2） f (z) x y ixy
解 u( x, y) x y, v( x, y) xy，而
ux 1, uy 1, v x y, v y x ux , uy , v x , v y 在复平面上处处连续，但仅在 x 1, y 1时满足C R条件
lim
x0
u( x,0) x
u(0,0)
0
v y (0,0)
u(0, y) u(0,0)
uy
(0,0)
lim
y0
y
0 v x (0,0)
满足C R条件.
但当z沿 y kx(x 0)趋于零时，有
lim
f z f 0 lim
k(x)2
k
z(1ki )x0
z
x0 (1 ki )x 1 ki
x x y y
证 (必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
z 0
f z0
z
z
f z0
f z0 z f z0 f (z0 )z z
(其中lim 0) z 0
设 f (z0 ) a ib, 1 i 2 , z x iy，
则f z0 z f z0 u iv
z
lim nz n1 z 0
C
2 n
z
n2 z
z n1
nz n1
z n nz n1
例2 讨论 f (z) z 的连续性与可导性。
解 f (z) z x iy 在复平面处处连续
lim f z z f z lim z z z
z 0
z
z 0
z
z
x iy
lim lim
定义3
如果函数 f z在 z0及其某个邻域内处处可导, 则称 f z在z0解析, 或称 z0是 f z的解析点; 若f z在D内处处解析,则称f z在D内解析, 或称f z是D内的一个解析函数. 如果 f z在 z0不解析, 那末称z0为f z的奇点.
f (z)在区域D内解析 f (z)在区域D内可导
w lim z0 z
ux
ivx
f (z) 在 z0 可导.
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
例4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解 u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y， 而
ux e x cos y, u y e x sin y, v x e x sin y, v y e x cos y 在 复 平 面 上 处 处 连 续 ，且 满 足C R条 件 ，
z0 z ( x ,y )(0,0) x iy
而 lim x iy lim iy 1 x0 x iy y0 iy
y 0
lim x iy lim x 1 y0 x iy x0 x
x 0
lim f z z f z lim x iy
z 0
z
(x,y)(0,0) x iy
不存在，因而f z z在复平面上处处不可导。