复习表面积和体积(1)
小学数学专题讲座-体积与表面积
专题讲座（1）——体积与表面积例1. 一种长方体木块，长5 cm，宽3 cm，高2 cm，用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？解析：首先要知道把3个这样的木块怎样拼表面积才能最大，这里同学们动手拼一拼，结论可以一目了然。
要想拼出表面积最大的长方体，必须使拼接部分的面积最小，因此用宽×高的面拼接。
拼接后的长方体的表面积比原来的3个长方体表面积减少了4个宽×高的面积，所以得到的长方体表面积最大是：答：这个长方体的表面积最大是。
想一想：用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最小的长方体，如何拼接？这个长方体的表面积是多少平方厘米？解析：首先同学们动手拼一拼，要想拼出表面积最小的长方体，必须使拼接部分的面积最大，因此用长×宽的面拼接。
拼接后的长方体比原来的3个长方体表面积减少了4个长×宽的面积，所以得到的长方体的表面积最小是：例2. 用3条丝带捆扎一个礼盒，第一条丝带长235cm，第二条丝带长445cm，第三条丝带长515cm，每条丝带的接头处的长度均为5cm，求礼盒的体积。
（如图）解析：从图中可以看出，在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm，剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍，从而可以得出：长＋宽＝（515－5）÷2＝255（cm），同样可以得出：长＋高＝（445－5）÷2＝220（cm）宽＋高＝（235－5）÷2＝115（cm）长＋宽＋高＝（255＋220＋115）÷2＝295（cm）长：295－115＝180（cm）宽：295－220＝75（cm）高：295－255＝40（cm）礼盒体积：答：这个礼盒的体积是540立方分米。
例3. 现在有空的长方体容器A和水深24cm的长方体容器B，要将容器B中的水倒一部分给A，使两容器内水的高度相同，这时水的高度是多少厘米？解析：可以这样想：容器A的底面积为40×30＝1200（）容器B的底面积为30×20＝600（）容器A的底面积是容器B的2倍：1200÷600＝2将容器B的水倒给A，容器A的水每上升1cm，容器B的水就要下降2厘米，当两个容器内水的高度相同时，容器B水的高度是：也可以这样想：把A、B两个容器拼在一起，形成一个底面长是40＋20＝60（cm）宽是30cm的一个大容器，它的底面积是60×30＝1800（）把容器B的水全部倒入到这个大容器中，大容器中水的高度是所求水面的高度：24×30×20÷1800＝8（cm）答：这时水的高度是8厘米。
长方体正方体的表面积和体积试题精选和答案解析 (1)
长方体正方体的表面积和体积练习卷答案1. 长方体表面积的求法：长方体的表面积= （长×宽+长×高+宽×高）×2 。
如果用字母a、b、h分别表示长方体的长、宽、高。
S表示它的表面积，则S= （ab+ac+bc）×2。
长方体的体积= 长×宽×高。
字母表示： V=abc2. 正方体表面积的求法：正方体的表面积=棱长×棱长×6 。
如果用字母a表示正方体的棱长，S表示正方体的表面积，则正方体的表面积计算公式是：S= 6a 。
正方体的体积= 棱长×棱长×棱长。
字母表示：s=a*a*a 。
1、一个长方体有（6 ）个面,他们一般都是（长方）形，也有可能（ 2 ）个面是正方形.2、把长方体放在桌面上，最多可以看到（3 ）个面。
3、一个长方体，长12厘米，宽和高都是8厘米，这个长方体的表面积是（512平方厘米）。
4、一个长方体，长8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，这个长方体的表面积是（184平方厘米），棱长之和是（ 68厘米）。
5、一个正方体的棱长之和是84厘米，它的棱长是（ 7厘米），一个面的面积是（49平方厘米），表面积是（294平方厘米）。
6、把三个棱长是1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（14平方厘米），比原来3个正方体表面积之和减少了（4平方厘米）。
7、把三个棱长是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积是（56平方分米），体积是（24立方分米）。
8、用棱长为1厘米的小正方体木块拼成一个较大的正方体，至少要（ 8 ）个这样的小木块才能拼成一个正方体。
9、一个正方体的棱长如果扩大2倍，那么表面积扩大（ 4）倍，体积扩大（8 ）倍。
10、一个无盖正方体铁桶内外进行涂漆，涂漆的是（10 ）个面.11、有一根长52厘米的铁丝，恰好可以焊接成一个长6厘米，宽4厘米，高（ 3 ）厘米的长方体。
12、一个长方体的长宽高分别是a ,b, h，如果高增高3米，那么表面积比原来增加（）平方米，体积增加（）立方米。
小学六年级奥数第27讲 表面积与体积(一)(含答案分析)
第27讲表面积与体积（一）一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
二、精讲精练【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
图27--3练习1：1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？图27—4【例题2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。
小学奥数训练第27周表面积、体积(一)
第27周表面积、体积（一)专题简析小学阶段所学的立体图形主要有四种：长方体、正方体、圆柱和圆锥。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式做适当的变形，养成“数与形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
(2)把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于拼合面积的两倍。
(3)若把几个形状相同的长方体拼成一个表面积最大；的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个形状相 ;同的长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
王牌例题1从一个棱长为10 cm的正方体木块上挖去一个长10 cm、宽2 cm、高2 cm的小长方体，剩下部分的表面积是多少？【思路导航】这是一道开放题，方法有多种，先求出原来正方体的表面积为102×6 = 600(cm2)。
①按图27—1所示，沿一条棱挖，剩下部分的表面积为：600 — 22× 2 = 592(cm2)②按图27—2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为：600 + 10×2×2—22×2=632(cm2)③按图27—3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为：600+10×2×4-22×2=672(cm2)举一反三11. 从一个长10 cm、宽6 cm、高5 cm的长方体木块上挖去一个棱长为2 cm的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2. 把一个长为12 dm、宽为6 dm、高为9 dm的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3. 在一个棱长是4 cm的正方体上挖一个棱长是1 cm的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？王牌例题2把19个棱长为3 cm的正方体重叠起来，如图27 —4所示，拼成一个立体图形。
立体几何的体积和表面积辅导讲义
旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连
线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
2.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正，高平齐，宽相等
空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.
基本步骤是：
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观
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综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的 组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用 技巧如：割补法和等价转化法．
(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 CBD，形成三棱锥 C－ABD 的正视 图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
空间几何体的表面积和体积
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.
多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
17
5
10
1
A.27
B.9
C.27
D.3
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(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
23
47
A. 3
B. 6
C．6
《不规则立体图形的表面积和体积(一)》配套练习题
《不规则立体图形的表面积和体积（一）》配套练习题一、解答题1、如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？2、在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？3、从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）4、如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．5、如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．6、用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？7、有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成如图的形状，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．8、右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积（π＝3.14）．9、用铁皮做一个如图（单位：cm）所示的管道工件，需用铁皮多少平方厘米（π＝3.14）？10、如图所示，三个圆柱堆放在一起，求这个立体图形的表面积和体积（单位：米）（π＝3.14）．答案部分一、解答题1、【正确答案】600【答案解析】我们从三个方向（前后、左右、上下）考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10×10×6＝600．【答疑编号10296776】2、【正确答案】15000【答案解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50×50×6＝15000（平方厘米）．【答疑编号10296777】3、【正确答案】592平方厘米；632平方厘米；648平方厘米；672平方厘米【答案解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．【答疑编号10296778】4、【正确答案】214平方分米【答案解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向（左右、前后方向）：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：5×5×2＝50（平方分米）；侧面：5×5×4＝100（平方分米），4×4×4＝64（平方分米）．这个立体图形的表面积为：50＋100＋64＝214（平方分米）．【答疑编号10296779】5、【正确答案】194【答案解析】（法1）四个正方体的表面积之和为：（12＋22＋32＋52）×6＝39×6＝234（平方厘米），重叠部分的面积为：12×3＋（22×2＋12）＋（32＋22＋12）＋（32＋22＋12）＝3＋9＋14＋14＝40（平方厘米），所以，所得到的多面体的表面积为：234－40＝194（平方厘米）．（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为52＋32＋22＝38平方厘米,从左右两个面观察到的面积为52＋32＝34平方厘米，从上下能观察到的面积为52＝25平方厘米．表面积为（38＋34＋25）×2＝194（平方厘米）．【答疑编号10296780】6、【正确答案】46【答案解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于（9＋7＋7）×2＝46个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【答疑编号10296781】7、【正确答案】56【答案解析】4×4＋（1＋2＋3＋4）×4＝56（平方米）．【答疑编号10296782】8、【正确答案】11768cm2，89120cm3【答案解析】表面积＝40×40×5＋3.14×40×40÷2＋3.14×（40÷2）2÷2×2＝8000＋2512＋1256＝11768cm2，体积＝40×40×40＋3.14×（40÷2）2×40÷2＝64000＋25120＝89120cm3．【答疑编号10296783】9、【正确答案】2355cm2【答案解析】将两个同样的工件可拼成下图的圆柱体，所以一个工件需铁皮3.14×15×（46＋54）÷2＝2355（cm2）【答疑编号10296784】10、【正确答案】262.19平方米；240.995立方米【答案解析】表面积：［3.14×（5÷2）2×2＋3.14×5×10］＋3.14×3×5＋3.14×2×3 ＝3.14×12.5＋3.14×50＋3.14×15＋3.14×6＝3.14×83.5＝262.19（平方米）体积：3.14×（5÷2）2×10＋3.14×（3÷2）2×5＋3.14×（2÷2）2×3＝3.14×62.5＋3.14×11.25＋3.14×3＝3.14×76.75＝240.995（立方米）【答疑编号10296785】。
专题二 圆柱的表面积与体1
专题二圆柱的表面积与体积1．圆柱的体积（1）有大、中、小三个圆柱形的水池，半径分别为10米，20米和30米。
把两堆碎石子分别倒入中、小两个池中，水面分别上升1米和2米。
问如果把这两堆碎石子都倒入大池中，水面上升多少米？（2）一堆圆锥形沙堆，底面积为12.56平方米，高是0.9米，现在把这堆沙子铺入长4.5米，宽是2米的长方体沙坑中，可以铺多厚？（3）一根圆柱形的木料底面周长为12.56分米，高为4分米。
（1）求圆柱的表面积？（2）它的体积？（3）把它截成4段小圆柱，要锯几次？表面积增加多少？【例1】一个底面半径为10厘米的圆柱形瓶中，水深为8厘米，要在瓶中放入一个长和宽都是8厘米，高15厘米的铁块，把铁块竖立放入，水面上升几厘米？正反比例（一）金牌专题三知识回顾：一、判断题1. 把两个大小相等的小圆柱拼成一个大圆柱后，表面积增加了。
（）2.两个侧面积相等的圆柱，它们的底面积半径一定相等。
（）3.如果两个圆柱体的底面半径和高都相等，那么它们的表面积也相等。
（）.4.圆柱体的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积也扩大到原来的2倍。
（）二、填空1. 4个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积是（）或（）平方厘米。
2.一个圆柱和一个圆锥等底底高，它们的体积之和为84立方厘米，这个圆柱的体积是（）立方厘米，圆锥的体积是（）立方厘米。
3.一个圆锥与圆柱的底面积相等，如果圆柱的高是圆锥高的9倍，那么圆锥体积是圆柱体积的（）倍。
【例1】个圆柱形玻璃缸容器，它的底面周长是12.56分米，若向该容器中注入1/4的水后,水面距缸口还有60厘米，这个玻璃缸容器的容积是多少？自我挑战1 把一个底面半径为6分米、高为5分米的圆锥形钢材锻造成一个高40分米的圆锥。
这个圆锥的底面积是多少平方分米？【例2】如图,一个酒瓶里面深30厘米,底面内直径10厘米,瓶里洒深15厘米,把酒塞紧后,使其瓶口向下倒立，这时酒深25厘米，酒瓶的容积是多少毫升？自我挑战2 一个圆柱形量杯，底面直径为20厘米，将一块石头放入后，完全浸没，水面高度由5厘米上升到9厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？正反比例的异同：正比例是个除法的式子，比如Z= X/Y,当Z不变的情况下,X变大Y也变大；X变小Y也变小. 正比例的图象一定是一条直线。
六年级下数学教案总复习表面积和体积(1)苏教版()
2．组织交流。
〔1〕提问：什么是长方体、正方体和圆柱的外表积？各怎样计算？
追问：圆柱的正面积怎样计算的？为什么？
想一想，长方体和正方体的正面展开也是怎样的图形？你发现它们的正面积可以怎样计算？
〔2〕提问：什么是物体的体积？什么是容器的容积？
先生独立填空。
团体交流，有针对性地选择几题让先生说说是怎样想的。
2．做〝练习与实际〞第2题。
先生独立完成填空。
团体交流，选择几题让先生说说是怎样思索的。
追问：在体积单位换算时，要留意些什么？
3．做〝练习与实际〞第4题。
先生列式计算，指名板演。
团体修订，让先生说明思索进程和解答方法。
提问：计算平面图形的体积时，要留意些什么？
4．做〝练习与实际〞第5题。
指名读题后指名板演，其他做在练习本上。
团体修订，让先生说说列式的理由。
四、课堂总结，布置作业
1．交流总结。
提问：这节课温习了哪些内容？你有什么收获？还有什么要进一步明白的效果吗？
2．课堂作业。
完成〝练习与实际〞第3、6题。
教学反思：
六年级下数学教案总复习表面积和体积（1）苏教版（）
总温习
课时
32课时
第二十一课时：外表积和体积整理与温习〔1〕
教学目的：
1.先生进一步了解平面图形的外表积和体积〔容积〕的意义，掌握相应的外表积和体积的计算方法，进一步看法常用体积单位及其进率，并掌握体积单位间的复杂换算；能运用外表积和体积计算处置相关实践效果。
教学进程：
一、创设情境，提醒课题
说话：教员明天带来了一盒同窗们经常喝的牛奶，别小看它哦，外面包括着很大数学效果呢！请同窗们想一想，在消费这样一个长方形牛奶盒的进程中，会有哪些数学效果？
高考数学复习—空间几何体的表面积与体积
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝__________，S 正棱锥侧＝__________， S ＝ 正棱台侧
__________(其中 C，C′为底面周长，h 为高，h′为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积 S 圆柱侧＝________，S 圆锥侧＝________，S 圆台侧＝________
故正方体的体积为 223＝ 42，所以三棱锥 P-CDE 的体积为 42－
4×13×12× 22× 22× 22＝ 122．故填122．
类型四 空间旋转体的体积问题
已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为 r，
R，求圆台的体积．
解：如图，图①是该几何体的直观图，图②是该几何体的轴
截面平面图．
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，根据切线长定理， AC＝AO1，BO＝BC，得梯形腰长为 R＋r，梯形的高即球的直径 长为 OO1＝ AB2－（OB－O1A）2＝ （R＋r）2－（R－r）2
则 AD1＝ 32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为123．故选
C．
点 拨： 求解几何体外接球的半径主要从两个方面考 虑：一是根据球的截面的性质，利用球的半径 R、 截面圆的半径 r 及球心到截面圆的距离 d 三者的关 系 R2＝r2＋d2 求解，其中确定球心的位置是关键； 二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体 共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体体
＝123．即直三棱柱外接球的半径为123．
解法二：(补体法)如图所示，将直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面补
成矩形，得到长方体 ABDC-A1B1D1C1．显然，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 外 接 球 就 是 长 方 体 ABDC-A1B1D1C1 的 外 接 球 ． 而 长 方 体
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第十一讲 表面积和体积(一) 人教版(含答案)
第十一讲表面积和体积（一）第一部分：趣味数学小希帕蒂娅巧算箱子体积希帕蒂娅是历史上有记载的第一位女数学家,她岀生在埃及。
希帕蒂娅小时候很聪明,有一次,父亲的朋友来拜访,送给希帕蒂娅一件礼物,装在一个用绳子捆起来的箱子里。
小希帕蒂娅高兴地解开绳子,正要去打开箱子，父亲对她说：“别急,你先拿一把尺子量量绳子的长度。
”小希帕蒂娅用尺子量了量散落在地上的3根绳子,一根长210厘米,一根长250厘米,还有一根长290厘米。
父亲说:“假设这些绳子打结的时候,都用去了10厘米,希帕蒂娅,请你算一算,这个箱子的体积是多少?”“没问题,爸爸。
”小希帕蒂娅拿出一支笔,在地上列起式子来：长+宽=(290-10)÷2=140厘米,长+高=(250-10)÷2=120厘米宽十高=(210-10)÷2=100厘米。
怎么才能求出长、宽、高呢?小希帕蒂娅歪着头想了想,低头算了起来。
她用第2个式子减去第3个式子,得到:长一宽=20厘米,再加上第1个式子,就能求出长=80厘米。
知道了长,她很快就求出了宽=60厘米,高等于40厘米。
所以箱子的体积就是：长×宽×高=80×60×40=192000立方厘米。
算完了,父亲笑着点点头,说:“现在，你打开箱子拿出礼物吧!”父亲的朋友一直在旁边看着,不禁惊叹道:好聪明的小丫头,将来一定会成为有名的数学家！第二部分：习题精讲小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
1.3空间几何体的表面积和体积(第一课时)
第二步：求近似和
S i
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
1 1 1 1 V S1h1 S 2 h2 S3h3 ... S n hn 3 3 3 3
第三步：转化为球的表面积
A1 C1 B1
P
A1 A
C1 B1 D1 C O B D
C A
C
B O A D
B
2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴 A
A
B
A B
C
D
B
C C
D
分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是 什么形状的图形.
矩 形
等腰三角形
等腰梯形
知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积
例 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得 到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？
几何体的体积小结 1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用 分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些丌 规则几何体体积计算问题的常用方法． 2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
h'
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
n l l扇＝ 180
2
R扇＝l
l
r
nl 1 S圆 锥 侧 S扇＝ ＝ l扇l rl 360 2
初一数学七年级2.5 立体图形表面积和体积的整理与复习
（2）准备粉刷客厅的四周和顶面，除去门、电视墙等10平方米不粉刷外，实际粉刷的面积是多少平方米？
（3）朋友装修新房时，所选的木料是直径40厘米，长是3米的圆木自己加工，大约需要5根。求装修新房时所需木料的体积？
（4）课本98页做一做。
（1）把一个棱长6分米的正方体木块削成最大的圆柱形，要削去多少立方分米？
（2）一个底面直径是40厘米的圆柱容器中，水深12厘米，把一块石头沉入水中完全浸没后，水面上升了5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
（3）一个酒瓶里面深30厘米,底面直径是8厘米,瓶里有酒深10厘米,把酒瓶塞紧后倒置(瓶口向下),这时酒深20厘米,你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗?
6.6.2.5立体图形表面积和体积的整理与复习
课型
复习课
使用教师
主备人
徐长云
修改人
张伟
教学内容：
教科书第98页例4及做一做。
教学目标：
1．学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。
2．在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。
3．让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神
重点、难点：
1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。
2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。
教学准备：
课件
教学过程
一、回忆旧知，揭示课题一
1、谈话揭示课题。
师：昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。（板书：立体图形表面积和体积的整理与复习）
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
《简单几何体的表面积与体积》考点讲解复习与同步训练
《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解【思维导图】考法一多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（）A．(483B．(483+C．24D．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（）.A．80B．240C．320D．640【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）AB ．C ．D ．3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C 2D 2考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1C ．2D ．13【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14B ．12C ．62．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C．83D．83．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD-如图所示，求它的体积.4．如图，正三棱锥P ABC-的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC-的表面积；（2）求正三棱锥P ABC-的体积.考法三旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（）A B．2πC．D．【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）A．142ππ+B．122ππ+C．12ππ+D．142ππ+2把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．32．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3B ．3πC ．9D ．9π考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3π B ．2π C D （2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．82．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．《8.3 简单几何体的表面积与体积》考点讲解答案解析考法一 多面体表面积【例1】（1）已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483B ．(483+C ．24D ．144（2）已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640【答案】（1）A （2）B【解析】（1）由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯=所以表面积(483S =.故选：A.（2）由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴8= 等腰梯形的面积为：()14168802S '=⨯+⨯=∴棱台的侧面积为：3380240S S '==⨯=本题正确选项：B 【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.2．棱长为1的正四面体的表面积为（ ）A B ．C ．D ．【答案】A 【解析】如图由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024ABCSAB AC =⋅⋅=，所以可知：正四面体的表面积为4ABCS = 故选：A3．正三棱锥底面边长为a ，高为6a ，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234a B ．232a C ．24a D ．22a 【答案】Aa 23⨯=，且，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为22632632a a a ，2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.考法二 多面体台体积【例2】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A 3B ．1C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是22)1⨯= A 【一隅三反】1．如图，已知高为3的棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1B ABC -的体积为（ ）A ．14 B ．12 C ．6【答案】C【解析】三棱锥1B ABC -的体积为：111113332ABCSh ⋅⋅=⨯⨯⨯=故选：C 2．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.故选：C . 3．已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.【答案】3【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ， 因为四棱锥的棱长均为4，所以SO ⊥平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高，所以4,SA OA ==,所以SO ，所以114433V AB AD SO =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.4．如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2）3. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =⋅=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△.则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC .且133OD AD ==.在Rt POD 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ⋅=△考法三 旋转体的表面积【例3】若圆锥的轴截面是顶角为120的等腰三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．2πC ．D ．【答案】C【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为120，即60APO ∠=，2AP =，90POA ∠=,所以AO =AO PA π⨯⨯=.故选：C.【一隅三反】1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（ ） A ．142ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ， 圆柱的侧面展开图是一个正方形， 2r h π∴=，∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222241242r r r πππππ++=，故选：B ．2．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A ．10B ．C ．D ．【答案】B【解析】半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的底面圆周长为220r ππ=⨯， 所以底面圆的半径为r =10，所以圆锥的高为h ==. 故选：B3．一个圆柱内接于一个底面半径为2，高为4的圆锥，则内接圆柱侧面积的最大值是（ ）A ．32π B ．3π C ．5π D ．4π【答案】D 【解析】圆锥的底面半径为2，高为4， 设内接圆柱的底面半径为x ， 则它的上底面截圆锥得小圆锥的高为422xx ⨯=， 因此，内接圆柱的高42h x =-；∴圆柱的侧面积为()()224242S x x x x ππ=-=-(02)x <<，令()22121==-+--t x x x ，当1x =时，1max t =； 所以当1x =时，4max S π=，即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π. 故选：D.考法四 旋转体的体积【例4】已知圆锥的母线长为5，底面周长为6π，则它的体积为（ ） A ．10π B ．12πC ．15πD ．36π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为底面周长为6π，所以26r ππ=，解得3r =，又因为母线长为5，所以h =4，所以圆锥的体积是21123V r h ππ==故选：B 【一隅三反】1．将半径为3，圆心角为23π的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）A ．πB ．C ．3πD ．3【答案】D【解析】由扇形弧长公式可求得弧长2323L ππ=⨯=，∴圆锥底面周长为2π， ∴圆锥底面半径1r =，∴圆锥的高h =∴圆锥的体积2133V r h π=⋅=.故选：D .2．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（ ）A ．198π立方丈 B ．1912π立方丈 C ．198π立方丈 D ．19π12立方丈 【答案】B【解析】由题意得，下底半径32R π=（丈），上底半径212r ππ==（丈），高1h =（丈），所以它的体积为()222211313113322V h R r Rr ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=⨯⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以19V =12π(立方丈).故选：B. 3．已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．3 B ．3πC ．9D ．9π【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则母线长为l则圆柱的侧面积为()2221122r r h ππ=+， 故表面积为()222192r h r πππ++=，得2231922r h +=①，又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故2r π=2r =得223h r =②，联立①②得：r =，3h =.故该圆锥的体积为2113333V Sh ππ==⨯⨯⨯=.故选：B.考法五 球【例5】（1）已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）A ．3πB ．2π CD．12（2）．已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为 ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．24π【答案】（1）B （2）C【解析】（1）设正方体的棱长为a ，球的半径为R，则22R R a =⇒=，球的表面积为22214432S R a a πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，正方体的表面积为226S a =， ∴2122362S a S a ππ==.故选：B （2）设该正三棱锥为A BCD -，将三棱锥A BCD -补成正方体AEBF GCHD -，如下图所示：则正方体AEBF GCHD -2=，该正方体的体对角线长为所以，正三棱锥A BCD -的外接球直径为2R =R ， 该球的表面积为2412S R ππ==. 故选：C. 【一隅三反】1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（ ） A ．2π B ．16πC ．8πD ．4π【答案】D【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为2414ππ⨯=，故选：D.2．棱长为2的正方体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．43π C ．12πD ．【答案】C【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以2R =R =所以球的表面积为：2412S R ππ==.故选：C3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A ．43π B ．8πC ．4πD ．16π【答案】C【解析】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积244S R ππ==，故选：C.4.将一个棱长为3cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（ ）A ．39cm πB ．39m 2c πC ．3cmD 3cm 【答案】B【解析】正方体的棱长为3cm ，所以球体最大体积的半径32r cm =， 所以球的体积：334932V r cm ππ==.故选：B考法六 组合体的体积表面积【例6】如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积S 为（ ）A ．54B ．542π+C ．54π+D ．543π+【答案】C【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积()()221633141542542S πππππ=⨯⨯-⨯+⨯⨯=-+=+．故选：C ． 【一隅三反】1．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -，2EF =，1AE =，则该组合体的表面积为（ ）A ．20B ．12C ．16D ．8【答案】A【解析】由题意，正四棱锥P EFGH -2=，该组合体的表面积为122421422202⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：A2．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，则该几何体的表面积为2116(248222S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(6=+.故选：A.3．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h =_______cm ．【答案】8【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径4r =， 如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积 所以()32141448233h h ππ⨯⨯=⨯⨯⇒= 故答案为：8《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．322．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为 A ．8B ．12C ．16D ．203．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212a C ．292a D ．232a 4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32B ．48C ．64D ．3235．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)817．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．69．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶43．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．40035．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积；（2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ）A ．81πB ．100πC ．168πD ．169π3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．364．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．75．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．5πD ．2π6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为________．7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.8．将底面直径为8，高为值为______.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ）A ．4π3cmB ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .3．圆锥的母线与底面所成的角为60︒，侧面积为8π，则其体积为________.4．把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为（ ）A ．23πB ．πC ．2πD ．4π5．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄驾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书，其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何”?其意思为场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的稻谷约有多少斛（保留两位小数）（ ）A ．61.73B ．61.71C ．61.70D ．61.696．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，则新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为（ ）A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米3【题组五 球】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为接球的体积为（ ）A ．BC ．D ．2．在长方体1111ABCD A B C D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．223的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.A ．3B ．354cmC ．327cmD ．34．如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a ，那么球的体积为（ ）A ．343a π B ．3a C 3a D ．316a π 5．一个球的体积为36π，则这个球的表面积为（ ）A ．12πB ．36πC ．108πD ．4π6．已知正方体外接球的体积是323π，那么该正方体的内切球的表面积为______． 【题组六 组合体的体积表面积】1．如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．2．如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.3．在底面半径为2，高为积之比为1：4，求圆柱的表面积.《8.3 简单几何体的表面积与体积（精练）》同步练习答案解析【题组一 多面体表面积】1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =.210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==.故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.故选：C.2．一个正四棱锥的底面边长为2，则该正四棱锥的全面积为A ．8B ．12C ．16D ．20 【答案】B， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122⋅⋅⋅. 故选B3．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，123OD a ==，111326O D a a =⨯=，116DE OD O D ∴=-=.在1Rt DED 中，1D E =，则1D D =a ==. 2193(2)22S a a a a ∴=⨯+=侧.故选：C4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ）A ．32B ．48C ．64D ．323【答案】A【解析】如图:正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成直角△POE ．∵OE =2cm ，∠OPE =30°，∴斜高h ′=PE =4sin 30oOE =， ∴S 正棱锥侧=114443222ch =⨯⨯⨯='故选：A5．已知正四棱锥的底面边长是2 ）AB ．12C ．8D ．【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥S ABCD -中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以2SE ===， 所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.故选：B.6．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)81 【答案】D【解析】正四棱锥如图，设四棱锥的高OE h =，由底面边长为4，可知2OF =，斜高EF =故2142h =⨯，解得2=2h +故侧面积为(214448812h ⨯⨯==+=+， 故选：D. 7．已知,AB CD 是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体ABCD 的表面积为（ ）A ．2+B ．2+C ．2+D ．2+【答案】A 【解析】由所给正方体的展开图得到直观图，如图：则此三棱锥的表面积为：△△△△+++=BCD ABC ADC ABD S S S S11112222222222⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+ 故选：A8．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，表面积为108，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D 【解析】长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，a ，则长方体的表面积为342+2423108a a ⨯⨯⨯+⨯=，解得a =6，故选：D9．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为（ ）A ．2(2+B ．2(4+C ．2(8+D ．2(16+【答案】C【解析】∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm 的球面上，正四棱柱的底面边长为2cm ， ∴球的直径为正四棱柱的体对角线∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为=∴该棱柱的表面积为2×22+4×2×＋(2cm )，故选：C【题组二 多面体台体积】1．正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618a =，解得a =所以该正方体的体积为3V a ==3cm .故答案为：2．如图，在长方体1AC 中，棱锥1A ABCD -的体积与长方体的体积之比为（ ）A ．2∶3B ．1∶3C ．1∶4D ．3∶4【答案】B【解析】设长方体过同一顶点的棱长分别为,,a b c 则长方体的体积为1V abc =， 四棱锥1A ABCD -的体轵为213V abc =， 所以棱锥1A ABCD -的体积与长方体1AC 的体积的比值为13. 故选：B.3．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21 米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．324276mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，34AB BC ==，21PO =， 所以正四棱锥P ABCD -的体积为311343421809233ABCD S PO m ⨯⨯=⨯⨯⨯=， 故选：A4．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．4003【答案】B【解析】(()2211+=33V S S h a b h '=⋅ ()2211305545615333=+⨯=⨯⨯=. 故选:B 5．出华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥（底面是正方形，侧楼长都相等的四棱锥），四个侧面由673块玻璃拼组而成，塔高21米，底宽34米，则该金字塔的体积为（ ）A ．38092mB ．34046mC ．32427mD ．312138m【答案】A【解析】如图正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥底面ABCD ，21PO =，34AB =， 底面正方形的面积为234341156S m =⨯=， 则正四棱锥P ABCD -的体积为311115621809233S PO m ⨯⨯=⨯⨯=， 故选：A6．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，截去三棱锥1A ABD -，求（1）截去的三棱锥1A ABD -的表面积； （2）剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积.【答案】（1）6+（2）203【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥1A ABD -中，1A BD 是边长为三角形，1A AD 、1A AB 、ABD △都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥1A ABD -的表面积(111231322642A BD A AD A AB ABDS SS S S=+++=+⨯⨯⨯=+（2）正方体的体积为328=，三棱锥1A ABD -的体积为111142223323ABD S AA ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余的几何体1111A B C D DBC -的体积为420833-=.【题组三 旋转体的表面积】1．经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（ ）A ．B ．4πC ．D ．2π【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则l =，由题可知)2122⨯=，∴2r l ==，侧面积为rl π=， 故选：C.2．某圆台的上、下底半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则该圆台的表面积为（ ） A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π【答案】C【解析】该圆台的轴截面如图所示.设圆台的上底面半径为r ，则下底面半径4r r '=，高4h r =则它的母线长510l r ====∴2r，8r '=.∴()(82)10100S r r l πππ'=+=+⨯=侧，22100464168S S r r ππππππ'=++=++=表侧.故选：C3．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（ ）A ．94B ．3C ．12D ．36【答案】B【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r 、R ， 设圆锥的母线长为L ，截得小圆锥的母线长为l ， ∵圆台的上、下底面互相平行 ∴14l r L R ==，可得L=4l ∵圆台的母线长9，可得L ﹣l =9 ∴3L 4=9，解得L=12， ∴截去的圆锥的母线长为12-9=3 故选B4．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A ．3B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为r ，由已知有另一底面圆的半径为3r ，而圆台的侧面积公式为(3)4384,7r r l r r πππ+=⨯⨯==，选D.5．圆柱底面半径为1，母线长为2，则圆柱侧面积为（ ） A ．4π B ．3πC ．5πD ．2π【答案】A【解析】圆柱底面半径为1，母线长为2， 圆柱侧面积为224S rl =π=π⨯1⨯2=π ,故选：A6．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为8π，则圆柱的高为_____． 【答案】4【解析】设圆柱的高为h ，有28h ππ=，得4h =．故答案为：4.7．已知圆锥的底面半径为2，高为4，在圆锥内部有一个圆柱，则圆柱的侧面积的最大值为______.【答案】4π【解析】如图是圆锥与圆柱的轴截面，设内接圆柱的高为a ，圆柱的底面半径为r()02r <<，则由224r a-=，可得42a r =-，所以圆柱的侧面积()22242484(1)4S r r r r r πππππ=⋅-=-+=--+，所以1r =时，该圆柱的侧面职取最大值4π. 故答案为：4π．8．将底面直径为8，高为值为______.【答案】【解析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为h ，底面半径为r ，4r =，解得h =；所以()22242S rh r r r r ππ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭圆柱侧；当2r时，S 圆柱侧取得最大值为故答案为：. 【点睛】本题考查了求圆柱侧面积的最值，考查空间想象能力，将问题转化为函数求最值，属于中档题.9．若圆锥的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为___________.【答案】4:1【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， 由题意得：22l r ππ=,即4l r ，所以其侧面积是214S rl r ππ==，底面积是22S r π=，所以该圆锥的侧面积与底面积之比为4:1 故答案为：4:1【题组四 旋转体的体积】1．若圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为215cm π，则该圆锥的体积为（ ） A ．4π3cm B ．9π3cmC ．12π3cmD ．36π3cm【答案】C【解析】设圆锥母线长为l ，则侧面积为123152S l r l πππ=⋅==，故5l =.故圆锥的高4h ==，圆锥体积为21123V r h ππ==3cm .故选：C.2．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm .【答案】128π【解析】设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ，则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=。
《立体图形的表面积和体积(整理复习)》教案
在本次《立体图形的表面积和体积》的教学中，我发现学生们对于立体图形的概念和计算公式掌握得还算不错。但在实际应用方面，他们还显得有些吃力。我觉得有几个地方值得我们共同反思和改进。
首先，关于立体图形的认识，虽然学生们在课堂上能够理解长方体、正方体、圆柱体和圆锥体等基本立体图形，但在遇到一些不规则立体图形时，他们的空间想象力还是显得不足。为了提高学生的空间想象力，我考虑在今后的教学中，可以增加一些立体图形的实物模型展示，让学生更直观地感受和认识立体图形。
（3）在实际问题中，学生需要学会如何将现实生活中的物体抽象为立体图形，并运用相应的表面积和体积知识进行计算。例如，计算一个游泳池的水泵每分钟需要抽多少水，需要知道游泳池的体积，并考虑实际情境。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《立体图形的表面积和体积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算物体大小或容量的情况？”（如计算游泳池的水量、包装盒的用料等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索立体图形表面积和体积的奥秘。
-圆锥体的表面积计算公式：πrl+πr²。
2.教学难点
（1）对立体图形的认识和空间想象力；
（2）表面积和体积公式的推导过程；
（3）在实际问题中灵活运用立体图形的表面积和体空间想象力，学生需掌握立体图形的各个面的特征及其相互关系。例如，长方体的三个相互垂直的面，圆柱体的侧面和上下底面等。
其次，在表面积和体积公式的推导过程中，虽然我尽力通过举例和实物演示来帮助学生理解，但仍有部分学生难以跟上课堂节奏。我意识到，对于这部分学生，可能需要更详细的步骤分解和个别辅导。在今后的教学中，我会尽量关注每个学生的学习进度，及时给予他们个性化的指导。
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）第一篇：长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计《长方体与正方体表面积和体积复习课》教学设计一、教学目标1、通过整理与复习，使学生进一步长方掌握体和正方体的特征内在联系，表面积、体积、容积的概念以及相邻单位间进率；2、熟练掌握长方体和正方体表面积和体积的计算方法，以及不规则图形体积的计算方法，并在具体情境中正确运用。
3、进一步培养学生的空间观念，提高空间想象能力。
二、教学重难点重点：归纳整理有关长方体和正方体的知识，形成知识体系。
熟练掌握不同长方体和正方体表面积和体积的计算方法。
难点：灵活运用所学知识，解决实际问题。
三、教具准备长方体正方体模具四：教学过程（一）复习导入师：这一节课我们来进行长方体和正方体表面积和体积的复习，对于这一章，你还能记住哪些内容？生：长方体和正方体都有六个面、八个顶点、12条棱。
生：长方体和正方体体积和表面积的计算方法… …师：本单元的主要内容就是从同学们刚才所说的特征、表面积、体积这三方面展开的。
（板书）下面请同学们独立、认真、快速的完成复习提纲（二）整理1、组内整理2、小组汇报（1）特征。
分别从长方体和正方体的面、棱、顶点三方面汇报，其他小组补充。
（2）表面积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充（3）体积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充3、教师总结：对于空间几何体来说，特征是核心。
特征是区分表面积和体积的依据，正因为特征不同，表面积和体积的计算方法不同，单位也不同。
长方体和正方体在计算各自的体积和表面积时，计算方法也不一样。
（三）巧设练习，运用知识师：通过刚才同学们的汇报，大家已经对本单元的知识有了系统的了解，下面我们一起做几个练习题，检查一下同学们能否灵活运用这些知识。
本环节共四关，同学们做好准备了吗？开始：第一关：一、填空：1、一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、2厘米、1厘米。
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内容Leabharlann 教师活动学生活动四、总结与反思
五、布置作业
C.通风管横截面周长0.628米,高1.2米
提问:分别需要计算哪几个面的面积，为什么？
通过复习，你有什么收获？生活中还有哪些地方用到表面积的计算方法?
1.一个圆柱形状的铁皮水桶,底面直径4分米,高5分米.制作两个这样的水桶,至少用铁皮多少平方分米?
教案
年月日
课题
复习表面积和体积(1)
课型
复习课
教学
目标
及
重点
难点
1.进一步理解表面积和体积的含义，掌握常见几何体的表面积的计算方法；
2.进一步加深对相关体积单位实际大小的认识，发展学生的空间观念。
3.进一步感受数学知识和方法的应用价值,激发学习数学的兴趣。
教学重点：理解和掌握常见几何体表面积的计算方法
2.压路机滚筒的形状是一个圆柱,底面直径1米,长1.5米.如果每分钟流动20圈,每分钟可压路面多少平方米?
3.用一根长2.4米的铁丝,焊接一个正方体框架。在这个正方体框架的表面糊上彩纸，至少要用彩纸多少平方米？
学生独立解答
教学难点：理解和掌握常见几何体表面积的计算方法
教学准备（含资料辑录或图表绘制）
板
书
设
计
教
后
记
教和学的过程
内容
教师活动
学生活动
一、揭示课题
二、回顾与整理
三、练习与实践
板书课题：复习表面积和体积
1.提问：什么是长方体、正方体和圆柱的表面积？
怎样计算长方体、正方体和圆柱的表面积？
(板书计算方法)
2.提问：什么是物体的体积？什么是物体的容积？它们有什么区别？
常用的体积（容积）单位有哪些？你能说一说相邻单位间的进率吗？
1.在括号里填上合适的单位名称。
(1)一间卧室的地面面积是15( )。
（2）一瓶牛奶大约有250（）。
（3）我们教室的空间大约是144（）。
2.提问：你能用学过的体积单位描述自己身边物体的体积吗？
3.填空：
0.5立方米=( )立方分米
1.04升=( )毫升
60立方厘米=( )立方分米
75毫升=( )立方厘米
学生完成后，追问换算方法
4.看图口答求表面积的算式。
4厘米
10米
2米
2米
12分米
2分米
5.解决实际问题：
（1）一个长方体金鱼缸，长40厘米，宽40厘米，高35厘米。它左侧面的玻璃打碎了，要重新配一块，重新配上的玻璃是多少平方厘米？合多少平方分米？
（2）一种圆柱形的易拉罐，底面直径7厘米，高12厘米。在它的侧面贴一圈包装纸，至少需要多少平方厘米？
（3）制作下面圆柱形状的物体，至少各需要多少铁皮？
A.油桶底面半径4分米，高12厘米
B.水桶底面直径40厘米,高50厘米
结合实物说说表面积的含义
学生回答。
学生举例说说含义及区别
学生各自填一填
举例说说一些物体的体积
学生独立完成
学生填空，说说换算方法
看图口答算式
学生独立解答，
并根据题意说清楚理由
做一做，比一比