瞬时速度与瞬时加速度

设物体作直线运动的速度为v＝f(t)，以t0为起始
时刻，物体在t 时间内的平均加速度为
a v f (t0 t) f (t0 )．
t
t
可作为物体在t0时刻的加速度的近似值， t 越小，
近似的程度就越好．所以当t0时，极限 v
t
就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即
a v
������ҧ = ������(������0+∆������)−������(������0)
∆������
当∆������ → 0， ������ҧ →常数 即为在������0时刻的瞬时速度
课堂练习
一质点的运动方程为 ������ = ������2 + 10(位移单位：������，时间单位: ������)，求该 质点在t=3时的瞬时速度
4
9
12.25
16
25
时间t 0 1
2
3
3.5
4
5
如何算出在t=3时刻的瞬时速度？ 算出[3,4]时间段的平均速度 算出[3,3.5]时间段的平均速度
在这一个时刻，经过的路程为0，
时间也为0，总不能用0来算
0
因为时间间隔
������ 4 − ������(3) ������ҧ = 4 − 3 = 7
∆������
从而，在时刻3的瞬时速度为6
建构数学 速度是位移相对时间的变化率
设物体作直线运动所经过的路程为s＝f(t)．
以t0为起始时刻，物体在△t时间内的平均速度为
v＝ s ＝ f (t0＋t)－f (t0 ) . 如果△t足够小
t
t
`v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，△ t 越小，近似的程度就越好.
所以当△t0时， s 无限趋近一个常数 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度
s t
＝ f (t0＋t)－f (t0 ) t
t 0
V(������������)
例题1
物体作自由落体运动，运动方程为������
＝
1 2
������������2，其中位移单位是m，时
间单位是s，g＝10m/s2，求物体在t＝2s时的瞬时速度.
（1）计算物体在2s到2＋Δts（t∈[2，2＋Δt]）内的平均速度.
∆������ ∆������
=
������
2＋Δt Δt
−������(2)=20+Δt
（2）怎么样得到瞬时速度？
当∆������ → 0时，∆������ → 20
∆������
所以在2s时刻物体的瞬时速度为 20 （m/s）
t
f (t0 t) f (t0)． t0 t
t t0
感悟逼近思想，看看割线逼近切线法与瞬时速度定义的共同点
Q
位移时间方程 ������ = ������ ������
Q
P Q
函数在某一 在区间 ������0, ������0 + ∆������ 上的平 点的瞬时变 均速度 化率
加速度是速度相对于时间的变化率
例2 设一辆轿车在公路上作直线运动，假设t(s)时的速
度为v(t)＝t2＋3，求当t＝t0(s)时轿车的瞬时加速度 .
解: 在������0到������0+ ∆������的时间内，轿车的平均加速度为
速度的平均 变化率
���_���_＝ Δ������=������ ������0＋Δ������ －������ ������0
思考：能否求出t=3时刻质点的瞬时加速度？
加速度是速度相对于时间的变化率，我们需要知道速度相对于时间 的函数才能求出来。该怎么做呢？
������
∆������
=
������0+∆������
2+3 ∆������
−
������02−3=
2
������0+
∆������
∴当Δt无限趋于0时，
__
������
无限趋于2t0，即
������
＝ 2t0．
所以当t＝t0(s)时轿车的瞬时加速度为2t0
建构数学 加速度是速度相对时间的变化率
解：在3到3+∆t的时间内，质点的平均速度为
������ҧ = ∆������ = (3+∆������)2+10−(32+10) = 6∆������+∆������2 = 6 + ∆������
∆������
∆������
∆������
当∆������ → 0, ������ҧ → 6
所以在t=3的时刻，质点的瞬时速度为 6（m/s）
缩短，所以理 论上6.5要比
������ 3.5 − ������(3) ������ҧ = 3.5 − 3 = 6.5
7.5更接近3时 刻的瞬时速度
不断缩小时间间隔，就可以不断的接近3时刻的瞬时速度
随着时间间隔不断缩短，平均速度不断的接近6。那么是否就可以雅高级中学
问题情境
平均速度：物体的运动位移与所用 时间的比称为平均速度.
问题一 平均速度反映物体在某一段时间 段内运动的快慢程度.那么如何刻画物 体在某一时刻运动的快慢程度？
瞬时速度的定义
牛顿研究瞬时速度的方法
一个直线运动的物体，路程S和时间t满足 ������ = ������2
位移S 0 1
从时刻3开始取一个非常小的时间间隔△t
32
(3+△t )2
平均速度为
△S
∆������ (3 + ∆������)2−32 6∆������ + ∆������2
∆������ =
∆������
= ∆������ = 6 + ∆������
△t
3
3+△t
当∆������ → 0时，平均速度∆������ → 6
P(������, ������ ������ ), ������(������ + ∆������, ������ ������ + ∆������ )
������������������
=
������
������+∆������ −������(������) ∆������
当∆������ → 0, ������������������ →常数