第02章题解
第02章 机构的自由度
1.复合铰链 动副相联。
两个低副
－－两个以上的构件在同一处以转
处理：m个构件,有m－1转动副。
2
1 3 2 1 2 3
1
2
1
2 3
1
2
1 3
3
3
例题④重新计算图示圆盘锯机构的自由度。
上例：在B、C、D、E四处应各有 2 个运动副。
D
5
作者：潘存云教授
F 6
解：活动构件数n=7 低副数PL= 10 F=3n － 2PL － PH =3×7 －2×10－0 =1
⑧计算图示大筛机构的自由度。
复合铰链
n= 7 Pl = 9
Ph = 1
A D B E’
C
局部自由度
E
F
G o
虚约束
F 3n 2Pl Ph 3 7 2 9 1 2
⑨计算图示包装机送纸机构的自由度。 分析： 活动构件数n：9 复合铰链: 2个低副 F 局部自由度 2个 E 5 G 虚约束: 1处 4
A C B 1 2
3
例题③计算铰链机构的自由度
B
1
A
2 3
2
1
4
C
3 1
2 5
3 4
(a)
(b)
(c)
F=0
F=1
F=2
机构具有确定运动的条件:原动件数＝自由度。
三、机构具有确定运动的条件 原动件数＝自由度。
简易冲床机构自由度
三、机构具有确定运动的条件
原动件数＝自由度。 现设想将机构中的原动件和机架断开，则原动件与 机架构成了基本机构，其F＝1。剩下的构件组必有F＝ 0。将构件组继续拆分成更简单F＝0的构件组，直到不 能再拆为止。 F=0 F=1
第02章拉压题解
第2章 习题解答2-1 试求图示各杆1-1，2-2，3-3截面的轴力并画出杆的轴力图。
解：（a ）N 1-1 = 50 kN ，N 2-2 = 10 kN ，N 3-3 = -20 kN（b ）N 1-1 = F ，N 2-2 = 0 ，N 3-3 = F（c ）N 1-1 = 0 ，N 2-2 = 4F ，N 3-3 = 3F2-2 图示螺旋压板夹紧装置。
已知螺栓为M20（螺纹内径d ＝17.3mm ），许用应力［ζ］＝50MPa 。
若工件所受的夹紧力为2.5kN ，试校核螺栓的强度。
∑=0BM03=⋅-⨯l F lF A得F = 3 F A243dF A F Aπ==σ233.174105.23⨯π⨯⨯⨯== 31.9 MPa ＜[ζ]安全2-3 图示结构，A 处为铰链支承，C 处为滑轮，刚性杆AB 通过钢丝绳悬挂在滑轮上。
已知F ＝70kN ，钢丝绳的横截面积A ＝500mm 2，许用应力［ζ］＝160MPa 。
试校核钢丝绳的强度。
由AB 杆的平衡条件得：∑=0A M 05s i n 4=⋅α-N F α= 45°，2.7945sin 570445sin 54=︒⨯=︒=F N kN4.158500102.793=⨯==σA N MPa ＜[ζ] ，安全 2-4 图示为一手动压力机，在物体C 上所加的最大压力为150kN ，已知立柱A 和螺杆BB 所用材料的许用应力［ζ］＝160MPa 。
1. 试按强度要求设计立柱A 的直径D ；2. 若螺（a ）（b ）杆BB 的内径d ＝40mm ，试校核其强度。
解：由平衡条件得 752150==A N kN 1. 由立柱的强度条件 24DN A N AA A π==σ≤[ζ] 得 D ≥4.2416010754][43=⨯π⨯⨯=πζA N mm2. 螺杆的应力1194010150423=⨯π⨯⨯==σBB BB A N MPa ＜[ζ] 螺杆强度足够。
02牛顿运动定律习题解答
02牛顿运动定律习题解答第二章牛顿运动定律一选择题1．下列四种说法中，正确的为：（）A.物体在恒力作用下，不可能作曲线运动；B.物体在变力作用下，不可能作曲线运动；C.物体在垂直于速度方向，且大小不变的力作用下作匀速圆周运动；D.物体在不垂直于速度方向的力作用下，不可能作圆周运动；解：答案是C。
2．关于惯性有下面四种说法，正确的为：（）A.物体静止或作匀速运动时才具有惯性；B.物体受力作变速运动时才具有惯性；C.物体受力作变速运动时才没有惯性；D.惯性是物体的一种固有属性，在任何情况下物体均有惯性。
解：答案是D3．在足够长的管中装有粘滞液体，放入钢球由静止开始向下运动，下列说法中正确的是：（）A.钢球运动越来越慢，最后静止不动；B.钢球运动越来越慢，最后达到稳定的速度；C.钢球运动越来越快，一直无限制地增加；D.钢球运动越来越快，最后达到稳定的速度。
解：答案是D4．一人肩扛一重量为P的米袋从高台上往下跳，当其在空中运动时，米袋作用在他肩上的力应为：（）A.0B.P/4C.PD.P/2解：答案是A。
简要提示：米袋和人具有相同的加速度，因此米袋作用在他肩上的力应为0。
5．有两辆构造相同的汽车在相同的水平面上行驶，其中甲车满载，乙车空载，当两车速度相等时，均关掉发动机，使其滑行，若从开始滑行到静止，甲车需时t1，乙车为t2，则有：（）A.t1=t2B.t1>t2C.t1<t2D.无法确定谁长谁短解：答案是A。
简要提示：两车滑动时的加速度大小均为g，又因v0at1=v0at2=0，所以t1=t26.若你在赤道地区用弹簧秤自已的体重，当地球突然停止自转，则你的体重将：（）A.增加；B.减小；C.不变；D.变为0解：答案是A简要提示：重力是万有引力与惯性离心力的矢量和，在赤道上两者的方向相反，当地球突然停止自转，惯性离心力变为0，因此体重将增加。
7.质量为m的物体最初位于某0处，在力F=k/某2作用下由静止开始沿直线运动，k为一常数，则物体在任一位置某处的速度应为（）A.k112k113k11k11()B.()C.()D.()m某某0m某某0m某某0m某某0解：答案是B。
信号与线性系统题解第二章
第二章习题答案收集自网络2.1 (1) 已知连续时间信号 x(t) 如图 P2.1(a)所示。
试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) x(t 2) (b) x(1 t) (c) x(2t 2)h(t) ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) h(t 3) (b) h(2t 2) (c) h(1 2t)(3) 根据图 P2.1(a)和(b)所示的 x(t) 和h(t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) x(t)h( t) (b) x(1 t)h(t 1)图 P2.1解： (1) 各信号波形如下图所示：(2) 根据图 P2.1(b) 所示的信号2)图 P2.22.2 21t10 1 2 3 52x(t 2)2 1(a)(2) 各信号波形如下图所示：h(t 3)x(1 t) (b) 0t2112210 1(c)t11 2 t h( 2) 2t24611 0113t2(c)已知信号 x(5 2t) 的波形图如图 P2.2 所示， 试画出 x(t) 的波形图，并加以标注。
解：波形如下图所示：x(5 2t)13253222.3 (1) 已知离散时间信号 x(n) 如图 P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) x(4 n) (b) x(2n 1)(2) 对图 P2.3(b)所示的信号 h(n) ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。
(a) h(2 n) (b) h(n 2) (c) h(n 2) h( n 1)(3) 根据图 P2.3(a) 和(b)所示的 x(n) 和 h(n) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。
(a) x(n 2)h(1 2n) (b) x(1 n)h(n 4) (c) x(n 1)h(n 3)(c)x?(n)x(3),0, 其他 n65 4 3 2 10 1 222解： (1) (2) (3) 1 x(n)0 1 2 3 4(a) 各信号波形图如下图所示：1 2n图 P2.31/ 22 1 0 1 234 (a) 1x(2n 1)2 1 0 1 2 3(b)各信号波形图如下图所示：n各信号波形如下图所示：h(n)1132 2220 1 2 3 4 n1x(4 n)56x?(n)1n0 1 2 3(c)h(n 2) h( 1 n)1/ 2 1/32(c)nx(n 1)h(n 3)1/ 21 0 12345671/ 213/ 2x( n 2)h(1 2n )3/ 21/ 2123/21/ 41/4101/2 3/ 4(a) (b)解：图P2.4(b)2.4 画出图P2.4 所给各信号的奇部和偶部。
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考02第二章_晶体的结合和弹性
d 2U ( dV 2 )V0
=
1 9V 2
0
⋅
N 2
⎡ ⎢ ⎣
−
m2 A r0m
+
n2B ⎤
r0n
⎥ ⎦
=
1 9V02
⋅
N 2
⎡⎢−m ⎣
mA r0m
+
n
nB r0n
⎤ ⎥ ⎦
=
1 9V02
⋅
N 2
⎡⎢−m ⎣
nB r0n
+
n
mA ⎤
r0m
⎥ ⎦
=
−
mn 9V02
⋅
N 2
⎡⎢− ⎣
A r0m
+
B r0n
第二章 晶体的结合和弹性 第二章 晶体的结合和弹性
2.1 有一晶体，在平衡时的体积为V0 ，原子之间总的相互作用能为U0 ，如果相距为 r 的原子间相互作用能
由下式给出： 证明：（1）体积弹性模量为
u(r) = − A + B ， rm rn
K
=
U0
mn 9V0
（2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。 解：参考王矜奉 2.2.1 根据弹性模量的定义可知
2
平衡条件
dU dr
|r = r0
=
⎛ ⎜⎜⎝
mA r m+1
0
−
nB r n+1
0
⎞ ⎟⎟⎠
=
0
得
mA r m+1
0
=
nB r n+1
0
第二章 晶体的结合和弹性
1
r0
=
⎛ ⎜⎝
nB mA
⎞n−m ⎟⎠
高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考
第二章习题解答参考习题2-11．设f (x )=8 x，试按定义求 f (1) ．解2．设f1xf 1lim8 1x 8．f (1)= lim8x 0x x0x2bx c ，其中 a, b, c 为常数.按定义求 f (x ) ．f (x )= ax解f xf x x f x= limxx022a x xb x xc ax cbx limxx02 ax x a x2 b x2 ax b ．limxx03．证明(sin x ) = cos x ．证设 f x sin x ，则 f x x f x sin x x sin x 2 cosx x x sin222 cos xsinxf x x f x x2f x lim 2limx x x0x0sin xx2lim cos x cos x，2x2x0所以(sin x ) = cos x ．4．下列说法可否作为 f ( x )在 x 0可导的定义？f (x0 h ) f ( x 0h )（ 1）limh 存在；h 0解不能．因为从极限式中不能判断 f x0存在，也不能判断lim f ( xh ) f (x)存在．h0h例如 f x x 在x0 点不可导，但lim f (0h ) f (0 h)h hlim0h 0h h0h却存在．（ 2）lim f (x 0h)f (x)和lim f (x0h )f(x)存在且相等；h0h h 0h解可以．因为 lim f (x0h ) f ( x0 )f x0，hh0lim f ( x0h ) f ( x0 ) f ( x0h ) f ( x0)f x0，根据导数存在的充要h lim hh 0h0条件，可知 f x存在．5．求下列函数的导数：（ 1）y x 5；（2）y1；（3）x232（ 4）y log1x；（5）y x x；（6）3x 5解（1）y 5 x 5 1 5 x 4；y x37x ；y lg x ．（2）（3）（4）1131y x 22；x2 2 x x221522 x2 7x；y x 722x 777y11；1x ln 3x ln3（5）（6）2511512y x 32x66x 66；56x 1y．x ln 106．已知物体的运动规律为s t 3(米)，求这物体在 t2 (秒)时的速度．解因为 s t3， v ds3t 2，所以 t 2 时，v 2 3 2212 ．dt7．如果 f ( x )为偶函数，且 f (0)存在，证明 f (0)=0．证因为 f(0)=lim f x f 0，而 f ( x ) 为偶函数，故 f (x ) f ( x) ，x0x所以 f (0)limf x f0f xf 0，0lim f (0)x x x 0x所以 f (0)=0．8．抛物线y x 2在哪一点的切线平行于直线y 4 x 5 ？在哪一点的切线垂直于直线 2 x 6 y50 ？解由 y x2，可得 y 2 x ，若切点为x0 , x 02，则依题设 2 x 0 4 ，即 x0 2时，切线平行于直线11 ，即 x03y 4 x 5 ； 2 x0时，切线垂直于直线322 x 6 y 50；所以抛物线切线垂直于直线y x2 在点 2 , 4 的切线平行于直线y 4 x 5 ？在点3,9的242 x 6 y 50 ．9．在抛物线y x 2上取横坐标为x1 1 及 x2 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解由题设可知 y 2 x，所取的两点为 1,1， 3, 9 ，连接两点的直线斜率为 k 4 ，依题设，应有 2 x 4 ，即 x 2 ，所以所求点为2, 4．10. 如果y f x在点4, 3处的切线过点0, 2 ，求 f4．解依题设，曲线在点4, 3处的切线为 y3f4x 4 ，满足 2 3 f404，从而f 41．411．讨论下列函数在x0 处的连续性与可导性：x21x0,（1）y3 x ；（2）ysin,x0 ,x0.解（ 1）因为lim 3 x0y0 ，所以 y 3 x在 x0 点连续，x03x1，所以 y3 x 在 x0 点不可导；而 limx lim2x 0xx 321（2）因为 limx 2 s in 1y 0 ，所以 yx sin x,x0, 在 x0 点连续，xx0 ,x0.211x sin12,x 0,又 limx0 ，所以 yx sinx 在 x0 点可导．lim x sinx 0 xxx0 ,x 0.12．设 f (x )=sin x , x 0在 x0 处可导，求 a, b 的值．axb , x 0解因为 f (x )=sin x , x0 处可导， axb , x在 x所以 lim f ( x)f0 ，且 ff，x 0又 limf ( x )0 ， limf ( x )b ， fb ，故 b0 ， f0 ，x 0x从而 f 0lim fxf 0 lim sin x1 ，xxxx 0flimf xf 0limaxa ，所以 a1 ．xxx 0x 0213．已知 f ( x)x , x 0，求 f (0)， f(0) 和 f (0)．x, x2f ( x)f 0x 2解因为 f ( x) x , x ，所以 f (0)limlim0 ，x, xxxx 0x 0f (0)f ( x)f 0 limx 1 ，所以 f(0) 不存在．limxxxx14．设函数 f ( x)=x 3 ,x 0 ，求 f (x ) ．3xx ,解 当 x 0 时， f ( x )3 x 2 ，当 x 0 时， f ( x)3 x 2 ，当 x0 时， f (0)limf xf 0limx 3 0 ，xxxx 0f (0)lim f xf 0limx 3 0 ，所以 f(0)0 ，xxxx 02 所以 f(x )=3 x , x 0 ．3 x 2 , x 015．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证 （1）设 f x 为奇函数，则 fxfx ，而 ff xh f x，xlimhh 0fxlim fx hfxf x hf xhlimhhhf xhf xf x hfxx，limhlimhfhh 0所以 fx为偶函数；相似地，若 f x 为偶函数，则 fx f x，于是f xlimfxh fxfxhf xhlimhhh0lim f xhf xfx，所以 fx为奇函数．hh0（2）设 fx为周期函数，则存在 T ，使 f x Tf x，则fx Tf x Thf x Tf x hf xfx ，limhlimhhh所以 fx也是以 T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间 [0, x ] 上细棒的质量 m 是 x 的函数 mm ( x ) ．应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?解 设在 x 0 处的线密度为 x 0，给 x 0 以 x 的增量，则在区间 [ x 0 , x 0x ] 上细棒的平均线密度为m x 0x m x 0，x故x 0m x 0x m x 0mx 0 ．limxx 017．证明： 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 a 2 ．222证由 xya 2可得 y a , x 0 ，于是 ya2 , x 0 ，若切点为x 0 ,a ，x 0xx则该点处的切线为ya 2a 2 xx 0 ，它与两坐标轴的交点分别为2 x 0 , 0，x 0x 02220, 2 a，所以所求三角形的面积为 S 12 x 02a2 a 2 ．x 02x 018．设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，试讨论函数 | f (x ) | 在 x 0 处的可导性．解因为函数 f(x ) 在 x0 处可导，所以 limf ( x)f 0f0 存在，xx而 fx 0 limf ( x)fxx，故x（1）若f ( 0 )f ( x)f 0f0 可知：f ( x ) f，其中xxxl i mx f，x，从而 f ( x )此时 fxlim x flimx f，x 0xxxx 0因此 | f ( x) | 在 x 0 点的左导数为f 0，右导数为 f，所以 |f ( x) | 在 x0 处可导的充要条件是 f 00 ；（ 2）若 f (0)0 ，设 f (0)0 ，则 lim f ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，x当 x U 0,时， f x0 ，此时有 ff ( x)f 0f ( x )f 0x x 0limxlimxf，相似地，x 0x若 f (0)0 ，则 limf ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，当 xU 0,时，xf ( x)f 0f ( x )f 0f x0 ，此时有 fxx 0limxlimxf；xx 0总之，若 f ( x) 在 x 0处可导，则当 f (0)0 时， | f (x ) | 在 x 0 处可导；当f (0) 0时，| f (x ) | 在 x 0处可导的充要条件是 f 00 ．习题2-21．求下列函数的导数：（1） （3） （5）（7）y 3cos2 x ；（ 2） y 3 x4cos2 x ； （4） 2e y 3e4 x1 ；（ 6） y1；（ 8）xln xy4sin(3 t1) ；y( x 1) 5 ；yx；21x y(x 2x1)( x 1) 3 ；2ln x x 3（9） yx 3 e x sin x ；（ 10） y 2 ．3ln x x解（ 1） y3 sin 2 x 2 x3 sin2 x 2 6 sin2 x；（ 2） y 4 cos(3 t1) 3t 1 12 cos(3 t1) ；（ 3）（ 4）y 2e 3 x 3 x4 sin 2 x 2 x 6e 3 x 8 sin 2 x ；y5( x 1) 4 x1 5( x1)4 ；（ 5） （ 6）（ 7）y3e 4 x 4 x12e 4 x ；1 2x2 xxx 21y2 1；221 x1 21 xxln x1xln xxlnx 1yx；222xln xxln xxln x（ 8） y32x 1) 3( x 2222 x 2；2 x 1 ( x 1)( x1)( x 1) 5 x（ 9） y2x3 x3x 2xx sin xx cos x；3 x e sin x x e sin xx e cos x x e3sin x2 23ln x233 2 xx 3 xx2ln x xx x 9 x 4 ln x x42 （ 10）y3 x2 xx 2 223ln x3ln xx 22．证明：（ 1） (cot x)csc 2 x；（ ） (csc x )csc xcot x．2证（1）(cot x )cos x sin x sin x2cos x cos x csc2x ；sin x sin x（2）(csc x)1cos x1cos xcsc x cot x ．2sin x sin xsin x sin x3．证明：（ 1）(arccos x )1；（2）(arccot x)1．221x1 x证（1）设y arccos x ，则其反函数为 x cos y ， y2,2，由于 x sin y ，由反函数求导法则，arccos x111；sin y12y12cos x（2）设y arc cot x ，则其反函数为 x cot y ， y0,，由于 x csc 2y ，由反函数求导法则，arccos x111．csc212y12y cot x4．求下列函数在给定点处的导数：2（1）y 2 cos x 3 sin x ，求y xπ ；（2）y32x，求 f (2) ．4x3解（1）因为y 2 sin x 3 cos x ，所以y xπ4ππ522 sin3 cos；442212 x22 x，所以 y2 2 210 ．（2）因为y232x 223x3x33233 5．写出曲线y 2 x1与 x 轴交点处的切线方程．2 x解令 y0 ，得曲线 y 2 x1与 x 轴交点为1, 0和1, 0，2 x22而 y21，所以 y1 4 ，222 x所以所求切线有两条，方程分别为y 4 x 2 ， y 4 x2．6．求下列函数的导数：（ 1）y(2 x 23) 5；（2）y sin (5 2 x 2 ) ；（ 3） （ 5） （ 7）（ 9）y e 3 x 22 x 1 ；（4） y sin ( x 2 ) ；y cos 2 x ； （6） y a 2x 2 ；y arctane x ；（8） y ( arccos x ) 2 ； yln sin x ；（10） ylog a (x 31) ．解 （1） y5 (2 x 23) 4 (2 x 2 3)20 x (2 x 2 3)4；（ 2） ycos(5 2 x 2 ) (52 x 2 )4 x cos(5 2 x 2 ) ；（ 3） y e 3 x 23 x 26 x 2 e 3 x22 x 12 x 12 x 1；（ 4） y cos( x 2 ) ( x 2 ) 2 x cos( x2) ；（ 5） y 2 cos x cos x2 cos x sin xsin 2 x；（ 6） y1222 xx；2 a 2x 2a x2 a 2 x 2a 2x 21x（ 7） y2exe2 x；e x11 e（ 8）（ 9）y2(arccos x)(arccos x)2(arccos x)12 arccos x ；122x1 xy1 cos x cot x ；sin xxsin xsin12（ 10） y33 x．3 1) ln a ( x 1)( x 31) ln a ( x7．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）（9）yarccos (1 2 x) ； （ 2） y y1ln x ； （4） y1ln xysin n x cos nx ； （ 6） yy e arctan x；（8） yy1 x 1 x ； （10）1 x1 xarcsin 1 ；x ln (xx 2a 2 ) ；1 sin2 x ； 1 sin 2 xln ln ( ln x) ；y arccot1 tan x ．2 2解（ 1） y121；(1 2 x )221 (12 x)x 1 x1 (12 x )（ 2）（ 3）y1 1 x 1x ；1x2x 222111xxx2x1 1ln x 1 lnx1x x2y22；1 ln xx 1 ln x12 x122122（ 4） yx2 x a ；2 2xa2xx22 2xaxaxa（ 5） yn sin n1xsin xcos nxsin n xsin nx nxn1cos x cos nxsin x sin nxn sin n 1 x cos n 1x；n sin x（ 6） y11 sin2 x1sin 2 x1 sin2 x2sin 2 x112 cos 2 x 1sin 2 x1 sin2 x 2 cos 2 x1 sin2 x1sin 2 x 22sin 2 x112 cos 2 x2 cos 2 x； 1 sin 2 x 1sin 2 x 1 sin 2 xcos 2 x 1sin 2 x（ 7） （ 8）（ 9）arctan xarctan xarctanx1 y ee1 xx1 ln ( ln x)1 1y x ) ln ( ln x) ln xln ( lnln xarctanxe；2 1 xx1；x ln x ln ( ln x)111 x1x1x112 1 x 2 1 x1 x2 1 x 2 1 xy21 x1x1 x 1 x21 x1 x 121x2；221 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x（ 10）y11x41 2 x x1x2tan22sec2 122x2 tan24tan222xsec21．2x4tanx1223 cos28．设f ( x )1cos x ,x0，求 f x．ln (1 x )x cos x ,x0sin x,x0解当 x0 时， f (x )1cos x x sin x ,x0，1x2x x当 x 0 时，f(0)1cos x0lim 2 sin2lim sin x sin20 ，lim x x2xx0x0x02ln1x x cos x01f (0)lim ln1x cos x ln e 10 ，lim x xx0x0sin x ,x0所以 f00，从而 f(x )1cos x x sin x, x ．1x0 9．求函数y( sin x ) cos x 的导函数．解法 1因为y( sin x ) cos x e cos x ln sin x ，所以 y e cos x lnsin x cos x ln sin x sin xcos xsin x ln sin x cos xcosxsin xsin x sin x ln sin x2x ．cos xcossin x解法 2对数求导法，由 y( sin x) cos x，得 ln y cos x ln ( sin x ) ，两边同时对 x 求导，得ysin x ln sin x cos xcos x，y sin x所以 y sin x sin x ln sin x cos2x．cos xsin x10．设f(x )sin x ， (x )x3，求 f [(x )] ， f[(x )] ， { f [(x )]}．解 因为 f (x )sin x ， ( x) x 3 ，所以 f ( x)cos x ，(x ) 3 x2，所以 f [( x)] f 3 x 2 sin 3 x 2 ，f [( x )]cos( x )cos x 3，{ f [ ( x)]} sin x 3 cos x 3 x 3 3 x 2 cos x 3 .11．设 f ( x) 存在，求下列函数的导数：（ 1） f n (cos x ) ； （ 2） cos n [ f ( x)] ．解（1） nn 1(cos x)f (cos x )n 1f (cos x)nf nf(cos x ) f (cos x) cos xn sin xfn 1(cos x ) f (cos x ) ；（2） cos n [ f (x)]n cos n 1 [ f ( x)] cos [ f (x )]n cos n 1 [ f (x)] sin [ f ( x)] f xn 1[ f (x )] fx ．n sin [ f ( x)] cos12. 求曲线 f x 2 sin x sin2所有具有水平切线的点．x解 因为 fx2 cos x 2 sin x cos x ，令 fx0 ，得 cos x 1sin x0 ，于是 cos x 0 ，或 sin x1 ，推得 x k, k Z ，或 x 2k3Z ，2, k2所以所求的点为2 k, 3 ，2k3 1 ，其中 k Z ．,22习题2-31．求下列函数的二阶导数：（1）（3）ye3 x 5；（2） y 2x ln x ；（4） sinye t sin t；y tan x ；（5） yln( x4 x 2 ) ；（ ） y (1 x 2 ) arctan x．6解 （ 1） y 3e 3 x 5 ， y9e 3 x 5 ；（2） yetsin t e t cos t e t cos t sin t，yetsin te tsin t cos t2etcos tcos t ；2（3） y2 sin x cos x ln xsin 2 x 1ln xsin 2 xsin x ，xxsin 2 x2sin x cos xx sin2y ln x 2 cos 2 x xxx22 sin 2 x22 x ln xsin x ；x 2 cosx 2（4）（5）22 sec x sec x tan x2ysec x ， y2 sec x tan x ；112 x1y，x4 22 4x 24 2xx13xy4x 222 x；2423x（6） y2 x arctan x1 ， y2 arctan xx．21x2． y x 3 e x，求 y ( 5 )(0)．解设 u x 3 ， v e x，则 u3 x 2 ， u 6 x ， u6 ， u n 0, n 4 ； v ne x , n N ，代入莱布尼兹公式，得y ( 5 )u 5 v5 u 4 v 10 u v10 u v5u v 4uv 510 6e x10 6 xe x5 3 x 2e xx 3 e x ，所以(5 )60．y (0)3． yx 2 e 2 x ，求 y ( 20 ) ．解 设 ux 2 ， v e 2 x ， 则 u2 x ， u2 ， u n0,n 3 ； v n2 n e 2 x , n N，20181920代入莱布尼兹公式，得y ( 20 )C 20k u nkv kC 202C 201 C 200 u vu vuvk 0190 2 218 e 2 x C 201 2 x 219 e 2 x C 200 x 2 2 20 e 2 x2 20 e 2 x95 20 xx 2 ．4．试从dx1导出：（ 1）d 2 xy3；（2）d 3 x3( y ) 2y y．2( y ) d y 35dy yd y( y )解因为d x1，所以 d 2 x d 1 d 1 dx y 1y 3，d yy2dy ydx ydyy2yd yy3dydy dxd x3dyy 3dx3dydyy322yy y 3 yy13 yy y．6y5yy5．证明：函数 y C 1e xC 2 ex（ ,C 1 , C 2 是常数）满足关系式 y2y 0 ．解 因为 y C 1 e xC 2 ex，所以所以xxxx2x2xyC 1 eC 2eC 1eC 2 e， yC 1 e C 2 e，y2y2C 1e x 2C 2 ex2C 1 e x C 2 ex0 ．6. 求常数 的值，使得函数 ye x 满足方程 y5 y6 y．解 因为 ye x ，所以 y ex， y2ex，代入方程 y5 y6 y 0 ， 得256 e x0 ，因为 e x0,xR ，所以256，解得 1 6 ， 21 ．7. 设 fxsin xa ， g xb sin xc cos x ，求常数 b, c 的值，使得f 0g 0，且 f 0g0 .解 因为 fxsin x a， g xb sin xc cos x ，所以 f x cos x a， g xb cos xc sin x ,所以由 f 0g 0， f 0g 0，可得 c sin a ，且 bcos a ．8．求下列函数的 n 阶导数．（1） y x na 1 x n 1 a 2 x n 2a n 1 x a n （ a 1 , a 2 , a n 是常数）；（2） y xe x ；（3） ysin 2 x ； （4） yx 2 16．5 x解（1） yn 1n 1 a 1 xn 2n 3a n 1 ，nxn 2 a 2 xn 2n 3n 4a ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故y n n ! ．（2）y e x xe x e x x 1 ， y e x x 1 e x e x x 2，yxx2x xx 3 ，由此可见，每求一次导数，增加一个e x，e e e所以n xx n， n N；y e（3）y sin 2 x1cos 2 x11cos 2 x，222y 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x2，y 2 cos 2 x 2 cos 2 x22，y 2 2sin 2 x 2 2cos 2 x32，42 3cos 2 x23 cos 2 x4，y2所以n2n1 cos 2 x n， n N ．y2（4）因为y111，x 2 5 x6x3x2而1x32112x3，x3，x331123x34x3，1n可见，123n x n 11nx3n1x33n !，1n同理，123n x n11nx2n1x22n !，所以n n n1n1n 11．y 1 n ! x 3x 2 1 n !x3n 1xn 12习题2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d y ：d x（1） x y e xy0 ； （2） 2 x 2 y xy 2 y 30 ；（3） e xyy ln xsin 2 x ；（ ） xya（ a 0 的常数）．4解（ 1）将方程两边同时对 x 求导，得dydydy ye xyxy，变形得：1；1ey x0 dx1xydx dxxe（2）将方程两边同时对 x 求导，得2dyy2dy2dy 0，2 2 xy xx 2 y3 ydxdx dx变形整理得：dy224 xy y 2；dx2 x 2 xy3 y（3）将方程两边同时对 x 求导，得e xyy xdydyln xy 2 cos 2 x ，dxdxx变形整理得：dy2 x cos 2 xyxy exy；dxx ln x 2xyx e（4）将方程两边同时对 x 求导，得11dy ，2 x2y dx变形整理得：dyy, x．dxx2．求曲线 x 2 y 52 xy0 在点 (1,1) 处的切线方程．解将方程两边同时对 x 求导，得： 2 x5 y 4 dy2 yx dy0 ，dx dx将 x1 ， y 1 代入，解得：dy1,10 ，dx所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为： y1 ．3．已知 y sinx cos( xy )0 ，求隐函数 yy x 在点 0, π的导数值．2解将方程两边同时对 x 求导，得：dyy cos xsin( x y ) dy ，sin x1dxdx将 x0 ， y2 代入，解得： dy1．dx0,222 4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 d y ．dx 2（1） y tan( x y ) ； （2） y 1x e y ；（3） y lny xy ；（4） arctany ln x 2 y 2 .x解（1）将方程两边同时对 x 求导，得：dysec 2 ( xy ) 1dy，dxdx解得dycsc 2 ( xy ) ，dxd 2dy再求导，得：y2 csc( xy)csc( xy ) cot xy，21dxdx将 dy2csc 2( xy) 代入，整理得：d y2 csc 2 ( x y) cot3 xy ；dxdx 2（2）将方程两边同时对 x 求导，得：dye yx e y dy，dxdxe y dy1 xe ye ye yx e y dy解得：dyy，再求导，得： d 2 y dxdxe y 2y2，dx1xedx1xedy y22 y2 xe y2 y3 y将 e代入，整理化简得：d yeey2y 33；dx1 xedx12 yxe（3）将方程两边同时对 x 求导，得：dyln ydy 1 dy ， dxdxdx1 dy解得：dy1d 2 yy dx 2 ，，再求导，得： 2dxln y dxln y将 dyd 2 y13；1代入，整理化简得：2ydx ln ydx ln ydyxy2 x 2 ydy（4）将方程两边同时对 x 求导，得：1dx1 dx，y 2222y 21xxx1dy x yx y 1dy解得：dy x y，再求导，得：d 2 ydxdx，dxx ydx 22x y222将 dyx y代入，整理化简得：dy 2 xy.3dxxydx 2xy5．用对数求导法求下列函数的导数：（1） y(sinx) cos x ；（2） y(tan 2 x ) x；x x（3） y；（4） y (2 x 1) x (3 x 1) x 1 ．1 x解 （ 1）两边取自然对数，得： ln ycos x ln(sin x ) ，两边同时对 x 求导，得：1 dysin x ln sin xcos x cos x ,y dxsin x整理化简得：dy(sin x) cos xsin x ln sin xcos x cot x ；dx（2）两边取自然对数，得： ln y x ln(tan2 x ) ，两边同时对 x 求导，得：1dy ln(tan 2 x )xsec 2 2 x2tan 2 x ，y dx整理化简得：dy(tan 2 x) xln(tan 2 x)4 x ；dxsin 4 x（3）两边取自然对数，得： lny x lnx x ln xln1 x，1x两边同时对 x 求导，得：1dy ln x ln 1 xx 1 1 1 y dxxxx整理化简得：dyx ln x x1 1；dx1 x1 x（4）两边取自然对数， 得： ln yln(2 x1)1x1ln(3 x1)1 x1 ，ln 4 ln28两边同时对 x 求导，得：1 dy2 1 131)81， y dx 2 x 2 x 4(3 x x 1整理化简得：dy(2 x1) x(3 x1) x 12 1 1 31) 8 11dx2 x 2 x 4(3 x x 6．求下列参数方程所确定的函数的导数d y ： d x2 atxa cos btb sin atxt21 （ a 为常数）．（1）（ a , b 为常数）； （2）2ya sin btb cos ata (1 )ty1t2解（1）因为dxab sinbtab cosat ，dyab cosbtab sinat，dtdt所以d yab cos btab sin atcos btsin at；d xab sin btab cos atsinbtcos at2 a 1 t22 at 2t2（2）因为dx2 a 1 t，22dt1212ttdy2at 1 2a (1 2) 2 t4 atttdt221 t 21 2t所以dy1 2 t 2 t ．dxt 2 t 2 17．求曲线x tet1 在 t0 处的切线方程与法线方程．t 2 )ey (2 t t解 因为 dxe tte t ， dy2 2 t e t(2 t t 2 )e t ，dtdt所以dy2 t 2 ， dyt 02 ，又 x t 0 1, y t 0dx1 tdx故所求切线为： y2 x 1，法线为：y1 x 1 ． 28 ． 已 知曲 线 x2n在 ttm t0 时过原点，且在该点处的切线与ype t2e2 x3 y5 0 平行，求常数 m , n, p ．解 因为 dxm ，dyp e t ，故dyt2 tp e ，dtdtdx2t m由题设可知： x tn0 ， yt 0p2e0 ，dyt 0p 2 ，dxm3所以所求常数为： n0 ， p2e， m3e ．注：此题的书后答案有误．29．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dy ：d x 2（1）x1 t 2；（2）xe t cos t ；y tt 3yte sin tx ln 12xf ( t )t；（4）（ f(t ) 存在且不为零）．（3）y tf ( t )f (t )yt arctan t（ 1）因为dx2 t ，dy，所以dy13 t 21 3t ， 解13t 2dt dtdx2 t2t221 322于是 d yd13t dt2t 21 3t；2dt2 t2dx2 t3dx4t（2）因为dxe tcos te tsin t ，dye t sin t e t cos t ，dtdt所以dye t sin te t cos tsin t cos t ，于是dxt cos t tsin tcos tsin te ed 2 yd sin tcos tdt cos tsin 2sin t2 1tcos t2dtcos tsin tdxcos tsin 2tcos ttsin tdxte e2；e tcos tsin t 311dx2tdy1dy12t1，1t（3）因为 dtt 2dt1t 2 ，所以dx2 t2 ，1 t 221221于是 d yt；22 t4 tdx1 t 2（4）因为dxf( t ) ，dyf ( t ) tf ( t )f (t ) tf (t )，所以dyt ，dtdtdx于是 d 2 y1．2f (t )dx10．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，注水速率为4 吨/分钟．当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？解 如图所示，设在 t 时刻容器中水面的高度为h t（米），此时水面的半径为 rt（米），则依题意应有1 r 2t h t4 t ，而h tr t ， 384所以 1h 3 t4t ，两边同时对时间 t 求导，12可得1h2t dh4 ，当 h t5 时，可求得dh16 ， 4dt dt2516 所以当水深为 5 米时，其表面上升的速率为m m in ．2511．汽车 A 以 50 公里 / 小时的速度向西行驶，汽车 B 以 6 0 公里 / 小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶． 当汽车 A 距离交叉路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以什么速率接近？解 如图所示，设在 t 时刻，汽车 A 距离交叉路口x t ，汽车 B 距离交叉路口 y t ，则两车之间的直线距离为 st x 2y 2t t ，两边同时对时间 t 求导，可得x tdxy dytdxdydsdtdt60 ，，依题意可知 50 ，dt2y 2dtdtx t t故当 x t0.3 ， y t0.4 时，ds 0.350 0.4 6078 ，即当汽车 A 距离交叉dt0.32 20.4路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以78 km / h 的速率接近．12．一个路灯安装在 1 5 英尺高的柱子上， 一个身高为6 英尺的人从柱子下以5 英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子4 0 英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动？解 如图所示，设在 t 时刻，此人离灯柱的水平距离为x t，身影的顶端离灯柱的水平距离为y t，则依题意有：dx，6y tx t5，515，可见y tx tdt y t3两边同时对时间 t 求导，得dy5dx25 ，dt3dt3所以他身影的顶端以25 feet / s 的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题2-51．函数y x2，求当 x 1 ，而 x0.1 ， 0.01 时，y 与 d y 之差是多少？解当 x 1 ， x0.1 时，y20.21， d y 2 x x0.2 ，1.11所以y dy0.01；当x 1 ，x0.01时， y 1.01 210.0201， d y 2 x x0.02 ，所以y dy0.0001；2．求函数y x2x 在 x 3 处， x等于 0.1 ， 0.01时的增量与微分．解因为 y x 2x ，所以dy 2 x1x ，当 x 3 ， x0.1 时，2 3.1230.71， dy0.7；y 3.13当 x 3 ， x0.01 时，y 3.012 3.0120.0701， dy0.07 ．333．函数y x 3x ，求自变量x由 2变到 1.99时在 x 2 处的微分．解因为y3x ，所以 dy21x ，x 3 x当 x2， x0.01 时， dy3210.010.11 ．24．求下列函数的微分（1）（3）（5）y x 2 x 2 1 x3x 4；（ 2）3yx；（ 4）1 x2y3ln cos x；（ 6）y xe x2；y tan 2 (1x 2 ) ；y e ax sin bx ．23解（1）dy 1 4 x x 4 x dx ；x 2x 22x 2x 2x 2 2；（ 2） dy e dx xe dxe dx xe2 x dx e1 2 x dx22221 x dx xd 1 x1 x dx x2 x dx（ 3） dy1 xdx ；2221 2121 2xxx（ 4） dy2 tan(12) d tan(1 x22 tan(1x 222) d (12x )) sec (1x x )4 x tan(12) sec 22；x (1 x ) dx（ 5） dy 3 ln cos x ln 3dln cos x3 ln cos x ln 31 d cos xcos xln cos x3ln 3 tan xdx ；（ 6） dyaxax sin bxaxcos bx d bxaxa sin bxb cos bxdx ．e d e e5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） d( ) sintd t ；（ 2） d()（3） d ( )x；（ 4） d ( )d x1 x2（5） d ( ) x 2（ 6） d ()xe d x ；23 xd x ；secd x；x 2a 2ln xd x .x解（1）1 cost；（ ）1tan 3 x ；（ ） 1x 2；233（4） 1arctanx ；（5） 1e x ；（6） 1l n 2 x ．2aa 226．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为 0.15 厘米，长度 L 为 4 厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为 0.001 厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜？（铜的密度为8.9 克/ 立方厘米，3.1416 ）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L ，侧面镀层的体积约为VdV2 rLr ，当 r 0.15 ， r 0.001L4时， V32 3.1416 0.15 4 0.0013.7699210 ，，故所需铜的重量约为 m3.769921030.03355克．8.97．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为 2h ，若 h 比 R 小h 2 得多，试证明透镜的厚度 D．2 R解如下图所示，镜面半径 R 、镜面口径 2h 、透镜厚度 D 之间有关系：h 222，化简得： h22RDD20 ，R DR2R4R 2 4 h 2h 得： DR R 12R2 2，若 h 比 R 小得多，则1 h 21h 2，22 R 2R222故DRR1hR R 1h h ．R 22 R 22 R8．利用微分求下列函数值的近似值（1）；（2）；（3）； （ 4） e 1.01 ；（ ）26 ；（ ） 3 ．996cos 59tan 46lg 1156解 （1） cos 59coscoscossin6013 18033180130.5151 ；2 2180（ 2） tan 46 tan 0tantan245141804sec18041 21801.0349；（ 3） lg 11 lg 10 1lg 10111.0434；10 ln 10（ 4） e1.01e1 0.01ee 0.01 2.7455；（ 5） 2625 1251 15.1 ；22512（6） 3 996310004310001000349.9867 ．39．当 | x | 较小时，证明下列近似公式：（ 1） sin x x ； （2） (1x )1x ； （ 3） ln(1 x ) x ．解 （1）设 fx sin x ，则 fxcos x ，当 | x | 较小时， fxsin xsin 0 cos 0 xx ，所以 sin x x ；（ 2）设 f x(1 x) ，则 fx1(1 x )当 | x | 较小时， f x(1 x ) f 1f 1 x1x ，所以 (1x )1x ；（3）设 f x ln(1 x) ，则 fx1，1x当 | x | 较小时， f xln(1 x ) f 1 f 1 x x ，所以 ln(1x )x ．习题2-61. 一飞机在离地面 2000 米的高度，以 200 公里 / 小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设 t 时刻飞机离 B 点的水平距离为 x t ，摄影机镜头 C 与 A 点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则co tx t ， xtx200000t ，两边同时对时间20003600t 求 导 ， 可 得 csc 2d1 dx t1， 即dt 2000 dt36d 1，当飞机飞至该目标上方时，，dtsin2362代入解得：d1 360 5rad / s ．dt36 22. 一架飞机着陆的路径如图 2-11 所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点， 飞机开始降落时水平距离为 l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中， 飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度 v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数 k （必须比重力加速度小很多） ．3图 2-11（ 1） 求一个三次多项式 P x2ax bxcx d ，通过在开始降落和着陆的点对P x 和 P x施加一定的条件限制，使它满足条件。
02章流体运动习题解答第二版
第二章 流体的流动习题解答2-1 注射器活塞的面积为1.2cm 2，注射针头截面积为1.0mm 2，当注射器水平放置时，用的力推动活塞移动了 4.0cm.问药液从注射器中流出所用的时间为多少解：设针管活塞处为点1，针头为点2， 根据伯努利方程可得2222112121v v ρρ+=+p p (水平管) 由于S 1>>S 2 ，针管活塞处的流速为二阶小量，可以忽略 所以两点的压强差为SFp ==∆2221v ρ， 133242s m 0.9mkg 100.1m 102.1N9.422---⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==ρS F v 由2211v v S S =得12241261221s m 105.7m102.1s m 0.9m 10-----⋅⨯=⨯⋅⨯==S S v v 所以 s 53.0sm 105.7m100.412211=⋅⨯⨯==---v L t 2-2 已知微风、强风、大风、暴风、12级飓风的风速分别为：~、~、~、~、~36.9m ·s 1，空气密度取1.25kg ·m 3试求它们的动压(用kg ·m 2表示)，并分析相对应的陆地地面可能的物体征象.解：由动压公式：2v ρ21=动压p 得 22213m kg 723.0sm 102)s m 4.3(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==21v ρ微风1p 222132m kg 82.1sm 102)s m 4.5(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==22v ρ微风p 微风的动压为： ~1.82 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：树叶与微枝摇动不息，旌旗展开. 同理可得：强风的动压为：~11.9 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：大树枝摇动，电线呼呼有声，打伞困难.大风的动压为：~26.8 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：树枝折断，逆风行进阻力甚大. 暴风的动压为：~50.4 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：坚固的房屋也有被毁坏的可能，伴随着广泛的破坏.12级飓风动压为：~86.8 kg ·m 2.陆地地面可能的物体征象：大树可能被连根拔起，大件的物体可能被吹上天空，破坏力极大.2-3 一稳定的的气流水平地流过飞机机翼，上表面气流的速率是80m ·s 1，下表面气流的速率是60 m ·s 1. 若机翼的面积为8.0m 2，问速率差对机翼产生的升力为多少空气的平均密度是l. 25kg ·m 3.解： 根据伯努利方程，上下两表面因速率差产生的压强差为])s m 60()s m 80[(m kg 25.121)(212121212132下2上2下2上---⋅-⋅⋅⨯=-=-=∆v v v v ρρρp 33m N 1075.1-⋅⨯=N 100.70.41075.1)2/(33⨯=⨯⨯=⋅∆=S p F2-4 水管里的水在绝对压强为×l05Pa 的作用下流入房屋，水管的内直径为2.0cm ，管内水的流速为4.0m ·s 1，引入5m 高处二层楼浴室的水管内直径为1.0cm. 求浴室内水的流速和压强.解： 设室外水管截面积为S 1，流速为v 1；浴室小水管的截面积为S 2，流速为v 2。
最新力学漆安慎后小结习题答案02章
力学（第二版）漆安慎习题解答第二章质点运动学第二章 质点运动学一、基本知识小结1、基本概念 22)(dtr d dt v d a dtrd v t r r====)()()(t a t v t r ⇔⇔（向右箭头表示求导运算，向左箭头表示积分运算，积分运算需初始条件：000,,v v r r t t ===）2、直角坐标系 ,,ˆˆˆ222z y x r k z j y i x r ++=++= r 与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 r z r y r x /,/,/.v v v v v k v j v i v v z y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 v v v v v v z y x /,/,/. a a a a a k a j a i a a z y x z y x ,,ˆˆˆ222++=++=与x,y,z 轴夹角的余弦分别为 ./,/,/a a a a a a z y x222222,,,,dt zd dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a dtdzv dt dy v dt dx v z z y y x x z y x =========),,(),,(),,(z y x z y x a a a v v v z y x ⇔⇔3、自然坐标系 ||,,ˆ);(ττττv v dtds v v v s r r ====ρτττττ22222,,,ˆˆv a dts d dt dv a a a a n a a a n n n ===+=+= )()()(t a t v t s ττ⇔⇔4、极坐标系 22,ˆˆ,ˆθθθv v v v r v v r r r r r +=+== dtd rv dt dr v r θθ==,5、相对运动 对于两个相对平动的参考系 ',0't t r r r =+=（时空变换） 0'v v v+= （速度变换） 0'a a a+= （加速度变换）若两个参考系相对做匀速直线运动，则为伽利略变换，在图示情况下，则有： zz y y x x z z y y x x a a a a a a v v v v V v v t t z z y y Vt x x =====-====-=',','',','',',','y y' Vo x o' x' z z'二、思考题解答2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？解答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。
02章流体运动习题解答(喀蔚波)第二版
第二章 流体的流动习题解答2-1 注射器活塞的面积为1.2cm 2，注射针头截面积为1.0mm 2，当注射器水平放置时，用4.9N 的力推动活塞移动了4.0cm .问药液从注射器中流出所用的时间为多少？解：设针管活塞处为点1，针头为点2， 根据伯努利方程可得2222112121v v ρρ+=+p p (水平管) 由于S 1>>S 2 ，针管活塞处的流速为二阶小量，可以忽略所以两点的压强差为S F p ==∆2221v ρ， 133242s m 0.9mkg 100.1m 102.1N 9.422---⋅=⋅⨯⨯⨯⨯==ρS F v 由2211v v S S =得12241261221s m 105.7m102.1s m 0.9m 10-----⋅⨯=⨯⋅⨯==S S v v 所以 s 53.0sm 105.7m 100.412211=⋅⨯⨯==---v L t 2-2 已知微风、强风、大风、暴风、12级飓风的风速分别为：3.4~5.4、10.8~13.8、17.2~20.7、24.5~28.4、32.7~36.9m ·s -1，空气密度取1.25kg ·m -3试求它们的动压(用kg ·m -2表示)，并分析相对应的陆地地面可能的物体征象. 解：由动压公式：2v ρ21=动压p 得 22213m kg 723.0sm 102)s m 4.3(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==21v ρ微风1p 222132m kg 82.1s m 102)s m 4.5(m kg 25.121----⋅=⋅⨯⋅⨯⋅==22v ρ微风p 微风的动压为： 0.723~1.82 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：树叶与微枝摇动不息，旌旗展开.同理可得：强风的动压为：7.29~11.9 kg·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树枝摇动，电线呼呼有声，打伞困难.大风的动压为：18.5~26.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：树枝折断，逆风行进阻力甚大.暴风的动压为：37.5~50.4 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：坚固的房屋也有被毁坏的可能，伴随着广泛的破坏.12级飓风动压为：66.8~86.8 kg ·m -2.陆地地面可能的物体征象：大树可能被连根拔起，大件的物体可能被吹上天空，破坏力极大.2-3 一稳定的的气流水平地流过飞机机翼，上表面气流的速率是80m ·s -1，下表面气流的速率是60 m ·s -1. 若机翼的面积为8.0m 2，问速率差对机翼产生的升力为多少?空气的平均密度是l. 25kg ·m -3.解： 根据伯努利方程，上下两表面因速率差产生的压强差为])s m 60()s m 80[(m kg 25.121)(212121212132下2上2下2上---⋅-⋅⋅⨯=-=-=∆v v v v ρρρp 33m N 1075.1-⋅⨯=N 100.70.41075.1)2/(33⨯=⨯⨯=⋅∆=S p F2-4 水管里的水在绝对压强为4.0×l05Pa 的作用下流入房屋，水管的内直径为2.0cm ，管内水的流速为4.0m ·s -1，引入5m 高处二层楼浴室的水管内直径为1.0cm . 求浴室内水的流速和压强.解： 设室外水管截面积为S 1，流速为v 1；浴室小水管的截面积为S 2，流速为v 2。
振动力学各章作业题解（）
振动⼒学各章作业题解（）第02章单⾃由度系统的振动2.1 ⼀根抗弯刚度72=3610Ncm EI ?的简⽀架，两⽀承间跨度l 1=2m ，⼀端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的⾃由振动频率。
【提⽰：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=，11.77n st gk gQ ωδ=== 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ?，A 端与B 端由弹簧⽀承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所⽰。
略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1⽶处，重为Q =4900 N 的物块⾃由振动的周期。
【解法1：通过计算静变形求解。
A ，B 弹簧受⼒为3Q 和23Q，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Q k δ=；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ??--==?。
周期为：1222 1.08nT gδδππω+===s 。
解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。
A ，B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产⽣单位变形需要的⼒，利⽤解法1中计算的静变形结果）195k k =；利⽤材料⼒学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =；总等效刚度为：12111eq k k k =+。
周期为22 1.08neqQT gk ππω===s 。
】 2.4 ⼀均质刚杆重为P ，长度为L 。
A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在⽔平位置时平衡。
弹簧质量不计，求杆在竖直⾯内旋转振动时的周期。
【解：利⽤定轴转动微分⽅程：21()32st P l l P k a a g ??δ=-- ，2st lk a P δ=，得：22103P l k a g+= ， 222/3223n Pl g l PT ka a gkπππω===】题 2-1 图BAQl 1 l 2题 2-2 图2m1mQkkAB 题 2-4 图lakA CB2.8 ⼀个重为98 N 的物体，由刚性系数为k =9.8 kN/m 的弹簧⽀承着（简化为标准m-k-c 振动系统），在速度为1 cm/s 时其阻⼒为0.98 N 。
第二章 习题解2013
=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻。
因此，若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列 的信息为
log2 27720 log2 1960 =3.822 比特
2.9 随机掷三颗骰子，以X表示第一颗骰子抛掷的结果， 以Y表示第一和第二颗骰子抛掷的点数之和，以Z表示 三颗骰子的点数之和。试求H(Z|Y)、H(X|Y)、 H(Z|XY)，H(XZ|Y)和H(Z|X)。
解:易证每次出现i点的概率为 i
21
所以
I (x
i)
log 2
i ,i 21
1,2,3,4,5,6
I ( x 1) 4.392 比特
I ( x 2) 3.392 比特
I ( x 3) 2.807 比特
I (x 4) 2.392 比特
I ( x 5) 2.070 比特
第二章 习题
2.1 莫尔斯电报系统中，若采用点长为0.2s，划长为0.4s， 且点和划出现的概率分别为2/3和1/3，试求它的信息 速率(bits/s)。
解: 平均每个符号长为
2 0.2 1 0.4 4 秒
3
3
15
每个符号的熵为 2 log 3 1 log 3 0.9183 比特
解: d ( X , X ) H ( X / X ) H ( X / X ) 0
d ( X ,Y ) H ( X / Y ) H (Y / X ) 0
d(X ,Y ) H (X /Y ) H (Y / X ) H (Y / X ) H (X /Y ) d(Y, X )
z
p(z
/
xy) log
1 p(z /
激光与原理习题解答第二章
激光原理第二章习题答案1．估算2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。
并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：2C O 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为11822770693103007.16107.161010.61044 0.05310H zD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯ 2C O 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为49K H z/Pa α≈2C O 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=当L D νν∆=∆时，其气压为930.053101081.6Pa 4910Dp να∆⨯===⨯所以，当气压小于1081.6P a 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6P a 的时候，变为以均匀加宽为主。
2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。
假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。
解：(1) 在现在的情况下有可以解得：11()22()(0)stn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：222()()sdn t n n dtττ=-+(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为：3．根据红宝石的跃迁几率数据：7151332312121310.510,310,0.310,S s A sA s S S ---=⨯=⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3n m λ=的光是透明的。
第02章__质点运动定律
第二章 质点运动定律一、选择题1、在升降机天花板上拴有轻绳，其下端系一重物，当升降机以加速度a 1上升时，绳中的张力正好等于绳子所能承受的最大张力的一半，问升降机以多大加速度上升时，绳子刚好被拉断？(A) 2a 1． (B) 2a 1＋g ．(C) 2(a 1+g )． (D) a 1＋g ． ［ B ］2、质量为m 的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为α，当α逐渐增大时，小球对木板的压力将 (A) 增加．(B) 减少．(C) 不变． (D) 先是增加，后又减小．压力增减的分界角为α＝45°． [ B ]3、两个质量相等的小球由一轻弹簧相连接，再用一细绳悬挂于天花板上，处于静止状态，如图所示．将绳子剪断的瞬间，球1和球2的加速度分别为(A) a 1＝ｇ，a 2＝0． (B) a 1＝0，a 2＝ｇ． (C) a 1＝ｇ，a 2＝ｇ． (D) a 1＝2ｇ，a 2＝0．［ D ］4、水平地面上放一物体A ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ．现加一恒力F如图所示．欲使物体A 有最大加速度，则恒力F 与水平方向夹角θ 应满足(A) sin θ ＝μ． (B) cos θ ＝μ．(C) tg θ ＝μ． (D) ctg θ ＝μ． ［ C ］5、一只质量为m 的猴，原来抓住一根用绳吊在天花板上的质量为M 的直杆，悬线突然断开，小猴则沿杆子竖直向上爬以保持它离地面的高度不变，此时直杆下落的加速度为(A) g M m (B) g M m M - (C)g M m M +. (D) g mM mM -+ .[ C ]a 16、 如图所示，质量为m 的物体A 用平行于斜面的细线连结置于光滑的斜面上，若斜面向左方作加速运动，当物体开始脱离斜面时，它的加速度的大小为(A) g sin θ． (B) g cos θ．(C) g ctg θ． (D) g tg θ．［ C ］7、如图所示，一轻绳跨过一个定滑轮，两端各系一质量分别为m 1和m 2的重物，且m 1>m 2．滑轮质量及轴上摩擦均不计，此时重物的加速度的大小为a ．今用一竖直向下的恒力gm F =代替质量为m 1的物体，可得质量为m 2的重物的加速度为的大小a ′，则(A) a ′= a (B) a ′> a(C) a ′< a (D) 不能确定. ［ B ］8、质量分别为m 1和m 2的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度a A 和a B 分别为(A) a A =0 , a B =0. (B) a A >0 , a B <0.(C) a A <0 , a B >0. (D) a A <0 , a B =0.［ D ］9、质量为m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用，比例系数为k ，k 为正值常量．该下落物体的收尾速度(即最后物体作匀速运动时的速度)将是(A)kmg. (B) k g 2 .(C) gk . (D) gk . ［ A ］10、质量分别为m 和M 的滑块A 和B ，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．A 、B 间静摩擦系数为μs ，滑动摩擦系数为μk ，系统原处于静止．今有一水平力作用于A 上，要使A 、B 不发生相对滑动，则应有(A) F ≤μs mg ． (B) F ≤μs (1+m /M )mg ． (C) F ≤μs (m+M )mg ． (D) F ≤MmM mgk +μ． ［ B ］11、如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一重为G 的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F ，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数μ的大小为(A) .21≥μ (B) 31≥μ. (C) 3≥μ. (D) 32≥μ. ［ B ］12、一辆汽车从静止出发，在平直公路上加速前进的过程中，如果发动机的功率一定，阻力大小不变，那么，下面哪一个说法是正确的？(A) 汽车的加速度是不变的． (B) 汽车的加速度不断减小． (C) 汽车的加速度与它的速度成正比．(D) 汽车的加速度与它的速度成反比． ［ B ］13、升降机内地板上放有物体A ，其上再放另一物体B ，二者的质量分别为M A 、M B ．当升降机以加速度a 向下加速运动时(a <g )，物体A 对升降机地板的压力在数值上等于(A)M A g. (B) (M A +M B )g.(C) (M A +M B )(g +a ). (D) (M A +M B )(g -a ). ［ D ］14、如图，物体A 、B 质量相同，B 在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A 下落的加速度是 (A) g. (B) 4g /5 .(C) g /2 . (D) g /3 . ［ B ］15、如图，滑轮、绳子质量及运动中的摩擦阻力都忽略不计，物体A 的质量m 1大于物体B 的质量m 2．在A 、B 运动过程中弹簧秤S 的读数是(A) .)(21g m m + (B) .)(21g m m -(C) .22121g m m m m + (D) .42121g m m m m + ［ D ］16、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为θ的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为(A) θcos mg . (B) θsin mg . (C)θcos mg . (D) θsin mg. [ C ]17、光滑的水平桌面上放有两块相互接触的滑块，质量分别为m 1和m 2，且m 1<m 2．今对两滑块施加相同的水平作用力，如图所示．设在运动过程中，两滑块不离开，则两滑块之间的相互作用力N 应有(A) N =0. (B) 0 < N < F . (C) F < N <2F . (D) N > 2F . ［ B ］18、用水平压力F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f(A) 恒为零．1(B) 不为零，但保持不变． (C) 随F 成正比地增大．(D) 开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变 ［ B ］19、用水平压力F 把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F逐渐增大时，物体所受的静摩擦力f(A) 恒为零． (B) 不为零，但保持不变． (C) 随F 成正比地增大．(D) 开始随F 增大，达到某一最大值后，就保持不变 ［ B ］ 20、一光滑的内表面半径为10 cm 的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称OC 旋转．已知放在碗内表面上的一个小球P 相对于碗静止，其位置高于碗底4 cm ，则由此可推知碗旋转的角速度约为(A) 10 rad/s ． (B) 13 rad/s ．(C) 17 rad/s(D) 18 rad/s ． ［ B ］21、竖立的圆筒形转笼，半径为R ，绕中心轴OO ＇转动，物块A 紧靠在圆筒的内壁上，物块与圆筒间的摩擦系数为μ，要使物块A 不下落，圆筒转动的角速度ω至少应为(A)R gμ (B)g μ (C) Rgμ (D)R g ［ C ］22、已知水星的半径是地球半径的 0.4倍，质量为地球的0.04倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为： (A) 0.1 g (B) 0.25 g (C) 2.5 g (D) 4 g [ B ]23、如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A 至C 的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心． (B) 它的速率均匀增加． (C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心． (D) 它的合外力大小不变． (E) 轨道支持力的大小不断增加． ［ E ］24、一个圆锥摆的摆线长为l ，摆线与竖直方向的夹角恒为θ，如图所示．则摆锤转动的周期为A R(A)g l. (B) gl θcos . (C) g l π2. (D) gl θπcos 2 . ［ D ］25、一公路的水平弯道半径为R ，路面的外侧高出内侧，并与水平面夹角为θ．要使汽车通过该段路面时不引起侧向摩擦力，则汽车的速率为(A) Rg . (B) θtg Rg .(C)θθ2sin cos Rg . (D)θctg Rg ［ B ］26、一段路面水平的公路，转弯处轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦系数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率 (A) 不得小于gR μ． (B) 不得大于gR μ．(C) 必须等于gR 2． (D) 还应由汽车的质量M 决定． ［ B ］ 27、一小珠可在半径为R 竖直的圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度ω 转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为(A) π21=θ. (B) ).arccos(2ωθR g = (C) )a r c t g (2gR ωθ=. (D) 需由小珠的质量m 决定． ［ B ］28、在作匀速转动的水平转台上，与转轴相距R 处有一体积很小的工件A ，如图所示．设工件与转台间静摩擦系数为μs ，若使工件在转台上无滑动，则转台的角速度ω应满足(A)Rgs μω≤.(B)R gs 23μω≤. (C) R gs μω3≤. (D) Rg s μω2≤. ［ A ］二、填空题1、质量相等的两物体A 和B ，分别固定在弹簧的两端，竖直放在光滑水平面C 上，如图所示．弹簧的质量与物体A 、B 的质量相比，可以忽略不计．若把支持面C 迅速移走，则在移开的一瞬间，A 的加速度大小a A ＝_______．答案：02、质量相等的两物体A 和B ，分别固定在弹簧的两端，竖直放在光滑水平面C 上，如图所示．弹簧的质量与物体A 、B 的质量相比，可以忽略不计．若把支持面C 迅速移走，则在移开的一瞬间， B 的加速度的大小a B ＝_______ g ．答案：25、质量分别为m 1、m 2、m 3的三个物体A 、B 、C ，用一根细绳和两根轻弹簧连接并悬于固定点O ，如图．取向下为x 轴正向，开始时系统处于平衡状态，后将细绳剪断，则在刚剪断瞬时，物体A 的加速度A a＝______．答案：07、质量m =40 kg 的箱子放在卡车的车厢底板上，已知箱子与底板之间的静摩擦系数为μs ＝0.40，滑动摩擦系数为μk ＝0.25，试写出在下列情况下，作用在箱子上的摩擦力的大小和方向．卡车以a = 2 m/s 2的加速度行驶，f =____________ N 。
医用物理学第02章_课后习题解答
3
如果考虑水银上方水柱的压强，则 U 形管中水银柱的高度差:
h
p1 p2 4.22 103 0.0342m ( 水银 水 )g (13.6 - 1) 103 9.8
2-8 如附图所示将两管插入流水中测水流速度， -3 设两管中的水柱高度分别为 5.0×10 m 和 -2 5.4×10 m，求水流速度。 解: 已知 h A 5.0 10 m ， hB 5.4 10 m ，
v2 。 2g
2-11 设橄榄油的粘滞系数为 1.8P，流过长度为 50cm，半径为 1.0cm 的管子，管两端 的压强差为 100mmHg，求其流量。 解: 已知 0.18Pa s ， L 0.5m ， r 0.01m ， p 100mmHg 13.3 103 Pa 。 根据泊肃叶公式得流量
6
3.0 103 m3 s 1 ， S1 40 104 m 2 ， S2 10 104 m 2 。
根据连续性方程： S1 v1 S 2 v 2 Q
Q 3000 106 v1 0.75m s 1 4 40 10 S1
v2
S1=40 h
Q
πr 4 p 3.14 ( 10 2 )4 13.3 103 5.8 10 4 m 3 s 1 8L 8 0.18 0.5
-3
2-12 狗的一根大动脉，内半径为 4mm，长度为 10cm，血流粘度为 2.084×10 Pa·s， 3 -1 流过这段血管的血液流量为 1.0cm ·s 。求: ①血流的平均速度和最大速度; ②这段动脉 管的流阻; ③这段血管的血压降落。 解: ①已知 r 4 10 m ， Q 1.0 10 m s ， 2.084 10 Pa s ， L 0.10m
赵明旺版习题解答现控理论第2章
习题解答2-1如题图2-1所示为RLC电路网络，其中S⑴为输入电压，安培表的指示电流0⑴为输出量。
试列写状态空间模型。
L RUJO C 士Uc"> 0題图2・1解：（1）根据回路电压和节点电流关系，列出各电压和电流所满足的关系式.□（/） =⑴+ U"at= +「（卄C% ⑴铠U c（t）at A⑵在这个电路中，只要给定了储能R元件电感L和电容c上的乙和冬的初始值，以及r Zb时刻后的输入量则电路中各部分的电压、电流在r心时刻以后的值就完全确定了。
也就是说血和乞可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组，因此可选乙和为&状态变量，即巧（0=4> 马（0=%（3）将状态变量代入电压电流的关系式，有dt L ■ L，dx. 1 1T = c A1_^c X2经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组一状态方程1L■ ■■ ■1=+LX.■ ■1 -1 ■4・C RC](4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起，即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式o 1-c■I-1 z O一2-2如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中片⑴为输入电压*2⑴为输出电压。
试列写状 态空间模型。
(5)将上述状态方程和输出方程列写在一起，即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达 式(/?i+ R?)L& (& + RJC (R 、+ RjL-1(K+RJC解:(1)根据回路电压和节点电流关系，列出各电压和电流所满足的关系式.厶业+&dtu c + R 2C •(2)选择状态变量•状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数•对本题(3)将状态变量代入电压电流的关系式，经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分-RR(R 、+ R ：)LK(& + RJC - R\ (/?] + R 2)L (K+/QC 」(4)列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,.(&+RJ(尽+ RJ 」L ・®+題图2-2(/?] + R2)& £(R】+RJ A-22-3设有一个弹箕-质量■阻尼器系统，安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。
机械设计基础第四版第02-03章 作业题解
2-8 图2-34所示为偏置曲柄滑块机构。已知 所示为偏置曲柄滑块机构。 所示为偏置曲柄滑块机构 已知a=150 mm，b=400 ， mm， e=50 mm，试求滑块行程 、 机构的行程速比系数 和最 ， ，试求滑块行程H、 机构的行程速比系数K和最 小传动角γmin。 解答： mm µ l = 10 1. 选长度比例尺 mm e 画偏置曲柄滑块机构运 动简图
15 25
且连架杆为最短杆，所以为曲柄摇杆机构。 且连架杆为最短杆，所以为曲柄摇杆机构。 A 曲柄摇杆机构
D
2. 选长度比例μl = 0.625画机构运动简图，确定从动件的 画机构运动简图， 画机构运动简图 确定从动件的 摆角ψ和机构的最小传动角γ 摆角ψ和机构的最小传动角γ min的图示位置
从动件的摆角ψ: Ψ=∠C1DC2 =∠ADC2 - ∠ADC1 从动件的摆角ψ:
∠B2 C 2 D = 72.5° − ∠C1C 2 A = 51.89°
2 l ad = lcd + (lbc + lab ) 2 − 2lcd (lbc + l ab ) cos ∠B2 C 2 D = 309.57 mm
Q
73.6 W°
Hale Waihona Puke θ AB1 B2O
β
n
m
5 . 求其余各杆的长度
1 1 连杆长度： 连杆长度： lBc = µl ( AC + AC2 ) = ×10×(38+ 23) = 305mm 1 2 2
机架长度： 机架长度：
l AD = µ l AD = 10 × 30 = 300 mm
C1 C' C" C2
C2 30 C1
35
ψ A
第02章 物质世界的尺度、质量和密度单元总结(解析版)
第二章物质世界的尺度质量和密度【思维导图答案】一、物质的尺度及其测量 ○1 ○2 ○3 ○4 ○5 ○6 ○7 ○8 米 m 103 10 100 103 106 109 ○9 ○10 ○11 ○12 ○13 ○14 ○15 ○16 量程分度值水平垂直m 3cm 3ml1二、物质的质量及其测量 ○17 ○18 ○19 ○20 ○21 ○22 ○23 ○24 ○25 ○26 物质 千克 kg 103 106 109 103 形状 状态 地理位置○27 ○28 ○29 ○30 ○31 ○32 ○33 ○34 ○35 水平桌面 镊子零平衡螺母左盘右盘游码总和读数三、密度○36 ○37 ○38 ○39 ○40 Vm=ρ kg/m 3g/cm 3Vm m 12-=ρ 12mV V -=ρ知识要点一：长度的测量与读数长度的测量与读数刻度尺的使用要注意的问题：使用前要观察它的量程、分度值；测量时，零刻度线对准被测长度的一端，有刻度线的一边要紧靠被测物体且与被测长度保持平行，不能歪斜；如因零刻度线磨损而取另一整刻度线作为零刻度线时，切莫忘记最后读数中减掉所取代零刻线的刻度值；读数时，视线应与尺面垂直；记录数据要由数字和单位组成；并要估读到最小刻度的下一位。
在平时，大家应多积累生活方面的知识，估测物体长度也是生活积累的一个方面。
如黑板的长度大概2.5m 、课桌高0.7m 、课本高30cm,篮球直径24cm 、铅笔芯的直径1mm 、一只新铅笔长度20cm 、手掌宽度1dm 、墨水瓶高度6cm 等等。
（2019·毕节）如图所示，铅笔的长度为 cm 。
【答案】7.50。
【解析】由图知：刻度尺上1cm之间有10个小格，所以一个小格代表1mm，即刻度尺的分度值为1mm；铅笔左端与1.00cm对齐，右端与8.50cm对齐，所以铅笔的长度为L＝8.50cm﹣1.00cm＝7.50cm。
故答案为：7.50。
刻度尺的使用与长度测量是本单元的最主要知识点，在知道长度的单位和换算关系基础上，应在长度测量上投入时间，做到三会：会看、会放、会读。
第02章习题解答
同理有： F { ( y )} sinc 2 ( ) 。 ( x) ( y ) 在直角坐标系中是可分离变量的函数，因而 F { ( x) ( y )} F { ( x)} F { ( y )} sinc 2 ( )sinc 2 ( )
(3) 函数 f ( x, y ) 1 不满足傅里叶变换存在的条件，可以把它定义成矩形函数序列的极
/ a2 πa 2 2 πy 2 / a 2 πx 2 / a 2 πy 2 / a 2
πa 2 2
，所以有：
2 πa 2 ( 2 2 )
2.3 求 x 和 xf (2 x) 的傅里叶变换。
解：因为 x 不满足狄里赫利充分条件，所以它的傅里叶变换不存在，也就是说 x 的傅里变换 是一个广义函数， 令 x 的傅里叶变换为：F ( ) ,由傅里叶变换微分性质，F{ f ( x)} i2π F ( ) 。 对 x ，其导数为 1，则：
所以有：
f ( x)
1 1 i2 πn0 x n sinc( /2)e sinc(n/2)eiπn0 x ( n 0, 1, 2, ) 2 n 2 n
其频谱如下图 a)所示。
(2) 函数 g ( x) 表示的是周期 2 的三角波，它可以展开为如下的指数傅里叶级数的形
f ( x) 为无限可微函数，并且有任意个数的非重根 xn (n 1, 2, , N ) ，使得 f ( xn ) 0 ，则有
( f ( x))
n 1
N
( x xn )
f ( xn )
sin( πx) 0 的根为： πx nπ ，即有： x n
f ( x) π cos( πx) ， f ( xn ) (1) n π
第02章 玻尔模型-题解(PPT-YBY)
z n
v1
3v1
6.6106 (m / s)
v Li 1
z n
v1
3 2
v1
3.3106 (m / s)
（2）
E He 1
z2 n2
E1
z2 n2
13.6
22
13.6
54.4
eV
E He 2
z2 n2
E1
z2 n2
13.6
22
13.6 22
13.6
eV
E Li 1
z2 n2
E1
z2 n2
4.61014 Hz
0
c
0
3108 4.6 1014
650(nm)
（2） EK 1.5eV h EK w 1.5 1.9 3.4eV
3.4eV 6.62 1034 6.251018
8.21014 Hz ,
c
3108 8.2 1014
3.6102 (nm)
【2】对于氢原子、一次电离的氦离子He+和两次电离的锂离 子Li++，分别计算它们的 （1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度； （2）电子在基态的结合能； （3）由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退 激到基态所放光子的波长2
EL
E2
E1
13.6 3.4
10.2ev
(M m)
EL
20.4eV
1 2
mp
v2
v=
2EL =c mp
2EL mpc2
=c
2 20.4 938 106
6.26 104 ms1
【5解】
（1）
N1
N2
g1 g2
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第2章 质点和质点系动力学2.1 一斜面的倾角为α, 质量为m 的物体正好沿斜面匀速下滑. 当斜面的倾角增大为β时,求物体从高为h 处由静止下滑到底部所需的时间.解：设斜面得摩擦系数为μ。
对m 分别处于倾角为α，β得斜面上，列出牛顿运动方程为α角： 1sin 0f mg α-=1cos 0N mg α-= 11f N μ=β角：2sin 0f mg β-=2cos 0N mg β-= 22f N μ= 联立解得sin cos a g g tg ββα=- 又物体从高为h 的斜面下滑的运动方程为 21sin 2h at β= 解得t ==2.2 用力f 推地面上的一个质量为m 的木箱,力的方向沿前下方, 且与水平面成α角. 木箱与地面之间的静摩擦系数为0μ, 动摩擦系数为k μ. 求：（1）要推动木箱, f 最小为多少？使木箱作匀速运动, f 为多少？（2）证明当α大于某值时, 无论f 为何值都不能推动木箱, 并求α值.解：（1）当f 的水平分力克服最大静摩擦力时，木箱可以运动，即 ()0cos sin f mg f αμα≥+ 00cos sin mgf μαμα≥-0min 0cos sin mgf μαμα=-使木箱做匀速运动，则()cos sin k f mg f αμα=+0cos sin k mgf μαμα=-（2）当下式成立，则无论f 多大，都不能推动木箱，即 0cos sin f f αμα< 01tg αμ>， 01arctgαμ>2.3 质量为5000kg 的直升飞机吊起1500kg 的物体, 以0.6m/s 2的加速度上升, 求：（1）空气作用在螺旋桨上的升力为多少. （2）吊绳中的张力为多少. 解：（1）对飞机物体整体进行受力分析，得 ()()f M m g M m a -+=+ 代入数值得到空气作用在螺旋桨上的升力为 46.8910f N =⨯ （2）对物体m 进行受力分析，得 T mg ma -= 解得吊绳中的张力为()4150010.6 1.5910T m g a N =+=⨯=⨯2.4 质量为m 汽车以速率0v 高速行驶, 受到2kv f -=的阻力作用, k 为常数. 当汽车关闭发动机后, 求：（1）速率v 随时间的变化关系. （2）路程x 随时间的变化关系. （3）证明速率v 与路程x 之间的函数关系为x mke v v -=0．（4）若200=v m/s, 经过15s 后, 速率降为10=t v m/s, 则k 为多少？ 解：由题意得 2dvkv m dt-= 当0t =时， 0v v = 两边分离变量020vtv dv k dt v m =-⎰⎰积分得011kt v v m ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即00001v mv v k m kv t v t m ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）由上式两边积分得 000xtmv dx dt m kv t =+⎰⎰即 0ln m kv t m x k m +⎛⎫=⎪⎝⎭（3）由（1）中得 00mv kv t m v=- 代入（2）中的结果，得00ln ln mv m m v m m v x k m k v ⎛⎫+- ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭即0k x mv v e-=（4）020m v s =,15t s =,10t m v s=代入（1）中得结果，解得300m k =2.5 质量为m 的质点以初速度0v 竖直上抛, 设质点在运动中受到的空气阻力与质点的速率成正比, 比例系数为0>k ．试求：（1）质点运动的速度随时间的变化规律. （2）质点上升的最大高度. 解：（1）对上升过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt--= 即 mdvdt mg kv-=+积分得00tvv mdvdt mg kv-=+⎰⎰即k mg ek mg v v t m k-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-0 对下降过程，列出牛顿方程，得 dvmg kv m dt-=即 mdvdt mg kv=-积分得 00tvv mdvdt mg kv=-⎰⎰即1k t mmg v e k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1）中方程得 dv dv dy dy mg kv m m mv dt dy dt dt--=== 即()mg kv mg mvdv m dy dv mg kv k mg kv+--==-++ 积分得()2020ln m m g mg kvy v v k k mg kv +=-++当0v =时，有 20max02ln mg kv m m g y v k k mg ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2.6 自动枪以每分钟发射120发子弹的速率连续发射. 每发子弹的质量为9.7g, 出口速率为735m/s. 求射击时枪托对肩部的平均压力. 解：设肩部所受的平均作用力为F ，由动量定理得 Ft mv =∑即31207.91073511.660mv F N t-⨯⨯⨯==≈∑2.7 质点在x 轴上受x 方向的变力F 的作用．F 随时间的变化关系为：在刚开始的0.1s内均匀由0增至20N ，又在随后的0.2s 内保持不变，再经过0.1s 从20N 均匀地减少到0. 求：（1）力随时间变化的t F -图. （2）这段时间内力的冲量和力的平均值. （3）如果质点的质量为3kg, 初始速度为1m/s, 运动方向与力的方向相同. 当力变为零时, 质点速度为多少？ 解：（1）由题意得（2）由上图得11200.1200.2200.1622I N s =⨯⨯+⨯+⨯⨯=⋅ 0.5200.1200.20.5200.1150.4I F N t ⨯⨯+⨯+⨯⨯===（3）由动量定理得 0t Ft mv v =- 即 063133t Ft mv m v s m ++⨯===2.8 子弹脱离枪口的速度为300m/s, 在枪管内子弹受力为5400410/3F t =-⨯（SI ）, 设子弹到枪口时受力变为零. 求：（1）子弹在枪管中的运行的时间. （2）该力冲量的大小. （3）子弹的质量.解：（1）由541040003tF ⨯=-=得3310t s -=⨯即子弹在枪管中的运行的时间为s 3103-⨯。
（2）3531004104000.63tt I Fdt dt N s -⨯⎛⎫⨯==-=⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰0.1 0.3 0.4（3）由I Ft m v ==∆得 30.6210300I m kg v -===⨯∆ 2.9 自由电子在沿x 轴的振荡电场()0cos E t ωϕ=+E i 中运动, 其中0E , ω, ϕ为常数. 设电子电量为e -, 质量为m , 初始条件为：0=t 时, 00v =v i , 00x =r i . 略去重力和阻力的作用, 求电子的运动方程. 解：由()0cos F eE t ωϕ=-+得00tvv Fdt mdv mv mv ==-⎰⎰解得 ()000sin sin eE eEv v t m m ϕωϕωω=+-+ 两边同乘dt 积分得 ()ϕωωϕωϕω++⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m eE t m eE v m eE x x cos sin cos 2000200 2.10 质量为m 的物体与一劲度系数为k 的弹簧连接, 物体可以在水平桌面上运动,摩擦系数为μ. 当用一个不变的水平力拉物体, 物体从平衡位置开始运动. 求物体到达最远时, 系统的势能和物体在运动中的最大动能. 解：分析物体水平受力，其中弹性力摩擦力为 f kx = f mg μμ=物体到达最远时，速度为0。
由动能定理得2102Fx kx mgx μ--= 解得 ()2F mg x kμ-=系统的势能为()22212p F m g E k x kμ-== 当加速度为零时，动能最大。
由0F kx mg μ--=得 0F m gx kμ-=由动能定理得()02max 012x k F kx mg dx mv E μ--==⎰()2max 2k F mg E kμ-=2.11劲度系数为k 的弹簧下端竖直悬挂着两个物体, 质量分别为1m 和2m . 当整个系统达到平衡后, 突然去掉2m . 求1m 运动的最大速度. 解：未剪断前，弹簧伸长为1x ()112kx m m g =+， ()121m m gx k+=当剪断1m 和2m 间连线，1m 受到()112kx m m g =+和1m g 的作用向上运动。
速度达到最大时，有 12m g x k=选1m 开始向上运动得位置为重力势能得零点，由能量守恒得()22212121max111222kx kx mg x x m v =+-+max v =2.12 汽车以30km/h 的速度直线运行, 车上所载货物与底板之间的摩擦系数为25.0. 当汽车刹车时, 保证货物不发生滑动, 求从刹车开始到汽车静止所走过的最短路程. 解：货物保持不滑动，以速度方向为正，则加速度满足 a g μ=- 由题意有方程 2012s v t gt μ=-00v gt μ=- 解得2014.22v s m gμ=≈ 2.13 质量为m 的小球在一个半径为r 的半球型碗的光滑内面以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动. 求该水平面离碗底的高度.解：对小球进行受力分析，小球做匀速圆周运动的向心力由mg 和碗对小球的支撑力提供，即22cos mgm r m R tg ωωθθ== 该水平面离碗底的高度h 为 ()1sin h R θ=- 联立求解得 2gh R ω=-2.14半径为r 的圆盘绕其中心轴在水平面内转动. 质量分别为1m 和2m 的小木块与圆盘之间的静摩擦系数均为μ, 现用一根长为r l <的绳子将它们连接. 试求：（1）1m 放在圆心, 2m 放在距圆心l 处, 要使物体不发生相对滑动, 圆盘转动的最大角速度．（2）将1m 和2m 位置互换, 结果如何？（3）两小木块都不放在圆心, 但联线过圆心, 结果又如何？解：（1）由题意得 ()2122max m m g m l μω+=即max ω=（2）1m 和2m 位置互换，得max ω=（3）两小木块都不放在圆心, 但联线过圆心,木块所受摩擦力不变，但离心力为两木块之差，即()()22121121m m g m l m l l μωω+=--max ω=2.15 半径为r 的光滑球面的顶点处, 质点以初速度为零开始下滑. 求质点滑到顶点下什么位置脱离球面.解：由重力提供向心力，当球面对质点吴支持力时，质点脱离球面，有2sin mv F mg rθ==习题2.14题图由能量守恒得 ()211sin 2mgr mv θ-= 联立求解得 2sin 3θ=2.16 求解如下问题：（1）一力F 以5m/s 的速度匀速提升质量为10kg 的物体, 在10s内力F 做功多少？（2）若提升速度改为10m/s, 把该物体匀速提升到相同高度, 力F 做功多少？（3）a 和b 两种情况中, 它们的功率如何？（4）若用常力F 将该物体从静止加速提升到相同高度, 使物体最后的速度为5m/s, 则力F 做功多少？平均功率为多大？又开始时和结束时的瞬时功率各为多少？ 解：（1）3510W mgh mgvt J ===⨯ （2）由于提升高度不变，所以功不变。