...-“对数的概念”一课的教学设计与感悟.

设计意图 帮助学生在应用的过程中进一步认
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ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１５ 年第 ５ 期
识对数概 念 的 本 质， 加 深 对 对 数 概 念 的 理 解， 掌 握 对
数式与指数式的互化方法，培养学生的运算能力和分
ｌｇ０．８４（ 保留四位小数） ．
设计意图 鼓励学生使用计算器进行探索发现，
感受现代信息技术在数学中的作用．
师：同学们使用计算器的时候有没有注意到在 ｌｇ
这个按键的右边的 ｌｎ 这个符号？
（２） 在科学技术中，常常使用以 ｅ 为底的对数，这
种对数称为自然对数（ｎａｔｕｒａｌ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ）．其中 ｅ ＝ ２．
可能不需要设 ｘ，不强求，第（２） 问中学生不会很容易
地得出相应的指数式，通过设 ｘ 将对数式转化为指数
式的可能性更大． （２） 生 ３：设 ｌｏｇ９２７ ＝ ｘ，由定义知 ９ｘ ＝ ２７，即 ３２ｘ ＝
３３，得 ２ｘ ＝ ３，解出 ｘ 即可．
师：很好！ 先假设对数值为 ｘ，转化为指数式，根
据指数式确定 ｘ 的值，用对数的定义来解决．
问题
经过了 ３ 年，剩留量是多少？
数学语言 ０．８４３ ＝ ０������ ５９２７０４
运算类型
指数运算 ａｂ ＝ Ｎ（ 已知底数 ａ 和指数 ｂ，求 幂值 Ｎ）
师：反过来，如果我们测得了剩留量 ｙ，怎么求出
所经过的时间 ｘ 呢？ 比如剩留量为 ０������ ５，经过了多少
年？
师：根据对数的定义，写出下列各对数的值（ａ ＞
０，ａ ≠ １）： （１）ｌｏｇ５１ ＝ ； （２）ｌｏｇ３１ ＝ ； （３）ｌｏｇａ１ ＝ ； （４）ｌｏｇ５５ ＝ ； （５）ｌｏｇ３３ ＝ ；（６）ｌｏｇａａ ＝ ．
学生活动 学生口答， 并提炼结论 ｌｏｇａ１ ＝ ０， ｌｏｇａａ ＝ １．
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教学重点：对数的概念，指数式与对数式的互化； 难点：对数概念的理解． １．４ 教学方法
充分运用引导发现和讲练结合的方法，突出教师 的“导”和学生的“ 探”，借助多媒体课件、计算器等工 具，让学生经历知识发生和发展的过程，理解概念的 本质属性，在积极参与和充分活动下学会思考，大胆 探索，建构知识，体会思想，形成技能． ２ 过程设计 ２．１ 创设情境，引出课题
Ｎ ．师生探讨证明方法．
设计意图 借助练习与讨论的方式，让学生提炼
出结论并证明，培养学生分析问题、观察归纳的能力．
结论的发现和证明又进一步深化了学生对概念的认
识和理解．
回扣结论
ｌｏｇａ１ ＝ ０，ｌｏｇａａ ＝ １，ｌｏｇａ
１ ａ
＝ ｌｏｇ １ ａ ａ
＝ － １ 都可以统一于结论 ｌｏｇａａｂ ＝ ｂ．
问：根据定义，ａ ＞ ０，ａ ≠ １，那么对数式中 ｂ 和 Ｎ
的范围是什么？ 师生活动 引导学生回忆指数函数 ｙ ＝ ａｘ 的图像
和性质，回答 ａ，Ｎ，ｂ 的范围．
生：底数 ａ ＞ ０，ａ ≠ １，ｂ ∈ Ｒ，Ｎ ＞ ０．（板书：负数
和零没有对数．）
设计意图 引导学生利用指数式与对数式的互
化关系，认识 ａ，ｂ，Ｎ 的范围，加深对定义的理解．
知识解决 新 问 题， 反 映 知 识 的 联 系 性， 体 现 数 形 结 合 的思想，同时为引入对数打下基础．
师：既然这样的数是存在的， 那么它是多少呢？ 我们如何表示它呢？ 解决的办法就是给它一个新记 号，比如若 ａ３ ＝ ５，则 ａ ＝ ３ ５ ．这里我们用一个简单的数 学符号来表示 ｘ，记作 ｘ ＝ ｌｏｇ０．８４０．５，读作以 ０������ ８４ 为底 ０������ ５ 的对数．那么一般地，已知底数 ａ 和幂值 Ｎ 怎么求 指数呢？ ２．２ 师生活动，建构数学
回扣例题 例 ３ 求下列各式的值： （１） ｌｏｇ２６４；
（２） ｌｏｇ９２７．
学生活动 引导学生利用结论 ｌｏｇａａｂ ＝ ｂ（ａ ＞ ０，
ａ ≠ １，ｂ ∈ Ｒ） 解决问题．
设计意图 利用发现的结论再次来解答前面的
例题，将例题和练习融合，从概念到应用，从练习再回
到例题， 交 替 螺 旋 上 升， 始 终 围 绕 着 对 数 概 念 这 个 中
由此引出：“ 已知底数和幂值求指数” 的研究课
题．
设计意图 通过实例说明研究对数的必要性．引
导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算．由剩留量
ｙ 求时间 ｘ，让学生发现“ 已知底数和幂值求指数” 的
新问题，引发认知冲突，激发学习兴趣． 师：０．８４ｘ ＝ ０．５ 中 ｘ 存在吗？ 唯一吗？ 能否借助之
析问题、解决问题的能力．
学生练习 求下列各式的值：
１
（１） ｌｏｇ４６４； （２） ｌｏｇ７
７；
８
（５） ｌｏｇ１０１００． 设计意图 了解学生对对数概念掌握情况，巩固
所学知识，为引入两个重要结论做好准备．
师生 探 究 上 面 的 结 果 写 成 下 面 的 形 式：
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１５ 年第 ５ 期
揭示概念的本质，演绎过程的精彩
———“ 对数的概念” 一课的教学设计与感悟
江苏省无锡市辅仁高级中学 ２１４１２３ 张长贵 钱军先
２０１３ 年 ９ 月下旬，江苏省高中数学青年教师优质 课评比与观摩活动在我校举行，笔者有幸作为参赛选 手，开设了题为“ 对数的概念” 的展示课，教学实施中， 笔者在引领学生揭示数学概念的内涵和本质属性、经 历数学概念发生和发展的过程方面作了一些探索和 尝试，受到了评委和听课老师们的一致好评，以小组 第一的成绩获得省一等奖．下面是这节课的教学设计 与教后感悟，与大家共享． １ 基本情况 １．１ 学情分析
示解答结果．
例 ２ 将下列对数式改写成指数式：（１） ｌｏｇ５１２５ ＝
３；（ ２） ｌｏｇ
１ ３
３
＝－
２；（３） ｌｏｇ１０ ａ
＝－
１．６９９．
学生活动 以口答的形式回答上述问题．
师：ｌｏｇ５１２５ ＝ ３ 正确吗？ 生：正确，回到指数式 ５３ ＝ １２５ 来看就清楚了．
师：很好！ 说明大家已经把握住对数概念的本质
设计意图 尝试使用对数的定义探究出对数的
一些基本性质，体会数学定义的价值和指数式与对数
式相互转化过程中蕴含的等价转化的思想方法．
２．３ 尝试运用，深化理解 例 １ 将下列指数式改写成对数式：（１）２４ ＝ １６；
（２）３ －３
＝
１ ；（３）５ａ ２７
＝
２０；（４） （
１ ２
）ｂ
＝
０．４５．
学生活动 先让学生口答，再请学生到黑板上展
（１） ｌｏｇ４６４ ＝ ｌｏｇ４４３ ＝ ３； （２） ｌｏｇ７
７
１
＝ ｌｏｇ７７ ２
＝
１ ；
２
（ ３） ｌｏｇ
１ ３
９
＝
ｌｏｇ
（１
３
１ ３
） －２
＝－
２；（４） ｌｏｇ２
１ ８
＝ ｌｏｇ２２ －３ ＝ －
３；（５） ｌｏｇ１０１００ ＝ ｌｏｇ１０１０２ ＝ ２．提炼出一般性结论？
师生活动 猜想：ａ ＞ ０，ａ ≠ １，Ｎ ＞ ０，ａｌｏｇａＮ ＝
（１） 定义概念 引导学生得出： 如果 ａ（ａ ＞ ０，ａ ≠ １） 的 ｂ 次幂等于 Ｎ，即 ａｂ ＝ Ｎ， 那么就称 ｂ 是以 ａ 为底 Ｎ 的对数（读法），记作ｌｏｇａＮ ＝ ｂ（写法），其中 ａ 叫做对数的底数，Ｎ 叫做真数． 板书 ａ ＞ ０，ａ ≠ １，ａｂ ＝ Ｎ⇔ｌｏｇａＮ ＝ ｂ． （２） 概念解读 师：ｂ 叫做以 ａ 为底 Ｎ 的对数，ａ 叫做对数的底数， Ｎ 叫做真数． 问：在指数式中，ａ，ｂ，Ｎ 的名称叫什么？ （ 待学生 思考后给予回答） 师：对数的写法和符号表示也有讲究． 我们用四 线三格来规范书写． 正确写法：
“对数的概念” 是苏教版必修一第 ３������ ２ 节《 对数函 数》 第一课时的教学内容，安排在指数函数后，对数函 数前，是指数概念和指数函数的回顾、深化和延续，同 时又是学习对数运算和对数函数的基础． 此前， 学 生 已经学习了分数指数幂、指数函数等内容，知道了指 数运算就是已知底数和指数求幂值，而本节课要学习 的对数则是已知底数和幂值反过来求 指 数． 对 数 的 学 习既能加深学生对指数的理解，又可以为后面的对数 的运算性质和对数函数的学习打好基础，起到承上启 下的作用． １．３ 目标定位
前所学的指数函数内容加以说明？
师生活动 引导学生利用指数函数图像和性质 分析得出 ０．８４ｘ ＝ ０．５ 中 ｘ 存在且唯一．
设计意图 关注学生的认知规律，引导学生用旧
中学数学杂志 ２０１５ 年第 ５ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
教学目标：通过实例使学生认识到引进对数的必 要性，让学生在实际背景中了解对数的意义，经历对 数概念的形成过程；帮助学生理解对数的概念，认识 对数与指数的相互联系，熟练地进行指数式与对数式 的互化，体会转化与化归的思想；引导学生发现关于 对数的常用结论，了解常用对数和自然对数和对数的 发明史，培养学生探究意识和分析问题、解决问题的 能力．
心．
师：ｌｏｇ１０１００ 这是一个以 １０ 为底的对数．通常将以 １０ 为底的对数称为常用对数，对数 ｌｏｇ１０ Ｎ 简记为 ｌｇＮ． 比如 ｌｏｇ１０１２ 简记为 ｌｇ１２，ｌｏｇ１００．８４ 简记为 ｌｇ０．８４．
师：ｌｇ１２，ｌｇ０．８４ 的值是多少？
师生 活 动 请 同 学 们 用 计 算 器 计 算 ｌｇ１２ 和
师：同学们，在 指 数 函 数 的 学 习 中 我 们 研 究 过 这 个问题：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经 过 １ 年，这种物质剩留的质量是原来的 ８４％．写出这种 物质的剩留量关于时间的函数关系式．