三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等例题+练习(常用方法)
B
DE C
7
典型例题 5．翻折法 若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．
例 5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD⊥BC，若 BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．
A
E
F
B DC
G
针对练习 1：如图２所示，已知 ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， BD 平分 ABC ， 求证： AB BC CD 。
0
60
，
C
400
，P，Q
分别在
BC，CA
上，并且
AP
、BQ 分别是 BAC ， ABC 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
A
B Q
P
C
截长补短 4、如图，在四边形 ABCD 中，BC＞BA,AD＝CD，BD 平分 ABC ， 求证： A C 1800
A D
B
C
截长补短 5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
∠MBN 60 ，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC （或它们的延长线）于
E，F ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图 1），易证 AE CF EF ． 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的 猜想，不需证明．
A
B
EM
A
B
EM
A B
CF
三角形全等的判定(全部)
454cm3cmD C B A(2)(1)D CB AF ED C BA F E DC BA F EDC B A ED C B A三角形全等的判定（边角边）班级___________姓名______________一. 做一做:如图，已知两条线段和一个角，以这两条线段 为边，以这个角为这两边的夹角，画一个三角形。
(图1)把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有 的三角形全等吗？换两条线段和一个角试试，是否有同样 的结论 二.结论：三.典型例题：例1.如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 平分∠BAC ， 求证：△AB D ≌△ACD想一想：你还能得到那些结论？练习：根据下列条件，判断下面的三角形是否全等，并说 明理由。
(1)AC=DF ,∠C=∠F,BC=EF;(2)BC=BD,∠ABC=∠ABD.如图1，以长的线段为已知角的邻边，短的线段 为已知角的对边，画一个三角形。
把你画的三角形 与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形全等 吗？此时符合条件的三角形的形状能有多少种呢？例2.如图A 、D 、F 、B 在同一条直线上，AD=BF ，AE=BC 且A E ∥BC 。
求证：(1)△AEF ≌△BCD (2)E F ∥CD四.巩固练习：1.如图，A B ∥DE,DF=BC,若 △AB C ≌△DEF ，还需要补充的条件是（ ）A.AC=EFB.AB=DEC.∠B=∠ED.不用补充 2.在△ABC 中，D 是BC 边的中点，A D ⊥BC ，那么下列说 法错误的是（ ）A.△AB D ≌△ACDB.∠B=∠CC.AD 是△ABC 的高D.△ABC 是等边三角形 3.已知，如图，AB=AE,AC=AD, ∠EAD=∠BAC 求证：ED=BCD CB AE DC B AD CB AE D CB A ED CBAF E D C B A F EDCBA五.课后练习：1.如图，如果AB=AC,AD=AE ，那么不增加任何条件 ________（填 “可以”或“不可以”）判断△AB E ≌△ACD 。
三角形全等的判定(含例题)
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。
全等三角形的判定题型
全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°.类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，D 为AB 边的中点，∠EDF ＝90°，∠EDF 绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB 于E 、F ．当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时（如图1），和AC 不垂直易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△；当∠EDF 绕D 点旋转到DE时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.类型五、直角三角形全等的判定——“HL ”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.启发：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC在直线距的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所离相等.角的平分线的性质及判定1、 如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC.求证：BE ＝CF.2、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．启发：观察已知条件中提到的三角形△PAC 与△PBD ，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果.3、如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.类型二、巧引辅助线构造全等三角形(1)．作公共边可构造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(2)．倍长中线法：1、已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC．求证：CD＝2CE．2、若三角形的两边长分别为5和7, 则第三边的中线长x的取值范围是( )A.1 ＜x＜6B.5 ＜x＜7C.2 ＜x＜12D.无法确定(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝如图，AD是ABCBD.(1)求证：∠B与∠AHD互补；(2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.（3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形：1、如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC,求证：AB－AC＞BD－DC2、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．启发：因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E为正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求证：AF＝AD＋CF．启发与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形ABCD为正方形，则∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE说明AE为∠FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD 的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由角平分线性质可知ME＝DE．AE＝AE．Rt △AME与Rt△ADE全等有AD＝AM．而题中要证AF＝AD＋CF．根据图知AF＝AM＋MF．故只需证MF＝FC即可．从而把证AF＝AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．2、如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，12AE BD，求证：BD是∠ABC的平分线．(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.2、如图(1)，△ABC中，BC＝AC，△CDE中，CE＝CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA＝∠ECD，连接BE，AD．求证：BE＝AD．若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?。
全等判定(一)常见的五种判定方法
全等三角形的判定（一）考点1、常见的全等三角形的判定1、边角边 （SAS ）2、角边角 （ASA ）3、角角边 （AAS ）4、边边边 （SSS ）5、HL判定一、SAS1、如图，已知点B ，C ，D ，E 在同一条直线上，//AD FE ，AD EF =，BC DE =，判断AB 与FC 的位置关系？并说明理由．2、如图，EA EB =，ED EC =，AEB DEC ∠=∠．（1）求证：AD BC =；（2）连接DC ，求证：ADE CDE BCD ∠=∠+∠．3、如图，在ABC ∆和ADE ∆中，点D 在BC 上，AC 与DE 交于点F ，且EAC EDC ∠=∠，AC AE =，BC DE =．求证：B ADE ∠=∠．判定二、ASA1、如图，AC 与BD 相较于点O ，且AB ∥CD ，点O 是AC 的中点．求证：BO ＝DO ．2、如图，AC AE =，C E ∠=∠，12∠=∠．求证：AB AD =．判定三、AAS1、如图，∠CAE ＝∠BAD ，∠B ＝∠D ，AC ＝AE ，△ABC 与△ADE 全等吗？为什么？2、已知△ABN和△ACM的位置如图所示，∠1＝∠2，AB＝AC，∠M＝∠N，求证：AM=AN判定四、SSS1、如图，AB DF=，AC DE∆全等吗？AB与DF平行∆与DEF=，问：ABC=，BE FC吗？请说明你的理由．2、如图，AEF AFE∠=∠，AC AD∠=∠．=，CE DF=，求证：C D3、已知，如图，在ABC ∆和△A B C '''中，AD ，A D ''分别是ABC ∆和△A B C '''的中线，AB A B ''=，BC B C ''=，AD A D ''=．求证：ABC ∆≅△A B C '''．直角三角形的特殊判定 （HL ）1、如图，BE ，CD 是ABC ∆的高，且BD EC =，判定BCD CBE ∆≅∆的依据是“ ”．2、如图，在ABC ∆中，AC BC =，直线l 经过顶点C ，过A ，B 两点分别作l 的垂线AE ，BF ，E ，F 为垂足．AE CF =，求证：90ACB ∠=︒．考点2、三角形判定综合1、已知：如图，AB AC∠=∠；②=，DB DC=，点E在AD上．下列结论：①BAD CAD∆≅∆．其中正确的是（填序号）ABE ACE∆≅∆；③DBE DCE（第1题）（第2题）2、如图所示，已知BE AD⊥，CF AD⊥，垂足分别为E，F，则在下列条件中选择一组，可以判定Rt ABE Rt DCF∆≅∆的是（填入序号）①AB DC∠=∠；=，B C②AB DCAB CD；=，//③AB DC=；=，BE CF④AB DC=，DE AF=．考点3、全等的动点问题1、如图，已知ABC ∆中，20AB AC cm ==，ABC ACB ∠=∠，16BC cm =，点D 是AB 的中点．点P 在线段BC 上以6厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，且点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等．经过几秒后，BPD ∆与CQP ∆全等？请说明理由．2、如图，在ABC ∆中，28AB AC cm ==，20BC cm =，点D 是AB 边的中点，若有一动点P 在BC 边上由点B 向点C 运动，点Q 在CA 边上由点C 向A 运动．（1）P 、Q 两点的运动速度均为3/cm s ，经过2秒后，BPD ∆与CPQ ∆是否全等，说明理由（2）若点P 的运动速度为2.5/cm s ，点Q 的运动速度为3.5/cm s ，是否存在某一时刻，使BPD CQP ∆≅∆．第6关课后巩固练习1、如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC．求证：AC∥DF．2、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2．求证：∠D＝∠B．3、如图，在ABC∠=∠．=，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：12∆中，AB AC4、如图，AB＝CD，AE＝CF，E、F是BD上两点，且BF＝DE．求证：AD＝BC．5、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，（1）根据“SAS”需添加条件；（2）根据“ASA”需添加条件；（3）根据“AAS”需添加条件．6、如图，16BC cm=，点D为AB的中点，点P在边BC上以每秒2cm的AB AC cm==，10速度由点B向点C运动，同时，点M在边CA上由点C向点A匀速运动．（1）当点M的运动速度与点P的运动速度相同，经过1秒后，BPD∆与CMP∆是否全等？请说明理由；（2）若点M的运动速度与点P的运动速度不相等，当点M的运动速度为多少时，能够使∆与CMPBPD∆全等？。
全等三角形的判定常考典型例题及练习
全等三角形的判定一、知识点复习①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）图形分析：书写格式: 在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EFBCEBDEAB∴△ABC≌△DEF（SAS)②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(ASA)图形分析:书写格式：在△ABC和△DEF中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FCEFBCEB∴△ABC≌△DEF(ASA）③“角角边”定理:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）图形分析:书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC F C E B∴△ABC ≌△DEF （AAS)④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.(SSS ）图形分析：书写格式： 在△ABC 和△DEF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===EF BC DF AC DE AB∴△ABC ≌△DEF(AAS)⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL ）图形分析：书写格式：在△ABC 和△DEF 中⎩⎨⎧==DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （HL ）一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法,还有其他的三角形全等识别法吗?比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗？两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等 反例SSA ⨯AAA⨯二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固1。
下列条件,不能使两个三角形全等的是（ ）A ．两边一角对应相等B ．两角一边对应相等C ．直角边和一个锐角对应相等D ．三边对应相等2.如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上,CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD( )A.∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD3。
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
D CB A 全等三角形的判定（一）（SSS ）1、如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ，•则下面的结论中不正确的是( ) A.△ABC ≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D3、在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．4、如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS ”证明______≌_______得到结论．5、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．6、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．7、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ； ⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.62、如图2，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A.AB ∥CD B.AD ∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ） 6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB=DE ；②AC=DF ；③∠ABC=∠DEF ；④BE=CF.9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上一点，且BC=DE ，CD=AB ．⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)全等三角形（三）AAS 和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2．角角边定理（AAS ）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 【典型例题】例1．如图，AB ∥CD ，AE=CF ，求证：AB=CD例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O AE=CF.例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 交于O ，请问O 点有何特征？【经典练习】 1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠3．在△ABC 和△C B A ''' ） ①A A '∠=∠B B '∠=∠，BC =C A C A ''='③A A '∠=∠B B '∠=∠，AC =C A B A ''=' A ． 1个B. 2个C. 3个D. 4个4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN 5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是__________________。
全等三角形的判定证明题asa-aas-hl
全等三角形判定练习(ASA、AAS、HL) 判定定理3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)在△ABC和△DFE中∠A=∠D （已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）判定定理4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)在△ABC和△DFE中∠A=∠D ,∠C=∠FAB=DE∴△ABC≌△DFE(AAS)判定定理5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中AB=AB (直角边)BC = B′C′（斜边）∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）1 如图，∠E=∠B，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB。
2 已知：如图点C是AB的中点，CD∥BE，且∠D=∠E.求证：. CD=BE3 如图，DC=BC，∠B＝∠D=90°，求证：AB＝AD.ACB ED4 如图，AC⊥OB，BD⊥OA，AC与BD交于E点(1)如果OC=OD，求证：∠A=∠B。
(2)如果∠A=∠B ,OC=OD，求证：AC=BD。
(3)如果AO=BO,OC=OD，求证：∠A=∠B。
OBACDE5 如图.已知AC∥DF，且BE=CF、（1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是；．．（2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.6 如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．请从下列三个条件中选择一个合适．．．．的条件．．．，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=ED；②BC=EF；③∠ACB=∠DFE．7 如图，∠A=∠D，AB=CD，则△≌△，请证明8如图，O为AC中点，AB∥CD，证明AB=CDDOC BAAB EFC9 在ABC △中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，AE CE =，AB 与CF 有什么位置关系？证明你的结论10 已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC ，证明：AB=DEAD BCFE11如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，证明：（1）ΔABE≌ΔACD（2）ΔDOB≌ΔEOC （3）ΔDBC≌ΔECB12 正方形ABCD 中, F 分别是AB 和AD 上的点，已知CE ⊥BF ，垂足为M ，证明BE=AFDMFEA。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)本文讲述了全等三角形的判定方法，重点是边角边和角边角。
边角边指两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可以简写成“SAS”。
需要注意的是，必须是两边及其夹角，不能是两边和其中一边的对角。
例如，在图中的△ABC和△ABD中，虽然有一个角和两边相等，但是这两个三角形不全等。
但是在例1中，如果AC=AD，且∠CAB=∠DAB，则可以证明△ACB≌△ADB。
在例2中，如果AD∥BC，且∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF，则可以证明BF=CE。
角边角是指两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ASA”。
例如，在例2中，如果AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则可以直接判定△ABD≌△ACD。
在例3中，如果在Rt△ABC中，BC=2cm，CD⊥AB，且EC=BC，EF=5cm，则可以求出AE的长度。
除了边角边和角边角外，还有三种判定全等三角形的条件。
在例5中，如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，且有一个角相等，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例6中，如果AB∥DE，AB=DE，BF=CE，则可以证明△ABC≌△DEF。
在例7和例8中，分别是通过角平分线和垂线的判定方法来证明两个三角形全等。
总之，掌握全等三角形的判定方法对于解决几何问题非常重要。
1.如图所示，在三角形ABC中，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB。
根据角角边相等可知，∠ACB=∠DCB。
又因为AB=DC，所以BC=AC。
因此，根据SSS（边边边）相等可知，△ABC≌△DCB。
同时，∠ACB=∠DCB，AC=BC=DC。
2.如图所示，在三角形ABD和ABF中，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE。
根据角角边相等可知，∠ABD=∠BCE。
又因为AD=CE，所以BD=BE。
因此，根据SAS（边角边）相等可知，△ABD≌△BCE。
同时，∠ABD=∠BCE，AD=CE=BE。
三角形全等的判定
1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。
2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。
解答过程：（1）全等；（2）不全等。
解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。
在证明题中尤其要注意这一点。
知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。
求证：AM是△ABC的中线。
解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．【变式1】如图，AB ＝AD ，∠1，DA 平分∠BDE ．求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∵DA 平分∠BDE ．∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC和△ADE中，{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4，则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式1】已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式2】如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD ＝CE .【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，在河岸BM 上截取BC ＝CD ，作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ，垂足为点D ．（DE ≠CD ）（1）线段 的长度就是A 、B 两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离；故答案为：DE ；（2）∵AB ⊥BC ，DE ⊥BD∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°又∵∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝CD∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AB ＝DE ．【变式4】如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN【变式6】如图，已知224m ABC S =△，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，则ADC S =△________2m ．【答案】12【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，90ADB ADE ∠=∠=︒．∵AD AD ＝，∴()ADB ADE ASA ≌．∴BD DE =．∴ABD AED S S =△△，BCD ECD S S =． ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△．即12ADC ABC S S =．∵224m ABC S =△，∴212m ADC S =△．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE ∥CF ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）若AE ＝13，AF ＝7，试求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE ＝∠DCF ，在△BDE 和△CDF 中，，∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；（2）解：∵AE ＝13，AF ＝7，∴EF ＝AE ﹣AF ＝13﹣7＝6，∵△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∵DE +DF ＝EF ＝6，∴DE ＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（202210块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）； （2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6（cm ），BE ＝7×2＝14（cm ），∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【变式】已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.【答案与解析】证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②证明：由（1）知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ．（2）成立．证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c ，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝c .作法：(1)作∠DAF ＝∠α；图4－4－224－4－23(2)在射线AF 上截取线段AB ＝c ；图4－4－24(3)以B 为顶点，以BA 为一边，在AB 的同侧作∠ABE ＝∠β，BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形．[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 例7.已知：角α，β和线段a ，如图4－4－29所示，求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a .图4－4－29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C ，再利用两角夹边作图． 解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC ＝a ；(3)分别以B ，C 为顶点，以BC 为一边作∠CBM ＝∠β，∠BCN ＝∠γ；(4)射线BM ，CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：α∠，∠β和线段a ，求作ABC ，使A α∠=∠，2B β∠=∠，AB a =．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．≌过程中，先作2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠，再作DCB ACB ∠=∠，从而得到DBC ABC ≌，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠，DCB ACB ∠=∠，再加上公共边BC BC =，根据AAS ，即可判断DBC ABC ≌．【详解】解：∵得DBC ABC ∠=∠， BC BC =，DCB ACB ∠=∠，∴DBC ABC≌()ASA ， 故选：B ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ，若6PM =，则PN 的长度不可能是（ ）【答案】D 【分析】如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，证明POH POM △≌△得到6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，∵PM OB ⊥，∴90PHO PMO ==︒∠∠，∵OC 平分AOB ∠，∴POH POM ∠=∠，又∵OP OP =，∴()AAS POH POM △≌△，∴6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，∵(264036=>，∴6，∴四个选项中，只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若4PE =，则点P 到AD 与BC 的距离之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，先证明AD FG ⊥，由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠，进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，则8FG PF PG =+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，∵AD BC ∥，∴AD FG ⊥，∵PE AB ⊥，∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠，∵BP 平分ABC ∠，∴EBP GBP =∠∠，又∵BP BP =，∴()AAS EBP GBP △≌△，∴4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，∴8FG PF PG =+=，∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，90C ∠=︒，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且8CB =，则点M 到线段AD 的最小距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，证明MDE MDC △≌△，得到ME MC =，再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===，根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，∴90MED C ==︒∠∠，∵DM 平分ADC ∠，∴MDE MDC =∠∠，又∵MD MD =，∴()AAS MDE MDC △≌△，∴ME MC =，∵点M 是BC 的中点，8CB =，∴142ME MC BC ===，∴点M 到线段AD 的最小距离为4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E 在ABC 外部，点D 在ABC 的BC 边上，DE 交AC 于F ，若123∠=∠=∠，AE AC =，则（ ）．A ．ABD AFE △≌△B ．AFE ADC ≌△△ C ．AFE DFC ≌△△D ．ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠，E C ∠=∠，然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△．【详解】解：∵12∠=∠，∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC DAE ∠=∠，∵23∠∠=，AFE DFC ∠=∠，∴E C ∠=∠，∴在ABC 和ADE V 中，BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADE ≌△△， 故选：D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ． 8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，8AD BD ==，10AC =，2AE =，则BF 的长为（ ）A ．11.2B ．11.5C ．12.5D ．13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△，可得 6DE DC ==，14BC =，而10AC =，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠，∵AEF BED ∠=∠，∴DBE DAC ∠=∠，∵8AD BD ==，2AE =，∴BDE ADC △≌△，6DE =，∴6DE DC ==，∴14BC =，而10AC =，由等面积法可得：111481022BF ⨯⨯=⨯⨯，解得：11.2BF =；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明BDE ADC △≌△是解本题的关键． 9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；最后，他用步测的办法量出自己与E 点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是（ ）A ． SSSB ． SASC ． ASAD ． AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上，∴A D ∠=∠，∵AC BC ⊥，DF EF ^，∴90ACB DFE ∠=∠=︒，∵AC DF =，∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若212cm BPC S =△，则ABC 的面积（ ）A ．224cmB ．230cmC ．236cmD ．不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，易证()ASA ABP DBP ≌，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==．【详解】如图所示，延长AP ，交BC 于点D ，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP 和DBP 中，ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABP DBP ≌，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴2224ABC BPC S S cm ==，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠，A A ∠=∠，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵B C ∠=∠，A A ∠=∠，∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌，可补充的条件是BE CD =或AE AD =；故答案为：BE CD =或AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．七年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等．【详解】∵AD BC ⊥，∴90BDA CDA ︒=∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAD ∠CAD =∠．在ABD △与ACD 中，BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌．故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等． 13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，连接AD ，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．若8CE =，5BF =，4EF =，则AD 的长为________．【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌，可得8AF CE ==，5BF DE ==，推出AD AF DF =+即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠=∠=︒，∴A C ∠=∠，∵AB CD =，∴(AAS)ABF CDE ≌，∴8AF CE ==，5BF DE ==，∵4EF =，∴()8549AD AF DF =+=+−=，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取BC CD =，过D 点作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，测得16DE =米，则A ，B 之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△，从而得到DE AB =，从而得解．【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥，，∴90B EDC ∠=∠=°，∵90B EDC ∠=∠=，BC CD BCA DCE =∠=∠，，∴()ASA ABC EDC ≌△△，∴DE AB =．又∵16DE =米，∴16AB =米，即A B ，之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，AD CF =，添加一个条件，使ABC DEF ≌△△，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =（答案不唯一）【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =，理由是∶∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，∵AD CF =，∴AD CD CF CD +=+即AC DF =，当BC EF ∥时，有BCA EFD ∠=∠，则() ASA ABC DEF ≌， 当BCA EFD ∠=∠时，则() ASA ABC DEF ≌， 当B E ∠=∠时，则() AAS ABC DEF ≌， 当AB DE =时，则() SAS ABC DEF ≌，故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ， SSS 是解题的关键． 16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M 与点O 的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O 处立竖杆PO ，并将顶端的活动杆PQ 对准点M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N ，测量点N 与点O 的距离，该距离即为点M 与点O 的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在POM 和PON △中，90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ASA POM PON ∴≌，∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒，CBE ACF ∠=∠，根据AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果；②求出CBE ACF ∠=∠，由AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果．【详解】解：①90BCA ∠=︒，90α∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△，BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒，在BCE 中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠，180BCA α∠=︒−∠，BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠，ACF BCE BCA ∠+∠=∠，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△， BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，故答案为：=，180BCA α∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△． ABC 的角平分线，过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，利用ASA 证明ABD △和ACF △全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，90EBF F ∠+∠=︒，90ACF F ∠+∠=︒，EBF ACF ∴∠=∠，在ABD △和ACF △中，EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ABD ACF ∴≌， BD CF ∴=，BD Q 是ABC ∠的平分线，EBC EBF ∴∠=∠．在BCE 和BFE △中，BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BCE BFE ∴≌， CE EF ∴=，2CF CE ∴=，24BD CF CE ∴===．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定AB EF ∥，得到ABC F ∠=∠，再利用AAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得9AB CF ==，4BC EF ==，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵CD AB ⊥，EF CE ⊥，∴AB EF ∥，∴ABC F ∠=∠，在ABC 和CFE 中，ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABC CFE △△≌； （2）∵ABC CFE △△≌， ∴9AB CF ==，4BC EF ==，∴5BF CF BC =−=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等． 20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠．求证：AB CE AD +=．【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌，得出AB CD =，BC CE =，即可证明结论．【详解】解：∵AB CE ∥，∴A DCE ∠=∠，∵B D ∠=∠，BC DE =，∴()AAS ABC CDE ≌，∴AB CD =，BC CE =，∴AB CE CD AC AD +=+=．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△．21．（2022秋·八年级课时练习）已知αβ∠∠，和线段a （下图），用直尺和圆规作ABC ，使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=，，．【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段AB a =．2．分别以A ，B 为顶点，在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，，DA 与EB 相交于点C ．ABC 就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知ABC ，请根据“ASA”作出DEF ，使DEF ABC ≌．【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠，再在EM 上截取ED BA =，在EN 上截取EF BC =，从而得到DEF ABC ≌．【详解】解：如图，DEF 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，已知FB CE =，AB DE ∥，ACB DFE ∠=∠，试说明：AC DF =．【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵FB CE =，∴FB FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△， ∴AC DF =．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC AC =，BCE DCA ∠=∠，A E ∠=∠．求证：AB ED =．【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠，再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BCE DCA ∠=∠，∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠，即ACB ECD ∠=∠．在ABC 和EDC △中，∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AB ED =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△； (2)若10BE =，3BF =，求FC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB DE ∥，得ABC DEF ∠=∠，而AB DE =，A D ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△； （2）根据全等三角形的性质得BC EF =，则3BF CE ==，即可求得FC 的长度．【详解】（1）解：证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 和DEF 中，A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△； （2）解：由（1）知()ASA ABC DEF ≌△△，∴BC EF =， ∴BF FC CE FC +=+，∴3BF CE ==，∵10BE =，∴10334FC BE BF CE =−−=−−=，∴FC 的长度是4．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键． 26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 中，BD CD =，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】（1）根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð，根据全等三角形的判定即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得DE DF =，即可求得．【详解】（1）证明：∵BE CF ∥，∴BED CFD Ð=Ð，∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =，∴()AAS BDE CDF ≌；（2）由（1）结论可得DE DF =，∵1587EF AE AF =−=−=，∴72DE =．【点睛】全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，AC DE DC ==．(1)试说明ABC DBE ≌△△．(2)若72ACD ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到BED BCA ∠=∠，证明()SSS DBC ABC ≌，得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，即可得解．【详解】（1）解：因为DBA CBE ∠=∠，所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠，即DBE ABC ∠=∠．在ABC 和DBE 中，ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以()AAS ABC DBE ≌． （2）因为ABC DBE ≌△△， 所以BD BA =，BCA BED ∠=∠．在DBC △和ABC 中，DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以()SSS DBC ABC ≌， 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，所以36BED BCA ∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段AD 是ABC 的中线，分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线，垂足分别为E 、F ．(1)请问BDE 与CDF 全等吗？说明理由；(2)若ACF △的面积为10，CDF 的面积为6，求ABE 的面积．【答案】(1)BDE CDF ≌△△，见解析 (2)22【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可．（2）根据中线性质，得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ，结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可． 【详解】（1）BDE CDF ≌△△，理由如下： ∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AE ⊥，CF AE ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌．（2）∵10ACF S =△，6CDF S =△，BDE CDF ≌，∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△，6BDE CDF S S ==，∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键． 29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC 中，点D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，若,=∠=∠AB AC ADB ADC ，求证：AD 平分BAC ∠.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点P 分别作三边的垂线，分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠，所以ADE ADF ∠=∠，因此(AAS)ADF ADE ≅，得到AF AE =.进而AFC AEB ≅，得到ABD ACD ∠=∠，因此BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC ，P 为三角形ABC 内任意一点，PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证：PD+PE+PF 为定值.证明：如图：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++， ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠，又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅，∴AF AE =∴AFC AEB ≅，∴ABD ACD ∠=∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．。
三角形(全等SSS,SAS,AAS,ASA)练习
A B C D A BC D 三角形全等的判定练习一、三角形的全等性质：1．如图：△ABC ≌△A’B’C’，则有：AB= ，BC= ，CA = ，∠A = ，∠B = ，∠C = ， 2．如图：△ADF ≌△CBE ，问AD 会平行CB 吗？AE 会等于CF 吗？ 解：∵△ADF ≌△CBE （ ）∴∠A= （ ） ∴AD ∥BC （ ） ∵△ADF ≌△CBE （ ） ∴AF= （ ） ∴AF-EF= 即AE =3．如图：△ADB ≌△ADC ，问AD 会垂直CB 吗？ 解：∵△ADB ≌△ADC ∴ = ∵ + =1800∴ =900∴AD ⊥CB 4．如图：△ABC ≌△ADE ，问∠BAD=∠CAE 吗？ 5．如图：△ADF ≌△CBE ，问AD 会平行CB 吗？AE 会等于CF 吗？ 二、“SSS ” 判定的应用：1.完成下面的推理：如图， （1）在△ABC 与△A’B’C’中，⎪⎩⎪⎨⎧===,''____,____,''C A AC B A AB ∴△ABC ≌△A’B’C’(SSS )． 2．如图，AB=CD ，AD=BC ，问：△ADC 与△CBA 全等吗？AD 会平行CB 吗？ 解：在△ADC 与△CBA 中 ⎪⎩⎪⎨⎧===,____,____,AC AC AD ∴△ADC ≌△CBA ( )∴∠ =∠ （ ）∴AD ∥BC （ ）3．如图，C 是BD 和EF 的中点，且BE=DF 说明 △BEC ≌△DFC 。
4．如图，在△ADF 与△BCE 中，AD=BC ，DF=BE ， AE=CF ，说明①△ADF ≌△CBE ，②AD ∥BC 。
5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，CD 是△ABC 的中线，说明①△ABD ≌△A CD 。
②AD ⊥CB 。
6．如图，△ABD 和△ABC ，AC=AD ，BC ＝BD ， 那么△ABD 和△ABC 全等吗？7．如图，AC=DF ， AE=BD ，BC=EF ，那么∠A 与∠D 的大小关系如何？为什么？8．.已知，如图AB=AC ，AD=AE ，BE=CD ，说明①△ABD ≌△A CE ，②∠BAE=∠CADAB C A'B'C' E C D F B A B C D E 12A B C A'B'C'A D EFB C F EB C A D A D CB AD E F B C A B C D三、“ASA ”、“AAS ”的应用： 1．在△ABC 与△A’B’C’中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=____),_______(___,',''或B B B A AB ∴△ABC ≌△A’B’C’(AAS )．1．如图，BE ∥DF ，且BE=DF 说明 △BEC ≌△DFC 。
完整版)全等三角形经典例题(含答案)
完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。
证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。
2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。
证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。
3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。
证明：BE=CD。
4.点O是线段AB和线段CD的中点。
证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。
5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。
证明：∠B=∠D。
6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。
证明：AE=BC。
7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。
证明：AF=DF。
8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。
证明：AB∥DE。
9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
证明：AE=CE。
10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。
证明：DE=CF。
11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。
证明：AE=FB。
12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。
13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。
证明：AB=AC。
14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。
证明：∠B=∠E。
15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。
16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)
全等三角形的性质及判断（习题）例题示范例 1：已知：如图， C 为 AB 中点， CD=BE，CD∥BE．求证：△ ACD≌△ CBE．A【思路剖析】① 读题标明：DA CB EDCB E② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，此中一定有一组边相等．由已知得， CD=BE；依据条件 C 为 AB 中点，得 AC=CB；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件 CD∥BE，得∠ ACD=∠B．发现两边及其夹角相等，所以由SAS可证两三角形全等．【过程书写】先准备不可以直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图∵C为 AB中点∴ AC=CB∵CD∥BE∴∠ ACD=∠B在△ ACD和△ CBE中AC= CB（已证）ACD= B （已证）CD = BE（已知）∴△ ACD≌△ CBE（SAS）稳固练习1.如图，△ ABC≌△ AED，有以下结论：①AC=AE；②∠ DAB=∠EAB；③ED=BC；④∠ EAB=∠DAC．此中正确的有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个EA A1F EB C2BD C D第1 题图第2 题图2.如图， B， C， F，E 在同向来线上，∠ 1=∠2，BF=EC，要使△ABC≌△ DEF，还需要增添一组条件，这个条件能够是，原因是；这个条件也能够是，原因是；这个条件还能够是，原因是．3.如图， D 是线段 AB 的中点，∠ C=∠E，∠ B=∠A，找出图中的一对全等三角形是，原因是．A C AGD FE CHB E B D第3 题图第4 题图4.如图， AB=AD，∠ BAE=∠DAC，要使△ ABC≌△ ADE，还需要增添一组条件，这个条件能够是，原因是；这个条件也能够是，原因是；这个条件还能够是，原因是．5.如图，将两根钢条 AA' ，BB' 的中点连在一同，使 AA' ，BB' 能够绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个丈量工具，A'B'的长等于内槽宽 AB．此中判断△ OAB≌△OA'B' 的原因是（）A． SAS B．ASA C．SSS D．AASAAOB'B A'BC DFE第5 题图第6题图6.要丈量河两岸相对的两点A，B 的距离，先在AB 的垂线BF上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（如下图），能够说明△ EDC≌△ ABC，得ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB 的长．判断△ EDC≌△ABC最适合的原因是（）A． SAS B．ASA C．SSS D．AAA7.已知：如图， M 是AB 的中点，∠ 1=∠2，∠ C=∠D．求证：△ AMC≌△ BMD．C D【思路剖析】① 读题标明：② 梳理思路：要证全等，需要由已知得：依据条件所以，由【过程书写】证明：如图12A M B组条件，此中一定有一组相等．=，=．，得=．可证两三角形全等．8. 已知：如图，点 B， F， C， E 在同一条直线上，且 BC=EF，AB∥DE，AB=DE．A求证：△ ABC≌△ DEF．【思路剖析】B F① 读题标明：② 梳理思路：要证全等，需要组条件，此中一定有一组由已知得：=，=依据条件，得=所以，由可证两三角形全等．【过程书写】证明：如图CED相等．．．思虑小结1.两个三角形全等的判断有，， _，，此中 AAA，SSA不可以证明三角形全等，请举反例进行说明．2.如图， A，B 两点分别位于一个池塘的两头，小明想用绳索丈量A，B 间的距离，但绳索不够长，一个叔叔帮他出了这样一个想法：先在地上取一个能够直接抵达 A 点和 B 点的点 C，连结 AC 并延伸到 D，使 CD=CA；连结 BC并延伸到 E，使CE=CB，连结 DE 并丈量出它的长度， DE 的长度就是 A，B 间的距离．你能说明此中的道理吗A ECB D【参照答案】稳固练习1. B2.AC=DF，SAS；∠ B=∠ E， ASA；∠ A=∠D，AAS3.△BCD≌△ AED，AAS4.AC=AE，SAS；∠ B=∠ D，ASA；∠ C=∠E，AAS5. A6. B7.①略②3，边∠1，∠ 2；∠ C，∠ DM 是 AB的中点， AM，BMAAS【过程书写】证明：如图，∵M 是 AB的中点∴AM=BM在△ AMC 和△ BMD中 C= D （已知）1 = 2（已知）AM = BM （已证）∴△ AMC≌△ BMD（AAS）8.①略②3，边BC，EF， AB，DEAB∥DE，∠ B，∠E SAS【过程书写】证明：如图，∵AB∥ DE∴∠ B=∠E在△ ABC和△ DEF中AB = DE （已知）B = E（已证）BC= EF（已知）∴△ ABC≌△ DEF（SAS）思虑小结1.SAS，SSS，ASA，AASAAA 反例：大小三角板SSA反例：作图略2.证明：如图，在△ ABC和△ DEC中AC = DC （已知）ACB= DCE（对顶角相等）BC= EC（已知）∴△ ABC≌△ DEC（ SAS）∴AB=DE（全等三角形对应边相等）即DE的长度就是 A，B 间的距离。
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略(解析版)
三角形全等的判定方法压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】【考点二用ASA证明两三角形全等】【考点三用AAS证明两三角形全等】【考点四用SSS证明两三角形全等】【考点五添一个条件使两三角形全等】【过关检测】【典型例题】【考点一用SAS证明两三角形全等】1(2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习)如图，在△ABC中，AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC 于点E，点F在边AB的延长线上，AF=AC，连接EF．(1)求证：△AEC≌△AEF．(2)若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．【答案】(1)证明见解析(2)80°【分析】(1)由射线AD平分∠BAC，可得∠CAE=∠FAE，进而可证△AEC≌△AEF SAS；(2)由△AEC≌△AEF SAS，可得∠C=∠F，由三角形外角的性质可得∠AEB=∠CAE+∠C=50°，则∠FAE+∠F=50°，根据∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF=180°，计算求解即可．【详解】(1)证明：射线AD平分∠BAC，∴∠CAE=∠FAE，在△AEC和△AEF中，∵AC=AF∠CAE=∠FAEAE=AE，∴△AEC≌△AEF SAS；(2)解：∵△AEC≌△AEF SAS，∴∠C =∠F ，∵∠AEB =∠CAE +∠C =50°，∴∠FAE +∠F =50°，∵∠FAE +∠F +∠AEB +∠BEF =180°，∴∠BEF =80°，∴∠BEF 为80°．【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式训练】1(2023春·云南昭通·九年级校考阶段练习)如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF =DC ,∠A =∠D ,AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】由AF =CD ，可求得AC =DF ，利用SAS 可得出结论．【详解】解：∵ AF =CD ，∴AF -FC =CD -FC ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠A =∠D AC =DF，∴△ABC ≌△DEF (SAS )．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．2(2023春·四川成都·七年级统考期末)如图在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB =DB ，BE 平分∠ABC ，交AC 边于点E ，连接DE．(1)求证：△ABE ≌△DBE ；(2)若∠A =100°，∠C =40°，求∠DEC 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】(1)根据BE 平分∠ABC ，可得∠ABE =∠DBE ，进而利用SAS 证明△ABE ≌△DBE 即可；(2)根据全等三角形的性质可得∠BDE =∠A =100°，再由三角形外角的性质即可求解．【详解】(1)解：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠DBE ．∵AB=DB，BE=BE，∴△ABE≌△DBE SAS；(2)解：∵△ABE≌△DBE，∴∠BDE=∠A=100°，∴∠DEC=∠BDE-∠C=60°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)图中BD和CE有怎样的关系？试证明你的结论．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】(1)先证明∠BAD=∠EAC，又因为AB=AC，AD=AE，即可求出三角形全等；(2)根据△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠ABD，进而证得∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，等量代换得∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°，再利用内角和，即可证明垂直．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠EAC∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE．(2)解：如图，设BD和CE交点为F∵△ABD≌△ACE∴∠ACE=∠ABD∵∠BAC=90°∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°即∠ECB+∠DBC=90°∴∠BFC=180°-∠ECB+∠DBC=90°∴BD⊥CE．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，和角与角之间关系，解题的关键是根据SAS三角形全等．4(2023·江苏南通·统考一模)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=CD=13BC，AE=DF，AE∥DF．(1)求证：△AEC ≌△DFB ；(2)若S △AEC =6，求四边形BECF 的面积．【答案】(1)见解析(2)9【分析】(1)由AE ∥DF ，得∠A =∠D ，进一步证得AC =DB ，根据边角边求证△AEC ≌△DFB SAS ；(2)以AC 为底作EH 为高，则S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ·BC ，由AB =CD =13BC ，求得S △BEC =34S △AEC=4.5；求证△BEC ≌△CFB SAS ，得S △BEC =S △CFB ，所以S 四边形BECF =2S △BEC =9．【详解】(1)证明：∵AE ∥DF ，∴∠A =∠D ，∵AB =CD ，∴AC =DB ，在△AEC 和△DFB 中，AE =DF∠A =∠DAC =DB∴△AEC ≌△DFB SAS ；(2)解：在△AEC 中，以AC 为底作EH 为高，∴S △AEC =12EH ∙AC ，S △BCE =12EH ∙BC ，∵AB =CD =13BC ，∴AC =43BC ，∵S △AEC =6，∴S △BEC =34S △AEC =4.5，∵△AEC ≌△DFB ，∴∠ACE =∠DBF ，EC =FB ，在△BEC 和△CFB 中，EC =FB∠BCE =∠CBF BC =CB，∴△BEC ≌△CFB SAS ，∴S △BEC =S △CFB ，∴S 四边形BECF =2S △BEC =9．【点睛】本题考查平行的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算；能够灵活运用全等三角形性质是解题的关键．【考点二用ASA 证明两三角形全等】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)如图，BC ∥EF ，点C ，点F 在AD 上，AF =DC ，∠A =∠D ．求证：△ABC ≌△DEF．【答案】见解析【分析】首先根据平行线的性质可得∠ACB =∠DFE ，利用等式的性质可得AC =DF ，然后再利用ASA 判定△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BC ∥EF ，∴∠ACB =∠DFE ，∵AF =DC ，∴AF +CF =DC +CF ，即AC =DF ，在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠DAC =DF ∠ACB =∠DFE，∴△ABC ≌△DEF ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1(2023·校联考一模)如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD =BE ，∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC .求证：AC =DF．【答案】见解析【分析】由AD =BE 知AB =ED ，结合∠A =∠EDF ，∠E =∠ABC ，依据“ASA ”可判定△ABC ≌△DEF ，依据两三角形全等对应边相等可得AC =DF ．【详解】证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC =∠EAB =ED ∠A =∠EDF，∴△ABC≌△DEF ASA，∴AC=DF．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模)如图，在△ABC和△ECD中，∠ABC=∠EDC=90°，点B为CE中点，BC=CD．(1)求证：△ABC≌△ECD．(2)若CD=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)4，见解析【分析】(1)根据ASA判定即可；(2)根据△ABC≌△ECD ASA和点B为CE中点即可求出．【详解】(1)证明：∵∠ABC=∠EDC=90°，BC=CD，∠C=∠C，∴△ABC≌△ECD ASA(2)解：∵CD=2，△ABC≌△ECD ASA，∴BC=CD=2，AC=CE，∵点B为CE中点，∴BE=BC=CD=2，∴CE=4，∴AC=4；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定条件是解答本题的关键．【考点三用AAS证明两三角形全等】1(2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模)如图，点E在△ABC边AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求证：△ABC≌△DEA【答案】证明见解析【分析】根据平行线的性质，得到∠DAC=∠C，再根据三角形外角的性质，得出∠D=∠BAC，即可利用“AAS”证明△ΑBC≌△DEA．【详解】证明：∵BC∥AD，∴∠DAC=∠C，∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，∴∠D=∠BAC，在△ABC和△DEA中，∠BAC=∠D ∠C=∠DAC BC=AE，∴△ΑBC≌△DEA AAS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．【变式训练】1(2023·浙江温州·统考二模)如图，AB=BD，DE∥AB，∠C=∠E．(1)求证：△ABC≅△BDE．(2)当∠A=80°，∠ABE=120°时，求∠EDB的度数．【答案】(1)见解析(2)40°【分析】(1)根据平行线的性质，利用三角形全等的判定定理即可证明；(2)根据三角形全等的性质和平行线的性质即可求解【详解】(1)解：∵DE∥AB，∴∠BDE=∠ABC，又∵∠E=∠C，BD=AB，∴△ABC≅△BDE．(2)解：∵∠A=80°，△ABC≅△BDE，∴∠A=∠BDE=80°，∵∠ABE=120°，∴∠ABD=40°，∵DE∥AB，∴∠EDB=40°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握各知识点，利用好数形结合的思想是解本题的关键．2(2023秋·八年级课时练习)如图，已知点C是线段AB上一点，∠DCE=∠A=∠B，CD=CE．(1)求证：△ACD ≌△BEC ；(2)求证：AB =AD +BE ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)由∠DCE =∠A 得∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，即∠D =∠BCE ，从而即可证得△ACD ≌△BEC ；(2)由△ACD ≌△BEC 可得AD =BC ，AC =BE ，即可得到AC +BC =AD +BE ，从而即可得证．【详解】(1)证明：∵∠DCE =∠A ，∴∠D +∠ACD =∠ACD +∠BCE ，∴∠D =∠BCE ，在△ACD 和△BEC 中，∠A =∠B∠D =∠BCE CD =EC，∴△ACD ≌△BEC AAS ；(2)解：∵△ACD ≌△BEC ，∴AD =BC ，AC =BE ，∴AC +BC =AD +BE ，∴AB =AD +BE ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【考点四用SSS 证明两三角形全等】1(2023·云南玉溪·统考三模)如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，求证：△ABC ≌△DFC．【答案】见解析【分析】根据题意，运用“边边边”的方法证明三角形全等．【详解】证明：∵BE =CF ，∴BE +CE =CF +CE ，即BC =EF ，在△ABC 和△DFE 中，AB =DFAC =DEBC =FE∴△ABC ≌△DFE (SSS )．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解题的关键．【变式训练】1(2023·云南·统考中考真题)如图，C 是BD 的中点，AB =ED ,AC =EC ．求证：△ABC ≌△EDC．【答案】见解析【分析】根据C 是BD 的中点，得到BC =CD ，再利用SSS 证明两个三角形全等．【详解】证明：∵C 是BD 的中点，∴BC =CD ，在△ABC 和△EDC 中，BC =CDAB =ED AC =EC，∴△ABC ≌△EDC SSS 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．2(2023春·全国·七年级专题练习)如图，已知∠E =∠F =90°，点B ，C 分别在AE ，AF 上，AB =AC ，BD =CD．(1)求证：△ABD ≌△ACD ；(2)求证：DE =DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)直接根据SSS 证明即可．(2)根据(1)得∠EAD =∠FAD ，然后证明△AED ≌△AFD 即可．【详解】(1)解：证明：在△ABD 和△ACD 中，AB =ACAD =AD BD =CD∴△ABD ≌△ACD (SSS )．(2)解：由(1)知△ABD ≌△ACD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，在△AED和△AFD中，∠E=∠F∠EAD=∠FAD AD=AD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴DE=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的性质与判定是解题关键．【考点五添一个条件使两三角形全等】1(2023春·宁夏银川·七年级校考期末)如图，在△ABC和△FED中，AD=FC，∠A=∠F，要使△ABC≌△FED，需添加的一个条件是．【答案】AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE答案不唯一)【分析】要使△ABC≌△FED，现有一边一角分别对应相等，还少一个条件，可结合图形选择利用求解即可．【详解】解：∵AD=FC，∴AC=FD又∵∠A=∠F，∴添加AB=EF，利用SAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠B=∠E，利用AAS可以证明△ABC≌△FED；添加∠ACB=∠FDE，利用ASA可以证明△ABC≌△FED故答案为：AB=EF(∠B=∠E或∠ACB=∠FDE(．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．【变式训练】1(2023·北京大兴·统考二模)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DF，BE=CF，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是(写出一个即可)．【答案】AC=DF或∠A=∠D或∠ABC=∠DEF或AB∥DE(答案不唯一)．【分析】根据SAS，AAS或ASA添加条件即可求解．【详解】解：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，则有边角AS两个条件，要添加一个条件分三种情况，(1)根据“SAS”，则可添加：AC=DF，(2)根据“ASA”，则可添加：∠ABC=∠DEF或AB∥DE，(3)根据“AAS”，则可添加：∠A=∠D，故答案为：AC=DF或∠ABC=∠DEF或AB∥DE或∠A=∠D(答案不唯一)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解此题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判断方法．2(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠AFB=∠DEC，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使得△ABF≌△DCE，你添加的条件是．【答案】AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D【分析】本题要判定△ABF≌△DCE，已知∠AFB=∠DEC，由BE=CF可得BF=CE，那么只需添加一个条件即可．添边可以是AF=DE或添角可以是∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【详解】解：所添加条件为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，添加：AF=DE，在△ABF和△DCE中，AF=DE∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE SAS；添加：∠ABF=∠DCE，在△ABF和△DCE中，∠ABF=∠DCEBF=CE∠AFB=∠DEC，∴△ABF≌△DCE ASA添加：∠A=∠D，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D∠AFB=∠DECBF=CE，∴△ABF≌△DCE AAS．故答案为：AF=DE或∠ABF=∠DCE或∠A=∠D．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3(2023秋·八年级课前预习)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ABE≌△ACD，则还需添加的条件是．(只需填写一个合适的条件即可，图中不能再添加其他点或线)【答案】AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)【分析】根据全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：①∵AB=AC，∠A=∠A，AE=AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴添加的条件为AE=AD；②∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠B=∠C；③∵∠A=∠A，∠AEB=∠ADC，AB=AC，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴添加的条件为∠AEB=∠ADC；综上所述，添加的条件为AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC，故答案为：AE=AD或∠B=∠C或∠AEB=∠ADC(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．【过关检测】一、单选题1(2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末)如图，已知BE=DF，AF∥CE，不能使△ABF≌△CDE的是()A.BF=DEB.AF=CEC.AB∥CDD.∠A=∠C【答案】A【分析】根据BE =DF ，可得BF =DE ，根据AF ∥CE ，可得∠AFE =∠CEF ，由等角的补角相等可得∠AFB =∠CED ，然后根据全等三角形的判定定理逐一判断即可．【详解】解：∵BE =DF ，∴BF =DE ，∵AF ∥CE ，∴∠AFE =∠CEF ，∴∠AFB =∠CED ．A 、添加BF =DE 时，不能判定△ABF ≌△CDE ，故选项符合题意；B 、添加AF =CE ，根据SAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；C 、由AB ∥CD 可得∠B =∠D ，所以添加AB ∥CD ，根据ASA ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；D 、添加∠A =∠C ，根据AAS ，能判定△ABF ≌△CDE ，故选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2(2023秋·河南漯河·八年级校考期末)如图，∠A =∠B ,AE =BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 和BD 相交于点O ，若∠1=42°，则∠BDE 的度数为()A.71°B.69°C.67°D.65°【答案】B【分析】证明△BED ≌△AEC ，得到DE =CE ，∠C =∠BDE 等边对等角，求出∠C 的度数，即可．【详解】解：∵∠A =∠B ,∠BOE =∠AOD ，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴∠BED =∠AEC ，又AE =BE ，∴△BED ≌△AEC ，∴DE =CE ，∠C =∠BDE ，∴∠CDE =∠C =12180°-∠1 =69°，∴∠BDE =69°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．3(2023春·辽宁丹东·八年级校考期中)如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=42°，则∠P的度数为()A.42°B.74°C.84°D.96°【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，根据三角形全等的判定定理得出∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角性质得出∠A的度数，即可得答案．【详解】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，∵AM=BK，BN=AK，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=42°，∴∠P=180°-2×42°=96°．故选：D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．二、填空题4(2023春·山东青岛·七年级统考期末)如图，∠l=∠2，现要添加一个条件使△ABD≌△ACD，可以添加．(只添一个即可)．【答案】CD=BD(答案不唯一)【分析】根据三角形全等的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵∠l=∠2，∴180°-∠1=180°-∠2，即∠ADC =∠ADB ，∵AD =AD ，∴添加条件CD =BD ，根据SAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠C =∠B ，根据AAS 证明△ABD ≌△ACD ；添加条件∠CAD =∠BAD ，根据ASA 证明△ABD ≌△ACD ．故答案为：CD =BD (答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，SAS ，AAS ，ASA ，HL ，SSS ．5(2023秋·湖南娄底·八年级统考期末)如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ．下面四个结论：①∠ABE =∠BAD ；②△CBE ≌△ACD ；③AB =CE ；④AD -BE =DE ，其中正确的有．【答案】①②④【分析】由BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，得BE ∥AD ，则∠ABE =∠BAD ，可判断①正确；根据“同角的余角相等”推导出∠BCE =∠CAD ，即可证明△CBE ≌△ACD ，可判断②正确；由垂线段最短可证明AB >BC ，BC >CE ，则AB >CE ，可判断③错误；由CE =AD ，BE =CD ，且CE -CD =DE ，得AD -BE =DE ，可判断④正确，于是得到问题的答案．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴AD ∥BE ，∴∠ABE =∠BAD ，故①正确；∵∠E =∠ADC =∠ACB =90°，∴∠BCE =∠CAD =90°-∠ACD ，在△CBE 和△ACD 中，∠E =∠ADC∠BCE =∠CAD BC =CA，∴△CBE ≌△ACD AAS ，故②正确；∵BC ⊥AC ，CE ⊥BE ，∴AB >BC ，BC >CE ，∴AB >CE ，故③错误；∵△CBE ≌△ACD ，∴CE =AD ，BE =CD ，∵CE -CD =DE ，∴AD -BE =DE ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明∠BCE =∠CAD 及△CBE ≌△ACD 是解题的关键．6(2023秋·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考开学考试)如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE=6cm．如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CD上以acm/s的速度由C点向D点运动．当a=时，△EBP和△PCQ全等．【答案】4或24 5【分析】分两种情况：当△EBP≌△PCQ时和当△EBP≌QCP时，根据边对应相等，分别求出a的值即可．【详解】解：当△EBP≌△PCQ时，此时BE=CP，BP=CQ，则有BP=4t=at，CP=BC-BP=10-4t=6，此时t=1，a=4，当△EBP≌QCP时，此时BE=CQ，BP=CP，则有CQ=at=6，CP=BC-BP=10-4t=4t，此时t=54，a=245，综上所述，a的值为4或24 5，故答案为：4或24 5．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解题的关键．三、解答题7(2023春·上海嘉定·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为对角线BD上一点，∠A=∠BEC，且AD=BE．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)如果∠BDC=75°，求∠ADB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ADB=30°【分析】(1)由平行线性质可得∠ADB=∠CBE，再由ASA可证△ABD≌△ECB；(2)由全等三角形的性质可得BD=BC，由等腰三角形的性质可求出∠DBC=30°，再由两直线平行内错角相等即可求解．【详解】(1)证明∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，在△ABD和△ECB中，∠A=∠BECAD=BE∠ADB=∠CBE，∴△ABD≌△ECB ASA；(2)∵△ABD≌△ECB，∴BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=75°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．8(2023秋·江苏·八年级校考周测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)试说明AE=CD；(2)若AC=12cm，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=6cm【分析】(1)由题意可得∠D+∠DCB=90°，∠DCB+∠AEC=90°，即∠D=∠AEC，根据“AAS”可证△DBC≌△ECA，可得；(2)先求出，然后根据全等三角形的性质即可求解．【详解】(1)∵，，∴，，∴，∵，，∴，∴；(2)∵，，∴．∵是边上的中线，∴．∵，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．9(2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试)如图所示，在中，于D，于E，与交于点F，且．(1)求证：；(2)已知，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据垂直的定义得出，再根据同角的余角相等得出，然后由证明即可；(2)由全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可解决问题．【详解】(1)证明：∵，，∴，∴，∴，在和中∴，(2)解：∵，∴，∵，∴，∴；【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．10(2023春·四川成都·七年级成都实外校考期末)已知：如图，点是等边三角形内一点，且，外一点满足，平分．(1)求证：；(2)求的度数．(3)若，试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】(1)由三角形是等边三角形和可得，由角平分线的性质可得，由“”即可证明；(2)由三角形是等边三角形和可得，，由“”证明，从而得到，再由，；(3)由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，令交于点，通过计算得出，最后由三角形内角和定理可得出，从而得到答案．【详解】(1)证明：三角形是等边三角形，，，，平分，，在和中，，；(2)解：三角形是等边三角形，，，在和中，，，，，，由(1)得，，；(3)解：，理由如下：由(1)得，，，由(2)得，，，，，，如图，令交于点，，则，，，．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，是解题的关键．11(2023春·四川达州·七年级校考期末)如图，在中，，，点在线段上运动(不与、重合)，连接，作，交线段于．(1)当时，，；点从向的运动过程中，逐渐变(填“大”或“小”)；(2)当等于多少时，，请说明理由．(3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由．【答案】(1)；；小；(2)，理由见解析；(3)可能相等，，理由见解析【分析】(1)现根据邻补角的定义，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理，得到，，又因为点从向的运动过程中，逐渐增大，所以逐渐变小；(2)利用三角形内角和定理，得到，根据平角的性质，得到，进而得到，再根据“”证明，即可得到答案；(3)根据等边对等角的性质，得到，再利用三角形内角和定理，得出，由三角形外角的性质，得到，进而得到，最后利用邻补角，即可求出的度数．【详解】(1)解：，，，，，，，，点从向的运动过程中，逐渐增大，逐渐变小，故答案为：；；小；(2)解：当时，，理由如下：，，又，，，，当时，，，在和中，，，即当时，，；(3)解：在点的运动过程中，与的长度可能相等，理由如下：，，，，，，，，．【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．12(2023春·广东梅州·八年级校考开学考试)在四边形中．(1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与结论是；(2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由．(3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)，理由见解析(2)成立，理由见解析(3)，证明见解析【分析】(1)延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论；(2)延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论；(3)在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到【详解】(1)解：结论：．理由：如图1，延长到点，使，连接，在和中，，，，，，，，在和中，，，．故答案为：；(2)解：仍成立，理由：如图2，延长到点，使，连接，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，；(3)解：结论：．理由：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，，，即，．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
全等三角形证明题及解答(5道)
如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2， 求证：AD平分∠BAC．
解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∵∠1=∠2， ∴∠ABD=∠ACD，BD=CD． ∵AB=AC，BD=CD， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠BAD=∠CAD． 即AD平分∠BAC．
证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF． ∵BE=CF， ∴BC=EF． ∵∠ACB=∠F， ∴ ∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F ， ∴△ABC≌△DEF．
全等三角形的判定；平行线的性质．
10.已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB， ∠D=∠B． 求证：AE=CF．
证明：∵AD∥CB， ∴∠A=∠C， 在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C AD=CB ∠D=∠B ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．
• 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
G F
A
E D H
B
C
13.已知：如图21，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
全等三角形的判定与性质．
如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平 分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于
点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中 一对全等三角形给出证明．
：△BCF≌△CBD． △BHF≌△CHD． △BDA≌△CFA． 证明：在△BCF与△CBD中， ∵AB=AC． ∴∠ABC=∠ACB ∵BD、CF是角平分线． ∴∠BCF=1 2 ∠ACB，∠CBD=1 2 ∠ABC． ∴∠BCF=∠CBD， ∴ ∠BCF=∠CBD BC=BC ∠ABC=∠ACB
八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
汇报人：XX
目 录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知）， 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相 等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三 角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已
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教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
例1．如图，AC ⊥CB ，DB ⊥CB ，AB ＝DC ．求证：∠ABD ＝∠ACD ．例2．已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =． 求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．A CB D A D ECBF例3．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC例4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．例5．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上的一点，点E在BC 边上，连接AE，DE，DC，AE=CD．求证：∠BAE=∠BCD．例6．如图，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，且AE=AF．(1) △AED与△AFD全等吗? 为什么?(2) AD平分∠BAC吗? 为什么?例7．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，BC与AD交于O，AC=BD．试说明：∠OAB=∠OBA．例8．如图，∠ACB 和∠ADB都是直角，BC=BD，E是AB上任意一点．求证：CE=DE．例9．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．(1) 图中还有几对全等三角形，请你一一列举；(2) 求证：CF=EF．例10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，并且CB=CD．求∠ABC+∠ADC的度数．例11．(1) 如图①，A，E，F，C四点在一条直线上，AE=CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD交AC于点G，若AB=CD，试说明FG=EG．(2) 若将△DCE沿AC方向移动变为如图②的图形，(1)中其他条件不变，上述结论是否仍成立? 请说明理由．课后练习：1．如图，点C在线段AB的延长线上，AD＝AE，BD＝BE，CD＝CE，则图中共有_______对全等三角形，它们是_______．2．如图，若AB＝CD，AC＝BD，则可用“SSS”证_______≌_______．3．如图，已知AB＝DC，BE＝CF，若要利用“SSS”得到△ABE≌△DCF，还需增加的一个条件是_______．4．如图所示是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若想固定其形状不变，需要加钉一根木条，可钉在( )．A．AE上B．EF上C．CF上D．AC上5．如图，已知E、C两点在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．求证：△ABC≌△DEF．6．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD．(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC的形状是_______．（直接写出结论，不需证明）7、如图，在□ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC 与EF相交于点O．(1)过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于点H；(2)在(1)的图中，找出一个与△BFH全等的三角形，并证明你的结论．8、如图，已知BD⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B、C，CD＝BD，AD平分∠BAC吗，为什么？9．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．那∠AF与BF＋EF相等吗？请说明理由．10．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和边AB上的高，如果BD＝CE，试证明AB＝AC．11．如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC、AD相交于点E(1)请说明AE＝BE的理由；(2)若∠AEC＝45°，AC＝1，求CE的长．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，BE＝CF．(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明．练习21．如图，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF．(1)若以“ASA”为依据，还缺条件_______；(2)若以“AAS”为依据，还缺条件_______2．如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD＝∠ACD，则由“AAS"可直接判定△_______≌△_______．3．如图，已知AB＝AC，要根据“ASA”得到△ABE≌△ACD，应增加一个条件是_______．4．如图，点P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中有_______对全等三角形，它们分别是_______．5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )．A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去6．如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB与AD相等吗？请说明理由．7．如图，点B、E、F、C在同一直线上，已知∠A＝∠D，∠B＝∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是_______．（写出一个即可）8.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和高BE的交点，试说明BH＝AC．9．如图，已知点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF．请你判断上面这个判断是否正确，如果正确，请给出说明；如果不正确，请添加一个适当条件使它成为正确的判断，并加以说明．10．已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．21。