上海交通大学-线性代数-矩阵作业-特征值计算方式

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上海交通大学线性代数教材课后答案习题3

习题三（一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。

对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。

(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。

对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。

上海交通大学矩阵理论课件20110915

特征值与矩阵的相似对角化、线性空间
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量，则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征值λ的几何重数。设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。

矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。

在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。

本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。

特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。

1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。

具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。

（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。

（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。

（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。

它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。

具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。

（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。

（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。

（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。

（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。

特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。

1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。

通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。

矩阵特征值与特征向量的计算

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13
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x (K+2)
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定理6 设A Rnn有完全特征向量系，若1, 2,…, n为A的n个特征值且满足
12
n
对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式
x(k) Ax(k 1)
确定的迭代序列{xk}，有下述结论：
z aii
n
aij
j1 ji
, i 1,2, ,n
n
表示以aii为中心，以
j
a ij
1
半径为的复平面上的n个圆盘。
ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
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8
定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。
41 0
例1 设有 A 1 0 1 估计A的特征值的范
围。
11 4
解：由圆盘定理：
D 1 :z41 ;D 2 :z02 ; D 3 :z42
D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成对出现的原理），则3≤1≤5。而2、3D2∪D3，则
(A) max i 6. 3 (A) 6.
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§3.1 乘幂法与反幂法
3.1.1 乘幂法
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i p ,q
a(pkp) aq(q k) a(pkq)
a(pkp1)cos2 2a(pkq 1)sin cos aq(q k 1)sin2 a(pkp1)sin2 2a(pkq 1)sin cos aq(k q 1)cos2 a(pkp1) aq(q k 1) sin cos a(pkq 1)(cos2 sin2 )

矩阵特征值的求法

矩阵特征值的求法矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。

下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。

1.特征多项式的求解方法：特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。

求解特征多项式的步骤如下：（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。

（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。

（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。

2.特征向量迭代方法：特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。

具体步骤如下：（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。

（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。

（3）计算极限lim┬(n→∞)⁡((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特征值的估计值。

（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。

3.QR分解方法：QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

特征值的求解步骤如下：（1）通过QR分解，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

（2）将A表示为相似对角矩阵的形式，即A=Q'ΛQ，其中Λ为对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。

（3）求解Λ的对角线元素，即求解特征值。

需要注意的是，这三种方法各自有适用的情况和算法复杂度。

特征多项式的求解方法适用于任意阶数的方阵，但对于高阶矩阵来说计算量比较大；特征向量迭代方法适用于大型矩阵的特征值求解，但需要选取合适的初始向量；QR分解方法适用于方阵的特征值求解，但要求矩阵能够进行QR分解。

线性代数第3版习题全解上海交通大学

线性代数第3版习题全解上海交通大学(总85页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1. 计算下列行列式：(1)7415； ()()cos sin 2;3sin cos x y z x x zx y x xyzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x； (5)xy x y yx y x x yxy+++。

解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zzx zx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。

(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。

(5)xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。

解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。

上海交大线性代数习题答案

上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。

而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。

在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。

因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。

1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。

在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。

这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。

具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。

我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。

在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。

例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。

我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。

同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。

4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。

在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。

例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。

我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。

矩阵特征值计算

9 矩阵特征值计算在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。

对于一个方阵A ，如果数值λ使方程组Ax =λx即 (A-λI n )x =0有非零解向量(Solution Vector)x ，则称λ为方阵A 的特征值，而非零向量x 为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n 阶单位矩阵。

由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。

本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。

1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法1.1.1 乘幂法及其串行算法在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。

乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。

记实方阵A 的n 个特征值为λi i =(1,2, …,n )，且满足：│λ1│≥│λ2│≥│λ3│≥…≥│λn │特征值λi 对应的特征向量为x i 。

乘幂法的做法是：①取n 维非零向量v 0作为初始向量；②对于k =1,2, …,做如下迭代：u k =Av k -1 v k = u k /║u k ║∞ 直至<-∞∞+k k u u 1ε为止，这时v k +1就是A 的绝对值最大的特征值λ1所对应的特征向量x 1。

若v k -1与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1=║u k ║∞；若v k -1与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1= -║u k ║∞。

若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1的一轮计算时间为n 2+2n =O(n 2 )。

矩阵特征值的计算.ppt

19
Householder 变换
3 0 0 1 7 7 1 3 3 15 15 T 7 118 101 A2 H1 A1 H 1 0 15 75 75 1 101 7 0 15 75 75 7 7 1 7 1 k 2, xT (3, , , ) x3 , y 3 15 15 15 15 7 2 1 1 12 7 s [( ) ( )( )] 0.4713 v3 s 0.9310 15 15 15 15
0 0 0 1 0 0 . 8944 0 . 4772 0 G (2,3, ) 0 0.4772 0.8944 0 0 0 0 1
1 2.2361 A2 G (2,3, ) A1G T (2,3, ) 0 2 2.2361 1 1 1.3416 0 1 2 0.4472 2 1.3416 0.4472 1
1 2
对应的各阶主子式：
p1 ( ) 2
p3 ( ) ( 2)3 2( 2)
构成一个Sterm序列。
p2 ( ) ( 2)2 1
p4 ( ) ( 2)4 3( 2)2 1
24
Sturm序列与二分法
考察当 ,2,0, 时，多项式序列的変号数
25
ห้องสมุดไป่ตู้
一般矩阵特征值的计算
对任意非奇异矩阵，用QR算法迭代，它将收敛于一个上三角阵，主对角线上的元素近似为矩阵的特征值。
26
QR算法
27
QR算法
定理：设矩阵A是n 阶非奇异实矩阵，则存在正交分解
A = QR
其中 Q 是正交矩阵，R 是非奇异上三角矩阵。

第七章矩阵特征值计算

变换的目的是为了减少非对角元的分量，则
bpq bqp a pq cos 2
a pp aqq 2
sin 2 0
22
记
s
aqq a pp 2a pq
, t tan
则
s 0 , t 2 2ts 1 0 的按模较小根 t s 0 , 1
1 c cos 1 t 2 t sin d 1 t 2
若：
1 2 n
y (k ) v1 , 1 0 v 1 v1 , 1 0 v1
15
x ( k 1) Ay ( k ) Ak 1 y ( 0) / Ak y ( 0)

x ( k 1)
k 1 k 1 2 n k 1 1 a1v1 a2 v2 an vn 1 1 k k 2 n k 1 a1v1 a2 v2 an vn 1 1
( 2 k 1)

分别收敛反号的两个数
17
这样，我们有算法： 1、给出初值，计算序列 y
(k )
2、若序列收敛，则
1 x ( k 1)

,
v1 y ( k )
18
反幂法
Av v A v
1
1

v
所以，A和A－1的特征值互为倒数
A
:x ( k ) x ( 0 )

所以，有：
y ( k ) Ak y ( 0 ) / Ak y ( 0 )

最大分量为1
14
即
y (k )

矩阵特征值与特征向量的计算与应用

矩阵特征值与特征向量的计算与应用矩阵特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，广泛应用于各个科学领域。

在本文中，我们将探讨矩阵特征值与特征向量的计算方法以及它们在实际问题中的应用。

首先，让我们了解矩阵的特征值与特征向量的定义。

给定一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得下面的等式成立：Ax = λx其中，λ是矩阵A的特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。

特征值与特征向量的重要性在于它们能够揭示矩阵A的重要性质与特征。

接下来，我们将讨论矩阵特征值与特征向量的计算方法。

一种常用的计算方法是通过求解矩阵的特征方程来得到特征值和特征向量。

特征方程的形式为：|A - λI| = 0式中，A是一个n阶方阵，λ是待求解的特征值，I是n阶单位矩阵。

解特征方程可得到特征值的集合。

然后，我们将每个特征值带入到原方程中，通过高斯消元法求解得到特征向量。

除了求解特征方程的方法外，还有其他相应的计算方法可用于求解矩阵特征值与特征向量。

例如，幂迭代法和QR算法等方法也常用于计算矩阵特征值与特征向量。

矩阵特征值与特征向量的应用十分广泛。

在物理学中，特征值和特征向量常被用于描述量子力学中的态函数和能量。

在机器学习中，特征值与特征向量可以用于降维算法，如主成分分析（PCA），通过选择最大的特征值对应的特征向量，可以将高维数据降至较低维度，保留其关键信息。

此外，在图像处理领域，特征值与特征向量可用于图像压缩算法。

通过选择图像的关键特征向量，可以将图像表示为更紧凑的形式，降低图像存储和传输的开销。

在工程领域中，特征值与特征向量也经常被用于结构振动分析。

通过求解结构系统的特征方程，可以确定系统的固有频率和模态形态，为设计和改进结构提供重要依据。

总的来说，矩阵特征值与特征向量在数学和科学领域中扮演着重要的角色。

通过计算特征值与特征向量，我们可以揭示矩阵的重要特征和性质，并将它们应用于各个领域的实际问题解决中。

在未来，我们可以预见矩阵特征值与特征向量的计算与应用将继续发挥重要作用，并在更多的领域带来新的突破与创新。

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系

毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，用于描述矩阵的性质和特征。

在毕业论文中，了解特征值和特征向量的求法及其关系是十分重要的。

下面将对特征值与特征向量的求法及其关系进行详细介绍。

1.特征值的求法：特征值是方阵对应的线性变换在一些向量上的缩放因子。

求解特征值的方法可以通过求解矩阵的特征方程得到，特征方程为：，A-λI，=0，其中A是方阵，λ是未知数，I是单位矩阵。

特征方程的解即为特征值。

通过求解特征方程，可以得到矩阵的特征值。

2.特征向量的求法：与特征值对应的是特征向量，特征向量是矩阵在特定方向上的变换结果。

特征向量的求法需要结合特征值一起考虑。

先求得特征值后，代入特征方程，得到(A-λI)X=0，其中X为未知向量。

求解此线性方程组即可得到特征向量。

特征向量是非零的向量，一般也可以进行标准化处理，使其模长为1，方便研究特征向量的几何性质。

3.特征值与特征向量的关系：特征值与特征向量之间存在重要的关系。

对于方阵A和其特征向量X，满足AX=λX，即特征向量经矩阵A的变换后等于特征值的倍数。

特征值与特征向量之间的关系可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。

通过求解矩阵的特征值与特征向量，我们可以得到矩阵的谱分解，即将矩阵分解为特征值和特征向量的乘积。

通过谱分解，我们可以得到矩阵的对角化形式，即将矩阵表示为对角矩阵的形式，其中对角线元素为特征值。

对角化可以简化矩阵的计算，也可以更好地描述矩阵的性质。

此外，特征向量之间可能存在线性相关性。

特征向量之间的线性组合仍然是矩阵的特征向量。

这也意味着，如果矩阵存在一个特征值对应多个线性无关的特征向量，那么矩阵是可对角化的。

总结起来，特征值与特征向量是矩阵理论中非常重要的概念。

求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和行为。

特征值与特征向量之间存在紧密的关系，通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，为矩阵的进一步计算和分析提供了便利。

计算方法5矩阵特征值和特征向量的计算

A1
RART
a（1） 11 0
a（0212），
RT
c
s
s
c
RT的两个列向量是相应的特征向量。
1 0 2
例
考虑三阶矩阵
A 0
0
2
1
2 1 1
将A 中（3,1）和（1,3）位置上的元素变成0， 0
0.707 0 0.707
取R 0
0
1
0
0.707 0 0.707
做正交相似变换后得到
A-1u
k
，
1
因为A1 的计算
比较麻烦，而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
（如稀疏性），因此，反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk
u
k
，代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk，每
迭代一次要解一线性方程组。由于矩阵在迭代过
程中不变，故可对A 先进行三角分解，每次迭代只要解两个三角形方程组。
反幂法规范后的计算格式
满足 1 2 n 0 ，所对应的 n 个特征向量
x1 , x2 ,L , xn线性无关。任取非零的初始向量u0，构造向量序列uk Auk1
向量uk逼近A的主特征值（按模最大的）对应的
特征向量，1
uk j uk-1 j
存在不全为零的常数（i i 1, 2,L , n）,（这里假设1 0），
Jacobi算法的基本思想:
d1
Ak +1 = Rk L
R2 R1 AR1T R2T L
RkT
=
RART
d2 O
dn
记R Rk L R2 R1，RT的每个列向量是对应的特征向量。
二、雅可比过关法

矩阵特征值的计算步骤

矩阵特征值的计算步骤
矩阵特征值的计算步骤：
①确定矩阵首先需要有一个给定的方阵A其阶数为nxn即行数和列数相等；
②构造多项式接下来计算行列式|λE-A|其中λ代表待求解特征值E为单位矩阵该表达式称为特征多项式；
③求解方程令上述结果等于零得到关于λ的一元n次方程这就是我们要寻找的特征方程；
④解出根利用因式分解数值法等手段找出所有可能的λ值它们正是我们所求A的特征值；
⑤验证正确性将求得的每一个λ代回到原方程中检验是否真的能使行列式为零从而验证答案正确性；
⑥特殊情况处理如果发现方程存在重根即某个λ出现了两次及以上那么该矩阵就不是可对角化矩阵；
⑦实际意义理解特征值反映了矩阵在变换过程中保持不变的方向以及该方向上的拉伸比例大小；
⑧应用实例在图像处理模式识别等领域常常需要通过计算协方差矩阵的特征值来揭示数据内部结构；
⑨复数情况当矩阵元素为复数时同样可以定义特征值只不过此时λ也可能为复数需用复数域来讨论；
⑩矩阵对角化如果一个矩阵存在n个线性无关的特征向量那么就可以用它们组成新的基从而实现对角化；
⑪几何解释在二维三维空间中特征值直观上表示了变换后图形相对于原图形放大缩小的程度；
⑫高级话题对于非方阵非线性系统也可以引入广义特征值概念来研究其稳定性响应特性等问题。

线性代数中的矩阵运算与特征值问题

作
在物理学中的应用，如量子力学、统计力学等领域中，矩阵相似变换可以用于描述系统的状态演化
等
在经济学中的应用，如投入产出分析、计量经济学等领域中，矩阵相似变换可以用于分析经济系统的结构和行为
等
相似矩阵的判定方法
定义：如果存在可逆矩阵P，使得 $A=P^{-1}BP$，则称矩阵A与B 相似。
计算方法：使用高斯-约当消元法求解
应用：在解线性方程组、矩阵变换等领域有广泛应用
矩阵的转置
矩阵转置的定义：将矩阵的行列互换得到
新的矩阵
转置矩阵的性质：与原矩阵的乘积为零矩
阵
转置矩阵的运算规则：元素互换，符号不
变
转置矩阵的应用：在向量空间和线性变换中有着重要的
应用
03 特征值与特征向量
的应用
缩放变换的矩阵表示：将缩放变换用矩阵形式表示，方便进行数学分
析和计算
实际应用：缩放变换在图像处理、计算机图形学等领域有广泛的应用
复合变换与矩阵运算
矩阵乘法对应复合变换
矩阵表示几何变换：平移、旋转、缩放等
矩阵运算在图像处理中的应用
矩阵运算在机器人运动控制中的应用
感谢您的观看
性质：矩阵乘法满足结合律和分配律，但不满足交换律。
计算方法：按照矩阵乘法的定义，逐个元素相乘并求和得到结果。
应用：矩阵乘法在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如线性变换、求解线性方程组等。
矩阵的逆
条件：只有满秩矩阵才有逆矩阵
定义：矩阵的逆是另一个矩阵，与原矩阵相乘得到单位矩阵
矩阵的QR分解
目的：简化矩阵的表示，方便计算和解决线性方程组

数值分析——矩阵特征值问题计算

0.3977
1.9401
2.5171
1.5361
0 2.4770 0.8525 3.1294
0
0
0.3099 0.7031
用 A1代替A 重复上面过程,计算11次得
4.0000 *
0
1.8789
0 1.3290
0
*
*
*
3.5910
*
0.1211 *
* 1.0000
55
‹#›
(2)
lim
k
k
1
21
2. 幂法实用计算公式
v0 u0 0 vk Auk1,
k max(vk ), uk vk k
(k 1,2, )
(1)
lim
k
uk
x1 max(
x1)
(2)
lim
k
k
1
22
例1 求矩阵
2 3 2
A 10 3 4 3 6 1
的主特征值与其对应的特征向量。
1、原点平移法
如果是矩阵 A 的特征值,则对任意的实数p, 矩阵
A-pE 的特征值为 -p,且 A 与 A-pE 的特征向量相同.
据此, 如果要计算 A 的主特征值 1 , 只要选择合适的数 p,使 1-p 为矩阵 A-pE 的主特征值,且
max 2in
i 1
p p
2 1
那么,对矩阵 A-pE 应用幂法求其主特征值 1-p ,收敛
(2) A A1 XDX 1,其中 D diag(1,2 , n )
且设 X 1 有三角分解式 X 1 LU ( L 的单位下三角阵,U 为上三角阵).
则由 QR 算法得到的矩阵序列 Ak 本质上收敛于