第五章 特征值的估计与表示

j 1 j i
n
（2）按行弱对角占优： | aii | | aij |, (i 1,2,, n) 上式至少有一个不等号严格成立。
j 1 j i
n
定义 设矩阵A R nn (n 2), 如果存在置换阵P使得
A11 A12 P AP , A11 , A 22为方阵， 0 A 22 ( PT AP) PT x PT b 则称A为可约矩阵; 否则为不可约矩阵. A11 A12 y1 d1 定义 每行每列只有一个元素是1,其余 0 A y d 22 2 2 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
因此
n k | aii || aik aik Ri i k 1 k 1 n k i k i
定理5.5 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个， 如果它是由 k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有 且仅有 A 的 k 个特征值 ( 盖尔圆相重时重复计数．特征值 相同时也重复计数)． 证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的 对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵
则A的任一特征值 满足
(1) ||||A||m
(2) |Re()|||B||m (3) |Im()| ||C||m
证明：设A属于的单位特征向量为y，则有Ay= y，即
yHAy= yHy=，因此
H y H AH y
1 1 H | Re( ) | y ( A AH ) y y H By B m 2 2 1 1 H H H | Im( ) | y ( A A ) y y Cy C m 2 2
1 0 2 1 2 3 2 1 2 交换行 1 0 1 2， 2 2 C 1， ， 列 1 0 3 0 1 3
5.2 特征值的包含区域
定义5.1 设A=(aij)Cn×n，记 Ri=ji|aij| (i=l，…，n) ， 称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A的第i个盖尔圆，其中 Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n) 。 定理5.4 矩阵A=(aij)C n×n的所有特征值都在它的n个 盖尔圆的并集之内。 T 证明:设λ为其特征值， (1 , 2 ,, n ) 为对应特征 向量，且 i 为其绝对值最大者，则有
T
例
考察矩阵(不可约)
b1 c1 4 1 1 0 a b c2 2 1 4 2 0 1 , , B A 1 0 4 1 an 1 bn 1 cn 1 0 1 1 4 an bn (ai , bi , ci都不为零)，
个盖尔圆定理仍然成立，其中i 都是正数。
隔离矩阵特征值原则
• 结合使用A的n个行盖尔圆和n个列盖尔圆。
• 选取正对角矩阵D，使得B=DAD-1 ，适当选取D，有 可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值。欲使 A的第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i＞1( 或i＜1)．而取其它正数=1。此时，B的其余盖尔圆 的半径相对变小(或变大)． • 但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意 的具有互异特征值的矩阵．比如主对角线上有相同 元素的矩阵．
| Re(1, 2 ) | 0.5
| Im(1,2 ) | 0.387298
定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cn×n 的特征值为
1 , 2 ,, n ，则 1 2 n A F 且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 2 2 2
定义（1）按行严格对角占优：| aii | | aij |, (i 1,2,, n)
D diag(1 , 2 ,, n ) a n a n ann n2 n1 2 1 则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有
将Ri =ji|aij|改作ri=ji(|aij|i/j) (i=l，…，n) ，则两
由引理，于是有 | ||| A || m
推论 Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩 阵的特征值为零或纯虚数． 引理5.2：对任意实数 1 ,2 ,,n ，恒有
(k ) nk2
2 k 1 k 1 n n
A (aij ) nn R nn， C 1 ( A AT ),则A的任 定理5.2：设 2 一特征值 满足
第5章 特征值的估计与表示
5.1 特征值界的估计
引理5.1：设ACn×n，yCn为单位列向量，则
| y H Ay ||| A ||m n max | aij |
1 i , j n
y 证明：设A=(aij) n×n， (1 , 2 ,, n ) ，则
T
| y Ay || aiji j | aij i j
解：A的盖尔圆分别为|z-10|≤8和|z|≤5，这两个
盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为
1,2 5 i 15)
都在盖尔圆 |z-10|≤8 中，而不在盖尔圆|z|≤5内。
特征值的隔离
1 a11 a12 2 a21 a22 1 DAD n an1 an 2 a11 a12 1 a1n 1 2 n 2 a21 a22 a2 n 2 1 n a1n 11 1 a2 n 2 1 ann n
n 1 | Im( ) | C 2n
m
1 0 .8 例：估计矩阵 A 特征值的上界。 0 .5 0
解：由定理5.1，对A特征值 ，有：| | 2， |Re()|2， |Im()|1.3，由定理5.2，知其虚部的另 一逼近为：
2 1 | Im( ) | 1.3 0.65 2 2 其特征值为： 1 (1 i 0.6) | 1, 2 | 0.632456 1,2 2
例: 隔离矩阵A=
的特征值．
• A的3个盖尔圆为G1: |z-20|5.8，G2: |z-10|5，G3: |z10j|3。G1与G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个 特征值，记作3 (见左图)．选取D=diag(1，1，2)，则 B=DAD-1的三个盖尔圆为G1’: |z-20|5.4，G2’: |z-10| 4.5，G3’: |z-10j|6。易见，这是3个孤立的盖尔圆，每 个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右图)．
ai11 ai 2 2 aiii ain n i
即 | aii || i || ai11 aii 1i 1 aii 1i 1 ain n |
i 1 i 1 n 1 | aii || ai1 aii 1 aii 1 ain | i i i i
H i 1 j 1
n n
n
n
n
n
i 1 j 1
max | aij |
1i , j n i 1 j 1
| i |2 | j |2 2
nn max | aij | 1i , j n 2
|| A ||m
1 1 n×n，B= （A+AH ）, C= （A-AH ）， 定理5.1：设AC 2 2
A(u)=D+uB
则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝 所著教材矩阵理论。
需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通 部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的 某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中 无特征值。
10 8 例：讨论矩阵 A 的特征值的分布。 5 0
* 图论法 aij 0 Pi到Pj画箭头， a ji 0 Pj 到Pi画箭头, 若强连通则 不可约，否则可约 .
4 1 1 0 1 0 2 1 4 0 1 (不可约), C 2 1 2（可约） B . 1 0 4 1 1 0 3 0 1 1 4