第五章 特征值的估计与表示
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矩阵特征值的估计
解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1
第5章 特征值的估计
在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n
第五章 特征值与特征向量(0808)
T
2019/3/31
10
对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
2019/3/31
15
例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
2019/3/31
18
证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
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对于 2 3 2而言，求解齐次线性方程组 (2 E A) X 0 即
1 1 1 x1 (2 E A) X 1 1 1 x2 0 1 1 1 x 3
T T
2 3 3
2 A 123 1 ( 3) 2 3
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三、特征值与特征向量的性质
m 1 定理5.2 设n阶方阵A有特征值 ，则 kA, A , A , A A m 1 分别有特征值： k , , , ，其中m为正整
A 数， 是A的伴随矩阵。
证明：因为：
E AT E T AT ( E A)T E A
则A与 AT有相同的特征多项式
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例4 设n阶方阵A满足 AT A E（为正交矩阵），
则的特征值必为1或 -1 证明：设 为的特征值，且 A ( 0) 对上式两边左乘 AT
这样，寻找F的极值点问题就转化为寻找方程组 （5.1）或（5.2）的非零解的问题。能使方程组 （5.1）或（5.2）有非零的数及相关的非零解， 就是下面要引入的方阵的特征值与特征向量。
定义5.1 设n阶方阵 A (aij )nn （1） E A 称为A的特征矩阵； a11 a12 （2）称 E A
12
n A
（5.7）
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证明：注意到A的特征多项式为：
a11 E A
a21 a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n
ann
易知特征多项式中 n与 n1 两项只可能出现在主对 角线的乘积项中,
课件：第五章 特征值与特征向量(2)
y Ax
A
x 是特征向量
特征值与特征向量的求法
n阶矩阵A的特征值，满足A
特征值满足：E - A 0， 即：(E A) 0
使方程组(E - A)X 0 有 非零解X =的值 满足 E - A 0 的 值
特征多项式:
的一个n 次多项式 E - A
特征方程: E - A 0
则 A1A A1( )
得 A1 1
所以，矩阵A1的一个特征值是 1 ，
也是A-1对应特征值 1 的一个特征向量。证毕。
性质1.3 设1, 2, , t是n阶方阵A两两不同的特征值， i1,i2 , ,iri是对应于特征值i的线性无关的特征向
量(i 1, 2, ,t)。那么向量组：
11,12 , ,1r1 , 21, ,2r2 ,
f (2) 22 -3 2+1=-1,f (1) 12 -3 1+1=-1
0 1
即f
(
A)的特征值为-1,特征向量为
0 1
， 12
例 设是n阶可逆矩阵A的一个特征值，是A对应特征值
的一个特征向量。证明：矩阵A-1的一个特征值是 1 ，也是
A-1对应特征值 1 的一个特征向量。
证： 由条件知，A 且 0
证：A的特征多项式= E A
AT的特征多项式= E AT ET AT E AT
E AT E A
A与AT有相同的特征多项式，所以有相同的特征值。
性质1.2 设n阶方阵A = aij 的n个特征值为1, 2, , n，
则有
(1) A的n个特征值之和等于A的迹。即
n
1 2 n a11 a22 ann ( aii称为A的迹) i 1
推广： 设是n阶矩阵A的一个特征值，是A对应特征值
A
x 是特征向量
特征值与特征向量的求法
n阶矩阵A的特征值，满足A
特征值满足：E - A 0， 即：(E A) 0
使方程组(E - A)X 0 有 非零解X =的值 满足 E - A 0 的 值
特征多项式:
的一个n 次多项式 E - A
特征方程: E - A 0
则 A1A A1( )
得 A1 1
所以，矩阵A1的一个特征值是 1 ，
也是A-1对应特征值 1 的一个特征向量。证毕。
性质1.3 设1, 2, , t是n阶方阵A两两不同的特征值， i1,i2 , ,iri是对应于特征值i的线性无关的特征向
量(i 1, 2, ,t)。那么向量组：
11,12 , ,1r1 , 21, ,2r2 ,
f (2) 22 -3 2+1=-1,f (1) 12 -3 1+1=-1
0 1
即f
(
A)的特征值为-1,特征向量为
0 1
， 12
例 设是n阶可逆矩阵A的一个特征值，是A对应特征值
的一个特征向量。证明：矩阵A-1的一个特征值是 1 ，也是
A-1对应特征值 1 的一个特征向量。
证： 由条件知，A 且 0
证：A的特征多项式= E A
AT的特征多项式= E AT ET AT E AT
E AT E A
A与AT有相同的特征多项式，所以有相同的特征值。
性质1.2 设n阶方阵A = aij 的n个特征值为1, 2, , n，
则有
(1) A的n个特征值之和等于A的迹。即
n
1 2 n a11 a22 ann ( aii称为A的迹) i 1
推广： 设是n阶矩阵A的一个特征值，是A对应特征值
矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1
矩阵特征值计算
其 中 每个 对角 块 ������������������ 均 为方阵 ， 则矩 阵 ������ 的 特征 值为各 对 角块 矩阵 特征 值的合 并 ，即 ������(������) = ⋃������ ������=1 ������(������������������ ). 定理 5.5： 矩阵的相似变换(similarity transformation)不改变特征值. 设矩阵������和������为相似矩阵， 即存在非奇异矩阵������使得������ = ������−1 ������������，则 (1) 矩阵������和������的特征值相等，即 ������(������) = ������(������) ; (2) 若������为������的特征向量，则相应地，������������为������的特征向量. 通过相似变换并不总能把矩阵转化为对角阵，或者说矩阵 ������ 并不总是 可对角化 的 (diagonalizable). 下面给出特征值的代数重数、几何重数，和亏损矩阵的概念，以及几个定 理.. ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，若������ ̃������ 是特征方程的������������ 重 定义 5.2: 设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 有 m 个（mn）不同的特征值������ ̃������ 的代数重数(algebraic multiplicity)，并称������ ̃������ 的特征子空间(ℂ������ 的子空间)的维数 根，则称������������ 为������ ̃������ 的几何重数(geometric multiplicity). 为������ ̃1 , ⋯ , ������ ̃������ ，特征值������ ̃������ , (������ = 1, ⋯ , ������)的代数 定理 5.6：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的 m 个不同的特征值为������ 重数为������������ ，几何重数为������������ ，则 (1) ∑������ ������=1 ������������ = ������，且任一个特征值的几何重数不大于代数重数，即∀������，������������ ≥ ������������ . (2) 不同特征值的特征向量线性无关，并且将所有特征子空间的∑������ ������=1 ������������ 个基(特征向量)放在 一起，它们构成一组线性无关向量. (3) 若每个特征值的代数重数等于几何重数，则总共可得������个线性无关的特征向量，它们是 全空间ℂ������ 的基. 定义 5.3：若矩阵������ ∈ ℝ������×������ 的某个代数重数为 k 的特征值对应的线性无关特征向量数目少于 k（即几何重数小于代数重数） ，则称 ������为亏损阵（defective matrix） ，否则称其为非亏损阵 （nondefective matrix）. 定理 5.7：设矩阵������ ∈ ℝ������×������ 可对角化，即存在非奇异矩阵������ ∈ ℂ������×������ 使得 ������−1������������ = ������, 其中������ ∈ ℂ������×������ 为对角阵, 的充要条件是������为非亏损矩阵. 此时，������的对角线元素为矩阵������的特 征值，而矩阵������的列向量为 n 个线性无关的特征向量. 定理 5.7 中方程的等价形式为������ = ������������������−1, 它被称为特征值分解，也叫谱分解(spectrum decomposition). 特征值分解存在的充要条件是������为非亏损矩阵. 但现实中还有很多矩阵是亏 损矩阵，例如例 5.2 中的矩阵，它的特征值 2 的代数重数为 2，而几何重数仅为 1. 这种矩阵
自考线性代数第五章特征值与特征向量 ppt课件
从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
2021/3/30
32
证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
2021/3/30
9
二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
2021/3/30
6
例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项
式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
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证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ，则P −1AkP = Bk .
设j (x) = cmxm + cm−1xm−1 + … + c1x + c0，那么 P −1 j (A) P
ann l
• 特征方程
| A−lE | = 0
• 特征多项式 | A−lE |
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二、基本性质
• 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
✓l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ✓l1 l2 … ln = |A|
18
• 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程 组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全
体特征向量的最大无关组．
• 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m是矩阵多项式 j (A) = a0 +
a1 A + … + am A m 的特征值．
对应于特征值 l 的特征向量．
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例：
3 42 2 2 31 11
则l=1为
3
2
4
3
的特征值，
2 1
于l = 1 的特征向量.
第五章特征值和特征向量PPT课件
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
这是因为
1
1
1
(3) xy2xy,xy x ,x 2 x ,y y ,y x ,x 2 x y y ,y
x22x yy2
xy2
所以 x yxy
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x[x,x]x1 2x2 2 xn 2
称为n 维向量 x 的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
注：此处可能是复数， A的元素和x的分量
也可能是复数.
将(1)改写成 (AE )x =0 (2)
( 或改写为 (E A)x=0 ) 此为n 元齐次线性方程组
它有非零解的充要条件是 | A E| =0
即
a11
a21
a12
a22
a1n a2n 0
an1
an2
ann
定义 A为n阶方阵， 含有未知量的矩阵AE
1 n
2
n
n
n
其中
ij
1 0
i j i j
当i=j时， i ia i2 1a i2 2 ...a i2 n 1
当ij时， i j a i1 a j1 ... a in a jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
这样，性质4. 和5.得证.
定理4 A为正交矩阵的充要条件是 A的行（列）向量组为正交规范向量组. 证： 由性质4,5可以直接推出
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因此
n k | aii || aik aik Ri i k 1 k 1 n k i k i
定理5.5 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个， 如果它是由 k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有 且仅有 A 的 k 个特征值 ( 盖尔圆相重时重复计数．特征值 相同时也重复计数)． 证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的 对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵
D diag(1 , 2 ,, n ) a n a n ann n2 n1 2 1 则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有
将Ri =ji|aij|改作ri=ji(|aij|i/j) (i=l，…，n) ，则两
由引理，于是有 | ||| A || m
推论 Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩 阵的特征值为零或纯虚数． 引理5.2：对任意实数 1 ,2 ,,n ，恒有
(k ) nk2
2 k 1 k 1 n n
A (aij ) nn R nn， C 1 ( A AT ),则A的任 定理5.2：设 2 一特征值 满足
n 1 | Im( ) | C 2n
m
1 0 .8 例：估计矩阵 A 特征值的上界。 0 .5 0
解：由定理5.1，对A特征值 ，有：| | 2， |Re()|2， |Im()|1.3，由定理5.2，知其虚部的另 一逼近为：
2 1 | Im( ) | 1.3 0.65 2 2 其特征值为： 1 (1 i 0.6) | 1, 2 | 0.632456 1,2 2
A(u)=D+uB
则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝 所著教材矩阵理论。
需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通 部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的 某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中 无特征值。
10 8 例：讨论矩阵 A 的特征值的分布。 5 0
* 图论法 aij 0 Pi到Pj画箭头， a ji 0 Pj 到Pi画箭头, 若强连通则 不可约，否则可约 .
4 1 1 0 1 0 2 1 4 0 1 (不可约), C 2 1 2（可约） B . 1 0 4 1 1 0 3 0 1 1 4
ai11 ai 2 2 aiii ain n i
即 | aii || i || ai11 aii 1i 1 aii 1i 1 ain n |
i 1 i 1 n 1 | aii || ai1 aii 1 aii 1 ain | i i i i
T
例
考察矩阵(不可约)
b1 c1 4 1 1 0 a b c2 2 1 4 2 0 1 , , B A 1 0 4 1 an 1 bn 1 cn 1 0 1 1 4 an bn (ai , bi , ci都不为零)，
H i 1 j 1
n n
n
n
n
n
i 1 j 1
max | aij |
1i , j n i 1 j 1
| i |2 | j |2 2
nn max | aij | 1i , j n 2
|| A ||m
1 1 n×n，B= （A+AH ）, C= （A-AH ）， 定理5.1：设AC 2 2
解：A的盖尔圆分别为|z-10|≤8和|z|≤5，这两个
盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为
1,2 5 i 15)
都在盖尔圆 |z-10|≤8 中，而不在盖尔圆|z|≤5内。
特征值的隔离
1 a11 a12 2 a21 a22 1 DAD n an1 an 2 a11 a12 1 a1n 1 2 n 2 a21 a22 a2 n 2 1 n a1n 11 1 a2 n 2 1 ann n
1 0 2 1 2 3 2 1 2 交换行 1 0 1 2， 2 2 C 1， ， 列 1 0 3 0 1 3
5.2 特征值的包含区域
定义5.1 设A=(aij)Cn×n，记 Ri=ji|aij| (i=l，…，n) ， 称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A的第i个盖尔圆，其中 Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n) 。 定理5.4 矩阵A=(aij)C n×n的所有特征值都在它的n个 盖尔圆的并集之内。 T 证明:设λ为其特征值， (1 , 2 ,, n ) 为对应特征 向量，且 i 为其绝对值最大者，则有
则A的任一特征值 满足
(1) ||||A||m
(2) 设A属于的单位特征向量为y，则有Ay= y，即
yHAy= yHy=，因此
H y H AH y
1 1 H | Re( ) | y ( A AH ) y y H By B m 2 2 1 1 H H H | Im( ) | y ( A A ) y y Cy C m 2 2
例: 隔离矩阵A=
的特征值．
• A的3个盖尔圆为G1: |z-20|5.8，G2: |z-10|5，G3: |z10j|3。G1与G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个 特征值，记作3 (见左图)．选取D=diag(1，1，2)，则 B=DAD-1的三个盖尔圆为G1’: |z-20|5.4，G2’: |z-10| 4.5，G3’: |z-10j|6。易见，这是3个孤立的盖尔圆，每 个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右图)．
j 1 j i
n
（2）按行弱对角占优： | aii | | aij |, (i 1,2,, n) 上式至少有一个不等号严格成立。
j 1 j i
n
定义 设矩阵A R nn (n 2), 如果存在置换阵P使得
A11 A12 P AP , A11 , A 22为方阵， 0 A 22 ( PT AP) PT x PT b 则称A为可约矩阵; 否则为不可约矩阵. A11 A12 y1 d1 定义 每行每列只有一个元素是1,其余 0 A y d 22 2 2 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
个盖尔圆定理仍然成立，其中i 都是正数。
隔离矩阵特征值原则
• 结合使用A的n个行盖尔圆和n个列盖尔圆。
• 选取正对角矩阵D，使得B=DAD-1 ，适当选取D，有 可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值。欲使 A的第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i＞1( 或i＜1)．而取其它正数=1。此时，B的其余盖尔圆 的半径相对变小(或变大)． • 但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意 的具有互异特征值的矩阵．比如主对角线上有相同 元素的矩阵．
第5章 特征值的估计与表示
5.1 特征值界的估计
引理5.1：设ACn×n，yCn为单位列向量，则
| y H Ay ||| A ||m n max | aij |
1 i , j n
y 证明：设A=(aij) n×n， (1 , 2 ,, n ) ，则
T
| y Ay || aiji j | aij i j
| Re(1, 2 ) | 0.5
| Im(1,2 ) | 0.387298
定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cn×n 的特征值为
1 , 2 ,, n ，则 1 2 n A F 且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。
2 2 2 2
定义（1）按行严格对角占优：| aii | | aij |, (i 1,2,, n)
n k | aii || aik aik Ri i k 1 k 1 n k i k i
定理5.5 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个， 如果它是由 k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有 且仅有 A 的 k 个特征值 ( 盖尔圆相重时重复计数．特征值 相同时也重复计数)． 证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的 对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵
D diag(1 , 2 ,, n ) a n a n ann n2 n1 2 1 则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有
将Ri =ji|aij|改作ri=ji(|aij|i/j) (i=l，…，n) ，则两
由引理，于是有 | ||| A || m
推论 Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩 阵的特征值为零或纯虚数． 引理5.2：对任意实数 1 ,2 ,,n ，恒有
(k ) nk2
2 k 1 k 1 n n
A (aij ) nn R nn， C 1 ( A AT ),则A的任 定理5.2：设 2 一特征值 满足
n 1 | Im( ) | C 2n
m
1 0 .8 例：估计矩阵 A 特征值的上界。 0 .5 0
解：由定理5.1，对A特征值 ，有：| | 2， |Re()|2， |Im()|1.3，由定理5.2，知其虚部的另 一逼近为：
2 1 | Im( ) | 1.3 0.65 2 2 其特征值为： 1 (1 i 0.6) | 1, 2 | 0.632456 1,2 2
A(u)=D+uB
则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝 所著教材矩阵理论。
需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通 部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的 某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中 无特征值。
10 8 例：讨论矩阵 A 的特征值的分布。 5 0
* 图论法 aij 0 Pi到Pj画箭头， a ji 0 Pj 到Pi画箭头, 若强连通则 不可约，否则可约 .
4 1 1 0 1 0 2 1 4 0 1 (不可约), C 2 1 2（可约） B . 1 0 4 1 1 0 3 0 1 1 4
ai11 ai 2 2 aiii ain n i
即 | aii || i || ai11 aii 1i 1 aii 1i 1 ain n |
i 1 i 1 n 1 | aii || ai1 aii 1 aii 1 ain | i i i i
T
例
考察矩阵(不可约)
b1 c1 4 1 1 0 a b c2 2 1 4 2 0 1 , , B A 1 0 4 1 an 1 bn 1 cn 1 0 1 1 4 an bn (ai , bi , ci都不为零)，
H i 1 j 1
n n
n
n
n
n
i 1 j 1
max | aij |
1i , j n i 1 j 1
| i |2 | j |2 2
nn max | aij | 1i , j n 2
|| A ||m
1 1 n×n，B= （A+AH ）, C= （A-AH ）， 定理5.1：设AC 2 2
解：A的盖尔圆分别为|z-10|≤8和|z|≤5，这两个
盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为
1,2 5 i 15)
都在盖尔圆 |z-10|≤8 中，而不在盖尔圆|z|≤5内。
特征值的隔离
1 a11 a12 2 a21 a22 1 DAD n an1 an 2 a11 a12 1 a1n 1 2 n 2 a21 a22 a2 n 2 1 n a1n 11 1 a2 n 2 1 ann n
1 0 2 1 2 3 2 1 2 交换行 1 0 1 2， 2 2 C 1， ， 列 1 0 3 0 1 3
5.2 特征值的包含区域
定义5.1 设A=(aij)Cn×n，记 Ri=ji|aij| (i=l，…，n) ， 称区域 Gi: |z-aii|Ri 为矩阵A的第i个盖尔圆，其中 Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n) 。 定理5.4 矩阵A=(aij)C n×n的所有特征值都在它的n个 盖尔圆的并集之内。 T 证明:设λ为其特征值， (1 , 2 ,, n ) 为对应特征 向量，且 i 为其绝对值最大者，则有
则A的任一特征值 满足
(1) ||||A||m
(2) 设A属于的单位特征向量为y，则有Ay= y，即
yHAy= yHy=，因此
H y H AH y
1 1 H | Re( ) | y ( A AH ) y y H By B m 2 2 1 1 H H H | Im( ) | y ( A A ) y y Cy C m 2 2
例: 隔离矩阵A=
的特征值．
• A的3个盖尔圆为G1: |z-20|5.8，G2: |z-10|5，G3: |z10j|3。G1与G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个 特征值，记作3 (见左图)．选取D=diag(1，1，2)，则 B=DAD-1的三个盖尔圆为G1’: |z-20|5.4，G2’: |z-10| 4.5，G3’: |z-10j|6。易见，这是3个孤立的盖尔圆，每 个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右图)．
j 1 j i
n
（2）按行弱对角占优： | aii | | aij |, (i 1,2,, n) 上式至少有一个不等号严格成立。
j 1 j i
n
定义 设矩阵A R nn (n 2), 如果存在置换阵P使得
A11 A12 P AP , A11 , A 22为方阵， 0 A 22 ( PT AP) PT x PT b 则称A为可约矩阵; 否则为不可约矩阵. A11 A12 y1 d1 定义 每行每列只有一个元素是1,其余 0 A y d 22 2 2 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).
个盖尔圆定理仍然成立，其中i 都是正数。
隔离矩阵特征值原则
• 结合使用A的n个行盖尔圆和n个列盖尔圆。
• 选取正对角矩阵D，使得B=DAD-1 ，适当选取D，有 可能使B的每一个盖尔圆包含A的一个特征值。欲使 A的第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i＞1( 或i＜1)．而取其它正数=1。此时，B的其余盖尔圆 的半径相对变小(或变大)． • 但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意 的具有互异特征值的矩阵．比如主对角线上有相同 元素的矩阵．
第5章 特征值的估计与表示
5.1 特征值界的估计
引理5.1：设ACn×n，yCn为单位列向量，则
| y H Ay ||| A ||m n max | aij |
1 i , j n
y 证明：设A=(aij) n×n， (1 , 2 ,, n ) ，则
T
| y Ay || aiji j | aij i j
| Re(1, 2 ) | 0.5
| Im(1,2 ) | 0.387298
定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cn×n 的特征值为
1 , 2 ,, n ，则 1 2 n A F 且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。
2 2 2 2
定义（1）按行严格对角占优：| aii | | aij |, (i 1,2,, n)