有限元复习题

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有限元法基本原理复习资料

1、线性弹性力学中一般哪些基本假设 ?什么是理想弹性体？

2、线弹性材料物体内任意一点，一定存在三个相互垂直的主应力σ1、σ2、σ3，

假设材料的柏松比为μ，弹性模量为E，则三个应变ε1、ε2、ε3可以表达为：

3、弹性力学基本方程的导出，可从三方面分析：

通过平衡微分方程建立了应力、体力和面力之间的关系。

通过几何方程建立了应变、位移和边界位移之间的关系。

通过物理方程建立了应变与应力之间的关系。

4、写出并理解弹性力学的基本方程。

a．平衡微分方程：

b．几何方程：

1. 平面问题中的几何方程：

2. 空间问题的几何方程：

c、物理方程：

或者：

为体积应变

即：

简写成：{σ}=[D]{ε} 式中[D]称为弹性矩阵，它完全由弹性常数E 和μ 决定。

4、请表述如图所示边界条件：

5、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应力问题，其不为零的应力分量有：

6、如图所示的线弹性材料可以归结为：平面应变问题，其不为零的应变分量有：

ε

x ，ε

y

，γ

xy

7、描述并理解平面问题的基本方程

平面应力问题和平面应变问题都只有8 个独立的未知量，它们只是x 和y 的函数，因此统称平面问题。

1. 平面问题的平衡微分方程

2. 平面问题中的几何方程：

3. a.平面应力问题中的物理方程：

记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。

b.平面应变问题中的物理方程：

记作{σ}=[D]{ε} 其中[D]为弹性矩阵。

比较两种平面问题的弹性矩阵，可以发现，将平面应力问题物理方程中的弹性常数E、μ 换成就可得到平面应变问题物理方程。

8、结构的分类与基本特征

（1）按结构在空间的位置分

z

g j W --=3z g j W --=

2 结构可分为平面结构和空间结构两大类

(2) 按结构元件的几何特征分

① 杆系结构：梁、拱、桁架、刚架、桁构结构等。② 板壳结构

③ 实体结构实体结构的长、宽、高三个尺寸都很大，具有同一量级。④ 混合结构 (3) 按结构自由度分

① 静定结构——自由度为零的几何不变结构。

② 超静定结构——自由度小于零的几何不变结构。

9、结构对称性的利用

对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位移为零。10、自由度计算公式(1)桁架自由度计算公式

桁架中的结点数为j ，杆件数为g ，支座链杆数为z ，则桁架的自由度W 为

平面桁架

空间桁架

(2) 平面混合结构的自由度计算公式

设单铰数为j ，杆件（刚片）数为m ，支座链杆数为z ，则：

一个平面体系的自由度计算结果，不外下述三种可能：

a. W ＞0 表明结构缺少必要的约束，可运动，故结构必定是几何可变体系。

b. W =0 表明结构具有保证几何不变所需的最少的约束数。

c. W ＜0 表明结构具有多余约束。

11、平面结构几何构造分析（判定结构的几何不变性）

z

j m W --=23

12、空间结构几何构造分析（判定空间结构的几何不变性）

13、弹性力学边值问题的基本解法？

根据弹性力学基本方程，只要给出边界条件，理论上完全可以解出空间问题共十五个未知量，平面问题八个未知量。这种问题在数学上叫做微分方程的边值问题。

三种基本解法：

按应力求解：按应力求解以应力分量为基本未知函数，先求应力分量，再求其它未知量，是超静定问题，需要补充变形协调条件。

按位移求解：以位移分量为基本未知函数，此时应通过物理方程和几何方程将平衡微分方程改用位移分量表达。应力边界条件也可以用位移分量表达，按位移求解时，弹性力学问题可以包括位移边界条件和应力边界条件。

混合求解：以一部分应力分量为基本未知量，再以一部分位移分量为基本未知量，即建立变形协调方程，又建立内力平衡方程，最后加以求解。

14、什么是虚位移原理？

虚位移原理：物体平衡时，作用在物体上的所有外力在物体所能发生的任何一组虚位移上所作虚功的代数和等于零。

15、什么是虚功方程？

矩阵表达式为

式中{δ*}为虚位移列阵，{F}为外力列阵，{ε*}为虚应变列阵，{σ}为应力列阵。

16、什么是位移变分方程，也称拉格朗日变分方程？

17、什么是极小势能原理？

对于稳定平衡状态，实际发生的位移使弹性体的势能取极小值。

极小势能原理与虚功方程、拉格朗日变分方程是完全等价的。

18、有限元法求解问题的基本步骤？

1．建立几何模型

2．连续体离散化

3．单元分析

4．整体分析和

5．边界条件的处理

6．施加载荷

7、有限元方程求解

8．结果后处理和分析

19、主要的单元类型有哪些？

杆状单元：包括平面（空间）杆单元、梁单元

平面单元：常见的平面单元有三角形单元和四边形单元，矩形单元是经常采用的特殊的四边形单元。

弹性力学平面问题根据其应力与应变特点分为平面应力问题和平面应变问题，在进行有限元分析时他们所采用的基本单元是相同的，区别

仅在于弹性矩阵不同。

平面单元属于二维单元，只能承受单元平面内的分布力和集中力，不能承受面外载荷。

薄板弯曲单元和薄板单元：

薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩形单元为后者的特殊形式，通常三角形单元有三个节点，四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的弯矩。

多面体单元：

常用的三维多面体单元有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单元有规则六面体和不规则六面体。

20、什么是等参单元？