双曲线知识点总结
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点有哪些双曲线的基本知识点如下：1.双曲线定义：在平面内，设$F_{1}、F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的焦点，若$F_{1}F_{2}=2c$，则称$F_{1}F_{2}$为双曲线的焦距。
2.定义法证明：（1）设$P$点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a,b$是实数且$a>0,b>0$）的左支上的一点，$F_{1}$是双曲线的左焦点，若$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$，则$PF_{1}-PF_{2}=2a$ 双曲线的基本知识点整理双曲线的基本知识点整理如下：1.双曲线定义：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线。
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
双曲线知识点总结abc
双曲线知识点总结abc一、双曲线的定义双曲线是平面上的一种曲线，它有两个独立的渐近线，这两条渐近线之间的曲线是称为双曲线。
通常我们用两个焦点F1和F2以及一个正实数c来定义一个双曲线。
具体来说，双曲线是满足以下条件的点P的轨迹：PF1 - PF2 = c。
双曲线可以分为两种类型：椭圆双曲线和双曲双曲线。
椭圆双曲线有两个焦点和一个实数c，而双曲双曲线有两个焦点和一个虚数c。
接下来我们将分别介绍这两种双曲线的性质。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线是关于其中心对称的。
2. 渐进线性：双曲线有两条渐近线，它们在双曲线的两个分支上分别作为渐进线。
3. 椭圆双曲线的焦点：椭圆双曲线有两个焦点，它们的距离等于2c。
4. 双曲双曲线的焦点：双曲双曲线也有两个焦点，只不过它们是虚数的。
5. 原点与直线的位置关系：双曲线的两条分支可以穿过x轴和y轴，也可以都在其中一个轴的同一侧。
6. 双曲线的方程：双曲线的一般方程是(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是横轴和纵轴的长度。
三、双曲线的图形特征双曲线的图形特征与其方程相关。
通过调整方程中参数的值，我们可以得到不同形状的双曲线。
例如，当a>b时，双曲线的中心位于x轴上；当a<b时，双曲线的中心位于y轴上。
双曲线的图形特征还包括焦点、渐近线、顶点等。
焦点是双曲线的固有属性，它们对于双曲线的形状起着决定性作用。
渐近线是双曲线的近似线，它们与双曲线的曲线有一个相同的极限。
顶点是双曲线的两个分支的交点，它是双曲线的特征点。
四、双曲线的应用双曲线在数学、物理、工程和经济等领域都有着广泛的应用。
在数学领域，双曲线是一种重要的曲线，它可以用来研究曲线的性质和方程。
在物理领域，双曲线可以描述一些物理现象，例如声波的传播，光线的折射等。
在工程领域，双曲线可以用来设计一些工程结构，例如天桥的弧度等。
在经济领域，双曲线可以用来描述一些经济现象，例如消费的增长速度等。
双曲线知识点总结
双曲线1.定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数 1212||||||2,(2||2)MF MF a a F F c -=<=的点的轨迹称为双曲线．。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形定义1212||||||2,(2||2)MF MF a a F F c -=<=标准方程()222210,0x y a b a b -=>> ()222210,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈y a ≤-或y a ≥，x R ∈顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==+对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称离心率)1c e e a ==>渐近线方程b y x a=±a y x b=±特点 x,y 的系数一正一负，那个的分母为正数焦点就在那条轴上2.实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．1．椭圆22219x y m +=与双曲线2213x y m -=有相同的焦点，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．42. 双曲线221916x y -=的离心率为（ ） A ．35 B ．45 C ．53D ．543．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） A ．321x y ±= B ．231x y ±= C ．230x y ±=D ．320x y ±=4．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．53BC ．54D 5．若双曲线22221x ya b-=的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）AB ．5CD ．26．已知点,F A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点(0,)B b 满足FB AB ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C ． D 1 7. 过设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，半径为4的圆经过,A O 两点（O 为原点），则双曲线的方程是（ ）A ．221412x y -= B ．22179x y -= C ．22188x y -= D ．221124x y -= 8．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为03xy +=，则此双曲线的离心率为_______.9.已知以原点O 为中心,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =. (1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;。
双曲线部分性质知识点总结
一、双曲线的定义1、第一定义：21212F F a PF PF <=-（a >0））。
注意：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
当a=0时，轨迹为两定点连线中垂线。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)二、双曲线的标准方程（222a b c +=，其中|1F 2F |=2c ，焦点位置看谁的系数为正数）焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）；焦点在y 轴上：12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）焦点不确定时：)0(,122<=+mn ny mx ；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x （)22b k a <<-） 与双曲线12222=-b y a x 共渐进线（x a by ±=）的双曲线系方程是)(,2222o by a x ≠=-λλ三、特殊双曲线： 等轴双曲线：（实虚轴相等，即a=b ）1、形式：λ=-22y x （0λ≠）； 2、离心率2=e ； 3、两渐近线互相垂直，为y=x ±；； 4、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。
共轭双曲线：（以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线） 1、有共同的渐近线；2、共轭双曲线的四个焦点共圆； 3、离心率倒数的平方和等于1。
四、几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、渐近线 五、相关性质：1、点与双曲线的位置关系：2、中点弦的存在性3、以PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）4\若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的切线方程是00221x x y y a b -=.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.5、双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦点角形的面积为2tan212PF F b S ∠=6、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.8、设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce a αγβ==±- 9、已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -1，F 1、F 2是162x －202y =1的焦点，其上一点P 到F 1的距离等于9则P 到焦点F 2的距离. 172．双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则 △PF 2Q 的周长是 .3．过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是22y －42x=14．已知21,F F 是双曲线的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点,若2ABF ∆是正三角形,那么双曲线的离心率为35．过点A （0，2）可以作_4__条直线与双曲线x 2－42y ＝1有且只有一个公共点6．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 29＝1只有一个交点的直线有3条7．若116922=-y x 上点P 满足64||||21=•PF PF （321π=∠PF F 或），求31621=∆PF F S 8．动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为？9．若)0,5(),0,5(C B -是三角形ABC 的顶点，且A C B sin 53sin sin =-，求顶点A 的轨迹 10．圆M 与圆2)4(:221=++y x C 外切，与圆2)4(:222=+-y x C 内切，求M 轨迹11．已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 12．求与8222=+y x 有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大为 2813求与64422=+y x 有公共焦点，且渐近线为03=-y x 的双曲线为1123622=-y x 14．12222=-b y a x 左支一点P 到左准线l 距离为d ，若d, |||,|21PF PF 成等比，求e 范围15．C ：12222=-by a x 右顶点为A ，x 轴上一点Q （2a,0），若C 上一点P 使0=•PQ AP ，求e 范围16. 渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为53或5416. 已知双曲线的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e=217. 设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为218．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围．解析： (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23－y 2＝1整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，可得m 2＞3k 2－1且k 2≠13①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)．则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ，∵k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2＝－1k (k ≠0，m ≠0)． 整理得3k 2＝4m ＋1 ②将②代入①，得m 2－4m ＞0，∴m ＜0或m ＞4.又3k 2＝4m ＋1＞0(k ≠0)，即m ＞－14. ∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 19．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3(（1）求双曲线C 的方程；1322=-y x （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围. )1,33()33,1(⋃-- 19直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B 。
双曲线经典知识点总结
双曲线经典知识点总结双曲线是解析几何中的一种重要曲线，是一对非重叠又对称的曲线组成，它有着丰富的性质和应用。
在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
本文将通过对双曲线的定义、性质、参数方程、极坐标方程以及相关的应用等方面进行详细的总结和解释。
一、双曲线的定义和基本性质1. 双曲线的定义双曲线定义是平面直角坐标系中满足以下方程的点的轨迹:\[\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\]其中a和b是正实数且a≠b。
当a>b时，曲线称为右双曲线；当a<b时，曲线称为左双曲线。
2. 双曲线的基本性质（1）对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
（2）渐近线：右双曲线的渐近线为y=±\frac{b}{a}x，左双曲线的渐近线为y=±\frac{a}{b}x。
（3）焦点和准线：右双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(c,0)，准线方程为x=c；左双曲线的焦点为F_{1}、F_{2}(0,c)，准线方程为y=c。
（4）离心率：离心率ε定义为，ε=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。
二、双曲线的参数方程和极坐标方程1. 双曲线的参数方程（1）右双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{sec}t \\y=b\tan t\end{cases}\]其中t为参数。
（2）左双曲线的参数方程：\[\begin{cases}x=a\text{csc}t \\y=b\cot t\end{cases}\]其中t为参数。
2. 双曲线的极坐标方程（1）右双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{b}{\sin\theta}\]（2）左双曲线的极坐标方程：\[r=\frac{a}{\cos\theta}\]三、双曲线的相关应用1. 数学方面双曲线广泛应用于解析几何、微积分、微分方程等数学领域。
在微积分中，双曲线的导数和积分形式复杂，常作为综合练习的一部分。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中双曲线知识点
初中双曲线知识点
双曲线是初中数学中的一个重要概念，以下是一些关于双曲线的知识点：
1. 定义：双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
也可以定义为平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的点的轨迹。
定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
2. 性质：双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线有两条过中心的渐近线，其交点位于双曲线的对称中心。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂，对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
3. 方程：在平面直角坐标系中，如果二元二次方程
F(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0满足一定条件，则其图像为双曲线。
以上是关于双曲线的一些基本知识点，包括其定义、性质和方程。
掌握这些知识点有助于更好地理解和应用双曲线的概念。
双曲线知识点总结
双曲线知识点指导教师：郑军一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结1、双曲线的几何要点：⑴二次函数与一元二次方程相比，双曲线是特殊的函数。
⑵如图1， a点为双曲线与x轴交点（ A点），与y轴交点（ C点）⑶如图2，点D与双曲线的交点为（ D点）⑷如图3，两点O与双曲线有两个交点，分别在双曲线上方和下方。
2、双曲线的图象与性质：双曲线的图象是由实轴与两个互相垂直的轴围成的闭合图形。
轴上的每一点到双曲线上任意一点的距离都相等；双曲线与y轴交于（ 0， b）和（ 0， c）两点。
这样，在双曲线上就可以取到一系列使的中点M， N（ M， N分别为两点的坐标）。
3、二次函数与双曲线的关系：若y=ax+by+c（ a， b， c均为实数），a=0或x=-c，则y=-bx+by+c，其中b， c， d均为常数，为二次函数。
4、双曲线的标准方程：设： x， y为双曲线上的两点，且a(x)>0，b(y)>0，则x^2+y^2=C，即（ a+bx+c)/(2a+b+c)=0（ a、 b、 c取遍），解得a(x)=0， b(y)=-c， c=-2。
根据以上条件，可以得出x，y的坐标为： a=0、 x=-c，当x， y在同一直线上时，此时的标准方程为： y=ax+b， a=0.5、双曲线的判定：⑴有一个公共点时，只要y>-c，即可得到双曲线的一个顶点坐标。
⑵有两个公共点时，由双曲线的图象判断它们的公共点的位置。
⑶无公共点时，设已知条件确定双曲线的图象。
6、二次函数在双曲线上的应用：当x、 y 为某一给定值时， y随x变化而变化的规律，叫做双曲线的“渐近线”。
当x→0时，二次函数y随x变化的规律叫做双曲线的“轴对称图形”，它经过点（ B， B），且（ B， B）=-2。
在研究渐近线时，必须首先画出二次函数y=kx+b（ b=0）的图象，根据它的对称性，求出渐近线，再由双曲线的轴对称图形进行分析研究。
7、二次函数y=kx+b的图象与性质：（ 1） y=kx+b的图象：由于b=0，所以y=kx+b 的图象经过实轴上的两点A(0)， B(-2)（点A， B不在双曲线上），并且这个图象的双曲线部分对称于y轴。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
双曲线方程知识点详细总结-双曲线定理总结
构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:。
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.
区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号。
⑺若P在双曲线,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n。
双曲线方程
1.双曲线的第一定义：
⑴①双曲线标准方程：.
一般方程：.
⑵①i.焦点在x轴上：
顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或
ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：。准线方程：.渐近线方程：或，参数方程：或.
②轴为对称轴,实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距2c.③离心率.④准线距（两准线的距离）;通径。⑤参数关系.⑥焦点半径公式:对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
例如:若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？
解：令双曲线的方程为：，代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系：
区域①:无切线，2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②：即定点在双曲线上,1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；
区域③:2条切线，2条与渐近线平行的直线,合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点,1条切线，1条与渐近线平行的直，合计2条；
双曲线知识点总结及练习题
一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长＜|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点：1距离之差的绝对值;22a ＜|F 1F 2|;当|MF 1|－|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a ＞|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee ＞1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上：12222=-b y a x a ＞0,b ＞0焦点在y 轴上：12222=-bx a y a ＞0,b ＞01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程：sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a ＞0,b ＞0上有一动点00(,)M x y左焦半径：r=│ex+a │ 右焦半径：r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a ＞0,b ＞0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =； 2;离心率2=e ；3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±； 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠； 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法：设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点； b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点；20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点； 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点；0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点；相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点；m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点；十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=2＞0,b ＞0⇒渐近线方程：22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α．图3解：在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α． 十四、双曲线中点弦的斜率公式：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明：设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2 B．2错误!C．4 D．4错误!2．设集合P＝错误!,Q＝{x,y|x－2y＋1＝0},记A＝P∩Q,则集合A中元素的个数是A．3 B．1 C．2 D．43．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为A．2 B．3 C．4 D．54．双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线的离心率是________．5．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,－2,则它的离心率为6．设双曲线错误!－错误!＝1a>0的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为A．4 B．3 C．2 D．17．从错误!－错误!＝1其中m,n∈{－1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆x－32＋y2＝r2r>0相切,则r＝B．3 C．4 D．6图K51－19．如图K51－1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB＝2AD,设∠DAB＝θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2＝________.10．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________．11．已知双曲线错误!－错误!＝1a>0,b>0的一条渐近线方程为y＝错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________．12．13分双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同焦点,且经过点错误!,4．1求双曲线C的方程；2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝120°,求△F1PF2的面积．13．16分已知双曲线错误!－错误!＝1和椭圆错误!＋错误!＝1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2＝60°,则|PF1|·|PF2|＝A．2 B．4 C．6 D．8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A ．2B ．3C ．2D ．33．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A ．12-B ．2C ．12+D ．22+ 4．双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．145．双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 6．若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．37．如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A ．2212x y q p q +=+B ． 2212x y q p p+=-+C ．2212x y p q q+=+ D ． 2212x y p q q+=-+二、填空题：本大题共3小题,每小题5分,满分15分8．双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9．若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10．若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________． 三、解答题：本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12．本小题满分20分已知三点P5,2、1F －6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；2设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1．C解析双曲线方程可化为错误!－错误!＝1,所以a2＝4,得a＝2,所以2a＝4.故实轴长为4.2．B解析由于直线x－2y＋1＝0与双曲线错误!－y2＝1的渐近线y＝错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素．故选B.3．B解析双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x－4y＝0,由点到直线的距离公式可得d＝错误!＝3.故选B.解析双曲线错误!－错误!＝1的共轭双曲线是错误!－错误!＝1,所以a＝3,b＝错误!,所以c＝4,所以离心率e＝错误!.能力提升5．D解析设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y＝±错误!x,因为点4,－2在渐近线上,所以错误!＝错误!.根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!,所以e＝错误!,故选D.6．C解析根据双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程得：y＝±错误!x,即ay±3x＝0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0且a>0,所以有a＝2,故选C.7．B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种：2,－1,3,－1,－1,－1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P＝错误!.故选B.8．A解析双曲线的渐近线为y＝±错误!x,圆心为3,0,所以半径r＝错误!＝错误!.故选A.9．1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB＝2,则DM＝sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD＝错误!,所以e1＝错误!＝错误!,e2＝错误!＝错误!,所以e1·e2＝1.10．2,＋∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°＝错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.－错误!＝1解析错误!＝错误!,即b＝错误!a,而c＝6,所以b2＝3a2＝336－b2,得b2＝27,a2＝9,所以双曲线的方程为错误!－错误!＝1.12．解答1椭圆的焦点为F10,－3,F20,3．设双曲线的方程为错误!－错误!＝1,则a2＋b2＝32＝9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!－错误!＝1,②解①②得a2＝4,b2＝5或a2＝36,b2＝－27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!－错误!＝1.2由双曲线C的方程,知a＝2,b＝错误!,c＝3.设|PF1|＝m,|PF2|＝n,则|m－n|＝2a＝4,平方得m2－2mn＋n2＝16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2＝m2＋n2－2mn cos120°＝m2＋n2＋mn＝36.②由①②得mn＝错误!,所以△F1PF2的面积为S＝错误!mn sin120°＝错误!.难点突破13．1B2B解析1依题意有错误!·错误!＝1,化简整理得a2＋b2＝m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°＝错误!,＝错误!,＝错误!＋1＝错误!＋1.因为b＝1,所以|PF1|·|PF2|＝4.故选B.一、选择题1．D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2．C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3．C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4．A.5． A 思路分析：设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析：考察圆锥曲线的相关运算6． C 思路分析：由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知：122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析：考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7．D ．由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8．221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10． (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11．解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=；双曲线方程为221169y x += 12．1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ； 2点P5,2、1F －6,0、2F 6,0关于直线y ＝x 的对称点分别为：)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。
双曲线相关知识点总结
双曲线相关知识点总结双曲线是数学中的一种二次曲线，它与椭圆一起构成圆锥曲线。
双曲线具有一些独特的几何特性和数学表达式，下面是对双曲线相关知识点的总结。
定义与方程双曲线的标准方程形式为：\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，\(a\) 是横轴的半轴长，\(b\) 是纵轴的半轴长。
双曲线的焦点位于原点，且横轴和纵轴是双曲线的对称轴。
焦点与焦距双曲线的焦点位于原点两侧，其坐标为 \((\pm c, 0)\)，其中 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\) 是焦距的一半。
双曲线的焦距是 \(2c\)。
渐近线双曲线的渐近线是两条直线，它们的方程为：\[ y = \pm \frac{b}{a}x \]这些直线通过双曲线的顶点，并且随着 \(x\) 或 \(y\) 的增大，双曲线的曲线越来越接近这两条直线，但永远不会相交。
顶点与中心双曲线的顶点位于原点，即 \((0, 0)\)。
中心是双曲线的对称中心，也是双曲线的顶点。
双曲线的类型双曲线可以分为两种类型：开口向左或向右的双曲线（横轴为实轴）和开口向上或向下的双曲线（纵轴为实轴）。
这取决于 \(a\) 和\(b\) 的相对大小。
双曲线的面积双曲线的面积是无限的，因为它延伸至无穷远。
因此，双曲线没有封闭的面积。
双曲线的应用双曲线在工程学、物理学和天文学中有广泛的应用。
例如，在光学中，双曲线形状的反射镜可以用来聚焦光线；在天文学中，某些星系的形状类似于双曲线。
双曲线的几何性质双曲线的几何性质包括：任意一点到双曲线两个焦点的距离之差是常数，这个常数等于 \(2a\)。
此外，双曲线上任意一点到渐近线的夹角是 \(45^\circ\)。
双曲线的参数方程双曲线的参数方程可以表示为：\[ x = a \sec(\theta) \]\[ y = b \tan(\theta) \]其中，\(\theta\) 是参数。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
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双曲线知识点总结
一．双曲线的定义及其性质
1. 定义：平面上到两定点F 1（-c,0) ,F 2(c,0)的距离之差等于定值2a(a<c)点的集合。
2. 求轨迹的方法：
（1）设点的坐标 ；（2）找条件 ；（3）代入点的坐标，列等式；（4）化简；（5）检验。
3. 双曲线的标准方程及其性质 （1）双曲线的方程
标准方程：122
22=-b
y a x （若x 的系数为正,则焦点x 在轴上；若x 的系
数为负，则焦点在y 轴上)
共焦点双曲线的方程： 122
2
2=--+m b y m a x ； 共离心率双曲线的方程： 12
2
22=-mb y ma x 共渐近线的双曲线的方程：λ=-22
22b
y a x
（2）性质： ①c 2=b 2+a 2;
②e=a c =2
222221⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=a b a b a a c
或e=a
c =
a c
22=a
R R R PF PF F F sin sin )sin(sin 2sin 2sin 22121-+=-=-ββααβθ
③当PF 2⊥x 轴时，｜PF 2｜=a
b 2
④若点P （x 0,y 0)在双曲线122
22=-b
y a x 上，则过点P 与双曲线相切的直
线方程为
12020=-b
y
y a x x ; ⑤若点P （x 0,y 0)双曲线上任一点，以PF 1为直径的圆一定与x 2+y 2=a 2相切。
二．双曲线的焦点三角形
（1）若｜PF 1｜=m , ｜PF 2｜=n , ∠F 1PF 2= Θ ;
mn=θcos 122-b ),[2
+∞∈b ;θθcos 1cos 2-=
b n m ),[2+∞-∈b ;S∆PF 1F 2=2
tan 2θb .
证明如下：
①（2c)2=m 2+n 2-2mncosΘ=(m -n)2-2mn(1-cosΘ)=4a 2+2mn(1-cosΘ)
⇒
mn=θcos 122
-b
②S∆PF 1F 2=21mnsinΘ=
2
tan 2sin 22cos
2
sin
2cos 1sin 2212
222
θθθ
θ
θθ
b b b ==
-
三．双曲线的中点弦
（1）AB 是不平行于对称轴的弦，P 是AB 的中点，则K AB K OP =b 2/a 2 （2）若A 、B 关于原点O 对称，P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，则K PA K PB =b 2/a 2
（3）A 、B 为渐近线上的两点，P 是AB 的中点则K AB K OP =b 2/a 2 （4）A 、B 为渐近线上关于原点O 对称的两点，P 为渐近线上任一点，则K PA K PB =b 2/a 2。
四．双曲线的其他结论
1. 双曲线中，点P 处的切线PT 平分∆PF 1F 2在点P 处的内角。
2. 双曲线中，以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。
（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
3. 双曲线的焦半径公式：
当点P （x 0,y 0)在右支上时，｜PF １｜＝ex 0+a,｜PF ２｜＝ex 0-a; 当点P （x 0,y 0)在左支上时，｜PF １｜＝ex 0+a,｜PF ２｜＝ex 0-a; 4.
过双曲线焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，A 双曲线实轴上的顶点，连接AP 、AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF 。
5. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，A 1、A 2双曲线实轴上的顶点，A 1P 、A 2Q 交于点M ，A 2P 、A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。
6.若P0（x 0,y 0)在双曲线内，则被P0所平分中点弦的方程
22
2
202020b y a x b y y a x x -=-
7.若P0（x 0,y 0)在双曲线内，则过P0的弦中点的轨迹方程是
20202222b y y a x x b y a x -=-
8.双曲线的两个顶点为A 1（-a,0) A 2(a,0),与ｙ轴平行的直线交双曲线于
P １P ２时，A 1P 1与A 2P 2的交点轨迹方程是122
2
2=+b y a x
9.过双曲线上任一点A （x 0,y 0）任意作两条倾斜角互䃼的直线交双曲
线于BC 两点，则K BC =02
02y a x b -
10.若P 为双曲线上右支（左支）上异于端点的任一点，F １F ２双曲线
的焦点，∠PF １F ２＝ａ，∠PF 2F 1＝β，则2cot
2tan β
a a
c a c =+- 11.P 为双曲线上任一点，F 1F 2为两焦点，A 为双曲线内一定点，|AF 2|-2a ≤|PA|+|PF 1|当且仅当A 、F 2、P 三点共线时且P 、F 2、A 在y 轴同侧时等号成立。
12.双曲线122
2
2=-b y a x 与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是
A 2a 2-
B 2b 2 ≦
C 2
13.已知双曲线122
2
2=-b y a x ，（b>a>0),O 为坐标原点，PQ 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ ，则（1）22
221
1||1||1b a OQ OP -=+（2）｜OP ｜２＋｜OQ ｜２的最大值为22224a b b a -（３）S∆OPQ 的最小值为2
222a b b a -。
14.过双曲线122
22=-b y a x 的右焦点F 2作直线交该双曲线右支于MN 两点，弦MN 的垂直平分线交ｘ轴于Ｐ，则2||||2e
MN PF =
15.设A ，B 为双曲线长轴的两端点，P 为双曲线上的一点，∠PAB ＝ａ，∠PBA ＝β，∠BPA ＝ Y,c,e 分别双曲线的半焦距和离心率，则有:
|PA|=|cos ||cos |22222Y c a a ab -; tanatan β =1-e 2
; S ∆PAB =γcot 2222
2a b b a +
16.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直。