系统辨识与自适应控制课件

ˆ B1 2 2 = z s2 + z c G ( jω ) = A A ● ˆ z ∠G ( jω ) = θ 1 = tg -1 c zs
⇒
B1
zc
zs
2z Re(ω ) = s A ● Im(ω ) = 2 z c A
⇐
B1
zc
zs
4.5.2 脉冲响应辨识（随机性情形）的基本原理 ● 准则函数：
a 2 , k = 0, N P ,2 N P , L 2 ● 因 RM (k ) = a − N , k ≠ 0, N P ,2 N P , L P ( N P + 1)a 2 ∆t a 2 ∆t ˆ 则 RMz (k ) = g (k ) − NP NP ˆ (k )＝ ● g NP [RMz (k ) + c], ( N P + 1)a 2 ∆t
系统辨识与自适应控制讲稿
孙应飞
M (1) M ( 0) M (−1) M ( 0) M= M M M (− N P + 1) M (− N P + 2)
z = [z (0), z (1),L , z ( N P − 1)]
L M ( N P − 1) L M ( N P − 2) O M M ( 0) L
g (τ ) dτ ，则有：
y (k ) = ˆ y (kT ) = ∫ g (τ )u (kT − τ ) dτ = ∑ ∫
0 l =1 ∞ ∞
∞
∞
lT ( l −1)T
g (τ )u (kT − τ )dτ
lT g (τ ) dτ u (k − l ) = ∑ g T (l )u (k − l ) = ∑ ∫ − ( 1 ) l T l =1 l =1
J = lim
2 1 T ˆ − z ( t ) z ( t ) dt T → ∞ T ∫0 2 ∞ 1 T z ( t ) − ∫ g (θ )u ( t − θ )dθ dt = lim ∫ 0 T →∞ T 0
求此准则函数的极小化问题为典型的变分问题 ● 导出 Wiener-Hopf 方程：
由于：
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ˆ (θ ) + α g α (θ )] ∂J [g α →0 ∂α 2 ∞ ∂ 1 T ˆ (θ ) + α g α (θ ))u (t − θ ) dt = lim lim ∫ z (t ) − ∫ ( g 0 α →0 ∂α T → ∞ T 0 lim = lim −
ˆ (t ) Ru (t − τ )dt Ruz (τ ) = ∫ g
0 ∞
此为辨识过程脉冲响应的理论依据。
ˆ (θ ) 由变分原理， 给定任意小的函数 g α (θ ) ， 其中 α 为标量， 则当 g (θ ) = g
时准则函数达到最小的必要条件为：
ˆ (θ ) + α g α (θ )] ∂J [g =0 α →0 ∂α lim
∞ ∞ y (t ) = A∑ g (k ) Re e jω ( t − k ) + v(t ) = A Ree jω t ⋅ ∑ g (k )e − jω k + v(t ) （A） k =1 k =1 jω t jω = A Re e ⋅ G (e ) + v(t ) = A G ( jω ) cos(ω t + ϕ ) + v(t )
∞ 2 T ⋅ ∞ g (θ )u (t − θ )dθ dt ˆ − − z ( t ) g ( θ ) u ( t θ ) d θ ∫0 T → ∞ T ∫0 ∫0 α ∞ ∞ 1 T ˆ (θ )u (t − θ )dθ ⋅ u (t − τ )dt dτ = 0 = ∫ g α (τ ) lim ∫ z (t ) − ∫ g 0 0 T →∞ T 0
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● 离散 Wiener-Hopf 方程 ● 相关函数的计算
RMz (k ) =
N P −1 j =0
ˆ ( j)R ∑g
M
(k − j )∆t
1 N P −1 = ( ) R k ∑ M (i − k ) z (i) Mz N P i =0 N P −1 RM (k ) = 1 ∑ M (i − k ) M (i ) N P i =0
∑ sin(2ω t + ϕ )
t =1
N
+
∑ v(t ) sin ω t
t =1
N
上面两式中的第二项，当 N → ∞ 时为零，第三项由下面的引理可知也 为零。 引理：设 {v(t )} 是均值为零的平稳随机过程，其相关函数满足：
∑ τ R (τ )
−∞ v
∞
<∞
令： S N =
1 N
∑ α v(t ),
由于 g α (θ ) 是不为零的任意函数，因此有：
∞ 1 T ˆ (θ )u (t − θ )dθ ⋅ u (t − τ )dt = 0 z ( t ) g − ∫ 0 T → ∞ T ∫0
lim
即有：
∞ 1 T 1 ˆ (θ ) lim z (t )u (t − τ )dt = ∫ g ∫ 0 T →∞ T 0 T →∞ T
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(4) 数据预处理 (5) 计算互相关函数 R Mz ( k ) (6) 计算补偿量 c = − R Mz ( N P − 1)
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《系统辨识与自适应控制》第 5 讲要点
第 4 章 经典的辨识方法 4.5 相关分析法 频率响应辨识的理论依据 系统的输入输出的关系：
y (t ) = ∫
+∞ 0
g (τ )u (t − τ ) dτ
lT ( l −1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT
离散化：令 u (t ) = u (k ) , kT ≤ t < (k + 1)T ， g T (l ) = ∫
t =1 t
N
α t ≤ C1 ，则存在一正常数 C 2 ，有：
E{ S N } ≤
2
C2 N 因此，当取足够大的 N 时，我们有关于 G ( jω ) 的估计式如下：
2 ˆ G ( jω ) = I c2 ( N ) + I s2 ( N ) A ˆ ( jω ) = − arg tan I s ( N ) ˆ N = arg G ϕ Ic (N )
1 R− M
2 1 L 1 1 2 L 1 1 = ( N P + 1)a 2 ∆t M M O M 1 1 L 2
4.5.6 用 M 序列作输入信号时脉冲响应估计的统计性质
ˆ ● E g = g 0 条件：测量噪声序列的均值为零。
ˆ lim E g = g0 → ∞ N P ● 条件：测量噪声序列为零均值的白噪声。 ˆ lim Var g = 0 N P →∞
4.5.7 用 M 序列作输入信号辨识脉冲响应的步骤 (1) 预估过渡过程时间 Ts 和最高截止频率 f max
1 ≥ f max (2) 确定 M 序列参数： 3∆t ( N P − 1) ∆t > Ts
(3) 采集数据（避开非平稳时段）
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N P −1 j =0
ˆ ( j) ∑g a 2 ∆t NP
N P −1 j =0
c=
ˆ ( j) ∑g
● 工程上： c = − R Mz ( N P − 1) ● 为提高辨识精度，互相关函数可以采用多周期数据估计：
RMz (k ) =
一般地， r = 1 ~ 4 。
1 rN P
rN P −1 i =0
4.5.1 频率响应的辨识（数据含噪声情形）
u (t ) = A sin ωt ∞ ● = z ( t ) Bk sin( kωt + θ k ) + w(t ) ∑ k =1
2 δ (τ ) ，输出第一 其中 w(t ) 为均值为零的白噪声，相关函数为 RW (τ ) = σ W
Ic (N ) =
1 N
∑ A G ( jω ) cos(ω t + ϕ ) cosω t +
t =1
N
1 N
∑ v(t ) cos ω t
t =1 N t =1
N
= A G ( jω ) =
1 1 ⋅ 2 N
1 ∑ [cos ϕ + cos(2ω t + ϕ )] + N ∑ v(t ) cos ω t
● 白噪声输入时：
2 Ru (τ ) = σ u δ (τ ) 1 ˆ g (τ ) = σ 2 Ruz (τ ) u
4.5.3 用 M 序列作输入信号的离散算法
M 序列的循环周期为 N P ∆t ， N P = 2 P − 1 ， ∆t 为 M 序列移位脉冲周期，
自相关函数近似于 δ 函数， a 为 M 序列的幅度。 当 M 序列的循环周期 N P ∆t 大于过程的过渡过程时间时，即 N P 充分大时。
t =1
N
A 1 1 G ( jω ) cos ϕ + A G ( jω ) ⋅ 2 2 N
∑ cos(2ω t + ϕ ) + N ∑ v(t ) cos ω t
t =1 t =1
N
1
N
同理，有： I s (N ) = − A 1 1 G ( jω ) sin ϕ + A G ( jω ) ⋅ 2 2 N 1 N
τ
ˆ = [g ˆ (0), g ˆ (1),L , g ˆ ( N P − 1)]τ g
4.5.5 用 M 序列作输入信号的递推算法
ˆ (i ) = ● g
1 i ( i −1) 1 ˆ g R− + M m (i ) z (i ) i +1 (i + 1)∆t
τ
m(i ) = [M (i ), M (i − 1),L , M (i − N P + 1)]
lim
∫
u (t − θ )u (t − τ )dt dθ 0
T
假设过程的输入输出为平稳各态历经的随机过程，则有：
ˆ (t ) Ru (t − τ )dt Ruz (τ ) = ∫ g
0 ∞
此即为 Wiener-Hopf 方程。此方程为一积分方程，一般来说要求出估计量
ˆ (θ ) 的解析式是困难的，但当过程的输入信号的自相关函数具有一定的特 g ˆ (θ ) 的解析式。 殊性时，由 Wiener-Hopf 方程有可能求出估计量 g
我们写成：
y (t ) = ∑ g (k )u (t − k ) , t = 0,1,2,L
k =1
∞
考察具有测量噪声的系统，其输入输出的关系为：
y (t ) = ∑ g (k )u (t − k ) + v(t )
k =1
∞
其中 v(t ) 为测量噪声。 现在假定输入信号为： u (t ) = A cos ω t = A Re e jω t ，则稳态输出为：
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项 B1 sin(ωt + θ 1 ) 是所要估计的频率响应。
1 T 1 z z (t ) sin ωtdt = B1 cos θ1 = s ∫ 0 T 2 ● T z = 1 z (t ) cos ωtdt = 1 B sin θ c 1 1 T ∫0 2
{
}
其中： ϕ = arg G ( jω ) 。 令： I c ( N ) = 有： 1 N
∑ y(t ) cos ω t , I s ( N ) =
t =1
N
1 N
∑ y(t ) sin ω t ，将（A）代入，
t =1
N
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∑ M (i − k ) z (i)
4.5.4 用 M 序列作输入信号的一次完成算法
2 1 L 1 1 2 L 1 1 1 −1 Mz ˆ= R M Mz = ● g N P ∆t ( N P + 1)a 2 ∆t M M O M 1 1 L 2
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