求二次函数解析式练习题

求二次函数解析式练习题

1. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ）

A ．abc ＞0

B ．a+b=0

C ．2b+c ＞0

D ．4a+c ＜2b

【答案】D

2.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b 2－4ac >0；②

2a +b <0；③ 4a －2b+c =0；④ a ︰b ︰c = －1︰2︰3.其中正确的是( )

(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④

【答案】D

3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函

数的关系式．

4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数

的关系式．

5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式．

7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．

8.已知二次函数的图象与x 轴交于A,B 两点，与x 轴交于点C 。若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式

9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；

（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；

（3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）

10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；

（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

11.如图，在平面直c bx ax y ++=2角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2

经过A （-2，-4），O （0，0），B (2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM +OM 的最小值．

【答案】 解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点代入c bx ax y ++=2中，得

⎪⎩

⎪⎨⎧==++-=+-0024424c c b a c b a ………………3分 解这个方程组，得21-=a ，b =1，c =0. 所以解析式为x x y +-=22

1 （2）由x x y +-=221=2

1)1(212+--x ，可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB ．

∴OM =BM ，OM +AM =BM +AM

连接AB 交直线x =1于M ，则此时OM +AM 最小．

过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，

AB =24442222=+=+BN AN

因此OM +AM 最小值为24

11.如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置.

（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，

求点P 的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】解：（1）如图，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，则∠BCO ＝90°.

∵∠AOB ＝120°，∴∠BOC ＝60°.

又∵OA ＝OB ＝4

∴OC ＝12OB ＝12

×4＝2，BC ＝OB ·sin60°＝

＝

∴点B 的坐标是(－2，－

（2）∵抛物线过原点O 和点A 、B ，∴可设抛物线解析式为y ＝ax 2+bx..

将A (4，0)，B (－2，－

代入，

得164042a b a b +⎧⎪⎨--⎪⎩＝，＝

解得a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

＝ ∴此抛物线的解析式为y ＝

2+. （3）存在.

如图，抛物线的对称轴是x ＝2，直线x ＝2与x 轴的交点为D .

设点P 的坐标为(2，y )

①若OB ＝OP ，

则22+| y

|2＝42，解得y ＝±

当y ＝

Rt △POD 中，∠POD ＝90°，

sin ∠POD

＝

PD OP ∴∠POD ＝60°.

∴∠POB ＝∠POD +∠AOB ＝60°+120°＝180°， 即P ，O ，B 三点在同一条直线上，

∴y ＝

. ∴点P 的坐标为(2，－

方法一：②若OB ＝PB ，则42+| y

2＝42，解得y ＝－

∴点P 的坐标是(2，－

③若OB ＝PB ，则22+| y |2＝42+| y

|2，解得y ＝－

∴点P 的坐标是(2，－

综上所述，符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－

方法二：在△BOP 中，求得BP ＝4，OP ＝4，又∵OB ＝4，

∴△BOP 为等边三角形.

∴符合条件的点P 只有一个，其坐标为(2，－

15. （2012株洲，24，10分）如图，一次函数122

y x =-+分别交y 轴、x 轴于A ，B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x 轴的直线x=t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ，求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．

【答案】解：（1）易得()()0,2,4,0A B ……1分

将0,2x y ==代入2y x bx c =-++得c=2……2分

将4,0x y ==代入2y x bx c =-++得01642b =-++ 从而得7

,22b c ==∴27

22y x x =-++……3分

（2）由题意易得21

7

,2,,222M t t N t t t ⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……4分 从而227

1

22422MN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭……5分

当=2t 时，MN 有最大值4……6分

（3）由题意可知，D 的可能位置有如图三种情形……7分

当D 在y 轴上时，设D 的坐标为()0,a

由AD =MN 得24a -=，解得126,2a a ==-

从而D 为()0,6或()0,2-……8分由两方程联立解得D 为()4,4……9分

故所求的D 为()0,6，()0,2-或()4,4……10分