机械能守恒定律专题之弹簧模型
专题受力分析之弹簧问题
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先,由于弹簧不断发生形变,导致物体的受力随之不断变化,加速度不断变化,从而使物体的运动状态和运动过程较复杂;其次,这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘;还有,学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法;根据近几年高考的命题特点和知识的考查,就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析;一、弹簧类命题突破要点1．弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力;当题目中出现弹簧时,首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应,在题目中一般应从弹簧的形变分析入手,先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等,找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系,分析形变所对应的弹力大小、方向,结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态;2．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间,在瞬间内形变量可以认为不变,因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变;3．在求弹簧的弹力做功时,因该变力为线性变化,可以先求平均力,再用功的定义进行计算,也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解;同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值;弹性势能的公式,高考不作定量要求,可作定性讨论,因此在求弹力的功或弹性势能的改变时,一般以能量的转化与守恒的角度来求解;二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1．如图1所示,劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接,下端压在桌面上不拴接,整个系统处于平衡状态;现施力将m1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面;在此过程中,m2的重力势能增加了______,m1的重力势能增加了________;例2．如上图2所示,A物体重2N,B物体重4N,中间用弹簧连接,弹力大小为2N,此时吊A物体的绳的拉力为T,B对地的压力为F,则T、F的数值可能是A．7N,0 B．4N,2N C．1N,6N D．0,6N平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来,考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况;只要学生静力学基础知识扎实,学习习惯较好,这类问题一般都会迎刃而解,此类问题相对较简单;2．突变类问题例3．如图3所示,一质量为m的小球系于长度分别为l1、l2的两根细线上,l1的一端悬挂在天花板上,与竖直方向夹角为θ,l2水平拉直,小球处于平衡状态;现将l2线剪断,求剪断瞬时小球的加速度;若将图3中的细线l1改为长度相同、质量不计的轻弹簧,如图4所示,其他条件不变,求剪断细线l2瞬时小球的加速度;突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计,因此可以称为“突变弹力”,轻质弹簧的弹力变化需要一定时间,弹力逐渐减小,称为“渐变弹力”;所以,对于细线、弹簧类问题,当外界情况发生变化时如撤力、变力、剪断,要重新对物体的受力和运动情况进行分析,细线上的弹力可以突变,轻弹簧弹力不能突变,这是处理此类问题的关键;3．碰撞型弹簧问题此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类,而其主要特点是与碰撞问题类似,但是,它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长,而碰撞类问题的作用时间极短; 例4．如图6所示,物体B静止在光滑的水平面上,B的左边固定有轻质的弹簧,与B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞,A、B始终沿统一直线,则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是A．A开始运动时 B．A的速度等于v时C．B的速度等于零时 D．A和B的速度相等时4：机械能守恒型弹簧问题对于弹性势能,高中阶段并不需要定量计算,但是需要定性的了解,即知道弹性势能的大小与弹簧的形变之间存在直接的关系,对于相同的弹簧,形变量一样的时候,弹性势能就是一样的,不管是压缩状态还是拉伸状态;例5．一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为m=12kg的物体A、B,它们竖直静止在水平面上,如图7所示;现将一竖直向上的变力F作用在A上,使A开始向上做匀加速运动,经物体B刚要离开地面;求：⑴此过程中所加外力F的最大值和最小值;⑵此过程中力F所做的功;设整个过程弹簧都在弹性限度内,取g=10m/s2例6．如图8所示,物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水平面上;将一个物体A从物体B的正上方距离B的高度为H0处由静止释放,下落后与物体B碰撞,碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动,在以后的运动中A、B不再分离;已知物体A、B、C的质量均为M,重力加速度为g,忽略物体自身的高度及空气阻力;求：1A与B碰撞后瞬间的速度大小;2A和B一起运动达到最大速度时,物体C对水平地面压力为多大3开始时,物体A从距B多大的高度自由落下时,在以后的运动中才能使物体C恰好离开地面5．简谐运动型弹簧问题弹簧振子是简谐运动的经典模型,有一些弹簧问题,如果从简谐运动的角度思考,利用简谐运动的周期性和对称性来处理,问题的难度将大大下降;例7．如图9所示,一根轻弹簧竖直直立在水平面上,下端固定;在弹簧正上方有一个物块从高处自由下落到弹簧上端O,将弹簧压缩;当弹簧被压缩了x0时,物块的速度减小到零;从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中,物块的加速度大小a随下降位移大小x变化的图像,可能是下图中的例8．如图10所示,一质量为m的小球从弹簧的正上方H高处自由下落,接触弹簧后将弹簧压缩,在压缩的全过程中忽略空气阻力且在弹性限度内,以下说法正确的是A．小球所受弹力的最大值一定大于2mgB．小球的加速度的最大值一定大于2gC．小球刚接触弹簧上端时动能最大D．小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大6．综合类弹簧问题例9．如图12所示,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态;一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩;开始时各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向;现在挂钩上升一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升;若将C换成另一个质量为的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的大小是多少已知重力加速度为g;综合类弹簧问题总结：综合类弹簧问题一般物理情景复杂,涉及的物理量较多,思维过程较长,题目难度较大;处理这类问题最好的办法是前面所述的“肢解法”,即把一个复杂的问题“肢解”成若干个熟悉的简单的物理情景,逐一攻破;这就要求学生具有扎实的基础知识,平时善于积累常见的物理模型及其处理办法,并具有把一个物理问题还原成物理模型的能力;。
高中物理重要方法典型模型突破14-模型专题(6)-弹簧模型(解析版)
专题十四 模型专题（6） 弹簧模型【重点模型解读】弹簧问题是高考命题的热点，历年全国以及各地的高考命题中以弹簧为情景的选择题、计算题等经常出现，很好的考查了学生对静力学问题、动力学问题、能量守恒问题、功能关系问题等知识点的理解，考查了对于一些重要方法和思想的运用。
1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。
在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =-（21kx 22-21kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =21kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.4.典型实例：图示或释义 规律或方法与弹簧相关的平衡问题弹簧类平衡问题常常以单一问题出现，涉及的知识主要是胡克定律、物体的平衡条件，求解时要注意弹力的大小与方向总是与弹簧的形变相对应，因此审题时应从弹簧的形变分析入手，找出形变量x 与物体空间位置变化的对应关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来列式求解与弹簧相关的动力学问题 (1)弹簧(或橡皮筋)恢复形变需要时间，在瞬时问题中，其弹力的大小往往可以看成不变，即弹力不能突变。
而细线(或接触面)是一种不发生明显形变就能产生弹力的物体，若剪断(或脱离)后，其中弹力立即消失，即弹力可突变，一般题目中所给细线和接触面在没有特殊说明时，均可按此模型处理(2)对于连接体的加速问题往往先使用整体法求得其加速度，再用隔离法求得受力少的物体的加速度，并利用加速度的关系求解相应量与弹簧相关的功能问题弹簧连接体是考查功能关系问题的经典模型，求解这类问题的关键是认真分析系统的物理过程和功能转化情况，再由动能定理、机械能守恒定律或功能关系列式，同时注意以下两点：①弹簧的弹性势能与弹簧的规格和形变程度有关，对同一根弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只要形变量相同，则其储存的弹性势能就相同；②弹性势能公式E p ＝12kx 2在高考中不作要求(除非题中给出该公式)，与弹簧相关的功能问题一般利用动能定理或能量守恒定律求解 【典例讲练突破】【例1】如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧．在这过程中下面木块移动的距离为( )A.m1g/k1B.m2g/k2C.m1g/k2D.m2g/k2【解析】此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题．题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出．注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至m1离开上面的弹簧．开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短(m1 + m2)g／k2，而m l刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被压缩，比原长短m2g／k2，因而m2移动△x＝(m1 + m2)·g／k2 -m2g／k2＝m l g／k2．参考答案:C【拓展】此题若求m l移动的距离又当如何求解?【练1】如图所示，A、B两物体静止在粗糙水平面上，其间用一根轻弹簧相连，弹簧的长度大于原长。
高中物理专题复习之弹簧模型中的极值问题
在高考复习中，常常遇到有关“弹簧类”问题，由于弹簧总是与其他物体直接或间接地联系在一起，弹簧与其“关联物”之间总存在着力、运动状态、动量、能量方面的联系，因此学生普遍感到困难，本文就此类问题作一归类分析。
一、最大、最小拉力例1. 一个劲度系数为k ＝600N/m 的轻弹簧，两端分别连接着质量均为m ＝15kg 的物体A 、B ，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图1所示，现加一竖直向上的外力F 在物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.5s ，B 物体刚离开地面（设整个加速过程弹簧都处于弹性限度内，且g ＝10m/s 2）。
求此过程中所加外力的最大和最小值。
图1解析：开始时弹簧弹力恰等于A 的重力，弹簧压缩量∆l mg km ==025.，0.5s 末B 物体刚要离开地面，此时弹簧弹力恰等于B 的重力，∆∆l l m '.==025，故对A 物体有2122∆l at =，代入数据得a m s =42/。
刚开始时F 为最小且F ma N N min ===15460×，B 物体刚要离开地面时，F 为最大且有F mg mg ma max --=，解得F mg ma N max =+=2360。
二、最大高度例2. 如图2所示，质量为m 的钢板与直立弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x 0。
一物体从钢板正上方距离为30x 的A 处自由下落打在钢板上，并立即与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，已知物块质量也为m 时，它们恰能回到O 点，若物体质量为2m 仍从A 处自由下落，则物块与钢板回到O 点时还有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。
图2解析：物块碰撞钢板前作自由落体运动，设v 0表示物块与钢板碰撞时的速度，则：v gx 006= ①物块与钢板碰撞后一起以v 1速度向下运动，因碰撞时间极短，碰撞时遵循动量守恒，即：mv mv 012= ②刚碰完时弹簧的弹性势能为E p ，当它们一起回到O 点时，弹簧无形变，弹性势能为0，根据机械能守恒有：E m v mgx p +=1222120() ③ 设v 2表示质量为2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度，由动量守恒有：2302mv mv = ④碰撞后，当它们回到O 点时具有一定速度v ，由机械能守恒定律得：E m v mgx m v p +=+12331232202()() ⑤ 当质量为2m 的物块与钢板一起回到O 点时两者分离，分离后，物块以v 竖直上升，其上升的最大高度：h v g=22 ⑥ 解①~⑥式可得h x =02。
经典高三物理模型水平方向上的碰撞及弹簧模型 知识点分析
水平方向上的碰撞及弹簧模型［模型概述］在应用动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化等规律考查学生的综合应用能力时，常有一类模型，就是有弹簧参与，因弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，所以分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。
［模型讲解］一、光滑水平面上的碰撞问题例1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量都为m，现B球静止，A球向B球运动，发生正碰。
已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为EP，则碰前A球的速度等于（）A.B.C.D.解析：设碰前A球的速度为v0，两球压缩最紧时的速度为v，根据动量守恒定律得出，由能量守恒定律得，联立解得，所以正确选项为C。
二、光滑水平面上有阻挡板参与的碰撞问题例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。
这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图1所示，C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P 发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。
图1（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。
（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。
解析：（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为v1，由动量守恒得当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2，由动量守恒得，由以上两式求得A的速度。
（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP，由能量守恒，有撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D的动能，设D的速度为v3，则有以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度，当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v4，由动量守恒得当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP”，由能量守恒，有解以上各式得。
专题29机械能+弹簧模型-2023年高考物理机械能常用模型最新模拟题精练(解析版)
高考物理《机械能》常用模型最新模拟题精练专题29机械能+弹簧模型一．选择题1.（2023山东济南期末）如图所示，三个相同的木块a 、b 、c 通过两个相同的轻弹簧P 、Q 和一段轻绳连接，其中a 放在光滑水平桌面上。
每个木块的重力均为10N ，轻弹簧的劲度系数均为500N/m 。
开始时P 弹簧处于原长，轻绳好伸直，三个木块均处于静止状态。
现用水平力F 缓慢地向左拉P 弹簧的左端，直到木块c 刚好离开水平地面。
从开始到木块c 刚好离开地面的过程中，下列说法正确的是（）A.P 弹簧的左端向左移动的距离是4cmB.P 弹簧的左端向左移动的距离是8cmC.水平力F 做的功等于P 弹簧增加的弹性势能D.轻绳对木块b 做的功等于木块b 增加的重力势能【参考答案】BD【名师解析】没有施加拉力时，对Q 弹簧处于压缩状态，则有1mg kx =解得12cmx =木块c 刚好离开地面时，Q 弹簧处于拉伸状态，则有2mg kx =解得22cmx =此时P 弹簧处于拉伸状态，则有3F kx =对a 分析有F =T对b 分析有2T mg kx =+解得34cmx =则P 弹簧的左端向左移动的距离是1238cmx x x x =++=A 错误，B 正确；根据上述，Q 弹簧初状态的压缩量与末状态的拉伸量相等，则始末状态Q 弹簧的弹性势能不变，木块b 重力势能增大，P 弹簧弹性势能增大，根据功能关系可知水平力F 做的功等于P 弹簧增加的弹性势能与木块b 增加的重力势能之和，C 错误；由于Q 弹簧初状态的压缩量与末状态的拉伸量相等，则始末状态Q 弹簧的弹性势能不变，木块b 重力势能增大，则轻绳对木块b 做的功等于木块b 增加的重力势能，D 正确。
2.（2022北京东城二模）一根劲度系数为k 的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物块。
用一水平木板将物块托住，使弹簧处于原长状态，如图所示。
现让木板由静止开始向下匀加速运动，加速度大小2g a =，忽略一切阻力。
弹簧振子模型解题赏析
OAD h m 弹簧振子模型解题赏析弹簧振子问题中涉及力和位移、力和运动、功和能等关系问题，能很好的考查学生对相关知识点的掌握及分析问题的能力以及迁移能力。
基本知识点：（1）平衡位置处合力为零，加速度为零，速度达到最大。
（2）正负最大位移处合力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。
（3）振动过程具有对称性 1.如图，在一直立的光滑管内放置一劲度系数为k 的轻质弹簧，管口上方O 点与弹簧上端初位置A 的距离为h ，一质量为m 的小球从O 点由静止下落，压缩弹簧至最低点D ，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。
小球自O 点下落到最低点D 的过程中，下列说法中正确的是A ．小球最大速度的位置随h 的变化而变化B ．小球的最大速度与h 无关C ．小球的最大加速度大于重力加速度D ．弹簧的最大压缩量与h 成正比答案：C 【解析】：小球从O 到A 做自由落体运动，刚接触弹簧时加速度为g 且有一定的速度，此后弹力逐渐增大合力逐渐减小，小球做加速度减小的加速运动，直至弹力与重力相等时速度达到最大故最大速度的位置为平衡位置与初始高度h 无关故A 错误。
因系统的机械能守恒故初始高度h 越大其最大速度越大故B 错误。
若小球从A 处由静止下落则初速度为零加速度为g 由对称性可知其最低点比D 点要高，此时加速度最大为g 方向向上；而此问题小球下落到A 时已有一定的速度故运动到最低点D 时其最大加速度要比重力加速度大，故C 正确。
最大压缩量与h 有关但不成正比故D 错误。
2．如图2所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是( )A ．小球的速度一直减小B ．小球的加速度先减小后增大C ．小球加速度的最大值一定大于重力加速度D ．在该过程的位移中点上小球的速度最大 图2答案：BC 【解析】：小球接触弹簧后，所受弹力逐渐增大，弹力大于重力时，小球加速度向下，仍加速．当弹力大于重力，合力向上，小球向下减速运动，加速度变大，速度变小，直到速度为零，可知BC 正确．3．如图所示，轻质弹簧上端悬挂于天花板，下端系有质量为M 的圆板，处于平衡状态．开始一质量为m 的圆环套在弹簧外，与圆板距离为h ，让环自由下落撞击圆板，碰撞时间极短，碰后圆环与圆板共同向下运动，使弹簧伸长。
机械能守恒弹簧问题
解析（1）C物体下降过程中，当C物体的加速度为0时，下落速 度最大， 对C： F=2.5mg 对A、B和弹簧整体：N=(2m+3m)g-F 则地面对B物体的支持力：N=2.5mg
（2）未加C时，A处于静止状态，设弹簧压缩量为x1 则有： 2mg=kx1 得 x1 = C下落速度最大时，设此时弹簧伸长量为x2 对A：：kx2=F-2mg 得 x2 = 所以C物体下降的高度和A物体上升的高度都为 h=x1+x2= 由系统机械能守恒定律得：
C
二、举例应用
2、如图所示，轻弹簧下端挂一质量为m的物体，另一端 悬挂于o点，现将物体拉到与悬点等高的位置并保持弹簧 处于原长状态，放手后物体向下运动.在运动到悬点o正下 方的过程中，（不计空气阻力）下列说法正确的是（ ） a．物体和地球组成的系统机械能守恒 b．物体和地球组成的系统机械能在增加
c．物体、地球和弹簧三者组成的系统机械能守恒
4、弹力做功与弹性势能的关系：
做功的特点：与路径无关，只取决于初末状态弹簧形变量的 大小。这一点对于计算弹力的功和弹性势能的改变是非常重 要的，必须引起重视。
二、举例应用
1、如图所示,一轻质弹簧竖直放置,下端固定在水平面上, 上端处于a位置,当一重球放在弹簧上端静止时,弹簧上端 被压缩到b位置.现将重球(视为质点)从高于a位置的c位置 沿弹簧中轴线自由下落,弹簧被重球压缩到最低位置d.以 下关于重球运动过程的正确说法应是( ). (A)重球下落压缩弹簧由a至d的过程中, 重球作减速运动 (B)重球下落至b处获得最大速度 (C)由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功 等于小球由c下落至d处时重力势能减少量 (D)重球在b位置处具有的动能等于小球由c下落 到b处减少的重力势能 答案B
高考物理一轮复习讲义：专题25 动量守恒定律及应用二“滑块-弹簧”模型
高三一轮同步复习专题25 动量守恒定律及应用二——“滑块-弹簧”模型【模型归纳】【典例分析】例1、如图所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块甲、乙连接，静止在光滑的水平面上。
现在使甲瞬时获得水平向右的速度v0=5m/s，当甲物体的速度减小到1m/s 时，弹簧最短。
下列说法正确的是（）A．紧接着甲物体将开始做减速运动B．紧接着甲物体将开始做加速运动C．甲乙两物体的质量之比m1∶m2=1∶3D．甲乙两物体的质量之比m1∶m2=1∶4【变式训练1】如图所示，质量为m1=2 kg的小球P从离水平面高度为h=0.8m的光滑斜面上滚下，与静止在光滑水平面上质量为m Q=2kg的带有轻弹簧的滑块Q碰撞，g=10m/s2，下列说法正确的是（）A．P球与滑块Q碰撞前的速度为5m/sB．P球与滑块Q碰撞前的动量为16kg·m/sC．它们碰撞后轻弹簧压缩至最短时的速度为2m/sD．碰撞过程中动能守恒【变式训练2】如图甲所示，一轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上。
现使A瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（）A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于伸长状态B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态恢复到原长C ．两物体的质量之比为12:1:3m m =D ．在t 2时刻A 与B 的动能之比为12:1:8k kE E =【变式训练3】如图所示，质量为m 1=0.95kg 的小车A 静止在光滑地面上，一质量为m 3=0.05kg 的子弹以v 0=100m/s 的速度击中小车A ，并留在其中，作用时间极短。
一段时间后小车A 与另外一个静止在其右侧的，质量为m 2=4kg 的小车B 发生正碰，小车B 的左侧有一固定的轻质弹簧，碰撞过程中，弹簧始终未超弹性限度，则下列说法错误的是（ ）A ．小车A 与子弹的最终速度大小为3m/sB ．小车B 的最终速度大小为2m/sC ．弹簧最大的弹性势能为10JD ．整个过程损失的能量为240J【变式训练4】如图所示，质量M=4kg 的滑板B 静止放在光滑水平面上，其右端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由端C 到滑板左端的距离L=0.5m 这段滑板与木块A （可视为质点）之间的动摩擦因数μ=0.2，而弹簧自由端C 到弹簧固定端D 所对应的滑板上表面光滑。
2025高考物理总复习“滑块—弹簧”模型和“滑块—斜(曲)面”模型
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提升素养能力
目录
提升素养能力
A级 基础对点练 1.(2024·广东东莞高三检测)如图1所示，弹簧一端固定在竖直墙上，质量为m的光
滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量为2m的小球
从槽高h处自由下滑，则下列说法正确的是( C )
A.在下滑过程中，小球和槽组成的系统动量守恒
目录
研透核心考点
1.模型图示
模型二 “滑块—斜(曲)面”模型
目录
研透核心考点
2.模型特点 (1)上升到最大高度：m 与 M 具有共同水平速度 v 共，此时 m 的竖直速度 vy＝0。 系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，12mv20＝12(M＋m)v2共 ＋mgh，其中 h 为滑块上升的最大高度，不一定等于弧形轨道的高度(相当于完 全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为 m 的重力势能)。 (2)返回最低点：m 与 M 分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机 械能守恒，12mv20＝21mv21＋12Mv22(相当于弹性碰撞)。
01 02 03 04 05 06 07 08 09
目录
提升素养能力
5.如图5所示，光滑弧形滑块P锁定在光滑水平地面上，其弧形底端切线水平，小
球Q(视为质点)的质量为滑块P的质量的一半，小球Q从滑块P顶端由静止释放，
Q离开P时的动能为Ek1。现解除锁定，仍让Q从滑块顶端由静止释放，Q离开P
时的动能为Ek2，Ek1和Ek2的比值为( C )
3
C.16E
D.E
图2
01 02 03 04 05 06 07 08 09
目录
提升素养能力
解析 设 P 物体的初速度为 v0，由已知可得12mv20＝E，P 与 Q 碰撞过程中，两 物体速度相等时，弹簧压缩量最大，此时弹性势能最大，整个过程中，满足动 量守恒 mv0＝(m＋3m)v1，最大弹性势能 Ep＝12mv20－21×(m＋3m)v21，解得 Ep＝ 38mv20＝34E，故 A 正确。
动量守恒之弹簧物块连接模型 高三物理一轮复习专题
(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？
(2)系统中弹性势能的最大值是多少？
答案(1)3 m/s(2)12 J
解析(1)弹簧压缩至最短时，弹性势能最大，
由动量守恒定律得：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA
解得vA＝3 m/s
(2)B、C碰撞过程系统动量守恒
mBv＝(mB＋mC)vC
5（2021湖南卷8，5分）.如图（a），质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力 作用在A上，系统静止在光滑水平面上（B靠墙面），此时弹簧形变量为 。撤去外力并开始计时，A、B两物体运动的 图像如图（b）所示， 表示0到 时间内 的 图线与坐标轴所围面积大小， 、 分别表示 到 时间内A、B的 图线与坐标轴所围面积大小。A在 时刻的速度为 。下列说法正确的是（ ）
故vC＝2 m/s
碰后弹簧压缩到最短时弹性势能最大，
故Ep＝ mAv2＋ (mB＋mC)v － (mA＋mB＋mC)v ＝12 J
三.举一反三，巩固练习
1.（2021全国乙卷14，6分）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统（ ）
C．小车C先向左运动后向右运动
D．小车C一直向右运动直到静止
答案D
解析A、B两物体和弹簧、小车C组成的系统所受合外力为零，所以系统的动量守恒．在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg知，A、B两物体所受的摩擦力大小不等，所以A、B两物体组成的系统合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合外力向右，会向右运动，因滑动摩擦力做负功，则系统的机械能不守恒，最终整个系统将静止，故A、B、C错误，D正确．
机械能守恒定律专题之弹簧模型
机械能守恒定律应用之 弹簧专题1.如图所示，光滑斜面的顶端固定一轻质弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则小球在C 点时弹簧的弹性势能是 ( ) A ．1/2m v 2 B ．1/2m v 2+mgh C ．1/2m v 2－mgh D ．mgh2. 如图甲，倾角为θ的光滑斜面上放一轻质弹簧，其下端固定，静止时上端位置在B 点，在A 点放一质量m=2kg 的小物块，小物块自由释放，在开始运动的一段时间内v ﹣t 图如图乙所示，小物块在0.4s 时运动到B 点，在0.9s 时到达C 点，BC 的距离为1.2m （g 取10m/s 2）．由图知（ ） A ． 斜面倾角6πθ=B ．C 点处弹簧的弹性势能为16JC ． 物块从B 运动到C 的过程中机械能守恒D ． 物块从C 回到A 的过程中，加速度先增大后减小，再保持不变 3. 如图，倾角为a 的斜面体放在粗糙的水平面上，质量为m 的物体A 与一劲度系数为k 的轻弹簧相连。
现用拉力F 沿斜面向上拉弹簧，使物体在光滑斜面上匀速上滑，上滑的高度为h ，斜面体始终处于静止状态。
在这一过程中 （ ）A ．弹簧的伸长量为kmg F αsin -B ．拉力F 做的功为αsin FhC ．物体A 的机械能增加αsin mghD ．斜而体受地面的静摩擦力大小等于αcos F4. 如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中（弹簧保持竖直），下列关于能的叙述正确的是( )A ．弹簧的弹性势能先增大后减小B ．小球的动能先增大后减小C ．小球的重力势能先增大后减小D ．机械能总和先增大后减小 5. 如图所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球接触弹簧并将弹簧压缩至最低点(形变在弹性限度内)，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后又下落，如此反复。
专题十 “滑块—斜(曲)面”模型和“滑块—弹簧”模型
例1 [2022·湖南株洲模拟] 如图，在光滑水平面上通过锁定装置固定一辆质量 的小车，小车左边部分为半径 的四分之一光滑圆轨道，轨道末端平滑连接一长度 的水平粗糙面，粗糙面右端是一挡板.一质量 的小物块（可视为质点）从小车左侧圆轨道顶端 点由静止释放，小物块与小车粗糙面间的动摩擦因数 ，重力加速度 取 .
A
A. B. C. D.
[解析] 设铁块与木板共速时速度大小为 ，铁块相对木板向右运动的最大距离为 ，铁块与木板之间的滑动摩擦力大小为 ，铁块压缩弹簧使弹簧最短时，由能量守恒定律得 ，由动量守恒定律得 ，从铁块开始运动到最后停在木板最左端过程，由功能关系得 ，联立解得 ，故选项A正确.
变式2 [2022·山东济南模拟] （多选）如图所示，质量均为 的物块 、 与劲度系数为 的轻弹簧固定拴接，竖直静止在水平地面上.物块 正上方有一个质量也为 的物块 ，将 由静止释放，与 碰撞后立即粘在一起，碰撞时间极短，之后的运动过程中物块 恰好没有脱离地面.忽略空气阻力，轻弹簧足够长且始终在弹性限度内，重力加速度为 .以下说法正确的是( )
放.不计空气阻力，在小球下滑至槽底端 点的过程中，下列说法正确的是( )
[解析] 若槽不固定，小球和槽组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒，A错误；若槽不固定，对小球和槽组成的系统水平方向动量守恒，则 ，解得小球水平方向移动的位移为 ，B正确；槽固定时小球滑到 点时的速度 ，槽不固定情形下，由动量守恒和能量关系可知 ， ，解得 ， ，则槽固定和不固定情形下，小球滑到 点时的速度之比为 ，C正确；
（1）在物体1从被释放到与物体2相碰的过程中，求滑道向左运动的距离；
专题受力分析之弹簧问题
弹簧类问题的几种模型及其处理方法学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面：首先,由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化,加速度不断变化,从而使物体的运动状态和运动过程较复杂.其次,这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘。
还有,学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法。
根据近几年高考的命题特点和知识的考查，就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析。
一、弹簧类命题突破要点１.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。
当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向,结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态.２．因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此,在分析瞬时变化时,可以认为弹力大小不变,即弹簧的弹力不突变。
3．在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化,可以先求平均力，再用功的定义进行计算,也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点:弹力做功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式，高考不作定量要求,可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.二、弹簧类问题的几种模型1．平衡类问题例1.如图1所示,劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、ｍ2的物块拴接,劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块m2拴接,下端压在桌面上(不拴接），整个系统处于平衡状态。
现施力将ｍ1缓慢竖直上提,直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面。
在此过程中,ｍ2的重力势能增加了_＿__＿_,m1的重力势能增加了__＿__＿＿_。
例2．如上图２所示，A物体重２N，B物体重4Ｎ,中间用弹簧连接,弹力大小为2Ｎ，此时吊A物体的绳的拉力为Ｔ，B对地的压力为F,则Ｔ、Ｆ的数值可能是Ａ．7N，0 B.4N，2N C.1N，６N Ｄ．０,6N平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况.只要学生静力学基础知识扎实,学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单。
弹簧碰撞模型
模型分析1．注意弹簧弹力特点及运动过程，弹簧弹力不能瞬间变化。
2．弹簧连接两种形式：连接或不连接。
连接：可以表现为拉力和压力，从被压缩状态到恢复到原长时物体和弹簧不分离，弹簧的弹力从压力变为拉力。
不连接：只表现为压力，弹簧恢复到原长后物体和弹簧分离，物体不再受弹簧的弹力作用。
3．动量和能量问题：动量守恒、机械能守恒，动能和弹性势能之间转化，等效于弹性碰撞。
弹簧被压缩到最短或被拉伸到最长时，与弹簧相连的物体共速，此时弹簧具有最大的弹性势能，系统的总动能最小；弹簧恢复到原长时，弹簧的弹性势能为零，系统具有最大动能。
题型1．弹簧直接连接的两物体间的作用.【例1】质量分别为3m 和m 示.后来细线断裂，质量为m （1）质量为3m 的物体最终的速度； （2）弹簧的这个过程中做的总功.()()202021321221v m m v m v +⋅-⋅+⨯ 所以弹性势能：2032mv E P =【点评】本题考查动量守恒定律和能量守恒定律的应用，解答的关键是正确确定初末状态及弹簧弹开过程的能量转化。
【例2】【2015届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷理科综合能力测试】如图所示，一辆质量M =3kg 的小车A 静止在水平面上，小车上有一质量m =lkg 的小物块B ，将一轻质弹簧压缩并锁定，此时弹簧的弹性势能为p E =6J ，小物块与小车右壁距离为l =0.4m ，解除锁定，小物块脱离弹簧后与小车右壁发生碰撞，碰撞过程无机械能损失，不计一切摩擦。
求：①从解除锁定到小物块与小车右壁发生第一次碰撞，小车移动的距离； ②小物块与小车右壁发生碰撞后，小物块和小车各自的速度大小和方向。
【答案】①0.1m ②小车速度方向向右为1m/s ，小物块速度方向向左为3m/s 解得s/m 3s /m 121-==v v 或s/m 3s /m 1-'2'1==v v碰后小车速度方向向右为1m/s ，小物块速度方向向左为3m/s【点评】本题考查动量守恒定律、能量守恒定律的结合应用，明确研究的系统和初末状态是正确解答的关键。
微专题一动量守恒之弹簧模型
一、弹簧模型
1.对于光滑水平面上的弹簧类问题，在作用过程中，系统所受合外力为零，
满足动量守恒条件；
2.系统只涉及弹性势能、动能，因此系统机械能守恒；
3.弹簧压缩至最短或拉伸到最长时，弹簧连接的两物体共速，此时弹簧的弹
性势能最大。
4.弹簧从原长到最短或最长相当于完非，从原长再到原长相当于完弹。
1
解得 v3＝ v1＝1 m/s
6
由机械能守恒定律有
1
1
2
Ep＝2(mA＋mB)v2 －2(mA＋mB＋mC)v32
解得Ep＝3 J
被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离
弹簧，设此时滑块A、B的速度为v4，滑块C的
速度为 v5 ，由动量守恒定律和机械能守恒定
律有
(mA＋mB)v2＝(mA＋mB)v4＋mCv5
5.具体过程及规律如下：
vB′是滑块B全程最大的速度，若A未与弹簧连接，则3状态是滑块A脱离弹
簧的时刻，脱离时的速度为vA′，其大小方向如何由mA、mB决定。
6.A、B运动过程的v-t图像如图所示。
1.A、B 两小球静止在光滑水平面上，用轻质弹簧相连接，A、B 两球
的质量分别为 mA 和 mB(mA <mB)。若使A球获得初速度 v (图甲)，弹
C.两物块的质量之比为m1∶m2＝1∶2
D.在t2时刻A与B的动能之比Ek1∶Ek2＝1∶8
3.如图所示，质量为2m的小球B与轻质弹簧连接后静止于光滑水平面上，质量为m的小球A
以初速度v0向右运动逐渐压缩弹簧，A，B通过弹簧相互作用一段时间后A球与弹簧分离。若
以水平向右为正方向，且A球与弹簧分离时A，B小球的动量分别为pA和pB，运动过程中弹簧
第一章 专题强化 弹簧—小球模型 滑块—斜(曲)面模型
专题强化 弹簧—小球模型 滑块—斜(曲)面模型[学习目标] 1.进一步理解动量守恒定律、动能定理、能量守恒定律的内容及含义.2.会应用动量观点和能量观点分析这两类模型．一、弹簧—小球模型1．对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统，在相互作用的过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒定律．2．在能量方面，由于弹簧发生形变，具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能的改变量．3．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度，此时弹性势能为零．例1 如图1所示，光滑水平面上静止着一质量为m 2的刚性小球，小球与水平轻质弹簧相连，另有一质量为m 1的刚性小球以速度v 0向右运动，并与弹簧发生相互作用，两球半径相同，求：图1(1)弹簧弹性势能的最大值；(2)弹簧第一次恢复原长时，m 1、m 2两球的速度大小． 答案 (1)m 1m 2v 022(m 1＋m 2)(2)(m 1－m 2)v 0m 1＋m 2 2m 1v 0m 1＋m 2解析 (1)两球速度相同时，弹簧弹性势能最大．以v 0的方向为正方向， 由动量守恒定律得m 1v 0＝(m 1＋m 2)v 由能量守恒得12m 1v 02＝12(m 1＋m 2)v 2＋E pmax解得E pmax ＝m 1m 2v 022(m 1＋m 2)(2)从m 1与弹簧接触到弹簧第一次恢复原长，整个过程两球相当于发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律得： m 1v 0＝m 1v 1′＋m 2v 2′ 12m 1v 02＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 解得v 1′＝(m 1－m 2)v 0m 1＋m 2v 2′＝2m 1v 0m 1＋m 2.例2 如图2所示，用水平轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A 、B 两物块都以v ＝6 m/s 的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg 的物块C 静止在前方，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动．在以后的运动中，求：图2(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A 的速度多大？ (2)弹簧弹性势能的最大值是多大？ (3)A 的速度有可能向左吗？为什么？ 答案 (1)3 m/s (2)12 J (3)见解析解析 (1)当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，以v 的方向为正方向，有：(m A ＋m B )v ＝(m A ＋m B ＋m C )v A ′ 解得v A ′＝3 m/s.(2)B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为v ′，则：m B v ＝(m B ＋m C )v ′ 解得：v ′＝2 m/s设弹簧的弹性势能最大为E p ，根据能量守恒： E p ＝12(m B ＋m C )v ′2＋12m A v 2－12(m A ＋m B ＋m C )v A ′2解得E p ＝12 J.(3)A 、B 、C 组成的系统动量守恒m A v ＋m B v ＝m A v A ＋(m B ＋m C )v B设A 的速度向左，有v A <0，v B >4 m/s 则作用后A 、B 、C 动能之和：E k ＝12m A v A 2＋12(m B ＋m C )v B 2>12(m B ＋m C )v B 2>48 J实际上系统的总机械能为： E ＝E p ＋12(m A ＋m B ＋m C )v A ′2＝12 J ＋36 J ＝48 J根据能量守恒定律，E k >E 是不可能的，所以A 不可能向左运动． 二、滑块—斜(曲)面模型对于滑块—斜(曲)面模型，系统所受合外力不为零，但常在某一方向上的合力为零，则在该方向上系统动量守恒，再根据能量分析情况，结合能量规律列方程，联立求解．例3 如图3所示，有一质量为m 的小球，以速度v 0滑上静置于光滑水平面上的光滑圆弧轨道．已知圆弧轨道的质量为2m ，小球在上升过程中始终未能冲出圆弧，重力加速度为g ，求：图3(1)小球在圆弧轨道上能上升的最大高度；(用v 0、g 表示) (2)小球离开圆弧轨道时的速度大小． 答案 (1)v 023g (2)v 03解析 (1)小球在圆弧轨道上上升到最高时两物体速度相同，系统在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，有：m v 0＝3m v ，得v ＝v 03根据机械能守恒得： 12m v 02＝12×3m v 2＋mgh 解得：h ＝v 023g(2)小球离开圆弧轨道时，根据动量守恒， 则有：m v 0＝m v 1＋2m v 2 根据机械能守恒，则有：12＝12m v12＋12×2m v222m v0联立以上两式可得：v1＝－1v0，3则小球离开圆弧轨道时的速度大小为v03.例4如图4，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.图4(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？答案(1)20 kg(2)不能解析(1)规定向右的方向为正方向．冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得m2v0＝(m2＋m3)v12＝12(m2＋m3)v2＋m2gh2m2v0式中v0＝－3 m/s为冰块推出时的速度．联立两式并代入题给数据得m3＝20 kg.(2)设小孩推出冰块后小孩的速度为v1，由动量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0，代入数据得v1＝1 m/s设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒定律和机械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3.12＝12m2v22＋12m3v322m2v0联立两式并代入数据得v2＝1 m/s由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩．1．(弹簧—小球模型)如图5所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 质量相等，Q 与水平轻质弹簧相连．设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞．在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于( )图5A ．P 的初动能B ．P 的初动能的12C ．P 的初动能的13D ．P 的初动能的14答案 B解析 把小滑块P 和Q 以及弹簧看成一个系统，系统的动量守恒．在整个碰撞过程中，当小滑块P 和Q 的速度相等时，弹簧的弹性势能最大．设小滑块P 的初速度为v 0，两滑块的质量均为m ，以v 0的方向为正方向，则m v 0＝2m v ，得v ＝v 02，所以弹簧具有的最大弹性势能E pm ＝12m v 02－12×2m v 2＝14m v 02＝12E k0，故B 正确．2．(滑块—曲面模型)(多选)(2020·马鞍山二中期末)如图6所示，质量为M 的小车静止于光滑的水平面上，小车的上表面和固定在小车上的14圆弧轨道相切且都光滑，一个质量为m 的小球以速度v 0水平冲上小车，当小球返回左端脱离小车时，下列说法正确的是( )图6A ．小球一定沿水平方向向左做平抛运动B ．小球可能沿水平方向向左做平抛运动C ．小球可能沿水平方向向右做平抛运动D ．小球可能做自由落体运动 答案 BCD解析 小球冲上小车，又返回，到离开小车的整个过程，系统水平方向动量守恒，取水平向右为正方向．由动量守恒定律得m v 0＝M v ＋m v ′ 由机械能守恒有：12m v 02＝12M v 2＋12m v ′2联立得，v ′＝m －Mm ＋Mv 0如果m <M ，v ′与v 0方向相反，小球离开小车后向左做平抛运动；如果m ＝M ，v ′＝0，小球离开小车后做自由落体运动；如果m >M ，v ′与v 0方向相同，小球离开小车后向右做平抛运动，所以B 、C 、D 选项正确．3．(弹簧—小球模型)如图7，在光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、B 、C .B 的左侧固定一水平轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A 以速度v 0向B 运动，压缩弹簧；当A 、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B 和C 碰撞过程时间极短，求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中．图7(1)整个系统损失的机械能； (2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能． 答案 (1)116m v 02 (2)1348m v 02解析 A 、B 相互作用过程动量守恒、机械能也守恒，而B 、C 相碰粘接在一起时，动量守恒，机械能不守恒，系统产生的内能则为B 、C 相碰过程中损失的机械能．当A 、B 、C 速度相等时，弹性势能最大．(1)从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得m v 0＝2m v 1①此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后瞬间的速度为v 2，损失的机械能为ΔE .对B 、C 组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得 m v 1＝2m v 2②12m v 12＝ΔE ＋12(2m )v 22③ 联立①②③式得ΔE ＝116m v 02.④(2)由②式可知v2<v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p.由动量守恒定律和能量守恒定律得m v0＝3m v3⑤12－ΔE＝12(3m)v32＋E p⑥2m v0联立④⑤⑥式得E p＝132.48m v01．如图1所示，水平弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上h高处开始自由下滑()图1A．在以后的运动过程中，小球和槽组成的系统动量始终守恒B．在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功C．被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动D．被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽上h高处答案 C解析小球从弧形槽上下滑过程中，小球和槽组成的系统在水平方向上动量守恒，但是，当小球接触弹簧的过程中，弹簧会对小球施加一个水平向左的外力，故在此运动过程中小球和槽组成的系统动量不守恒，A错误；小球在弧形槽中下滑过程中和弧形槽之间产生了一个垂直于接触面的弹力，而且在弹力水平分力的方向上两者都发生了位移，故小球和弧形槽之间的相互作用力会做功，B错误；小球下滑时，与光滑弧形槽在水平方向上动量守恒，所以小球离开光滑弧形槽时，两者速度大小相等、方向相反，因此，小球被弹簧反弹后，速度与光滑弧形槽速度相等，且都做匀速直线运动，小球不能追上光滑弧形槽，C正确，D错误．2．(多选)如图2所示，与水平轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上，物体B沿水平方向向右运动，跟轻弹簧相碰．在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是()图2A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减少D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零答案ABD解析物体B与弹簧接触时，弹簧发生形变，产生弹力，可知B做减速运动，A做加速运动，当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，故A正确．A、B和弹簧组成的系统能量守恒，弹簧压缩量最大时，弹性势能最大，此时A、B的动能之和最小，故B正确．弹簧在压缩的过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，故C错误．当两者速度相等时，弹簧的压缩量最大，然后A继续加速，B继续减速，弹簧逐渐恢复原长，当弹簧恢复原长时，A的速度最大，此时弹簧的弹性势能为零，故D正确．3．(2020·日照市3月模拟)A、B两小球静止在光滑水平面上，用水平轻弹簧相连接，A、B 两球的质量分别为m和M(m<M)．若使A球获得瞬时速度v(如图3甲)，弹簧压缩到最短时的长度为L1；若使B球获得瞬时速度v(如图乙)，弹簧压缩到最短时的长度为L2，则L1与L2的大小关系为()图3A．L1>L2B．L1<L2C．L1＝L2D．不能确定答案 C解析当弹簧压缩到最短时，两球的速度相同，对题图甲取A的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：m v＝(m＋M)v′由机械能守恒定律得：E p＝12－12(m＋M)v′22m v联立解得弹簧压缩到最短时E p＝mM v22(m＋M)同理：对题图乙取B的初速度方向为正方向，当弹簧压缩到最短时有：E p＝mM v22(m＋M)故弹性势能相等，则有：L1＝L2，故A、B、D错误，C正确．4．在光滑的水平冰面上，放置一个截面为四分之一圆的半径足够大的光滑的可自由移动的曲面，一个坐在冰车上的小孩手扶小球静止在冰面上．某时刻小孩将小球以v0＝2 m/s的速度向曲面推出(如图4所示)．已知小孩和冰车的总质量为m1＝40 kg，小球质量为m2＝2 kg，曲面质量为m3＝10 kg.试求小孩将球推出后还能否再接到球，若能，则求出再接到球后人的速度大小，若不能，则求出球再滑回水平冰面上的速度大小．图4答案能1063m/s解析以小球被推出的方向为正方向，人推球过程，水平方向动量守恒：0＝m2v0＋m1v1得v1＝－0.1 m/s球和曲面相互作用时，水平方向动量守恒：m2v0＝m2v2＋m3v3由机械能守恒得：12m2v02＝12m2v22＋12m3v32得v2＝－43m/s|v2|>|v1|，所以人能再接住球，人接球的过程，由动量守恒得：m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v共，得v共＝－1063m/s，负号表示方向向右．5．如图5所示，静止放置在光滑水平面上的A、B、C三个滑块，滑块A、B间通过一水平轻弹簧相连，滑块A左侧紧靠一竖直固定挡板P，某时刻给滑块C施加一个水平冲量使其以初速度v0水平向左运动，滑块C撞上滑块B的瞬间二者粘在一起共同向左运动，弹簧被压缩至最短的瞬间具有的弹性势能为1.35 J，此时撤掉固定挡板P，之后弹簧弹开释放势能，已知滑块A、B、C的质量分别为m A＝m B＝0.2 kg，m C＝0.1 kg，(取10＝3.16)求：图5(1)滑块C的初速度v0的大小；(2)当弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B、C的速度大小；(3)从滑块B 、C 压缩弹簧至弹簧恢复原长的过程中，弹簧对滑块B 、C 整体的冲量． 答案 (1)9 m/s (2)1.9 m/s (3)1.47 N·s ，方向水平向右解析 (1)滑块C 撞上滑块B 的过程中，滑块B 、C 组成的系统动量守恒，以水平向左为正方向，根据动量守恒定律得：m C v 0＝(m B ＋m C )v 1弹簧被压缩至最短时，滑块B 、C 速度为零，根据能量守恒定律得： E p ＝12(m B ＋m C )v 12解得：v 1＝3 m/s ，v 0＝9 m/s(2)设弹簧弹开后恢复原长的瞬间，滑块B 、C 的速度大小为v 2，滑块A 的大小为v 3，根据动量守恒定律得： m A v 3＝(m B ＋m C )v 2， 根据能量守恒定律得： E p ＝12m A v 32＋12(m B ＋m C )v 22解得：v 2≈1.9 m/s(3)设弹簧对滑块B 、C 整体的冲量为I ，选向右为正方向，由动量定理得： I ＝Δp ＝(m B ＋m C )(v 2＋v 1)解得：I ＝1.47 N·s ，方向水平向右．。
机械能守恒定律专题10 能量守恒定律(4) 弹簧模型18.5.23
机械能守恒定律专题10 能量守恒定律应用（4）弹簧类问题弹簧类动力学观点和功能观点解题综合问题：弹簧初末态形变量相同，弹性势能相等，或者两个过程弹簧的形变量变化量相等，弹性势能变化两相同或者弹性势能与形变量的平方成正比例题1、如图所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m的小球A，若将小球A从弹簧原长位置由静止释放，小球A能够下降的最大高度为h。
若将小球A换为质量为3m的小球B，仍从弹簧原长位置由静止释放，则小球B下降h时的速度为（重力加速度为g，不计空气阻力。
）（B）A．B．C．D．试题分析：小球A下降h过程，根据动能定理，有mgh-W1=0；小球B下降h过程，根据动能定理，有，联立解得v=.选项B正确。
例题2、如图所示，轻质弹簧的劲度系数为k，下面悬挂一个质量为m的砝码A，手持木板B托住A缓慢向上压弹簧，至某一位置静止.此时如果撤去B，则A的瞬时加速度为1.6g现用手控制B使之以a=0.4g的加速度向下做匀加速直线运动.求:(1):砝码A能够做匀加速运动的时间？(2):砝码A做匀加速运动的过程中，弹簧弹力对它做了多少功?木板B对它的支持力做了多少功？小题1:小题2:（1）设初始状态弹簧压缩量为x1则kx1＋mg=m×可得x1=……………（1分）当B以匀加速向下运动时，由于a＜g，所以弹簧在压缩状态时A、B不会分离，分离时弹簧处于伸长状态. ……（2分）设此时弹簧伸长量为x2，则mg－kx2= m×可得x2=（1分）A匀加速运动的位移s=x1+x2=（1分）s=解得: …（2分）（2）∵x 1=x 2∴这一过程中弹簧对物体A 的弹力做功为0…………（3分）A 、B 分离时（2分）由动能定理得：…（2分）代入得： （2分）例题3、如图甲，质量为m 的小木块左端与轻弹簧相连，弹簧的另一端与固定在足够大的光滑水平桌面上的挡板相连，木块的右端与一轻细线连接，细线绕过光滑的质量不计的轻滑轮，木块处于静止状态．在下列情况中弹簧均处于弹性限度内，不计空气阻力及线的形变，重力加速度为g ．（1）图甲中，在线的另一端施加一竖直向下的大小为F 的恒力，木块离开初始位置O 由静止开始向右运动，弹簧开始发生伸长形变，已知木块过P 点时，速度大小为v ，O 、P 两点间距离为s ．求木块拉至P 点时弹簧的弹性势能；（2）如果在线的另一端不是施加恒力，而是悬挂一个质量为M 的物块，如图乙所示，木块也从初始位置O 由静止开始向右运动，求当木块通过P 点时的速度大小．（1）用力F 拉木块至P 点时，设此时弹簧的弹性势能为E P ，根据功能关系有Fs=E P +1/2mv 2…①代入数据可解得：E P =Fs-1/2mv 2…（2）悬挂钩码M 时，当木块运动到P 点时，弹簧的弹性势能仍为E p ，设木块的速度为v′，由机械能守恒定律得：Mgs=E P +1/2(m+M)v′2…③联立②③解得v′= √(mv 2+2(Mg-F)s)/(M+m)例题4、如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k , A 、B 都处于静止状态.一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升.若将C 换成另一个质量为（m 1+ m 3）的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g解析： 开始时，A 、B 静止，设弹簧压缩量为1x ，有11g kx m =挂C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚要离地时弹簧伸长量为2x ，有22kx m g =B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到其最低点.由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 312112=m ()()E g x x m g x x ∆+-+C 换成D 后，当B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得311311211211()()()()2222m m υm υm m g x x m g x x E ++=++-+-∆联立解得υ=例题5、如图，一个倾角θ＝30°的光滑直角三角形斜劈固定在水平地面上，顶端连有一轻质光滑定滑轮。
动量守恒滑块—弹簧模型
备选训练1.(课标全国卷)如图1所示，A、B、C三个 木块的质量均为m，置于光滑的水平面上，B、C之 间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连 ，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B、C紧连， 使弹簧不能伸展，以至于B、C可视为一个整体。现 A以初速度v0沿B、C的连线方向朝B运动，与B相碰 并黏合在一起。以后细线突然断开，弹簧伸展，从 而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0 ，求弹簧释放的势能
动量守恒 “滑块—弹簧”模型
水平面光滑，弹簧与两物体栓在一起，木块 的初速度为v0;
模型特点： 1.动量是否守恒？ 系统合外力为零，动量守恒； 2.机械能是否守恒？ 只存在动能与势能转化，机械能守恒；
3.什么时候弹簧弹性势能最大？ 当弹簧最长（最短）时，两者速度相等；弹性 势能最大，但处于原长时，弹性势能为零。
m1v0 m2 m1 v
EP
1 2
m1v02
1 2
m2
m1 v2
m2m1
2 m2 m1
v02
4.弹簧第一次恢复到原长速度m1与m2速度为多少？
m1V0= m1V1 + m2V2 ………（1）
1 2
m1V02
1 2
m1V12
1 2
m2V22
②
解得
V1
m1 m1
m2 m2
V0
Hale Waihona Puke V22m1 m1 m2
答案 (1)2 kg (2)9 J
(1)物块C的质量mC； (2)B离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能Ep。
备选训练
备选训练3．(2016·河北石家庄质检)如图8所示，光 滑水平面上木块A的质量mA＝1 kg，木块B的质量mB ＝4 kg，质量为mC＝2 kg 的木块C置于足够长的木块 B上，B、C之间用一轻弹簧相拴接并且接触面光滑。 开始时B、C静止，A以v0＝10 m/s的初速度向右运动， 与B碰撞后瞬间B的速度为3.5 m/s，碰撞时间极短。 求： (1)A、B碰撞后A的速度； (2)弹簧第一次恢复原长时C的速度。
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机械能守恒定律应用之 弹簧专题
1.如图所示，光滑斜面的顶端固定一轻质弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则小球在C 点时弹簧的弹性势能是 ( ) A ．1/2m v 2 B ．1/2m v 2+mgh C ．1/2m v 2－mgh D ．mgh
2. 如图甲，倾角为θ的光滑斜面上放一轻质弹簧，其下端固定，静止时上端位置在B 点，在A 点放一质量m=2kg 的小物块，小物块自由释放，在开始运动的一段时间内v ﹣t 图如图乙所示，小物块在0.4s 时运动到B 点，在0.9s 时到达C 点，BC 的距离为1.2m （g 取10m/s 2）．由图知（ ） A ． 斜面倾角6
π
θ=
B ．
C 点处弹簧的弹性势能为16J
C ． 物块从B 运动到C 的过程中机械能守恒
D ． 物块从C 回到A 的过程中，加速度先增大后减小，再保持不变 3. 如图，倾角为a 的斜面体放在粗糙的水平面上，质量为m 的物体A 与一劲度系数为k 的轻弹簧相连。
现用拉力F 沿斜面向上拉弹簧，使物体在光滑斜面上匀速上滑，上滑的高度为h ，斜面体始终处于静止状态。
在这一过程中 （ ）
A ．弹簧的伸长量为
k
mg F α
sin -
B ．拉力F 做的功为αsin Fh
C ．物体A 的机械能增加α
sin mgh
D ．斜而体受地面的静摩擦力大小等于αcos F
4. 如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中（弹簧保持竖直），下列关于能的叙述正确的是( )
A ．弹簧的弹性势能先增大后减小
B ．小球的动能先增大后减小
C ．小球的重力势能先增大后减小
D ．机械能总和先增大后减小 5. 如图所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球接触弹簧并将弹簧压缩至最低点(形变在弹性限度内)，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后又下
落，如此反复。
通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出该过程中弹簧弹力F 随时间t 变化的图像如图所示，则（ ）
A ．运动过程中小球的机械能守恒
B ．t 2时刻小球的加速度为零
C ．t 1～t 2这段时间内，小球的动能在逐渐减小
D ．t 2～t 3这段时间内，小球的动能与重力势能之和在增加 6. 如图所示，一物体从A 处下落然后压缩弹簧至最低点，在此过程中最大加
速度为a 1，动能最大时的弹性势能为E 1；若该物体从B 处
下落，最大加速度为a 2,动能最大时的弹性势能为E 2，不计空气阻力，则有( )
A.a 1=a 2，E 1<E 2
B.a 1<a 2，E 1<E 2
C.a 1<a 2，E 1=E 2
D.a 1=a 2，E 1=E 2
7. 如图，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。
现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。
已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计。
开始时整个系统处于静止状态。
释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。
下列说法正确的是( ) A ．斜面倾角α＝30° B ．A 获得的最大速度为k
m
g
52 C ．C 刚离开地面时，B 的加速度为零
D ．从释放A 到C 刚离开地面的过程中，A 、B 两小球组成的系统机械能守恒
8.如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m 的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A 点，弹簧处于原长h ．让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中（ ） A ． 圆环机械能不守恒
B ． 弹簧的弹性势能先减小后增大
C ． 弹簧的弹性势能变化了mgh
D ． 弹簧的弹性势能最大时圆环动能最大
9. 在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量均为m ，弹簧劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态。
现用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，当物块B 刚要离开C 时，A 的速度为v ,则此过程（弹簧的弹性势能与弹簧的伸长量或压缩量的平方成正比，重力加速度为g ） ( ) A.物块A 运动的距离为k
mg θ
sin 2 B.物块A 的加速度为m
F 2 C.拉力F 做的功为
22
1mv D.拉力F 对A 做的功等于A 的机械能的增加量
10 . 两木块A 、B 用一轻弹簧连接，静置于水平地面上，如图(a)所示。
现用一竖直向上的力F 拉动木块A ，使木块A 向上做匀加速直线运动，如图(b)所示。
从木块A 开始运动到木块B 将要离开地面的过程中，下述判断正确的是(设弹簧始终于弹性限度内) ( )
A ．弹簧的弹性势能一直减小
B ．力F 一直增大
C ．木块A 的动能和重力势能之和一直增大
D ．两木块A 、B 和轻弹簧组成的系统的机械能先增大后减小
11.如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上。
一长为L ＝9 cm 的轻质细绳一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝1 kg 的小球，将细绳拉至水平，使小球在位置C 由静止释放，小球到达最低点D 时，细绳刚好被拉断。
之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x ＝5 cm 。
(g ＝10 m/s 2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：
(1)细绳受到的拉力的最大值； (2)D 点到水平线AB 的高度h ； (3)弹簧所获得的最大弹性势能E p 。
12. 滑块A 套在光滑的坚直杆上,滑块A 通过细绳绕过光滑滑轮连接物 块B,B 又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上,’开始用手托住物块A ，使绳子刚好伸直处于水平位位置但无张力。
现将A 由静止释放.当A 下滑到C 点时(C 点 图中未标出)A 的速度刚好为零，此时B 还没有到达滑轮位置，已知弹簧的劲度系数k=100N/m ,滑轮质量和大小及摩擦可忽略不计，滑轮与杆的水平距离L=0.3m,AC 距离为 0.4m ，m B =lkg,重力加速度g=10 m/s 2。
试求： (1)滑'块A 的质量m A
(2)若滑块A 质量增加一倍,其他条件不变，仍让滑块A 从静止滑到C 点,则滑块A 到达C 点时A 、B 的速度大小分别是多少？。