拓扑优化99行代码翻译
北航拓扑优化程序学习报告
拓扑优化的99行程序学习报告4月19日2011《结构优化设计》课程学习报告任课教师：李书一、前言：在最近的结构优化设计课程上学习了O.Sigmund的《A 99 line topology optimization code written in Matlab》一文，对拓扑优化的理论原理与实际的计算机程序实现都有了一定的理解，文章主要是通过拓扑优化的原理来实现对简单结构的静力学问题的优化求解，而编写的代码仅有99行，包括36行的主程序，12行的OC优化准则代码，16行的网格过滤代码和35行的有限元分析代码。
自1988 年丹麦学者Bendsoe与美国学者Kikuchi提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来,均匀化方法应用到具有周期性结构的材料分析中,近几年该方法已经成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。
其基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。
文章就是通过均匀化的基础，结合拓扑结构优化的工程实际，以计算机模拟的方法将拓扑优化的一般过程呈现出来，有助于初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。
二、拓扑优化问题描述为了简化问题的描述，文中假设设计域是简单的矩形形式，且在进行有限元离散的时候采用正方形单元对其进行离散。
这样不仅便于进行单元离散和单元编号，也利于对结构进行几何外形的描述。
一般说来，基于指数逼近法的拓扑优化最小化的问题可作如下描述：文中采用的对结构材料属性的描述是所谓的“指数逼近法”或者称为SIMP 逼近法，即（Solid Isotropic Material with Penalization带惩罚因子的各项同性材料模型法），该方法是拓扑优化中常用的变密度材料插值模型中最具代表性的一种。
matlab拓扑优化99行代码
matlab拓扑优化99行代码以下是一份 MATLAB 拓扑优化的代码，该代码共99行，带有注释，共计1000字左右。
%% MATLAB 拓扑优化代码% 该代码实现了一种基于拓扑优化的算法，用于最小化结构体积并满足力学约束% 本代码适用于 MATLAB （版本 R2020a 或以上）。
使用前请确保已安装优化工具箱（Optimization Toolbox）。
% 作者：[作者姓名]% 时间：[编写时间]%% 1. 定义初始构型% 定义结构参数L = 1.0; % 长度H = 0.2; % 高度W = 0.01; % 宽度n_x = 30; % 网格数目（x-方向）n_y = 10; % 网格数目（y-方向）% 定义初始密度变量 rho（所有单元的密度都相等）rho_min = 1e-3; % 最小密度（设定为一个小值，以避免矩阵不可逆）rho = ones(n_x * n_y, 1) * 0.5; % 初始密度变量 rhorho(1:n_y) = 1.0; % 左侧固定边界rho((n_x-1)*n_y+1:n_x*n_y) = 1.0; % 右侧固定边界% 将 rho 转化为二维数组rho = reshape(rho, n_y, n_x)';rho = rho(:);% 定义单元尺寸变量 x 和 ydx = L / n_x;dy = H / n_y;x = repmat([0:dx:L]', n_y+1, 1);y = repmat([0:dy:H], n_x+1, 1)';% 绘制初始构型figurepcolor(x, y, reshape(rho, n_y, n_x))axis equalshading interpcolormap(gray)title('Initial Topology')%% 2. 定义边界和 FEA 参数% 定义边界和 FEA 网格xmin = 0; ymin = 0;xmax = L; ymax = H;nelx = n_x-1; nely = n_y-1;[xx,yy] = meshgrid(linspace(xmin,xmax,nx),linspace(ymin,ymax,ny));[II,JJ] = meshgrid(1:nelx,1:nely);% 定义单元编号矩阵（每个单元有8个节点）ind = reshape(1:(n_x+1)*(n_y+1), n_x+1, n_y+1);ind = ind(1:end-1, 1:end-1);eleInd = kron(ind, ones(8,1)) + kron(ones(size(ind)), [0 1 (n_x+1)*[1 1]+[0 1] (n_x+1)*(n_y+1)+[0 1] -n_x-1 -n_x]);%% 3. 定义拓扑优化参数% 定义拓扑优化参数volfrac = 0.45; % 允许的最大材料体积分数penal = 3; % Sigmoid 惩罚因子% 定义 Sigmoid 函数H = @(x, a) 1.0 ./ (1.0 + exp(-a .* x));% 定义材料与空气的弹性模量Emin = 1e-9; % 材料弹性模量E = H(rho, penal) * (E0-Emin) + Emin; % 节点弹性模量 % 定义 Sigmoid 求导矩阵H1rho = spdiags(H1(rho, penal), 0, dof, dof);% 定义全局刚度矩阵K = sparse(dof, dof);for el = 1:size(eleInd, 1)% 获取当前单元的节点编号nodes = eleInd(el,:);% 获取当前单元的节点坐标X = xy(nodes,:);% 计算单元刚度矩阵[Ke,~] = elestiff(X,E(nodes),nu);% 将单元刚度矩阵加入全局刚度矩阵K(nodes,nodes) = K(nodes,nodes) + Ke;end% 定义移动限制矩阵（仅移动 rho < 1 的节点）fixeddofs = union(zetax,zetay(:));freedofs = setdiff(1:dof,fixeddofs);% 定义循环参数iter = 1;change = 1.0;tol = 1e-6;maxIter = 100;rho0 = zeros(dof, 1);rho0(freedofs) = 1; % 初始密度为 1ksym = symrcm(K); % 使用对称逆消结构进行前置处理[L,U] = ilu(K(ksym,ksym)); % 使用不完全 LU 分解进行矩阵逆求解前置处理 while change > tol && iter <= maxIter% 保存当前的 rhorho_last = rho;% 使用 Sigmoud 函数更新单元弹性模量E = H(rho, penal) * (E0-Emin) + Emin;% 更新全局刚度矩阵K = sparse(dof, dof);for el = 1:size(eleInd, 1)% 获取当前单元的节点编号nodes = eleInd(el,:);% 获取当前单元的节点坐标X = xy(nodes,:);% 计算单元刚度矩阵[Ke,~] = elestiff(X,E(nodes),nu);% 将单元刚度矩阵加入全局刚度矩阵K(nodes,nodes) = K(nodes,nodes) + Ke;end% 移动节点[v,d] = eigs(K(freedofs,freedofs), 1, 'sm',struct('tol',1e-8,'maxit',500,'P',L(freedofs,freedofs),'D',U(freedofs,freedofs )));rho0(freedofs) = rho(freedofs) + v;rho = min(max(rho0, 0), 1);% 更新拓扑结构rho = update(rho, volfrac, x, y, n_x, n_y, H, H1, H1rho, Emin, penal);% 绘制拓扑结构figure(3)pcolor(reshape(rho, n_y, n_x)')shading interpaxis equaltitle(['Iteration: ', num2str(iter)])% 计算变化量change = norm(rho_last - rho);% 更新迭代计数器iter = iter + 1;end% 输出结果fprintf('Volume fraction: %f\n', sum(rho) / numel(rho)) fprintf('Compliance: %f\n', F' * full(K) * F)。
拓扑优化简介拓扑优化设计流程算例
1
nely+2
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4 3
局部
6 5
(1)
(4)
e
(2)
(3)
整体
KU F (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
目标函数(min& max)
约束函数
设计变量
(x) (e )p
min
C UTF
n
( e ) pueT koue
e1
s.t.
KU F
e(
0 min
)v
e V
1
e ——设计变量
优化求解
OC法优化求解
n1
max(
en
B
min
,
en
m)
min(1, en m)
if enB max(min , en m) if max(min , en m) enB min(1, en m)
if enB min(1, en m)
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
n
C U T F ( e ) pueT keue e1
优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
>Imagesc(-x)
拓扑优化简介 OC法拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化建模方法
变密度法
SIMP法(固体各向同性惩罚函数法） RAMP
Level Set法 (水平集法)
ICM(独立映射法)
ESO(进化法)
拓扑优化学习报告_北理工_王路
s.t
KU F
V fV0 xi , j i , j
i 1 j 1 m n
0 xmin xi , j xmax 1
其中：
X ——单元相对密度矢量
C ——结构的柔度
F ——载荷矢量
U ——位移矢量
北京理工大学 车辆工程 王路
FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) dcn=zeros(nely,nelx); for i = 1:nelx for j = 1:nely sum=0.0; for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely) fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2); sum = sum+max(0,fac); dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k); end end
E( xi ) Emin ( xi ) p ( E0 Emin ), xi 0,1
其中：
E(xi ) ——插值以后的弹性模量 E0 ——实体部分材料的弹性模量 Emin ——孔洞部分材料的弹性模量
（1）
xi ——单元相对密度，取值为
1 时表示有材料，为 0 时表示无材料即孔洞
p ——惩罚因子
（二）拓扑优化问题的描述
（1）材料插值模型
拓扑优化的代码
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移动通讯词汇（19）_科技英语词汇
图像压缩编码 image compression encoding推挽放大器 push-pull amplifier退n步arq go-back-n arq吞吐量 throughput脱网工作 talkaround拓扑学 topology拓扑优化 topological optimizationw外部抗扰性 external immunity外差跟踪 heterodyne tracking外差接收 heterodyne reception完成到示忙用户呼叫completion of calls to busy subscribers (ccbs)完成接续 complete connection完全故障 complete failure完全握手证实 full handshake authentication网管中心 network management center (nmc)网间互通 interworking between network网络保密 network security网络层 network layer网络传输时延 network transfer delay网络管理 network management (nm)网络管理要求 network management requirements网络互连 network interworking网络控制中心 network control center (ncc)网络口 port (of a network)网络体系结构 network architecture网络通路 network path网络拓扑 network topology网络行政管理 network administration网络拥挤 network congestion网络优化 network optimization网络指定判据 network directed criteria网络资源 network resource微巴 microbar微波 microwave微波暗室（无反射室） microwave unreflected chamber微波单片集成电路microwave monolithic integrated circuit (mmic)微波低躁声放大器 microwave low noise amplifier微波电路 microwave circuit微波功率放大器 microwave power amplifier微波混合集成电路 microwave hybrid integrated circuit微波集成电路 microwave integrated circuit微波通信 microwave communication微波中继站 microwave relay station微波终端站 microwave terminal station微处理机开发系统 microprocessor development system微电子技术 microelectronic technology微电子组装 microelectronic packaging微处理机 microprocessor微区 microcell微微区 picocell微特比算法 viterbi algorithm维修 maintenance维修层次 indenture level of maintenance维修性 maintainability伪比特 dummy bits伪三进制 pseudo-ternary signal伪随机码 pseudorandom code伪随机数 rand伪随机序列 pseudorandom sequence伪突发 dummy burst (db)尾部比特 tail bits卫星航空移动业务 aeronautical mobile-satellite service卫星间链路 inter-satellite link卫星陆地移动业务 land mobile-satellite service卫星水上移动业务 maritime mobile satellite service卫星网络 satellite network卫星移动通信系统 satellite mobile communication system卫星移动业务 mobile-satellite service卫星转发器 satellite transponder未来公用陆地移动通信系统future public land mobile telecommunication system (fplmts) 未完成呼叫 unsuccessful call位置撤消登记 location deregistration位置登记 location registration位置登记器 location register (lr)位置跟踪 location tracking位置更新规程 location updating procedure位置区 location registration zone位置区识别 location area identification (lai)位置取消规程 location cancellation procedure位置信息 location information位置信息恢复规程 location information retrieval procedure位置信息请求规程 location information requested procedure 温度补偿瓷介电容器temperature compensated ceramic capacitor温度循环试验 temperature cycling test文件图像（业务） telematics (services)文件用户电报 teletex纹波 ripple稳定度 stability稳压电源 regulated voltage supply稳压器 voltage regulator稳压器的基准电压 reference voltage of regulator。
99行拓扑优化 解读 -回复
99行拓扑优化解读-回复什么是拓扑优化？拓扑优化是一种基于形状的优化方法，旨在通过改变物体的结构形状，使其在给定的约束条件下具有最佳的性能。
拓扑优化的目标是通过微小的材料量及最佳的材料分布，将结构的质量减少至最低，同时保持结构稳定和具有所需的功能。
这一优化方法在制造和工程领域中被广泛应用，例如机械、航空航天、汽车、建筑等领域。
拓扑优化的基本原理是，在给定的约束条件下，在物体体积的内部进行材料的重新分配，以减少结构的质量。
该过程是一个迭代的过程，通过重复地选取、删除和补充材料来改变结构的形状。
在每个迭代步骤中，都会对结构进行有限元分析，以评估其性能，并在此基础上进行形状和材料的优化。
拓扑优化的核心是拓扑设计域的表示和修改。
设计域是指结构所占用的三维空间，其中包含了将要进行优化的结构。
拓扑设计域通常用网格来表示，其中每个网格单元都可以是流体也可以是固体。
在初始设计中，所有的网格单元被设置为实体材料。
然后，通过删除一些网格单元或将其改变为流体来调整拓扑结构，以实现优化的目标。
拓扑优化的算法通常可以分为两种方法：基于密集材料的方法和基于演化的方法。
基于密集材料的方法首先将结构表示为具有高密度的实体材料，然后逐步地移除材料以达到优化的形状。
一般来说，密集材料的方法计算效率高，在较小的问题上被广泛使用。
然而，在较大的问题上，这种方法可能导致计算复杂度过高。
相比之下，基于演化的方法将设计域表示为具有不同密度的固体和流体区域的混合体，然后通过使用遗传算法或其他进化算法来改变结构的形状。
这种方法的计算复杂度相对较低，适用于较大的问题。
拓扑优化的应用领域非常广泛。
在机械领域，拓扑优化可以用来设计轻量化的结构，以降低材料成本并提高产品性能。
在航空航天领域，拓扑优化可应用于飞机的机翼结构设计，以提高飞机的操纵性和燃料效率。
在汽车工业中，拓扑优化可以用来设计更轻、更安全的车身结构。
在建筑领域，拓扑优化可以用来设计更高效的结构，以减少材料的使用量和建筑的能耗。
北航拓扑优化程序学习报告
拓扑优化的99行程序学习报告4月19日2011《结构优化设计》课程学习报告任课教师：李书一、 前言：在最近的结构优化设计课程上学习了O.Sigmund 的《A 99 line topology optimization code written in Matlab 》一文，对拓扑优化的理论原理与实际的计算机程序实现都有了一定的理解，文章主要是通过拓扑优化的原理来实现对简单结构的静力学问题的优化求解，而编写的代码仅有99行，包括36行的主程序，12行的OC 优化准则代码，16行的网格过滤代码和35行的有限元分析代码。
自1988 年丹麦学者Bendsoe 与美国学者Kikuchi 提出基于均匀化方法的结构拓扑优化设计基本理论以来,均匀化方法应用到具有周期性结构的材料分析中,近几年该方法已经成为分析夹杂、纤维增强复合材料、混凝土材料等效模量,以及材料的细观结构拓扑优化常用的手段之一。
其基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。
文章就是通过均匀化的基础，结合拓扑结构优化的工程实际，以计算机模拟的方法将拓扑优化的一般过程呈现出来，有助于初涉拓扑优化的读者对拓扑优化有个基础的认识。
二、 拓扑优化问题描述为了简化问题的描述，文中假设设计域是简单的矩形形式，且在进行有限元离散的时候采用正方形单元对其进行离散。
这样不仅便于进行单元离散和单元编号，也利于对结构进行几何外形的描述。
一般说来，基于指数逼近法的拓扑优化最小化的问题可作如下描述：01min :()()():0min 1NT p Te e e Xe c X U KU x u k u V X subjecttof V KU FX x =⎫==⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪<≤≤⎭∑文中采用的对结构材料属性的描述是所谓的“指数逼近法”或者称为SIMP逼近法，即（Solid Isotropic Material with Penalization 带惩罚因子的各项同性材料模型法），该方法是拓扑优化中常用的变密度材料插值模型中最具代表性的一种。
拓扑优化经典99行程序解读
3188-1-1.htmlSigmund教授所编写的top优化经典99行程序，可以说是我们拓扑优化研究的基础；每一个新手入门都会要读懂这个程序，才能去扩展，去创新；99行程序也有好多个版本，用于求解各种问题，如刚度设计、柔顺机构、热耦合问题，但基本思路大同小异；本文拟对其中的一个版本进行解读，愿能对新手有点小小的帮助。
不详之处，还请论坛内高手多指点读懂了该程序，只能说是略懂拓扑优化理论了，我手里就有一些水平集源程序是成千上万行，虽然在99行的基础上成熟了很多，但依然还有很多的发展空间。
源程序如下：%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=80;nely=20;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERATIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1;fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs, ：）= K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,：）;U(fixeddofs,：）= 0; % 这两行复制后应换成英文字符，我这里为了防止生成QQ表% 情修改了一下格式%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lkE = 1.;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序执行方法：（just for matlab new users）打开matlab，点开new M-file，将上述源程序复制粘贴到M-文件中，修改蓝色部分的格式，保存。
Sigmund_99行拓扑优化程序
%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=80;nely=20;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERA TIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIAUPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCYFILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1;fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:);U(fixeddofs,:)= 0;%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESSMATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [KE]=lkE = 1.;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nu^2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%。
TopOpt针对99行改进的88行拓扑优化程序完全注释
TopOpt针对99⾏改进的88⾏拓扑优化程序完全注释 博客搬家到⾃⼰搭建的 啦q(≧▽≦q)，⼤家快来逛逛鸭！The program can be promoted by line:top88(120,40,0.5,3.0,3.5,1)代码注释88⾏程序为了提⾼效率，逻辑、流程没有99⾏程序那么清楚，建议初学先读99⾏。
%%%%%%%%%%%% AN 88 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE Nov 2010 %%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% COMMENTED - OUT BY HAOTIAN_W AUGUST 2020 %%%%%%%%%%%%function top88(nelx,nely,volfrac,penal,rmin,ft)% ===================================================================================% 88⾏程序在99⾏程序上的主要改进:% 1) 将for循环语句向量化处理，发挥MATLAB矩阵运算优势;% 2) 为不断增加数据的数组预分配内存，避免MATLAB花费额外时间寻找更⼤的连续内存块;% 3) 尽可能将部分程序从循环体⾥抽出，避免重复计算;% 4) 设计变量不再代表单元伪密度，新引⼊真实密度变量xphys;% 5) 将原先的所有⼦程序都集成在主程序⾥，避免频繁调⽤;% 总体上，程序的效率有显著提升（近百倍）、内存占⽤降低，但是对初学者来说可读性不如99⾏% ===================================================================================% nelx : ⽔平⽅向上的离散单元数;% nely : 竖直⽅向上的离散单元数;%% volfrac : 容积率，材料体积与设计域体积之⽐，对应的⼯程问题就是"将结构减重到百分之多少";%% penal : 惩罚因⼦，SIMP⽅法是在0-1离散模型中引⼊连续变量x、系数p及中间密度单元，从⽽将离% 散型优化问题转换成连续型优化问题，并且令0≤x≤1，p为惩罚因⼦，通过设定p>1对中间密% 度单元进⾏有限度的惩罚，尽量减少中间密度单元数⽬，使单元密度尽可能趋于0或1;%% 合理选择惩罚因⼦的取值，可以消除多孔材料，从⽽得到理想的拓扑优化结果:% 当penal<=2时存在⼤量多孔材料，计算结果没有可制造性;% 当penal>=3.5时最终拓扑结果没有⼤的改变;% 当penal>=4时结构总体柔度的变化⾮常缓慢，迭代步数增加，计算时间延长;%% rmin : 敏度过滤半径，防⽌出现棋盘格现象;% ft : 与99⾏程序不同的是，本程序提供了两种滤波器，% ft=1时进⾏灵敏度滤波，得到的结果与99⾏程序⼀样；ft=2时进⾏密度滤波。
拓扑优化经典99行程序注释
44. 45. % PRINT RESULTS 屏幕上显示迭代信息 46. 47. 48. 49. 50. 51. % PLOT DENSITIES 优化结果的图形显示 52. colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e6); 53. end 54. 55. 56. 57. %%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 58. function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc) 59. 60. l1 = 0; l2 = 100000; %用于体积约束的拉格朗日乘子 61. move = 0.2; 62. 63. while (l2-l1 > 1e-4) 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 75. 76. 77. %%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER 敏度过滤技术子程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 78. function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc) 79. 80. dcn=zeros(nely,nelx); 81. 82. for i = 1:nelx 83. 85. 86. for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx) for j = 1:nely 84. sum=0.0; 74. end if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;%二乘法减半 l1 = lmid; else l2 = lmid; end %即论文公式的综合 xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid))))); lmid = 0.5*(l2+l1);
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读题目：拓扑优化99行算法解读引言：随着科技和工程领域的快速发展，越来越多的复杂系统需要求解最优结构和运行参数。
拓扑优化是一种常见的设计方法，可以通过优化材料的布局来满足特定的性能需求。
本文将详细解读一种名为"拓扑优化99行算法"的方法，通过简短的程序来实现结构布局的优化。
一. 算法背景和概述拓扑优化99行算法的目的是通过最小化弹性、热量等因素对结构进行优化布局。
这个算法基于材料的密度分布来决定输入模型中每个单元的材料分数。
通过迭代计算和优化，最优化的材料布局将在一个预定义的结构范围内得到。
二. 算法步骤解析以下是拓扑优化99行算法的主要步骤：1. 定义材料区域和约束：首先，需要定义结构的边界和约束条件，以确定布局的范围和要求。
这通常是通过一个矩阵来表示结构模型，其中每个单元表示一个材料单元。
2. 初始化材料分数：为了开始优化过程，需要为每个单元分配一个初始材料分数。
这可以是随机分配或基于预先定义的准则进行分配。
3. 迭代计算：从初始材料分数开始，通过迭代计算来优化结构布局。
迭代计算的过程是一个循环，直到满足预定的终止条件为止。
4. 材料更新：在每次迭代中，根据计算出的材料分数，更新结构中每个单元的材料状态。
这可以通过使用规则或者概率方法来实现。
5. 评估材料分布：在计算出新的材料分布后，需要根据特定的性能指标来评估结构布局的质量。
这可以是通过计算结构的刚度、热量分布或其他性能指标来实现的。
6. 迭代终止条件：在每次迭代计算后，需要检查是否满足预先定义的终止条件。
这可以是达到预期的性能目标、达到最大迭代次数或其它判断标准。
7. 结果输出和分析：当算法收敛时，即满足终止条件时，输出最终的材料分布结果，并进行分析和可视化。
三. 算法关键点解析拓扑优化99行算法的关键点在于材料分数的更新和评估以及终止条件的判断。
1. 材料分数的更新：在迭代计算中，更新每个单元的材料分数是核心的步骤。
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化算法是一种常用的计算机科学算法，可以在网络和图形相关问题中求
解最优解。
拓扑优化99行算法是一种高效的算法，只需要99行代码即可实现，被广泛应用于各种领域。
该算法主要用于解决拓扑优化问题，即在给定的网络结构中，寻找一个最优的
拓扑结构，以满足特定的性能需求。
拓扑结构涉及到节点和边的连接方式，而性能需求则可以是最小化通信开销、最大化网络吞吐量或最小化传输延迟等。
拓扑优化99行算法的核心思想是通过迭代的方式，不断进行拓扑结构的调整，直到找到最优解。
算法首先定义了一个初始拓扑结构，然后通过计算当前拓扑结构的性能评价指标，如通信开销或吞吐量，来评估当前解的质量。
在每一次迭代中，算法会对当前拓扑结构进行一系列操作，如增加或删除边、
移动节点等，以生成新的拓扑结构。
然后，通过计算新拓扑结构的性能指标，与当前解进行比较，选择更优的解作为下一次迭代的起点。
拓扑优化99行算法的关键在于如何确定新的拓扑结构，并评估其性能指标。
在算法中，可以使用一些启发式方法，如局部搜索或模拟退火等，来探索可能的拓扑结构。
同时，需要定义一种合适的性能评价函数，以便准确地衡量不同拓扑结构的性能。
除了调整拓扑结构外，拓扑优化99行算法还可以考虑其他因素，如带宽限制、延迟约束等。
通过在算法中引入这些约束条件，可以实现更加现实的拓扑优化方案。
总结来说，拓扑优化99行算法是一种简洁高效的算法，用于解决拓扑结构优
化问题。
通过迭代的方式，不断调整拓扑结构，以求得最优解。
该算法可以应用于各种领域，如计算机网络、电路设计等，为问题求解提供了一种有效的方法。
拓扑优化经典99行程序解读
3188-1-1.htmlSigmund 教授所编写的top 优化经典99 行程序，可以说是我们拓扑优化研究的基础；每一个新手入门都会要读懂这个程序，才能去扩展，去创新；99 行程序也有好多个版本，用于求解各种问题，如刚度设计、柔顺机构、热耦合问题，但基本思路大同小异；本文拟对其中的一个版本进行解读，愿能对新手有点小小的帮助。
不详之处，还请论坛内高手多指点读懂了该程序，只能说是略懂拓扑优化理论了，我手里就有一些水平集源程序是成千上万行，虽然在99 行的基础上成熟了很多，但依然还有很多的发展空间。
源程序如下：%%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%%%%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%%function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);nelx=80;nely=20;volfrac=0.4;penal=3;rmin=2;% INITIALIZEx(1:nely,1:nelx) = volfrac;loop = 0;change = 1.;% START ITERATIONwhile change > 0.01loop = loop + 1;xold = x;% FE-ANAL YSIS[U]=FE(nelx,nely,x,penal);% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS[KE] = lk;c = 0.;for ely = 1:nelyfor elx = 1:nelxn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);c = c + x(ely,elx)Ape nal*Ue'*KE*Ue;dc(ely,elx) = -pe nal*x(ely,elx)A(pe nal-1)*Ue'*KE*Ue;endend% FILTERING OF SENSITIVITIES[dc] = check(nelx,nely,rmin,x,dc);% DESIGN UPDA TE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD[x] = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc);% PRINT RESULTSchange = max(max(abs(x-xold)));disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])% PLOT DENSITIEScolormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);end%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)l1 = 0; l2 = 100000; move = 0.2;while (l2-l1 > 1e-4)lmid = 0.5*(l2+l1);xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;l1 = lmid;elsel2 = lmid;endend%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)dcn=zeros(nely,nelx);for i = 1:nelxfor j = 1:nelysum=0.0;for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)fac = rmin-sqrt((i-k)A2+(j-l)A2);sum = sum+max(0,fac);dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);endenddcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);endend%%%%%%%%%%FE-ANAL YSIS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [U]=FE(nelx,nely,x,penal)[KE] = lk;K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);for elx = 1:nelxfor ely = 1:nelyn1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;n2 = (nely+1)* elx +ely;edof = [2*n1-1; 2*n1; 2*n2-1; 2*n2; 2*n2+1; 2*n2+2; 2*n1+1; 2*n1+2];K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)A pe nal*KE;endend% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)F(2*(nelx/2+1)*(nely+1),1) = 1;fixeddofs = [2*(nely/2+1),2*nelx*(nely+1)+2*(nely/2+1)];alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)];freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs);% SOLVINGU(freedofs, ： )= K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs, ： );U(fixeddofs, ： ) = 0; % 这两行复制后应换成英文字符，我这里为了防止生成QQ 表% 情修改了一下格式%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function [KE]=lkE = 1.;nu = 0.3;k=[ 1/2-nu/6 1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ...-1/4+nu/12 -1/8-nu/8 nu/6 1/8-3*nu/8];KE = E/(1-nuA2)*[ k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6) k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)]; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%程序执行方法： (just for matlab new users )打开matlab，点开new M-file，将上述源程序复制粘贴到M-文件中，修改蓝色部分的格式，保存。
拓扑优化99行代码翻译
拓扑优化中的99行matlab代码——o.sigmund摘要这篇文章描述了用matlab语言来简洁的实现在静态负载下符合最小化原理的拓扑优化。
总共只需要输入99行代码，包括优化程序和有限元分析子程序。
这99行代码中，其中36行为主程序，12行为基于最优控制器的优化程序，16行为敏度过滤分析，其余35行代码作为有限元分析。
实际上，除去注释行以及输出行、有限元分析行，仅有49行matlab代码输入用于解决一个适定的拓扑优化问题。
再加上3行补充程序代码，这个程序就可以解决多种负载工况问题。
这个代码主要是以教育指导为用，完整的matlab代码在附录中给出，同时也可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
关键词拓扑优化教育最优准则万维网matlab代码1 简介文中展示的matlab代码主要是为工程教育所用。
学生和在拓扑领域的新手可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
这个代码可以用于结构最优化课程学习，学生们可以在多重负载工况、独立网格选择策略、无源场进行扩展应用。
另一种可能就是用来激发学生们的直觉来进行最优化设计。
研究生可以推测探究在给定边界条件和容量的情况下的拓扑优化并、比较得出最优策略。
在文献中，你可以找到很多处理拓扑优化问题的方法。
在一篇Bendsøe and Kikuchi (1988)的原创论文中，基于对现存结论的学习，所谓微观结构或均化作用的方法被使用。
均化作用方法在很多文章中都被采用，但它也存在一些缺点，比如对微观结构最优化方法果断的评估与决策很麻烦的，而且结果很难获得如果没有对微观结构进行确定的长度衡量。
然而，在这个意义上来说均化作用方法对拓扑优化也是很重要的，它可以在结构的理论分析上提供一定的界限。
拓扑优化的另一种方法叫做“幂律法则”或者SIMP法（(Solid Isotropic Material with Penalization) (Bendsøe1989; Zhou and Rozvany 1991; Mlejnek 1992)）。
拓扑优化99行算法解读
拓扑优化99行算法解读拓扑优化是一种解决网络优化问题的算法。
该算法通过对给定网络中各节点之间的关系进行建模，来确定节点之间的最优连接方式，以使得整个网络的性能达到最优化。
拓扑优化算法的主要目标是通过重新组织网络节点之间的连接关系，来最小化网络中的延迟、能耗或其他性能指标。
这种算法可以应用于各种不同类型的网络，包括计算机网络、通信网络以及物联网等。
99行拓扑优化算法是一种经典的基于贪心策略的算法。
该算法首先根据网络中各节点之间的距离来初始化一个连接矩阵。
然后，通过遍历网络中的各个节点，依次选择最佳的连接方式来更新连接矩阵。
具体的算法步骤如下：第一步：初始化连接矩阵。
对于给定的网络，可以通过计算各个节点之间的距离来初始化连接矩阵。
距离可以根据节点之间的物理距离或其他性能指标来计算。
第二步：对网络中的各个节点进行遍历。
对于每个节点，计算其与其他节点之间的连接费用，并选择最佳的连接方式。
连接费用可以根据节点之间的距离、带宽或其他性能指标来计算。
第三步：更新连接矩阵。
在选择了最佳连接方式后，更新连接矩阵中对应节点之间的连接信息。
第四步：重复以上步骤，直到所有节点都被遍历完毕。
在进行拓扑优化时，算法会优先选择具有低延迟、高带宽或其他性能指标的连接方式。
这样可以使得整个网络的性能达到最佳化。
拓扑优化算法的优点在于它具有较好的可伸缩性和灵活性。
算法可以应用于各种不同规模的网络，并且可以根据不同的性能指标进行优化。
此外，算法的实现相对简单，计算复杂度较低，因此适用于实际应用。
然而，拓扑优化算法也存在一些限制。
首先，算法可能会导致网络中的某些节点之间的连接断开，从而影响网络的连通性。
其次，算法没有考虑节点之间的地理位置和网络负载等因素，这可能会导致某些节点之间的连接过于拥挤。
总之，拓扑优化算法是一种解决网络优化问题的经典算法。
它通过重新组织网络节点之间的连接关系，来最小化网络中的延迟、能耗或其他性能指标。
虽然算法存在一些限制，但其简单的实现和较低的计算复杂度使其成为一种实际应用广泛的算法。
拓扑优化学习报告-北理工-王路
基于99行程序的拓扑优化学习报告（一）背景和前言随着汽车工业的飞速发展以及日益突出的能源问题，汽车工业面临的挑战以及竞争环境也越来越激烈，对汽车产品提出了降低其制造成本及燃油经济性的新要求。
在提高汽车安全性、减少汽车排放和解决能源消耗的背景下，提出了汽车轻量化技术。
实现汽车轻量化的途径包括三个方面：结构优化技术、新型材料和先进性制造工艺。
其中，我们所讨论的是结构优化技术，其中结构优化设计分为三个层次：尺寸优化（Size Optimization）、形状优化（Shape Optimization）和拓扑优化（Topology Optimization）。
本文我们基于99行matlab程序初步学习拓扑优化技术中的理论和优化方法。
拓扑优化技术指的是在给定的设计空间内寻求最佳的材料布局，同时在满足平衡方程、物理关系、几何关系和边界约束条件下使得结构达到某种性能最优的应用技术。
拓扑优化的理论研究最早可以追溯到Michel提出的桁架理论，连续体结构的拓扑优化由于描述和数值计算得困难，发展一直相对缓慢，直到Bendsoe和Kikuchi在1988年提出的均匀化方法之后才得到迅速的发展，其基本思想是在组成拓扑结构中引入微结构，通过微结构的几何参数作为设计变量，通过微结构的增加和删减实现结构的拓扑形状的改变，实现拓扑优化和尺寸优化的统一。
在微结构的基础上，我们介绍变密度法的应用，变密度法是在均匀化方法的基础上产生的，把材料引入微结构代之以密度在0~1之间变化的假想材料，把密度作为设计变量，从而实现材料的删减，因其模型简单、计算变量相对较少成为目前广泛采用的方法。
根据不同的插值模式，变密度法又有不同的插值模型：SIMP法（Solid Isotropic Material with Penalization）、Hashin-Shtrikman法，以及RAMP法（Rational Approximation of Material Properties）。
A 99 line topology optimization code written in Matlab
fraction and then the program shows the correct optimal topology for comparison. In the literature, one can find a multitude of approaches for the solving of topology optimization problems. In the original paper Bendsøe and Kikuchi (1988) a so-called microstructure or homogenization based approach was used, based on studies of existence of solutions. The homogenization based approach has been adopted in many papers but has the disadvantage that the determination and evaluation of optimal microstructures and their orientations is cumbersome if not unresolved (for noncompliance problems) and furthermore, the resulting structures cannot be built since no definite length-scale is associated with the microstructures. However, the homogenization approach to topology optimization is still important in the sense that it can provide bounds on the theoretical performance of structures. An alternative approach to topology optimization is the so-called “power-law approach” or SIMP approach (Solid Isotropic Material with Penalization) (Bendsøe 1989; Zhou and Rozvany 1991; Mlejnek 1992). Here, material properties are assumed constant within each element used to discretize the design domain and the variables are the element relative densities. The material properties are modelled as the relative material density raised to some power times the material properties of solid material. This approach has been criticized since it was argued that no physical material exists with properties described by the power-law interpolation. However, a recent paper by Bendsøe and Sigmund (1999) proved that the power-law approach is physically permissible as long as simple conditions on the power are satisfied (e.g. p ≥ 3 for Poisson’s ratio equal to 1 3 ). To ensure existence of solutions, the power-law approach must be combined with a perimeter constraint, a gradient constraint or with filtering techniques (see Sigmund and Petersson 1998, for an overview). The power-law approach to topology optimization has been applied to problems with multiple constraints, multiple physics and multiple materials. Whereas the solution of the above mentioned approaches is based on mathematical programming techniques and continuous design variables, a number of papers have appeared on solving the topology optimization problem as an integer problem. Beckers (1999) success-
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拓扑优化中的99行matlab代码——o.sigmund摘要这篇文章描述了用matlab语言来简洁的实现在静态负载下符合最小化原理的拓扑优化。
总共只需要输入99行代码，包括优化程序和有限元分析子程序。
这99行代码中，其中36行为主程序，12行为基于最优控制器的优化程序，16行为敏度过滤分析，其余35行代码作为有限元分析。
实际上，除去注释行以及输出行、有限元分析行，仅有49行matlab代码输入用于解决一个适定的拓扑优化问题。
再加上3行补充程序代码，这个程序就可以解决多种负载工况问题。
这个代码主要是以教育指导为用，完整的matlab代码在附录中给出，同时也可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
关键词拓扑优化教育最优准则万维网matlab代码1 简介文中展示的matlab代码主要是为工程教育所用。
学生和在拓扑领域的新手可以在网页http://www.topopt.dtu.dk上下载。
这个代码可以用于结构最优化课程学习，学生们可以在多重负载工况、独立网格选择策略、无源场进行扩展应用。
另一种可能就是用来激发学生们的直觉来进行最优化设计。
研究生可以推测探究在给定边界条件和容量的情况下的拓扑优化并、比较得出最优策略。
在文献中，你可以找到很多处理拓扑优化问题的方法。
在一篇Bendsøe and Kikuchi (1988)的原创论文中，基于对现存结论的学习，所谓微观结构或均化作用的方法被使用。
均化作用方法在很多文章中都被采用，但它也存在一些缺点，比如对微观结构最优化方法果断的评估与决策很麻烦的，而且结果很难获得如果没有对微观结构进行确定的长度衡量。
然而，在这个意义上来说均化作用方法对拓扑优化也是很重要的，它可以在结构的理论分析上提供一定的界限。
拓扑优化的另一种方法叫做“幂律法则”或者SIMP法（(Solid Isotropic Material with Penalization) (Bendsøe1989; Zhou and Rozvany 1991; Mlejnek 1992)）。
这里，假设物质性能使恒定不变的同时每个元素是设计区域离散化，变量是元素的相对密度。
物质属性在相对物质密度增加到固体材料的物质属性的很多倍时被模板化。
这种方法曾一度引起争议因为它认为没有任何物理材料的属性特征能被幂律法则所描述。
然而，Bendsøe and Sigmund (1999)最近发表的文章证实只要在单一条件下能量能够满足，幂律法则在物理上就是可行的。
为了确认这个结论的存在性，幂律法则必须与周界约束、梯度约束或者过滤技术相结合。
这个拓扑优化的幂律法则方法已经应用于多重约束，多属性，多材料的问题中了。
然而，上面提及到的解决方法是基于数学规划法和连续设计变量法，一系列的文章都有涉及到解决拓扑优化的整数问题。
Beckers (1999)通过双重途径成功的解决了大规模服从最小化问题，但是其他方法大多基于遗传算法或者其他为了几个元素需要成千上万的函数求值半随机方法，当然这很可能是不切实际的。
除了上述提到的方法外，他们都能解决目标明确的问题，一些减少服从或者目标函数的启发式或直觉的方法也已经被提出来。
这些理论都被统称为进化设计理论。
除了很容易的理解和运用外，进化性分析方法主要的动机似乎是基于数学或连续变量法“涉及一些微积分应用和数学分析”，并且他们包含“一些复杂问题的数学理论”，反之进化性的方法能很好的应用强大的计算处理技术和自然进化过程中的直觉理念。
两件事可以反对他。
第一，曾经由于更多的比服从最小化理论复杂的目标被考虑进去。
进化论方法自身已经变得非常复杂。
第二，正如文中所说，以数学理论为基础的方法解决服从最小化问题很容易实现并且计算处理同样很有效率。
不仅如此，基于数学理论的方法很容易扩展解决像非共轭和多物理量的无服从问题以及多约束问题。
而用扩展进化方法来处理这些问题似乎更加不可行。
完整的matlab代码在附录中给出，文章剩余部分包括对优化问题的定义和讨论（第2部分），matlab实现的详细解释（第3部分），接着是扩展问题的讨论（第4部分）和最后总结（第5部分）。
2 拓扑优化问题有许多简化方法都是用来简化matlab的代码。
第一，假设设计区域是矩形且被平方有限元离散化。
这种情况下，元素的数目和结点就很容易表示（一列一列从左上角开始）并且结构的纵横比通过水平（nelx）和垂直（nely）方向元素比率来确定。
一个拓扑优化问题基于指数定律法，目标是实现最小化，可以如下表示（1）式中U 和F 分别表示整体变形和力的向量，K 表示整体刚度矩阵，e u 和e k 分别表示元素的位移矢量和刚度矩阵，x 是设计变量的向量，min x 是相对密度的最小向量（非零以避免奇点）N （=nelx * nely ）是设计区域离散化的元素数目，p 是惩罚因子（通常p=3），(x)V 和0V 是材料体积和设计区域体积，f (volfrac)为规定的容积率。
该拓扑优化问题（1）可以用几种不同的方法来解决，如Optimality Criteria （OC 算法），Sequential Linear Programming (SLP)，Method of Moving Asymptotes (MMA by Svanberg 1987)或者其他的方法。
为简单起见，我们这里用标准的OC 算法。
根据Bendsøe (1995)对设计变量应用启发式的调整法，公式表示为其中m （移动量）是一个正的移动界限，η (= 1/2)是数值阻尼系数，e B 在最优化条件中表示为其中λ是拉格朗日乘子，在bi-sectioning algorithm中获得。
目标函数的敏感度被表示为更多的详细信息将通过最优化准则理论的推导和实现，在文献(e.g. Bendsøe 1995).中提到。
为了确保对拓扑优化问题（1）解决方法的存在性，将会介绍一些作为结果的限制条件。
这里我们使用过滤技术，需要强调的是这个过滤技术并不能证明方法的可行性，但是通过作者大量应用证明过滤技术在实际中能产生独立性网格。
这个网格独立性滤波器是来修改元素敏度，如下:H表示为这个卷积算子（重量系数）f控制函数dist(e, f)定义为元素中心e到元素中心f的距离。
在过滤面积以外卷积H为0.卷积算子随着元素f的距离成线性减少。
除了原始的敏度（4），修算子f改的元素敏度（5）被用于OC算法（3）。
3 matlab算法实现Matlab代码(见附录),建立了作为一个标准拓扑优化的代码。
他的主程序为其中nelx和nely分别是横轴和纵轴方向上元素的个数，volfrac是容积率，penal是惩罚因子，rmin是过滤半径。
其他的变量如边界条件在matlab代码中定义且可根据实际需要进行调整。
在拓扑优化每一次循环迭代中，程序都会生成一幅当前密度分布图来。
图1显示了附录代码在给定以下输入条件下的结果密度分布默认的边界条件对应于“黑梁”的一半(图1)。
垂直方向的负载承受在左上角，水平方向结构左边和右边为对称边界。
Matlab代码中重要的细节将在下面各小节讨论。
3.1 主程序（1-36行）主程序的开始是材料设计区域的均匀分配（第4行）。
一些基本初始化后，主要的循环开始调用有限元分析子程序（12行）并返回位移矢量U。
因为固体材料的元素刚度矩阵对任何元素来说都是一样的，元素刚度矩阵子程序仅被调用一次（14行）。
接下来，一个循环遍历所有元素(第16-24行)来确定目标函数和敏感性(4)。
变量n1和n2表示在所有节点数中左上角和右上角的元素节点数目，并用于从整体位移矢量U中提取元素位移矢量U e。
灵敏度分析将伴随着调用网格独立性过滤器(第26行)和最优准则优化器(28行)。
当前的合规以及其它参数在30-33行中体现出来，并绘制出最后结果的密度分布图(第35行)。
主循环会在改变值（改变值在30行确定）小于1%是终止，否则以上步骤将重复执行。
3.2 基于优化程序的最优化准则（37-48行）更新后的设计变量是通过优化程序找到的（37-48行）。
由于材料体积(sum(sum(xnew)))是一个拉格朗日乘子的单调递减函数，满足体积约束的拉格朗日乘子数值可以通过bi-sectioning algorithm算法得到（40-48行）。
bi-sectioning algorithm的初始化时通过假设一个小于l1和大于l2结合的拉格朗日乘数（39行）。
限定拉格朗日乘数的间隔大小会一直减半直到它的大小小于收敛判别准则（40行）。
3.3 网格独立性过滤技术（49-64行）Matlab中第49-64行是为了实现条件（5）。
注意，并不是在设计域里所有的元素都要被搜索来寻找那些在处于过滤半径之内的元素，而是在那些被考虑元素周围，2倍过滤半径大小的区域。
通过选择过滤半径rmin小于调用子程序后的半径，被过滤后的敏度将会和初始状态一样，并使得过滤器不起作用。
3.4有限元分析代码（65-90行）有限元分析代码位于65-90行中。
注意解决者是利用matlab中的稀疏选项。
整体刚度矩阵是由所有元素的循环建立的（70-77行）。
正如主程序中，变量n1和n2指示在所有节点数目中左上部分和右边节点数目并插入到整体刚度矩阵合适的位置中。
正如前面所说，节点和元素都是从左到右纵向排布。
而且，每个节点都有2个自由度（水平和垂直的），因此指令F(2,1)=-1.第79行应用了一个在左上角的垂直单元力。
消除线性方程中的固定自由度来实现支承结构。
Matlab可以很好的处理，由这一行其中freedofs表示不受约束的自由度。
通常来说，定义一个固定的自由度要简单的多，其后会被自动找到，通过使用matlab算子setdiff因无约束自由度与固定自由度的不同来找到无约束自由度（82行）。
元素的刚度矩阵在86-99行中进行计算。
这个针对4个节点的8*8矩阵可通过使用人工智能软件进行处理分析。
杨氏模量E和泊松比可以在88和89行进行改变。
4 拓展附录给出的matlab代码解决如图1中材料分配的优化问题以达到最小化原则。
而算法中许多的拓展和改变都值得思考，其中一部分将在下面进行阐述。
4.1 其他边界条件为解决其他优化问题，改变边界条件和支承条件非常容易。
为了解决如图2所示的短悬臂梁问题，只需要要79和80作相应改变，根据这些改变，输入行变为4.2 多重负载问题扩展算法来处理多重负载问题也很容易。
实际上，仅需额外增加3行，并对其他4行做微小调整即可。
就两个负载工况而言，力和适量位移必须定义为两方向向量，这就意味着第69行改变为现在目标函数为二维之和因此第20-22行即被以下行所替代为解决如图3的二重负载问题，一个右上方的负载要添加到底79行，如下4.3 无源元件在某些情况下,一些元素可能需要采取最低密度值(例如一个管上的洞)。