拓扑优化算法及其实现

m in (1 ,e nm )
if e nB m in (1 , e nm )
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
n
CUTF (e)pueTkeue e1 优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
敏度分析
目前 SIMP 方法常用的过滤技术是Sigmund提出的过滤方案，用于修改目标函数的敏 度信息：
敏度分析
内容
拓扑优化简介 OC法拓扑优化设计流程 算例
约束情况
左边界各节点受横向约束 右下角节点受纵向约束
20 60
F(2,1) = -1; fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);
m in (1 ,e nm )
if e nB m in (1 , e nm )
n 1 m e n a B x (m in,
e nm ) if
if e nB m ax (m in, e nm ) m ax (m in, e nm )e nB m in (1 , e nm )
优化求解 OC法优化求解
基本原理 变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优化（仅有变量上下限约束）
基本原理
OC法数学模型 对应于目标函数的拉格朗日函数为：
OC法数学模型
OC法数学模型
u
优化设计准则
OC法数学模型
优化设计准则
上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在整个设计区域
内容
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化实现流程
SIMP法+OC法 基于99行拓扑优化程序代码 top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)
1 2
3
有限元分析
目的：求整体位移矩阵
4节点矩形单元
1
4
e
2
3
Ke BeTDBetdA
B、D、t分别代表什么？？？
整体刚度矩阵
>top(80,50,0.5,3,3)
迭代次数：5
10
29
》top(60,20,0.5,3,3)
在Matlab中运行程序行 top(60,20,0.5,3,3)
迭代次数：10
15
30
69
>imagesc
悬臂梁
左端固支 右端中间作用垂直载荷
p 1
F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1) = -1 fixeddofs = [1:2*(nely+1)]
Ke
单元刚度矩阵
K
整体刚度矩阵
KUF
U 和 F 为 整 体 位 移 与 载 荷
整体节点编排：
划分网格数 (nelx,nely)
nely+2 1
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4
3 局部
6 5
(1)
(4)
e
(2)
(3)
整体
Biblioteka Baidu
KUF (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行结构分析，再按某种优 化策略和准则从这些子区域中删除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
拓扑优化建模方法
变密度法
SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ）(固体各向 同性惩罚函数法）
3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细条的形成，从 而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最佳，并且，这种方法在优化问 题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束，使计算效率大大降低）
4、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对较为容易，在约 束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是不需要在优化问题中加入额外约 束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种基于启发式求解规则的方法）
内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变量迭代格式：
n1enB,
Bp( e)p1ue Tk0ue ve
n 1 m e n a B x (m in,
e nm ) if
if e nB m ax (m in, e nm ) m ax (m in, e nm )e nB m in (1 , e nm )
e ——设计变量
SIMP法
(0,1)整数规划问题
[0,1]区间内的单元密度的连续变 量优化问题
(x) (e)p
min
C UTF
n
(
e
)
p
u
T e
kou
e
KU F
e 1
s.t. V 0
( ) V0 min
1
e ——设计变量
密度变量的引入： 在工程中，材料的刚度线性依赖材料的密度，即
目标函数(min& max)
约束函数
设计变量
目标函数——最小柔度(SIMP法)
(x) (e)p
min
C UTF
n
(
e
)
p
u
T e
kou
e
KU F
e 1
s.t. V 0
( ) V0 min
1
本质上，结构拓扑优化是个（ 0,1）整数规划 问题，属于组合优化的范畴。 2n次计算有限元分析 才能求得全局最优解，是个指数时间算法，非多项式 时间算法，随着单元数量n的增加，计算量会激增， 也 即 是 困 扰 组 合 优 化 领 域 的 NP 难 题 。
刚度大的材料，密度也大。比如，钢的密度比铝的密 度大，因此钢的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的 逻辑，就可用单元的密度来代替材料的有无，如下式
Ke pKe
K e为 惩 罚 的 单 元 刚 度 矩 阵 ； K e为 真 实 的 单 元 刚 度 矩 阵 ；
[0,1]为 每 个 单 元 的 密 度 ，
是 0到 1之 间 的 连 续 变 量 ； p为总大于1的罚(Penalization)因子， 一般取3，大的罚因子可使密度快 速的趋于0或者1。
敏度分析（sigmund.O）
网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术
一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个灰度水平）。 假设灰度值是连续变化的。
图像处理的一个常见问题是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。主要表现为离 散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。
拓扑优化算法及其实现
马灿 2015年11月30日
内容
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化
拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和 拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结 构件外形或者孔洞形状为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上 寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以 在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化， 具有更多的设计自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991) 证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应用于拓扑优化， 因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。
线性技术又分为两种：基于傅里叶变换对的方法（频率）和基于卷积的方法。但是傅 里叶变换法只能用于常规的矩形网格。
敏度分析（sigmund.O）
>Imagesc(-x)
敏度分析
目的：消除棋盘格效应及网格依赖性
方法：1、高阶单元法（计算量大） 2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部尺寸和周长边
界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能导致没有计算结果，如果定的 太松又达不到预期的效果。因此约束边界很难确定，这种情况在三维问题下特别明显）
RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ） （材料属性的理性近似模型）
Level Set法 (水平集法)
ICM(独立映射法)
ESO(进化法)
……
优化求解方法
OC法(优化准则法) MMA法(移动渐进线法) SLP(序列线性规划法） SQP(序列二次规划法) …………