复习大学数学极限.ppt

1、 x
时,函数f(x)的极限（变化趋势）
2、 x
时,函数f(x)的极限（变化趋势）
3、 x
时,函数f(x)的极限（变化趋势）
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20
例：
y
1
x
x
时,函数f(x)的极限
x 2, 3, 4, 5,
y 1 , 1 , 1 , 1 , 2345
→0
y
o
x
x
x y=f(x) →0
lim 2x 0
x
lim 2x 不存在 -∞
x
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y 2x +∞
28
正弦函数 y sin x
y sin x
lim sin x 不存在
x
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29
二、自变量趋于有限值时函数的极限
x x0 x0 为有限值
f(x) →变化趋势?
例7 讨论当 x 2 时，函数
的变化趋势
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30
x … 1.999999
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21
y1 x
x
时,函数f(x)的极限
x 2, 3, 4, 5,
y 1 , 1 , 1 , 1 , 2 3y4 5
0
-∞
x
o
x
y1 x
(X<0)
y=f(x) →0
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22
y 1 时,函数f(x)的极限 x
y
-∞
ox
+∞
x
y1 x
y=f(x) →0
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23
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3
2.1 极限的概念
现代日常生活中人们常用这种变化趋势来 判断事物的发展趋势。
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4
2.1 极限的概念
【古代极限思想】 庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，
记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
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5
2.1 极限的概念
【古代极限应用】
三国时期的刘微利用的割圆术求出圆周率近似 值时，提到“割之弥细，所失弥小，割之又 割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失 矣”
1.999999999
2 2.000000001
2.0000.1
…
y … 3.999996000001 3.999999996000000001
4.000000004000000001 4.0000400001 …
研究函数的极限,就是研究当自变 量按照某种方式变化时所对应的函数 值的变化趋势。
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18
对函数y f (x),
一、自变量趋于无穷大时函数的极限
x f (x) → 变化趋势?
二、自变量趋于有限值时函数的极限
x x0 f (x) → 变化趋势?
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一、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2.2'：设函数
，如果当X<0,
而|X|无限增大时，函数无限趋近于
某个固定的常数 A,则称当X趋于负
无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
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25
3. x 时,函数f(x)的极限
定义2.2″:设函数
，如果自变量X
可取正值也可取负值，X的绝对值无
如果一个数列的极限不存在,则称该 数列是发散(diverge)。
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课堂练习：判别下列数列是否收敛
1 , 2 , 3 , 4 2345
通项 n n 1
→1
(n )
lim n 1 n n 1
数列收敛
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2.1.2函数的极限
(limit of function)
函数 f ( x) 值 随着自变量x的变化而变化
1. x 时,函数f(x)的极限
定义2.2：设函数
，如果当X无
限增大时，函数无限趋近于某个固
定的常数 A,则称当X趋于正无穷时，
f(x) 以A为极限，
记为
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
类似可定义 x , x 时的极限.
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24
2.x 时,函数f(x)的极限
称为数列的通项或一般项。
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Байду номын сангаас
7
例如：
1, 1 2
,
1 3
,
1 4
, ,
1 n
, 记作：
1
n
记作： (1)n1
1 2
,
1 22
,
1 23
1 , 24
,
1 2n
, 记作：
1
2
n
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8
数列的极限
数列极限的实质：
随着项数n的变化,通项xn的变化趋势 也就是
考察当n→∞时，通项xn的变化趋势。
限增大时，函数无限趋近于某个固
定的常数 A,则称当X趋于无穷时， f(x) 以A为极限，
记为
lim f (x) A 或 f (x) A (x )
x
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26
lim 1 0 x x lim 1 0 x x
1 lim 0 x x
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27
例
y f (x) 2x
lim 2x ∞
x
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9
例 如,
1,
1 2
,
1 3
,
1 4
, ,
1 n
,
0
(n )
1 (n )
2 , 4 , 8 , , 2n ,
(n )
趋势不定
(n )
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10
数列 的极限定义：
给定一个数列 xn如果当项数n无限增大
时，xn无限趋近于 某个固定的常数A
则称常数 为该数列的极限。
记作
lim
xn 2n → ∞ (n )
lim 2n 极限不存在
n
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13
1 , 1 , 1 , , 1 ,
234 n
lim 1 0
收
n n
敛
lim n (1) n1 1
n n
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14
2 , 4 , 8 , , 2n ,
lim 2n
发
n
散
lim (1)n1不存在
n
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15
如果一个数列的极限存在,则称该 数列是收敛(converge)；
n
xn
A
（lim来自于英文单词“limit”——极
或 限） xn A (n )
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11
例：
1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 22 23 24 2n
1 2n → 0
(n )
常数 0 称为此数列的极限
记作：
1
lim 0
2 n n 优选文档
12
例：
2 , 4 , 8 , , 2n ,
圆内接正六边形
圆内接正十二边形
圆内接下24边形
边长越多，正多边形的周长越接近圆的周长
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6
2.1.1 数列的极限(limit of sequence)
数列的定义：
数列按照一定规律有次序排列的一串
数 x1, x2 , x3 , x4 , , xn ,
简记 xn.
（数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 =f(n)n=1,2, …）
极限的概念
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1
2.1 极限概念(limit)
极限是研究函数的一种重要的方法。
极限概念是微积分的基本概 念。也是微积分学研究的基本 工具 .后面将要介绍的函数的 连续性、导数、积分等重要概 念，都是以极限为基础的。
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2
2.1 极限概念(limit)
简单说：
极限是描述变量在某个变化
过程中的变化趋势。