一元二次方程与二次根式

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一元二次方程根的判别式、根与系数关系

△＞0方程有两个不相等的实数根． △=0方程有两个相等的实数根． △＜0方程没有实数根． △≥0方程有两个实数根．
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2

二次根式及一元二次方程复习及练习

二次根式小结与复习基础盘点1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根式.定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；（2）形如a b （a ≥0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质（1）a _____0（a ___0）；（2）()2a ＝_____（a ___0）；（3）a a =2＝()()⎩⎨⎧0_____0_____a a ；（4）=_________（a ___0，b ___0）；（5=_________（a ___0，b ___0）.3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含___；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都_____.4.二次根式的乘、除法则：（1）=______（a ___0，b ___0）；（2）=_______（a ___0，b ___0）.复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用==a a 2()()⎩⎨⎧<-≥00a aa a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5.同类二次根式：几个二次根式化成______后，如果_____相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____，然后把_______进行合并. 复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并，如：53+≠8；（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先_，再__，最后__，有括号的先_内的. 复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例1 若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A.x ≥34B.x ＞34C.x ≥43D.x ＞43方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义，就是看根号内的被开方数是不是非负数，如果是，就有意义，否则就没有意义，当二次根式含有分母时，分母不能为0.2 二次根式的性质例2 下列各式中，正确的是（）A.()332-=- B.332-=- C.()332±=± D.332±=方法总结：()a a =2成立的条件是a ≥0，而在化简()2a 时，先要判断a 的正负情况.3 二次根式的非负性例3 已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（）A.—15B.15C.215-D.215 方法总结：二次根式a （a ≥0）具有双重非负性，即a ≥0、a ≥0. 4 最简二次根式例4 下列二次根式中，最简二次根式是（）A.51B.5.0C.5D.50 方法总结：在进行二次根式化简时，一些同学不知道化到什么程度为止，切记，一定要化到最简二次根式为止. 5 二次根式的运算例5 计算1824-×31＝____.方法总结：二次根式的加减运算，一定要先化简才能得知算式中哪些二次根式可以合并，除法运算先化为乘法再运算，混合运算时要正确使用运算法则.6 二次根式的化简求值例6若120142013-=m，则34520132mmm--的值是_____.方法总结：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用.一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二次根式和一元二次方程(学生版)

学科教师辅导讲义学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：朱渊聪辅导科目：数学学科教师：程庆娇课题二次根式、一元二次方程复习教学目标1.复习二次根式的概念和性质，灵活掌握二次根式的运用2.复习一元二次方程的解法和应用重点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和应用难点一元二次方程的解法和应用考点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和运用二次根式、一元二次方程复习【热身练习】1、下列根式中是同类二次根式的个数是（1）b a 32 （2）24ab （3）329b a （4）31225ab （5）b a 522、当x < 2时，化简二次根式442+-x x = .3、若2132n m n -+与6是同类最简二次根式,则m= ;n =；4、因式分解：2222x x y y --= ；5、已知关于x 的一元二次方程2410x x -+=的两个实数根分别为x 1 、x 2，则 1211x x += ；2212x x += ；6、某进出口贸易公司2008年的出口商品利润比2007年增长12％，2009年比2008年增长7％，设这两年的平均增长率为x ，则x 满足的关系式为：7、化简：221(0)a a ba ba ab a a b a b aa b+÷÷>>-+-8、用配方法解方程：2212033x x +-=9、解含有字母系数的方程：()2220a xb c c a a b x b c b c -++++=【知识精要】一、二次根式1、二次根式的概念：代数式()0a a ≥叫做二次根式。

其中a 是被开方数(可为整式或分式).a 有意义的条件是0a ≥.2、二次根式的性质：性质 1 ()20a a a =≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a性质2 ()2()0a aa =≥;性质3 a b a b =⋅ ()0,0a b ≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=b a b a ab 性质4a ab b= （b a ,0≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅= 3、最简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式。

(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简=0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是4．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： +=3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；=|a|；=•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。

第一讲二次根式及一元二次方程

第一讲二次根式及一元二次方程【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）==a a 2⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．a≥0，b≥0）； =（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算6.分母有理化(1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：a =ba -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a a分别互为有理化因式。

(3)分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

7、一元二次方程：(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式方程叫做一元二次方程。

二次根式与一元二次方程

1、最简二次根式的化简 2、同类二次根式的合并
a.b a b(a 0,b 0) a a (a 0,b 0) bb
1、加减乘除的运算法则 2、运算律的应用
2 18 1 18 1 32
2
4
3 1 3
27 3
(3 10)2017 (3 10)2017
一元二次方程部分
课标要求与中考说明
1、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 2、能熟练地运用求根公式解一元二次方程。 3、会用因式分解法解一元二次方程。
1、会用一元二次方程根的判别 1、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否
式判别方程是否有实根和两个有实根和两个实根是否相等。
实根是否相等
2、清晰根与系数的关系，并会简单的变形应用
内容
课标要求
中考说明
一元二次方程的概念
知道一元二次方程的一般形式，知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元会把一个一元二次方程化成一二次方程化成一般形式。般形式。
一元二次方程的解法
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程的实际应用
理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
4、面积问题
文字语言、符号语言、图形语言的相互转化
5、几何动态问题标注、生成、再生成的习惯培养
销售利润问题
新华商场销售某种水箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
二次根式与一元二次方程单元备课
讲解流程
基本题型与典例剖析

二次根式与一元二次方程复习

2
专练 1、关于 x 的方程（a－2）x + ax + 5 = 0 是一元二次方程的条件是。
m 1
2
2、已知关于 x 的方程 mx 程，则 m =
2
(m 3) x 5 是一元二次方
2 2
。 + a －1 = 0 的一
3、关于 x 的一元二次方程（a－1）x 根是 0，则 a 的值为（（5） 3 2 48 ）
第 21 章（1） 6
3 2
复习巩固
2 1 1 3 （2） 3 2 12 2 2 5 3 2 3 1 3 1.7 6 2 6
第 22 章一元二次方程专讲知识点一：一元二次方程定义 1、把下列一元二次方程化成一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数，常数项？（1）2(x -1)=3(x-1)
2
（2）（x－4） = 3x + 12
2
（3）x（3x－3）－2x（x－1）－2 = 0
（3） 3 8 54 5 2 6 （4） 6

3 1 1 8 2 5 2 2 3 4
（4） (1 3 x)( x 3) 2 x 1

18 4 3 （6）
2 3 1

2 3 1

A、1
B、－1
2
C、1 或－1
D、
1 2
4、如果关于 x 的方程 mx + （m－1）x + 5 =0 有一个解为 2 ，则 m 的值是。
5、已知 2 是关于 x 的方程的值为。
3 2 x －2a = 0 一个解，则 2a－1 2
（4） 2 x 2 3

二次根式和一元二次方程复习题

二次根式和一元二次方程复习题一．选择题1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1 5．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．下列各式计算正确的是（）A．B．C．＝5D．＝7．下面计算正确的是（）A．+＝B．×＝C．＝﹣3D．﹣＝8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．10．要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是11．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 12．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14C．（x+6）2＝D．以上答案都不对13．用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3 14．已知最简二次根式与可以合并成一项，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝﹣1，b＝2 15．若y＝﹣3，则x+y＝（）A．1B．5C．﹣5D．﹣116．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根17．方程（x+1）（x﹣3）＝0的根是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝3 18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±219．已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（）A．3B．2C．0D．120．方程（x﹣2）（x+1）＝（x+1）的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x1＝3，x2＝﹣1D．x1＝﹣3，x2＝1 21．方程x2+6x﹣9＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根为﹣1D．没有实数根22．如果关于x的方程x2+k2﹣16＝0和x2﹣3k+12＝0有相同的实数根，那么k的值是（）A．﹣7B．﹣7或4C．7D．423．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定24．已知m、n是方程x2+5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+6m+n﹣2mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣5D．525．已知x、y为实数，且．则的值为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题26．计算的结果是．27．一元二次方程2x2＝5x的解是．28．分解因式：2a2﹣4a+2＝．29．关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2＝0有一个根为1，则m的值为．30．已知﹣＝﹣，＝，则a﹣b＝．31．计算：＝．32．若+|x﹣3|＝0，则x+y的平方根为．33．已知三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长是．34．计算：（）2010•（）2009＝．35．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx＝0是关于x的一元二次方程，求m＝．36．要使代数式有意义，则x应该满足的条件是．37．若最简二次根式与可以合并，则x的值为．38．关于x的方程2x2+kx﹣1＝0的一个根是﹣1，另一个根为．39．﹣（）2＝．40．已知﹣3是关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为．41．计算：＝．42．已知x2+6x＝﹣1可以配成（x+p）2＝q的形式，则q＝．43．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题44．（1）计算：（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝045．①计算：②解方程：9x2﹣6x+1＝046．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1 （2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣47．计算：（1）2+6﹣3（2）﹣（2+）2（2﹣）248．用适当的方法解方程（1）3x2﹣x﹣4＝0 （2）（x+3）2＝16（2﹣x）2 （3）x2+4x＝1249．解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．50．解方程．（1）2x（x﹣2）＝3x﹣6 （2）x2﹣2x＝2x+1 （3）3x2﹣x﹣4＝0．51．先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a＝+1．52．先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的正数根．53．已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．54．已知a＝，b＝，求的值．55．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值．56．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．57．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．58．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0．（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值．。

二次根式和一元二次方程知识点整理

二次根式二、知识要点1、二次根式的概念a ≥0）的式子叫做二次根式。

注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a ≥0，2、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤03、二次根式a ≥0）的非负性a ≥0）表示a a ≥00（a≥0）。

注意：a ≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a ≥0）的算术平方根是非负数，即2（a ≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用0=，则a=0,b=020b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。

4、二次根式2的性质：2a =（a ≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注意：二次根式的性质公式2a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2a =，如：22=，212=。

5、二次根式的性质(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注意：（1）、化简一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即(0)a a a==≥；若a是负数，则等于a的相反数-a,即1.414 1.7322.236≈≈；；；2、a的取值范围可以是任意实数，即不论a3a，再根据绝对值的意义来进行化简。

6、2与1、不同点：22表示一个正数a的算术平方根的平a的平方的算术平方根；在2中a可以是正实数，0，负实数。

但220≥0≥。

因而它的运算的结果是有差别的，2a=（a≥0）(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，2a＜0时，2无意义，而a=-。

二次根式和一元二次方程知识点

二次根式1. 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．2. 二次根式的性质：（1）=2)(a （a ≥0）；（2（3）⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a3. 二次根式的乘除：计算公式：___(0,0)___(0,0)a b a b ⎧≥≥⎪⎨=≥>⎪⎩4. 概念： 1.2.⎧⎨⎩最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式：5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式．6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．7. 二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．一元二次方程1. 一元二次方程：1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程．2) 一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ．它的特征：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．2. 一元二次方程的解法：1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．3. 一元二次方程根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根．4. 韦达定理：如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．5. 一元二次方程的二次函数的关系：其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y =0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X 轴的交点，也就是该方程的解了．。

二次根式和一元二次方程2011中考真题演练

二次根式和一元二次方程2011中考真题演练一、选择题1. （2011安徽，4，4分）设a =19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5【答案】C2. （2011山东菏泽，4，3分）实数a 在数轴上的位置如图所示，化简后为A ． 7B ．－7C ． 2a －15D ．无法确定第2题图【答案】A 3. （2011山东济宁，5，3分）若0)3(12=++-+y y x ，则y x -的值为（） A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7【答案】C4. （2011山东日照，1，3分）(-2)2的算术平方根是（）（A ）2 （B ） ±2 （C ）-2 （D ）2 【答案】A5. （2011浙江省，7，3分）已知21+=m ，21-=n ，则代数式mn n m 322-+的值为（）A.9B.±3C.3D. 5 【答案】C6. （2011四川凉山州，5，4分）已知y =，则2xy 的值为（）A ．15-B ．15C ．152-D ． 152【答案】A7. （2011湖北荆州，9，3分）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是 A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ． 28. （2011江苏苏州，8,3分）下列四个结论中，正确的是A.方程x ＋x 1=－2有两个不相等的实数根 B.方程x ＋x 1=1有两个不相等的实数根C.方程x ＋x 1=2有两个不相等的实数根D.方程x ＋x1=a （其中a 为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根【答案】D9. （2011山东济宁，5，3分）已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为A ．－１B ．0C ．1D ．2 【答案】A10.（2011四川成都，6,3分）已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式 mk x 42-的判断正确的是 (A) 042<-mk n (B) 042=-mk n(C) 042>-mk n (D) 042≥-mk n 【答案】C11. （2011四川绵阳12，3）若x 1,x 2(x 1 ＜x 2)是方程(x -a )(x-b ) = 1(a < b)的两个根，则实数x 1,x 2,a,b 的大小关系为 A ．x 1＜x 2＜a ＜b B ．x 1＜a ＜x 2＜b C ．x 1＜a ＜b ＜x 2 D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 【答案】B12. （2011湖北黄石，9，3分）设一元二次方程（x -1）（x -2）=m(m >0)的两实根分别为α，β，则α，β满足A. 1<α<β<2B. 1<α<2 <βC. α<1<β<2D.α<1且β>213. （2011安徽，8，4分）一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2【答案】D二、填空题1. （2011山东日照，15，4分）已知x ，y 为实数，且满足x +1y y ---1)1(=0，那么x2011-y2011= ．【答案】-2；2. （2011四川内江，加试1，6分）若m =，则54322011m m m --的值是．【答案】03. （2011四川内江，加试3，6分）已知263(5)36m n m -+-=--，则m n -= ．【答案】－24. （2011四川凉山州，25，5分）已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += 。

数学教案一元二次方程的应用(6篇)

数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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二次根式及一元二次方程

页眉内容22.3 二次根式的加减(1)教学内容：二次根式的加减教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学过程：一、设疑自探——解疑合探自探（学生活动）：计算下列各式．（1）；（2）；（3；（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）3+=3+2=5和3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．合探1．计算：（1（2分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．合探2．计算（1）（2）+二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展+y-（x）的值．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，1即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，2•再合并同类二次根式，最后代入求值．四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1中，与是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．下列各式：①②17；，其中错误的有（）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个（二）、填空题1、二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．（三）、综合提高题1 2.236-（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(2)教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标：运用二次根式、化简解应用题．重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学过程：一、设疑自探——解疑合探上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x1依题意，得：2PBQ的面积为35平方厘米．===PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为厘米．自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？解：由勾股定理，得===所需钢材长度为AB+BC+AC+BD =2+5+2 +7≈3×2.24+7≈13.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．）三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．注：（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b ．由题意得432632ab a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632ab a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．A ．BC ．D ．（二）、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m 2，•鱼塘的宽是_______m ．2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（三）、综合提高题12n 是同类二次根式，求m 、n 的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：）2=2-2·12反之，+1=）2 ∴）2求：（1 （2；（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．六、反思及感想：22.3 二次根式的加减(3)教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题: 1．计算：（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy 2．计算：（1）（2x+3y ）（2x-3y ）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．整式运算中的x 、y 、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．自探2.计算：（1）（2）（分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．自探3. 计算：（1））（（2））分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展：已知xb a-=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可．解：原式2(1)x x +-(1)x x+- =（x+1）=4x+2∵x b a-=2-x a b- ∴b （x-b ）=2ab-a （x-a ） ∴bx-b 2=2ab-ax+a 2∴（a+b ）x=a 2+2ab+b 2 ∴（a+b ）x=（a+b ）2 ∵a+b ≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b ）+2四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．五、作业设计（写在小黑板上）（一）、选择题1．）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2 B ．3 C ．4 D ．1（二）、填空题1．（-122）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若，则x 2+2x+1=________．4．已知a 2b-ab 2=_________．（三）、综合提高题12．当的值．（结果用最简二次根式表示）六、反思及感想：23.1 一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax（a≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

完整版二次根式及一元二次方程专题练习含解析

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1）．估算的值（544 D23 C3A12 B之间和之间之间和．在．在．在．在和和之间x2）+有意义，则应满足（．要使3x3BxAx33x CxD≤＜≤≤．．≤＜且．≠＜．203xabxa=0a）≠）．已知方程，则下列代数式的值恒为常数的是++（有一个根是﹣（bab DB Caab A﹣．．．+．2=0bbxa2cx4abca的根的情况是））+，+，+分别是三角形的三边，则方程（（+．已知）（B A．可能有且只有一个实数根．没有实数根D C．有两个不相等的实数根．有两个相等的实数根12%201552016GDP，由于受到国际金融危．武汉市）比年国内生产总值（年增长了x%7%GDPx%2016满足，若这两年，则年增长年平均增长率为机的影响，预计今年比）的关系是（x%1=2A12%7%=x% B112%17%））++）（．（+．（+2x%7%=2?x% D17%=112%1C12%））+．（+++）（．（6）．下列各式计算正确的是（A．1aB）＜．（C．D．2a74x1=0a5xx））满足（﹣．关于﹣的方程（﹣有实数根，则5a5Daa511AaBaaC1≠．且．．≥≥．＞≠且≠22ba2a2016=0xba8x）++的值为（．设，是方程 +﹣的两个实数根，则20162017 B2014A2015 DC．．．．页）18页（共1第3x1=x9x3）+ ）．方程（﹣）（﹣的解是（x=0x=31 Ax=0 Bx=3 Cx=3x=D或﹣．．．．或218=010x9x）的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（﹣+ ．方程DA12 B1215 C15 ．不能确定或．．．2c=0ab011axbxc=0a，那么我们称这个方程．定义：如果一元二次方程++≠+）满足（+2”“axbxc=0a0“”方程，且有两个相等的实数根，则下≠++方程．已知凤凰（为）是凤凰）列结论正确的是（a=b=ca=b Cb=c DAa=cB．．．．DOABOAy=12k0，且与直角斜边（）经过直角三角形＜的中点．如图，已知双曲线AOCAABC64）的面积为（，边相交于点．若点），则△的坐标为（﹣4CB9 6 D12 A．．．．二、填空题=13．．化简14．的结果是．计算=15．计算： +．22x1=0axa16的取值范围是 + +．如果方程．有两个不等实根，则实数222x3xx3x2=0x17xxx的值为﹣﹣+的两个实数根，则．设，+是一元二次方程．212211222n2mnmxn=0x=118xm的值为+ 的一个根，则．已知+是一元二次方程++．191的一元二次方程：．请你写出一个有一根为．（答案不唯一）222=7xxmx2m1=0xx20xx，+﹣，且﹣的两个实数根分别是+、．关于的一元二次方程22112xx的值是）则（．﹣2122kmkx3mmk=21x2x +的形式，其中+，为常数，则．．若把代数式﹣﹣化为（﹣）22．将根号外面的因式移进根号后等于．第2页（共18页）E23OABCBADEF的图象上．都在函数和正方形．若正方形的顶点的顶点若EOABC1k．的面积为，则正方形；点的值为的坐标为三、解答题24．计算：．21=3x2x25．+．用配方法解方程：23=04k2k1xx26 x．﹣（﹣的一元二次方程++．已知关于）k1取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（）求证：无论cbRtABCa=2恰好是这个方程的两个根时，△，且两条直角边）当的斜边长和（ABC 的周长．求△2m=027x2x．．已知一元二次方程﹣+m1的范围；）若方程有两个实数根，求（m=3x2xx3x的值．）若方程的两个实数根为，+，且，求（211222xxmxmx28x=21，﹣的两实数根为﹣．已知关于的一元二次方程）（21m1的取值范围；）求（myx2y=x的值，并求出最小值．取得最小值时，求相应+（）设，当21第3页（共18页）《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1）．估算的值（54 D3 C342A1 B2之间之间和之间．在．在．在和和之间．在和【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．363125，从而判断前后的两个完全平方数【分析】首先利用平方根的定义估算和的范围即可．的范围，再估算65＜＜【解答】解：∵43＜∴＜C．故选的【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算整数部分和小数部分．x2）+．要使有意义，则应满足（3xB3x3xD3xAx C≤＜＜．≤且≠．．≤．≤＜【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．00列式计算即可得解．【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于，【解答】解：由题意得，3x，≤解不等式①得，x，＞解不等式②的，3x．所以，≤＜D．故选：0；二次根式的被开方数是非负【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为数．页（共第418页）2bxa=0a3xa0），则下列代数式的值恒为常数的是（+ 有一个根是﹣（．已知方程）≠+bDa Cab Aab B﹣+．．．．【考点】一元二次方程的解．ax=代入方程，即可求解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把﹣20aabxa=0x），+（+≠有一个根是﹣【解答】解：∵方程2a=0aab，∴（﹣））++（﹣0a，又∵≠1=0baa，∴等式的两边同除以﹣，得+1b=a．﹣故﹣D．故本题选【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．2=0b2cxabxab4ac的根的情况是++）分别是三角形的三边，则方程（（）．已知+，，+）（BA ．可能有且只有一个实数根．没有实数根DC ．有两个不相等的实数根．有两个相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．所以利用根的判别式可以判断其根的情况．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，cab的式子的符号．，，能够根据三角形的三边关系，得到关于2222bcab=4ac=2c4ab=4cba），]﹣【解答】解：∵△（（）﹣）（+）（）+[+﹣（﹣+ 0c0abbca．，+＜+根据三角形三边关系，得﹣＞﹣0．∴△＜∴该方程没有实数根．A．故选【点评】本题是方程与几何的综合题．22c）主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（bbaa4）进行因式分解．）（++﹣（第5页（共18页）52016GDP201512%，由于受到国际金融危年国内生产总值（年增长了．武汉市）比20167%GDPx%x%满足年平均增长率为机的影响，预计今年比，则年增长，若这两年的关系是（）A12%7%=x% B112%17%=21x%））（（．++．（++）2x%17%= D112%1C12%7%=2?x%））．（++++）（．（【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．=1+增长率），然后用平均增增长前的量×（【分析】增长率问题，一般用增长后的量x%满足的长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即关系式．2015y，年的国内生产总值为【解答】解：若设2010年和今年的国内生产总值分别为：则根据实际增长率和平均增长率分别得到2016y1x%y112%），年国内生产总值：）或（++（1x%=112%，++所以2y112%17%y1x%），（今年的国内生产总值：）（（+++）或2=112%x%117%）．所以（++）+）（（D．故选【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．1aB）（．＜C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；【分析】B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；第6页（共18页）C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．A，本答案错误；【解答】解：≠、1aB），本答案正确；（＜、C，本答案错误；、2=4D=，本答案错误．、≠B．故选【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．2a4x57xax1=0）﹣有实数根，则的方程（﹣）满足（．关于﹣5Aa1Ba5 Daa1a5C1a≠且且≠．≥．．＞≥．≠【考点】根的判别式．【专题】判别式法．2a1=0xa5x14x﹣有实数根，那么分两种情况：（﹣【分析】由于﹣的方程（）当﹣）055=02a时，方程成为一元二次方程，利用判别式﹣时，方程一定有实数根；（）当≠a的取值范围．即可求出【解答】解：分类讨论：1=0a5=0a=54x，此时方程一定有实数根；即﹣①当时，方程变为﹣﹣50aa5时，②当即﹣≠≠21=0x4xax5有实数根﹣）∵关于﹣的方程（﹣05a164，）≥∴﹣+（1a．≥∴1aa．∴的取值范围为≥A．故选：224acc=0axbxa0=b：当△（≠）的根的判别式△【点评】本题考查了一元二次方程﹣++00=0，方程，方程有两个相等的实数根；当△＜＞，方程有两个不相等的实数根；当△没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．第7页（共18页）222aabbxx2016=08a的值为（ ++﹣的两个实数根，则．设+，）是方程A2014B2017C2015D2016．．．．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．222abaaaa2ab=a）的值，+【分析】由于），故根据方程的解的意义，求得（）+++（（++ab）的值，即可求解．+由根与系数的关系得到（2x2016=0ax的根，+【解答】解：∵是方程﹣2a=2016a；∴+ab=1，+﹣由根与系数的关系得：22aab=2016aa2ab=1=2015．++（+（）++﹣∴）C．故选：【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9x3x1=x3的解是（）．方程（﹣﹣）（+）Ax=0 Bx=3 Cx=3x=1 Dx=3x=0或．．﹣或．．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．x3），提公因式，降次即可求【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（﹣得．x3x1=x3﹣﹣））（+【解答】解：∵（x3x1x3=0）+﹣∴（﹣）﹣（）（x3x11=0）+∴（﹣﹣）（x=0x=3．，∴21D．故选x3当作一个整体，直接提公因式较简﹣【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．29x18=010x的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）．方程﹣+第8页（共18页）A12 B1215 C15 D．不能确定．．．或【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．29x18=0xx=6x=3，+﹣，得【解答】解：解方程216333=6，不符合三角形三边关系，腰为+时，由于∵当底为63，底为∴等腰三角形的腰为663=15+∴周长为+C．故选【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．2bxc=0a0ab11axc=0，那么我们称这个方程+）满足（．定义：如果一元二次方程+≠++2bxc=0a0““”ax”方程，且有两个相等的实数根，则下+为）是凤凰（方程．已知凤凰≠+列结论正确的是（）Aa=c Ba=b Cb=c Da=b=c．．．．【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．24ac=0abc=0=b，﹣+，又【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△+224ac=0ac4ac=0acbb=ac的关系．﹣﹣得（﹣与即﹣﹣，化简即可得到﹣），代入2bxc=0aax0）有两个相等的实数根，【解答】解：∵一元二次方程+≠+（24ac=0=b，∴△﹣abc=0b=ac，+﹣+﹣，即又224ac=0c4ac=0ba，得（﹣）代入﹣﹣﹣222222=0c=2acc4ac=aa2accac4ac=a，+（﹣）即（+﹣）﹣+﹣+a=c．∴A故选【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：10?方程有两个不相等的实数根；）△＞（2=0?方程有两个相等的实数根；（）△第9页（共18页）03方程没有实数根．）△＜?（D0OABOA12y=k，且与直角）经过直角三角形的中点＜．如图，已知双曲线斜边（AOC64ABCA），边），则△相交于点．若点的面积为（的坐标为（﹣4D12 B9 C6 A．．．．k的几何意义．【考点】反比例函数系数【专题】压轴题．4=AOBBOCA6AOC），△的坐标为（﹣【分析】△的面积﹣△的面积的面积，由点，kAOB=12的几何意的面积根据三角形的面积公式，可知△，由反比例函数的比例系数kOAD=BOCk值即可．的中点．只需根据|的坐标，求出|义，可知△的面积46DOAA），的坐标为（﹣的中点是，点，【解答】解：∵23D），（﹣∴，Dy=，∵双曲线经过点62=k=3，×∴﹣﹣=3=kBOC．|的面积|∴△4=12AOB=6，又∵△×的面积×3=9=12=AOCAOBBOC．∴△的面积的面积△﹣的面积﹣△B．故选k与其图象上的本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数【点评】S的关系，即点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积kS=．||二、填空题0=13．．化简页）18页（共10第【考点】二次根式有意义的条件．1=010x1x0x，从而得出结果．≥﹣≥，，得出【分析】由﹣﹣0x11x0，﹣﹣，≥≥【解答】解：∵1=0x，﹣∴=0．∴0a【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（）叫二次根式．性质：二次根式≥中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．414．的结果是．计算【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．==4．【解答】解：4．故答案为：【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．3=15． +．计算：【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．=2=3．【解答】解：原式+【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．22x1=0aa1a016ax≠的取值范围是＜．且．如果方程++有两个不等实根，则实数【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：第11页（共18页）1）二次项系数不为零；（20=b4ac2．＞）在有不相等的实数根下必须满足△（﹣，【解答】解：根据题意列出不等式组0aa1．解之得＜≠且0aa1．＜故答案为：≠且【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．2227xx3xx17xxx3x2=0． +则，是一元二次方程的值为+﹣﹣．设的两个实数根，221112【考点】根与系数的关系．22=xx3xxxxxxxx）【分析】根据根与系数的关系，可求出（++以及+的值，然后根据+22122111122xx进一步代值求解．+21xx=3xx=2；﹣+，【解答】解：由题意，得：21122xx=92=7=xx．+原式）（﹣+21217．故答案为：【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．22212mnmxn=0mx=118xn ++的一个根，则．．已知是一元二次方程+的值为+【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．222n1=0m2mnx=1xn=0mxmn+代入一元二次方程，然后把++【分析】首先把+中得到++利用完全平方公式分解因式即可求出结果．2mxn=0x=1x的一个根，是一元二次方程【解答】解：∵++mn1=0，+∴+mn=1，∴﹣+2222=11=m2mnnm=n．+）+）（﹣∴（+1．故答案为：【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．2=1119x的一元二次方程：．（答案不唯一）．请你写出一个有一根为第12页（共18页）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．22=1xx=1x=1等．得方程式【解答】解：根据题意．故本题答案不唯一，如【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因y1y2=0，后化为一般式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（+﹣））（2y2=0y．+形式为﹣222=7xxmx2m1=0xx20xx，+、﹣+﹣的两个实数根分别是．关于，且的一元二次方程2112213xx．﹣的值是）则（21【考点】根与系数的关系；根的判别式．22xxxxxx的值求出【分析】首先根据根与系数的关系，得出的值，然后根据++和211122mm的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．（需注意xx=mxx=2m1；【解答】解：由题意，得：﹣+，21212222xxx=xxx，）则：（+++ 2121212=722mm1），即+﹣（m=1m=5；解得，﹣242m1=254m=5=m90，不合题意；﹣当×时，△）＜﹣﹣（m=1xx=1xx=3；故，﹣﹣，﹣+2121224xx=112=13=xxxx．﹣（）﹣）++∴（221211【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本mm是否符合题意，以值后，一定要用根的判别式来判断所求的题需注意的是在求出免造成多解、错解．222x3xmmmk21kxk=3．，﹣则﹣+化为（﹣﹣）+的形式，．为常数，若把代数式其中【考点】完全平方公式．【专题】配方法．2224x12x14=x2x3=x，﹣﹣+﹣【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求﹣﹣（﹣）m=1k=4mk=3．．﹣+，则可知﹣2224x4=13=xx2x12x，﹣）【解答】解：∵﹣﹣﹣﹣+﹣（第13页（共18页）4m=1k=，∴﹣，3mk=．∴﹣+3．故答案为：﹣【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公222b=a2abab．±±+式：（）22．根号外面的因式移进根号后等于．将【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．a0a转化为，【分析】先根据二次根式定义得到，＜然后根据二次根式的性质把﹣再利用乘法公式运算即可．0，≥【解答】解：∵﹣0a，∴＜=?==a．﹣∴原式﹣﹣（﹣）．故答案为﹣=aa0 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（≥|）为二次根式；；|=?a0b0）等．，（≥≥23OABCBADEFE都在函数的图象上．的顶点若和正方形．若正方形的顶点E1OABC1k﹣）．；点的坐标为（+正方形的面积为，，则的值为k的几何意义．【考点】反比例函数系数1OABCAEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，【分析】（和正方形）根据正方形OABC1B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；且正方形的边长为，得出2DaOABCE点坐标，点在反比例函数图象上，用和正方形的边长表示出来（）由于第14页（共18页）Day=x0点坐标．（＞的值，即可得出）求得代入AEDFOABC各有一个顶点在一反比例函数图象上，且和正方形【解答】解：∵正方形1OABC．的边长为正方形11B），∴，点坐标为：（y=；设反比例函数的解析式为xy=k=1，∴aaADEFaE1），的边长为，，则设正方形+（0aaay=x01=1，）代入反比例函数，又（+＞）得：＞（a=．解得：﹣E的坐标为：（ +，﹣）．∴点考查了数形结合的思想，【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，xy=k得出是解题关键．利用三、解答题24．．计算：【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．22=34+﹣【解答】原式+﹣2=522﹣﹣+=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．21=3x2x25．+．用配方法解方程：【考点】解一元二次方程﹣配方法．第15页（共18页）【专题】计算题．1，首先把方程的二次项系数变成然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，【分析】则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．23x=2x1，﹣﹣【解答】解：移项，得1，二次项系数化为，得，配方，，由此可得=1x．∴，1【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即20bxaxc=0a）的形式，然后再配方求解．（+≠+23=04k1x26 xx2k．）的一元二次方程﹣﹣（．已知+关于+k1取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；）求证：无论（cb2RtABCa=恰好是这个方程的两个根时，和△的斜边长（，且两条直角边）当ABC的周长．求△【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．k10取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数【分析】（即可证明无论）根据△＞根；ccb2b即可得出答案．（的方程，解出）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于，，23=01xx1x4k2k，+的一元二次方程）﹣（﹣【解答】解：（+）关于22013=4=4k12k431=2k44k恒成立，﹣＞）（++）﹣（﹣+△k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；故无论222=31b2c=a①（）根据勾股定理得：+cb恰好是这个方程的两个根，因为两条直角边和第16页（共18页）bc=2k1bc=4k3③，+②，+则﹣222=312bc=bbcc，因为（++﹣）224k32k1=31，即（（+））﹣﹣22kk6=018k64k31=04k，﹣﹣+整理得：，即﹣+﹣+k=3k=2，，解得：﹣21k3kbc=4k0bc=2k10，＞﹣∵．+﹣+即＞＞即＞2k=（舍去），∴﹣21=7bc=2k，则++a=，又因为c=ABC7=ab+的周长+则△．+【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙10），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．运用△＞恒成立证明（2m=02x27x．．已知一元二次方程﹣+m1的范围；（）若方程有两个实数根，求m=3x3x2xx的值．+）若方程的两个实数根为，求，（，且2112【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．2m01xm=02x的有两个实数根，△≥【分析】（﹣）一元二次方程+，把系数代入可求范围；mx3x=3xx=22xx．+、）利用两根关系，已知，先求+，再求结合（2112212m=0x2x1有两个实数根，﹣+【解答】解：（）∵方程202=4m，≥）﹣∴△（﹣1m；解得≤=m?x=2x2xx，（）由两根关系可知，+，2121，解方程组第17页（共18页），解得=?xm=x．∴21【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．22xxm28xxx=21m，．已知关于﹣的一元二次方程﹣的两实数根为）（21m1的取值范围；（）求my=xxy2的值，并求出最小值．+取得最小值时，求相应）设，当（21【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．2m4ac01=b，建立关于）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△﹣【分析】（≥m的取值范围；的不等式，可求出mxy2x的函数关系式，根的表达式，进而可得出+（、）根据根与系数的关系可得出21m1y值．）题得出的自变量的取值范围，即可求出据函数的性质及（的最小值及对应的22=0m1xx1m2；﹣++）【解答】解：（）将原方程整理为（∵原方程有两个实数根，22m42m104m=8m=；（﹣≥）]∴△[≤﹣+，得﹣2222=0xm=21mxmxm21xx2x的两根，（﹣（）﹣）﹣（）∵，为一元二次方程，即++21mxy=x=2m2；∴≤+，且﹣+211m=ym．因而时，取得最小值随的增大而减小，故当【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性2）题的关键．质是解答（第18页（共18页）。

2019中考数学专题攻略-专题3一元二次方程根的判别式应用探讨

2019中考数学专题攻略-专题3一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2旳整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a≠0旳情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等旳实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等旳实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等旳实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等旳实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根旳判别式。

根旳判别式b2-4ac旳使用条件，是在一元二次方程中，而非别旳方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c旳值。

一元二次方程根旳判别式在初中数学中有着广泛旳应用，也是中考必考内容，并占有一定旳份量。

锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根旳情况、②根据方程根旳情况，确定待定系数旳取值范围、③限制一元二次方程旳根与系数关系旳应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时旳待定系数、⑤判断双曲线与直线旳公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）旳公共点个数。

下面通过近年全国各地中考旳实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根旳情况：典型例题：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x2x20++=旳根旳情况是【】A．有两个相等旳实数根 B．有两个不相等旳实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】D。

【考点】一元二次方程根旳判别式。

【分析】∵2x2x20++=中，a=1，b=2，c=2，∴△22=--⨯⨯-。

<b4ac=2412=40∴2x2x20++=无实数根。

故选D。

例2：（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确旳是【】A ．方程1x+=2x -有两个不相等旳实数根B ．方程1x+=1x有两个不相等旳实数根 C ．方程1x+=2x有两个不相等旳实数根 D ．方程1x+=a x （其中a 为常数，且a 2>）有两个不相等旳实数根【答案】D 。

二次根式与一元二次方程与二次函数

二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。

性质：2、a b=ab（a ≥0，b >0）数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根一元二次方程和二次函数知识点汇总2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2ax y = 当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x (y 轴)(0,0) k ax y +=20=x (y 轴) (0, k ) ()2h x a y -=h x = (h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-=(ab ac a b 4422--，)9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。