D8.1_曲线积分_习题课

(R>1), 取逆时针方向。
蜒 解: xdy ydx xdy ydx
L 4x2 y2
C 4x2 y2
2 sin d( cos ) cos d( sin )
0
2
2
2
4. [数学一 2003]
已知平面区域 D {(x, y) 0 x ,0 y }, L 为 D 的正向
边界. 试证：
( y)
1 y2
]dy
2. （中科院 高等数学乙 2008）
设 f (x) 在 (,) 上连续可导，求
1 y2f (xy)dx
L
y
L
x y2
[y2f
(xy)
1]dy
，其中
L
为从点 A(3, 2) 到 B(1,2) 的直线段。 3
解: ∴原式=
13 4 2 [1 f ( x)]dx
32 9 3
2 2 3
1 y2
[y2f
(y)
1]dy
13 [
2
f
(2
x)]dx
32 3 3
2
2[ f
3
(y)
1 y2
]dy
2xu 3
3 x 1
23
2
3 f (u)du
2
2
2
2 f (y)dy
3
1 y
2
4
3
3. [数学一 2000]
设 f (x) 在 (,) 上 连 续 可 导 ， 求 计 算 曲 线 积 分
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
I2
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
练习题: 1. 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
1. 基本方法
曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限
第二类: 下始上终
1. 计算 提示: 因在 上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
蜒 （1） xesin ydy yesinxdx xesin ydy yesinxdx ；
L
L
(2)
xesin ydy yesin xdx 22 。
L
解: (1)左边曲线积分＝ esin ydy 0 esin xdx （esin x esin x）dx
0
0
右边曲线积分＝ e－sin ydy 0 esin xdx （esin x esin x）dx
令 P 1 y2f (xy) ， y
Q
x y2
[y2f (xy)
1]
P y
1 y2
f
(xy)
xyf
'(xy)
Q x
故原积分与路径无关。
∴原式=
13 4 2 [1 f ( x)]dx
32 9 3
2 2 3
1 y2
[
y2f
(
y)
1]dy
1
[
3
2
32 3
f ( 2 x)]dx 3
2
2[
3
f
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I
2 3
(x2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y2
z2 )ds
4 a3
3
y
o
x
(的重心在原点)
例2. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x
.
解:
xydx x2dy
0 [x(1 x) x2 ]dx
1
[ x (1
x)
x
2
]dx
0
L
1
0
2. （中科院 高等数学乙 2008）
f (x) 设
连续可导，求
L
1
y2f y
(xy)dx
x y2
[y2f
(xy)
1]dy
，其中
L
2 从点 A(3, ) 到 B(1,2) 的直线段。
3
解:
0
0
＝左边曲线积分
(2) : 2 dxdy 22
D
蜒 L
xdy ydx 4x2 y2
C
xdy ydx 4x2 y2
D
(Q P)dxdy 0 x y
3. [数学一 2000]
设 f (x) 在 (,) 上 连 续 可 导 ， 求 计 算 曲 线 积 分
Ñ I xdy ydx , L 4x2 y2
其中 L 是以点(1,0)为中心, R 为半径的圆周
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
t)
t:0
y L
D
oA a B x
D 0d x d y
2a
0d
x
2a2
0
sin2 td t a2
0
3. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
o 1y
x
2
1 2
2
3 4
1 2
2
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
例1. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有
Ñ I xdy ydx , L 4x2 y2
其中 L 是以点(1,0)为中心, R 为半径的圆周
(R>1), 取逆时针方向。
解:
P y
Q x
（4yx2
4x2 2 y2）2
, (x,
y)
(0, 0)
，取一个足够小的顺
时针的椭圆 C：4x2 y2 2 （ 0 ）， 使得 C 位于 L 内。在 L 与 C 围成的区域上使用格林公式得，
a
a
x
2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
y
C
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
L
D
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
oC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
考研真题
1. （数学一 2010）
已知曲线 L 的方程为 y 1 x (x [1,1]) 起点是 (1, 0),
终点是 (1, 0), 则曲线积分 xydx x2dy = L