三个臭皮匠 概率论论文
概率中的“臭皮匠”与“诸葛亮”
概率中的“臭皮匠”与“诸葛亮”作者：张远南来源：《数学金刊·高中版》2008年第06期张远南：福建福州人，中学数学特级教师，著名科普作家，曾获全国优秀科技辅导员、苏步青数学教育奖（个人）、国务院特殊津贴奖，现任福建数学会常务理事、福建初等数学研究会常务理事、福建中学数学教学研究会副理事长。
常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”这是对人多办法多，人多智慧高的一种赞誉．但是，当人们得知这一富有哲理的话语，可以用概率的理论定量地加以证明时，一定都会对此深感意外！为了让同学们确信这一点，我们先介绍一下两个事件的独立性概念：如果一个事件的出现与另一个事件的出现无关，我们就说这两个事件是相互独立的．例如，甲的思维与乙的思维，只要没有预先商讨过，便是独立的；又如两次射击，第一次射击命中与第二次射击命中也是相互独立的．假定我们用AB表示事件A与事件B同时发生，那么当事件A与B互相独立时，我们有：P（AB）=P（A）·P（B）．事实上，这个结论可以从图1直观地反映出来．对于3个以上的两两独立事件，类似地我们有：P（AB…C）=P（A）·P（B）…P（C）．现在回到3个“臭皮匠”的问题．假定“臭皮匠”A独立解决问题的把握为P（A），“臭皮匠”B和C独立解决问题的把握分别为P（B）和P（C）．如果“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，我们用阴影区域的面积表示相应事件的概率（如图2所示）．那么，从图中我们立即看到：P（A或B）=P（A）+P（B）-P（AB）．注意到“臭皮匠”们对问题的思考是各自独立的，这样我们又有：P（A或B）=P（A）+P（B）-P（A）·P（B）．重复使用上面的公式，就能得到一个问题被3个“臭皮匠”之一解决的可能性大小的计算式：P（A或B或C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（A）P（B）-P（B）P（C）-P（C）P （A）+P（A）P（B）P（C）．举个例子来说，若P（A）=0.45，P（B）=0.55，P（C）=0.60，即3人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被3人之一解出的可能为：P（A或B或C）=0.45+0.55+0.60-0.45×0.55-0.55×0.60-0.60×0.45+0.45×0.55×0.60=0.901．看，3个并不聪明的“臭皮匠”居然有90％以上的把握解出问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！上面我们是从“臭皮匠”们解题把握的大小来分析的．其实，如果从他们不能解决问题的角度来分析，所得的结果将更简洁、更精辟．事实上，如果某一事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为（1-P）．这样，3个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为［1－P （A）］·［1－P（B）］·［1－P（C）］．用全部可能的1，减去都不能解决的可能性，当然就得到至少有一人解决的可能性，即P（A或B或C）=1－［1－P（A）］·［1－P （B）］·［1－P（C）］．式子展开的结果跟前面的公式是一样的，但计算要简单得多，如上例：P（A或B或C）=1-[1-0.45]·[1-0.55]·[1-0.60]=1-0.55×0.45×0.40=0.901．而且，当“臭皮匠”的人数增多时，这种算法的优势将更加明显，若此时用前一种算法计算将会不胜其烦．又如，10个刚参加军训的学生，每人打靶的命中率都只有0．3，这样的命中率应该说是很低的了．但如果朝同一目标射击，那么根据上面的式子，目标被击中的概率为P=1-（0.7）10≈0.97．也就是说，目标基本上会被击中．可见人多不仅智慧高，而且力量大，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”所言并不过分．。
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的概率诠释
“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的概率诠释
张志朝
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2006(000)010
【摘要】“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，这是民间流传很广的谚语．它告诉我们，对事情进行判断和决策时，广泛征求大家的意见，能够集思广益，作出正确的判断和决策．果真如此吗？下而从概率的角度来探讨一番．
【总页数】1页(P10)
【作者】张志朝
【作者单位】江苏省常州市前黄高级中学 213172
【正文语种】中文
【中图分类】I207.413
【相关文献】
1.三个臭皮匠,顶个诸葛亮——头脑风暴法 [J], 门雷
2.“三个臭皮匠，顶个诸葛亮” [J], 沈莉
3.三个臭皮匠,顶个诸葛亮--以小组合作学习，促进写作教学 [J], 张敏
4.三个臭皮匠顶个诸葛亮——一次园本教研活动的组织 [J], 宋武;徐宇;廖丽莉
5.“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”——谈课堂讨论在数学教学中的应用 [J], 何剑因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
三个臭皮匠 概率论论文
概率论结业论文学校：东北农业大学成栋学院系别：建筑与测绘工程系专业：土木工程班级：12级3班姓名：姚武扬学号：2012552326三个臭皮匠顶个诸葛亮摘要：概率论与数理统计起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化，最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。
通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。
本文将用概率论与数理统计的方式来证明一句俗语“三个臭皮匠，顶个诸葛亮。
”关键词：概率；应用；三个臭皮匠，顶个诸葛亮一、概率论简介概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
随着数学的不断发展，概率的定义也越来越实际化，越来越与生活密切相关。
同时，越来越丰富的学科发展，为概率论本身的研究和在日常生活中的广泛应用提供了更深入的条件。
二、“三个臭皮匠顶个诸葛亮”简介话说有一天，诸葛亮到东吴作客，为孙权设计了一尊报恩寺塔。
其实，这是诸葛亮先生要掂掂东吴的份量，看看东吴有没有能人造塔。
那宝塔要求可高啦，单是顶上的铜葫芦，就有五丈高，四千多斤重。
孙权被难住了，急得面黄肌瘦。
后来寻到了冶匠，但缺少做铜葫芦模型的人，便在城门上贴起招贤榜。
时隔一月，仍然没有一点儿下文。
诸葛亮每天在招贤榜下踱方步，高兴得直摇鹅毛扇子。
那城门口有三个摆摊子的皮匠，他们面目丑陋，又目不识丁，大家都称他们是丑皮匠。
概率在现实生活中的趣味应用
概率在现实生活中的趣味应用摘要：概率论是一门研究随机现象的数学学科它最早起源于赌徒提出的问题早在15-16世纪意大利数学家就开始讨论赌博等概率问题。
近几年来概率论已经被广泛的应用到自然科学、工程技术、经济理论、经济管理等许多方面。
由此可见概率论作为一门基础科学在社会发展中的巨大作用。
本文主要通过几个生活中的几个的几个趣味概率事件说明概率论的实用性一：概率在猜拳游戏中的应用我们大家在日常生活中经常玩猜拳，并且依据我们的经验，有的人猜拳的“水平”比较高，赢多于输，而有的人却输多于赢。
那么，在剪刀石头布的猜拳游戏中,有必胜的方法吗?或者说有胜算高的方法吗?我们先来看一下猜拳规则。
首先,两人共同伸出一只手,握拳成石头状。
然后,在一齐喊“剪刀、石头、布”后,各自出拳。
大家最初都握成石头状,因此胜负的关键在与之后出什么拳。
规则一：规定起始拳据心理学家研究发现,在剪刀石头布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳。
这也就是说,对方下一拳很有可能出石头以外的拳,即剪刀或布。
如果对方出剪刀或布的概率较大,那我们就出剪刀。
如果对方出布,我们就赢了。
如果对方出剪刀,只是平局,我们至少不会输。
如果双方都出剪刀打成平局,接下来对方出剪刀以外的拳,即石头或布的概率会比较大,因此那我们要出布。
如果对方出石头,我们就赢了。
如果对方出布,则是平局,再继续。
因此,大家都从握拳成石头状态开始,之后我们应该出剪刀。
如果出剪刀打成平局,我们再出布。
这也就是说,出拳的顺序应该是:石头、剪刀、布。
如果出布再打成平局,那就再出石头,然后还是剪刀、布、石头、剪刀、布，照这样的顺序出拳,获胜的概率会比较高。
如果要总结规律,那就是这次出的拳,那就是这次出的拳应该是上次输给对手的拳。
具体而言,如果对手上次出的是石头,我们这次就应该出剪刀;如果对手上次出剪刀,我们这次就应该出布,等等以此类推。
当然,如果遇到喜欢连续出同一种拳的人我们刚才的方法就会让你输的很惨。
运用案例教学法促进思政教育融入概率论与数理统计课
课程教学KE CHEN G JI A O XU E 运用案例教学法促进思政教育融入概率论与数理统计课黄河科技学院工学部基础科教中心赵秀兰刘洁马红娟曹佰强摘要：全面推进课程思政建设是人才培养的必备内容。
当前，社会思想观念和价值取向多元化，大学生毅力不足、合作意识薄弱、诚信缺失等问题尤不容忽视。
概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，不仅要求学生掌握基本理论、方法，培养学生的数学思维和数学逻辑推理能力。
还要注重挖掘概率论与数理统计课程自身所蕴含的思想政治教育元素和所承载的思想政治教育功能。
通过案例教学法，对案例进行剖析和讨论，并且融入思政教育元素，强调坚持不懈的科学探索、合作、诚信理念，培养学生成为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。
关键词：案例教学法；融入；思政教育；概率论与数理统计2020年5月，为了深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和全国教育大会精神，教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》，提到高校工作的根本任务是立德树人，而立德树人必须将价值塑造、知识传授和能力培养三者融为一体。
全面推进课程思政建设，就是将价值观引导融入知识传授和能力培养之中。
这一战略举措，促使我们一线教师去思考如何在数学课程中融入思政教育。
纵观数学的发展史，其中不乏坚持不懈探索客观规律的数学大师们，不乏大放光芒的数学思想，我们考虑在数学家的故事中、数学思想的产生过程中，有机、恰如其分地融入思政教育。
大学数学由高等数学、线性代数、概率论与数理统计三部分组成。
教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的《数学学科专业发展战略研究报告》中，总结了以下五个方面对大学生发挥的作用：掌握必要的数学工具，用来处理和解决本学科中普遍存在的数量化问题与逻辑推理问题；了解数学文化，提高数学素质，使人终身受益；学会“数学方式的理想思维”，如抽象思维、逻辑思维等；培养全面的审美情操，体会到数学是与史诗、音乐、造型并列的美学中心架构；为终身学习打基础，做准备。
概率论与数理统计课后习题答案1-8章_习题解答
第一章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习 题1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()A B AB AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率. 解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。
概率案例
案例1 谚语也概率
根据概率的知识验证民间的谚语“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”
知识点：概率的加法公式及概率的性质 案例分析：
三个臭皮匠指的是他们解决问题的能力很一般，如果用概率来解释，即独立解决问题的概率比较低。
但是三个臭皮匠一起解决问题，可以看成是单个事件的和事件，那么这个和事件的概率会是多少呢，和诸葛亮相比呢？ 解答：
不妨用A i 表示时间“第i 个臭皮匠独立解决某问题”，i =1,2,3，以B 表示事件“诸葛亮解决某问题”，并设他们解决问题的概率分别为
123()0.45,()0.5,()0.65,()0.9P A P A P A P B ====，
则三个臭皮匠解决问题的概率为：
3
1231223131231123123()()()()()()
1()1()()()10.550.50.350.9038
i i P P A A A P A P A A P A A P A A P A A A P A A A P A P A P A ===---+=-=-=-⨯⨯=∑
由此可以看出，三个并不聪明的臭皮匠一起解决问题的能力竟然达到0.9038，聪明的诸葛亮也不过如此。
评注：
1. 概率的加法公式及其他的相关的公式是计算随机事件的概率的重要工
具，但是这些公式死记硬背的效果并不是很好，所以如果能够结合这样的实际的例子加以解释，印象会更深刻。
2. 将此方法应用到类似的问题中，要注意条件的变化。
比如，如果进一步
说明两个人一起解决问题的能力，或三个人一起解决问题的能力，对概率的计算也应做相应的调整。
10 三个臭皮匠胜似一个诸葛亮
三个臭皮匠胜似一个诸葛亮常言道：“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮．”今天我们就用概率的理论，定量地对它进行证明．首先介绍两事件的独立性概念：如果一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率没有影响，我们就说这两个事件是互相独立的．例如甲气象台和乙气象台预报天气，这两件事，便是独立的；又如，某地患肺炎病与患砂眼病，这两件事是互相独立的；再如，两次射击，第一次击中目标与第二次击中目标，也是互相独立的．假定我们用AB表示事件A与事件B同时发生，那么，当事件A与B 互相独立时，我们有：P（AB）＝P（A）·P（B）．对于三个以上的两两独立事件，类似地我们有：P（AB…C）＝P（A）·P（B）……P（C）．现在回到三个“臭皮匠”的问题．假定“臭皮匠”A独立解决问题的概率为P（A）；“臭皮匠”B独立解决问题的概率为P（B）；“臭皮匠”C独立解决问题的概率为P（C）．如若“臭皮匠”只有两个，那么某一问题能被两者之一解决的可能性有多大呢？让我们仍从图形的分析开始吧！为方便起见，右图中我们用阴影区域的面积，表示相应事件的概率，如图所标．那么，从上下两图我们立即看到：P（A或B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）．因为“臭皮匠”们思考问题时是彼此独立的．这样，我们又有：P（A或B）＝P（A）＋P（B）－P（A）·P（B）．类似地便能够得到一个问题被三个“臭皮匠”之一解决的概率的计算式：P（A或B或C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）－P（A）P（B）－P（B）P （C）－P（C）P（A）＋P（A）P（B）P（C）．例如：P（A）＝0.45，P（B）＝0.55，P（C）＝0.60，即三人的解题把握都大致只有一半，但当他们总体解题时，能被三人之一解出的可能为：P（A或B或C）＝0.45＋0.55＋0.60－0.45×0.55－0.55×0.60×0.45 ＋0.45×0.55×0.60＝0.901．看！三个并不聪明的“臭皮匠”居然能够解出百分之九十以上的问题，聪明的“诸葛亮”也不过如此！上面我们是从“臭皮匠”们解决问题的角度来分析的．如果我们换另一个角度来分析，所得的结果将更简捷、更精辟．事实上，如果一事件出现的概率为P，那么该事件不出现的概率必定为（1－P）．这样，三个“臭皮匠”同时不能解决问题的概率为[1－P（A）][1－P（B）][1－P（C）]．把全部可能的1，减去同时不能解决的可能性，当然就得到三者至少有一人解决的可能性，即：P（A 或B或C）＝1－[1－P（A）][1－P（B）][1－P（C）]，此式展开的结果跟前面的公式是一样的，但保留上面算式在计算上要简单得多．如上例：P（A或B或C）＝1－（0.45）·（1－0.55）·（1－0.60）＝1－0.55×0.45×0.40＝0.901．又当“臭皮匠”人数增多时，前一种算法将不胜其繁，而后一种算法无须什么变动依然适用．例如，十个刚参加军训的学生，每人打靶的命中率都只有0.3，这样的命中率应该说是低的了．但如若他们朝同一个目标射击，那么据上面的式子，目标被击中的概率为：P＝1－（0.70）10≈0.97．也就是说，目标是几乎会被击中的．可见人多不仅智慧高，而且力量也大．“三个臭皮匠胜似一个诸葛亮”所言实不过分．。
2019年高二议论文 -三个臭皮匠如何顶得上诸葛亮？800字
然而一架波音飞机就要去了几亿双皮鞋的钱！他们这个时候反而不眼红了？这实在是国人的悲哀。中国的廉价商品的确畅销全球，因此国人就开始骄傲了，然而别人一个贸易保护主义就可以把你吃得死死的，你便宜，我就告你倾销，大批商人因大额的反倾销税而破产。说白了，你就是世界人民的打工仔，发达国家就是你的上司，他心情好让你过得舒坦点儿，他心情一不好你就得倒霉。国际的旧秩序无时无刻不在打压中国，而打破这一旧秩序的手段，便是以知识强国，以科技立国。海尔公司遍布各大洲，大赚发达国家的钱，凭什么？凭的就是那七百多件国际专利技术！你掌握了知识，就是掌握了的砝码。如今温州人也在机制创新，也在联合。为什么？因为他们带来的臭皮匠的出现，而是希望更多的诸葛亮能将中华民族带向一个新的辉煌。
然而事实真的如此么？我想未必。假如三个臭皮匠真的顶一个诸葛亮，那刘备干吗要放下身段，两次三番的去请一个诸葛亮？当时臭皮匠多了去了，全国到处都是。他刘皇叔怎么没拉十个八个的臭皮匠当他的军师？其原因就不言而喻了，后来是蜀吴魏三分天下，一大半都是孔明兄的功劳，假如刘备真请隔十个八个的臭皮匠为他出谋划策估计他最早被别人拉出去砍了，哪轮得到他后来称帝？
三个臭皮匠如何顶得上诸葛亮？
“三个臭皮匠，顶得思广益，远比一个高材来得强，因为个人总有想不到的地方，众人脑袋多，想的方法自然就多。这算是一正解，而这句话听的最多的原因，是八十年代，全国下海经商，许多没有文化的人因为抓住了机遇，收入远远的超过了那些在校教书的博士们，又由于正好与学习无用论这个冤家碰到一块，于是就以讹传讹，这句话好像如同真理一般被定了下来了。
三个臭皮匠未必胜过一个诸葛亮
三个臭皮匠未必胜过一个诸葛亮在问题规模和市场规模不断扩大的今天，依靠大众力量的众包是热门的解决之道。
三个臭皮匠胜过一个诸葛亮众包的内容很多，其中就包括集体智慧。
俗话说，三个臭皮匠胜过一个诸葛亮。
早在1906年，全才的英国人弗朗西斯高尔顿（探险家、优生学家、心理学家，差异心理学之父，生理计量法的创始人，以及科学切蛋糕法的发明人）就已经发现了群体智慧的精确性。
有一次，他来到一个集市，目睹了一场有800人参加的猜重量比—猜一头被屠宰的公牛的重量。
事后，他收集了所有人的测算并计算出平均值，得出的结果是1208磅。
令高尔顿惊讶的是，这与这头牛的真正重量（1198磅）相差只有10磅，误差不到1%！群体智慧可见一斑。
乌合之众与羊群效应但是，群众的眼光未必都是雪亮的。
我们还听说过乌合之众和羊群效应。
比方说，对热门内容采用投票机制的社交新闻网站就证明了互联网用户存在羊群效应。
纽约大学的Sinan Aral进行过一个实验，他把一些文章投递到一个不具名的聚合器上，然后人工操纵每篇文章一开始的“喜欢”和评论数量。
结果发现，那些一开始就有“喜欢”和评论的文章的流行度要比没有的高。
也就是说，群体容易受到他人看法的影响。
研究人员发现，如果群体受到同一种方式影响，比方说受相互影响或被某种外部因素影响，其观点往往就会集中在某个有偏差的估计上。
这样的话这伙人的智慧可能是愚蠢的。
消除偏见/偏差不过，西班牙马德里Cajal Institute的神经科学家Gabriel Madirolas和Gonzalo De Polavieja已经发现了一种消除偏见/偏差的办法。
他们发现，有些人会更容易受一些更加自信的人的附加信息的影响，因此研究人员把这些容易受影响的人和那些独立思考者分开成两组。
结果发现，独立思考者更有可能给出明智的评估。
换句话说，群体的智慧不可取，只需取自信者的智慧。
但是如何才能识别出自信者呢？研究人员研究了早前的一个估算实验数据。
3《相互独立事件同时发生的概率(1)
•问题5：⑴一个坛子里有6个白球，3 个黑球， 问题5 一个坛子里有6个白球， 个黑球， 问题 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ， 摸到一个球是黑球的事件为B 摸到一个球是黑球的事件为 B ， 问 A 与 B 是互 斥事件呢，还是对立事件？ 斥事件呢，还是对立事件？ 甲坛子里有3 个白球， 个黑球； (2) 甲坛子里有 3 个白球 ， 2 个黑球 ； 乙坛子 里有2个白球， 个黑球． 里有2个白球，2个黑球．设从两个坛子里分 别摸出一个球， 别摸出一个球，从甲坛子里摸到白球叫做事 从两个坛子里分别摸出一个球， 件 A ； 从两个坛子里分别摸出一个球 ， 从乙 坛子里摸到白球叫做事件B 坛子里摸到白球叫做事件 B ． 问 A 与 B 是互斥 事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ 事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？
与事件B是相互独立的 问题6 上述问题中事件A与事件 是相互独立的,请问 问题6: 上述问题中事件 与事件 是相互独立的 请问 也是相互独立的吗? A 与 B， A与 B ， 与 B 也是相互独立的吗 A
2．独立事件同时发生的概率的计算公式 从甲坛子里摸出1个球， 种等可能的结果； 从甲坛子里摸出 个球，有5种等可能的结果；从 个球 种等可能的结果 乙坛子里摸出1个球 个球， 种等可能的结果 种等可能的结果， 乙坛子里摸出 个球，有4种等可能的结果，于是 从两个坛子里各摸出1个球 共有5× 个球， 从两个坛子里各摸出 个球，共有 ×4 种等可能 的结果，表示如下： 的结果，表示如下：
小结： 小结：
1、相互独立事件的意义，注意利用问题的实 相互独立事件的意义， 际意义进行判断； 际意义进行判断； 2、弄清公式P(A B)=P(A) P(B)与P(A1•A2•…•An) 弄清公式P(A•B)=P(A) P(B)与 P(A B)=P(A)•P(B) A A ＝P(A1)•P(A2) •…•P(An)成立的条件； P(A P(A 成立的条件； 3、注意解题步骤！ 注意解题步骤！
三个臭皮匠如何顶得上诸葛亮议论文
三个臭皮匠如何顶得上诸葛亮议论文作为一名学生，我们经常被老师布置各种议论文的作业，而其中最经典的议论文之一无疑是《三个臭皮匠顶得上诸葛亮》。
在这篇议论文中，作者通过对比三个臭皮匠和诸葛亮的智慧与能力，来证明智慧并不只存在于少数“天才”手中，而是每个人都可以通过勤奋和努力来获得。
那么，我们该如何写一篇顶得上诸葛亮的议论文呢？首先，我们应该明确一点：三个臭皮匠并非与诸葛亮完全相同的对象。
诸葛亮是历史上的著名军事家、政治家和文学家，他的智慧和才华是几乎无人能及的；而三个臭皮匠则是一个民间故事中的小人物，他们的职业是修理屋子，智商、文化水平都不高。
但是，这并不意味着三个臭皮匠就没有任何可取之处，也不能与诸葛亮相提并论。
其次，我们应该认识到“顶得上”这一概念的含义。
顶得上并不意味着完全赶超，而是指在某一方面有一定的优势或者能够达到同等水平。
因此，我们应该在文中选取三个臭皮匠具有优势的方面，来与诸葛亮进行对比。
那么，三个臭皮匠到底有哪些优势呢？我们可以从以下几方面来探讨：第一，勤奋与刻苦。
三个臭皮匠是一个勤劳、刻苦的民间工匠，他们在修缮屋子的过程中，必须克服各种困难，经常需要爬上高处、搬运重物，这需要身体素质和毅力。
而诸葛亮虽然也是一位勤奋的人，但其精力主要集中在政治、文学和军事方面，而非劳动。
第二，实际经验。
三个臭皮匠是工匠，他们在修理屋子的过程中，积累了丰富的实际经验，掌握了各种技能和技巧。
这些经验可以帮助他们更好地应对各种问题，修建出更加牢固、美观的屋子。
而诸葛亮虽然才华横溢，但其经验主要是从书本上获得的，实际操作和实践经验相对较少。
第三，团队合作。
三个臭皮匠是一个团队，他们必须密切协作，分工合作，才能完成修建屋子的任务。
这需要他们有良好的沟通能力、合作精神和团队意识。
而诸葛亮虽然也是一位领袖，但其职责更多是独立思考和独断决策，团队合作并非其主要优势。
在论述三个臭皮匠的优势之后，我们也应该正视他们的劣势和不足。
《概率论与数理统计》课程思政元素的探讨
《概率论与数理统计》课程思政元素的探讨作者：刘巧静赵守江来源：《科教导刊·电子版》2020年第19期摘要概率论与数理统计是理工类和经管类各专业普遍开设的一门基础课程，本文结合《概率论与数理统计》课程的教学内容，挖掘关联思政元素的几个案例，为后期该课程思政教育奠定基础，对其它数理课程的思政教育提供有价值的借鉴和参考。
关键词概率论与数理统计课程思政贝叶斯公式小概率事件中图分类号：G642 文献标识码：A“十大”育人体系提出要大力推动以“课程思政”为目标的课堂教学改革，上海市首先开始思政课程到课程思政的转变探索，全国各大高校纷纷投入到课程思政的建设中，并取得了一系列研究成果。
思政教育近来也引起了三峡大学诸多老师的高度关注，但主要集中在人文社会学科，在自然学科的各个课程中如何开展课程思政建设还缺乏相对深入的研究和实践。
数学家拉普拉斯（Laplace）曾经提到：“生产生活中的绝大多数问题，皆为概率问题。
”概率论与数理统计是我校理工类和经管类各专业普遍开设的一门基础课程，它的许多概念和原理蕴含着重要的概率统计思想，是对学生进行思政教育的良好素材。
本文将从以下几个教学内容探讨该门课程思政切入点，希望能够对其它数理课程的思政教育提供有价值的借鉴。
1从频率与概率看偶然性与必然性恩格斯说：“在表面偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐蔽规律支配的。
而我们的问题只是在于发现这些规律”。
历史上德摩根投掷2048次均匀硬币，出现了1061次正面，浦丰投掷4040次，出现了2048次正面，皮尔逊投掷24000次硬币，出现了12012次正面，从上面数据可以看到当抛硬币的次数较少时，频率在0.5附近摆动（偶然性），但是随着试验次数的增加，它基本稳定于投掷一枚硬币出现正面的概率0.5（必然性）。
实际上该偶然性和必然性正是伯努利大数定律所阐述的内容，即：条件不变时，独立重复进行某试验，某事件发生的频率依概率收敛于该事件发生的概率。
概率论在生活中的应用
概率论在生活中的应用作者：吴欣洲来源：《科技资讯》2018年第22期摘要：本文在以事件发生的不确定性为引子，介绍了日常生活中遇到的概率问题，用数学中的概率论的相关知识验证了“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”这种说法是基本成立的。
同时，针对保险，采用伯努利试验理论和二项分布相关知识，验证了“保险公司盈利”是必然的，以及保险公司获得某一利润的概率。
最后，把数学期望和方差运用于“投资理财决策”，对几种投资的收益和风险进行了分析。
关键词：概率伯努利试验二项分布中心极限定理中图分类号：O211.9 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2018）08（a）-0249-02数学是一门基础理论，有着严密的理论体系。
概率论作为数学理论体系的一个重要组成部分，与人们的生产有着千丝万缕的联系[1]。
根据现象是否发生，可以把现象分成两大类：一类是确定性现象，如“早晨，太阳必然从东方升起”；一类是不确定现象，即随机现象，如“明天是否降雨”。
这些现象可能出现也可能不出现，它们出现的概率或大或小。
下面，针对这种具有不确定性的现象，本文将对生活中的几个具体例子进行分析和讨论。
1 三个臭皮匠，顶个诸葛亮我们常说“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”。
我们多用这句话来表达人多力量大、众志成城的意思。
这句话到底有没有道理，对不对呢？我们用概率论来论证一下。
假设以诸葛亮的智商，解出问题的概率为0.8。
臭皮匠的智商低，臭皮匠A解出问题的概率为0.5，臭皮匠B解出问题的概率为0.48，臭皮匠C解出问题的概率为0.45。
那么，三个臭皮匠解出问题的概率为有多大呢？我们可以这样来分析：如果一件事情出现的概率为P，则该事件不出现的概率必定为1-P，这样三个臭皮匠都解不出问题的概率为[1-P（A）]×[1-P （B）]×[1-PC）]，把全部可能1，减去三个臭皮匠都不能解出问题的概率，即为三个臭皮匠至少一个人解出问题的概率为：P（A+B+C）=1-[1-P（A）]×[1-P（B）]×[1-PC）]=1-0.5×0.52×0.55=0.857>0.8这三个才能平庸的臭皮匠中至少有一个人解出问题的概率超过了0.8。
概率论与数理统计课程思政的探究与思考
DOI: 10.12677/ae.2021.113100
642
教育进展
杨立波 等
还蕴含着深刻的思政元素，例如“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”、“水滴石穿，金石可镂”所体 现的正是概率论课程中二项分布之伯努利试验所要揭示的量变与质变的关系，用概率的语言叙述，即为：
Advances in Education 教育进展, 2021, 11(3), 641-645 Published Online May 2021 in Hans. /journal/ae https:///10.12677/ae.2021.113100
价值观和世界观。
2.3. 发掘史料，激发爱国情怀
在课程教学中注重史料的发掘和中国辉煌数学成就史的介绍，有利于培养学生的家国情怀。比如， 我国概率论与数理统计的先驱者许宝騄先生，许宝騄先生[3]在中国开创了概率论、数理统计的教学与研 究工作，毕生从事数学的教学和研究，重视培养人才，所授课程是深刻的思想与完美的形式的结合。自 20 世纪 50 年代以来，长期患病，仍以顽强的毅力坚持教学和科研工作，为中国的科学事业和培养年轻 一代数理统计工作者做出了很大的贡献。通过名人事迹，引导学生学习科学家们不畏困难、积极探索和 勇于创新的科研精神，以及献身祖国、献身科学的高尚情操，激发学生的学习兴趣，培养学生的爱国情 怀，增强学生的民族自豪感和文化自信，激励学生要为祖国的繁荣富强而学习。
= 0.05× 0.85 0.05× 0.85 + 0.95× 0.15
0.229 .
第二人说“有虎”后，同理可得 P ( B A2 ) = 0.672 。当第三人说“有虎”后， P ( B A3 ) = 0.905 。通过
2.4.2事件的相互独立性
（3）设每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概 率为0.002，求在1500人的电影院中存在感冒病毒 的概率有多大？
解：记 Ai=“第i个人带有感冒病毒”，
并设各人是否带有感冒病毒是相互独立，
则由性质1.6.4 即知 P（A1∪A2∪…∪A1500）= 1-[1-P（Ai）] =1-（1-0.002）×1500=0.95.
P(C+D+E)=1- P(C)P(D)P(E) 0.973
P(F+G)=1- P(F)P(G) 0.9375
代入得
P(W) 0.782
（4）下面是一个串并联电路示意图. A、B、 C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下 方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常 工作的概率.
C
0.70
AB
D
0.95 0.95
0.70
E
0.70
F
0.75
H
G
0.95
0.75
解：
将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有
P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 其中
导入新课
思考
根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭 皮匠臭死诸葛亮”设计这样一个问题：
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.85，三个臭 皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、 0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗？
学生的解法可能为: 设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语; 事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语; 事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语. 则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C) =0.6+0.5+0.4 =1.5
中国古代谚语中的概率思想 数学毕业论文
中国古代谚语中的概率思想摘要文章通过从中国古代谚语中提取三句，“常在河边走，哪有不湿脚”(小概率思想)，“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“三人行，则必有我师”，用概率思想对其作一个崭新的诠释。
并且联系现实生活，进一步说明这些思想在生活之中的体现与应用。
关键词: 谚语概率思想概率论The idea of probability in ancient Chinese proverbDepartment of mathematics and computer science andapplied mathematics professionalABSTRACTThe article extract three sentences from the ancient Chinese proverb,"often walk near the river,which have not we feet "(small probability theory),"the three stooges ,top of Zhu Geliang ","three of us are walking together ,there must be my teacher ", as a new interpretation of the idea of probability .And linked to the real life , to further illustrate the application of these ideas in life .Key words : Proverb Probability thought Probability theory1.引言随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在。
而概率作为数学的一个重要部分，同样与生活有着密切的联系。
一位高中数学教师眼中的“三个臭皮匠顶个诸葛亮”
一位高中数学教师眼中的“三个臭皮匠顶个诸葛亮”有些事诸葛亮也无能为力常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮”。
'皮匠'应该是'裨将'的谐音，'裨将'在古代指'副将'，原意是指三个下层的、一线的行军打仗的裨将智慧有时加起来，比一个运筹帷幄、稳坐中军帐的诸葛亮可能来的正确、来的实在和有效，在流传的过程中，后人以讹传讹，将“裨将”讹成了'皮匠'这个同音字。
这是对人多办法多,人多智慧高的一种赞誉。
至于它是否真的正确，就是个人见仁见智的问题了。
人多力量大，智慧不大但是,当你得知这一富有哲理的话语,可以用概率的理论,定量地加以证明时,你是否会感到意外呢？01相关概念要想真正的搞明白其中的数学原理，我们要先了解一个相关的概念——相互独立事件。
独立事件:如果一个事件的出现与另一个事件的出现无关（互相不影响）,我们就说这两个事件是互相独立的。
例如,某甲的思维与某乙的广告展板设计,只要没有预先商讨过,便是独立的;在数学上“三个臭皮匠”的智慧必须不能互相影响，影响了就不是相互独立的，借鉴、建议等等一定是不可以的，这与我们平时认为的商讨的结果胜过诸葛亮有本质上的不同。
02两个独立事件同是发生的概率假定我们用AB表示事件A与事件B同时发生,那么,当事件A与B 互相独立时,我们有：P(AB)=P(A)﹒P(B)实际上，上面的这个结论可以从下图中反应出来。
例、某商场推出两次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。
奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。
如果两次兑奖活动的中奖概率都为0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：①“都抽到某一指定号码”；②“恰有一次抽到某一指定号码”③“至少有一次抽到某一指定号码”解：①记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A，“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次的抽奖的结果是互不影响的，因此A和B相互独立。
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概率论结业论文
学校：东北农业大学成栋学院
系别：建筑与测绘工程系
专业：土木工程
班级：12级3班
姓名：姚武扬
学号：2012552326
三个臭皮匠顶个诸葛亮
摘要：概率论与数理统计起源于生活，通过科学的数学研究分析进行深层次的提高于理论化，最终将理论作用于实际，造福于我们平日的生产生活。
通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。
本文将用概率论与数理统计的方式来证明一句俗语“三个臭皮匠，顶个诸葛亮。
”
关键词：概率；应用；三个臭皮匠，顶个诸葛亮
一、概率论简介
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。
随着数学的不断发展，概率的定义也越来越实际化，越来越与生活密切相关。
同时，越来越丰富的学科发展，为概率论本身的研究和在日常生活中的广泛应用提供了更深入的条件。
二、“三个臭皮匠顶个诸葛亮”简介
话说有一天，诸葛亮到东吴作客，为孙权设计了一尊报恩寺塔。
其实，这是诸葛亮先生要掂掂东吴的份量，看看东吴有没有能人造塔。
那宝塔要求可高啦，单是顶上的铜葫芦，就有五丈高，四千多斤重。
孙权被难住了，急得面黄肌瘦。
后来寻到了冶匠，但缺少做铜葫芦模型的人，便在城门上贴起招贤榜。
时隔一月，
仍然没有一点儿下文。
诸葛亮每天在招贤榜下踱方步，高兴得直摇鹅毛扇子。
那城门口有三个摆摊子的皮匠，他们面目丑陋，又目不识丁，大家都称他们是丑皮匠。
他们听说诸葛亮在寻东吴人的开心，心里不服气，便凑在一起商议。
他们足足花了三天三夜的工夫，终于用剪鞋样的办法，剪出个葫芦的样子。
然后，再用牛皮开料，硬是一锥子、一锥子地缝成一个大葫芦的模型。
在浇铜水时，先将皮葫芦埋在砂里。
这一着，果然一举成功。
诸葛亮得到铜葫芦浇好的消息，立即向孙权告辞，从此再也不敢小看东吴了。
“三个丑皮匠，胜过诸葛亮”的故事，就这样成了一句寓意深刻的谚浯。
三、用概率论方法解释“三个臭皮匠顶个诸葛亮”
常言道：“三个臭皮匠，顶个诸葛亮。
”意为：三个才能平庸的人，若能同心协力，集思广益。
也能提出比诸葛亮还周到的计策。
这是对人多智慧广，人多办法多的一种赞誉。
下面，我们就用概率原理来加以论证。
假设诸葛亮解出问题的概率为0.8，三个臭皮匠独立解出问题的概率分别为P(A)=0.5 P(B)=0.48 P(C)=0.45，且每个臭皮匠解出问题使相互独立的。
那么三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率可由概率的加法公式算得：P(A+B+C)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)+P(CA)+P(ABC)
=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+P(A)P(B)(C)
=0.5+0.48+0.45-0.5x0.48-0.48x0.45-0.5x0.45+0.5x0.48x0.45
=0.857>0.8
即三个并不聪明的臭皮匠解出问题的可能性超过85%，从而超过聪明的诸葛亮。
我们还可以从以下角度来分析。
如果一件事件出现的概率为P，则该事件不出现的概率必定为1-P。
这样，三个臭皮匠同时不能解出问题的概率为[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]。
把全部可能11，减去三个臭皮匠同时不能解出的可能性。
就得到三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为：
P(A+B+C)
=1-[1-P(A)x1-P(B)x1-P(C)]
=1-[(1-0.5)x(1-0.48)(1-0.45)]
=0.857
又当臭皮匠人数增多使（以10人为例），假设诸葛亮解出问题的概率为0.8，每个臭皮匠独立解出问题的概率都为P=0.45,但每个臭皮匠解出问题是相互独立的。
用后一种计算方法的10个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为：P=1-(1-0.5)^10=0.9990234375>>0.8
也就是说，问题基本上都能解出，从而赛过聪明的诸葛亮。
可见人多不仅智慧广，而且力量也大。
总结
虽然概率论最早产生于17世纪，然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性，随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。
特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。
概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中。
为人类世纪的生产生活带来便利。