3---_Wilcoxon符号秩检验

0
成立，有
Xi X j 2
0 , i j}.
特别当原假设为H0：θ ＝0成立，有
W #{

Xi X j 2
0, i j}.

Hodge－Lehmann估计量 利用Walsh平均可以得到对称中心θ 的点估计，
即可由Walsh平均的中位数来估计对称中心，称之为 Hodge－Lehmann估计量。
100( 1-α )%置信区间为 [ W (k＋1), W (N－k)]。

再看看例2.2的置信区间。 求出其Walsh平均，共55个值。取α=0.05， 则求得k=9时，有 P(W+ ≤ 9)≤0.025，P (W+≥ 55－9)≤0.025，
所以θ 的95％的置信区间为 [ W (10), W (46)]＝[ 8.02, 12.73 ]。
样本 xi
zi的 符号
－
－
－
＋
＋
＋
3.92 6
＋
4.32 7
＋
＋
＋
6.45 10
zi的绝 3.88 2.19 0.37 1.74 2.39 对值 秩 5 3 1 2 4
4.89 5.54 8 9

Step 2. 计算W＋。 W+=2+4+6+7+8+9＋10＝46 利用W＋的分布，辅以统计软件，可计算出 p值＝ 0.032。 Step 3. 所以给定α＝0.05时，此时可拒绝原 假设，认为欧洲人均酒精年消费多于8升。
两配对数据比较问题

两成对数据的比较问题可以转化成单样本 问题，用符号检验或Wilcoxon符号秩检验做 统计分析。方法是将两成对样本作差，观 察它们的差值，将其视为新的样本，所以 两配对样本实际上就是单一样本。

例 2.3 给12组双胞胎做心理检验，以测量每个人 的进取心。我们感兴趣的是对双胞胎进行比较， 看第一个出生的是否倾向于比另外一个更有进取 心。结果如下，高分显示更多的进取心。表中， Xi表示第一个出生的得分，Yi表示第二个出生的得 分。D i表示两者差，即D i ＝ Yi －Xi, i=1, 2, … , 12。 Ri表示D i绝对值的秩。则D1，…，D12是独立同分 布的，且设总体为D 。
80
＋ 9 9
81
－ 7 7
72
－ 15 12

Di的12个值按顺序排列为： -15, -12, -10, -8, -7, -4, -3, -1, 2, 5, 6 , 9 取α＝0.05，查表可得k=14。则MD的95％的置信区 间为[ W (15), W (64)]。

这15个最小的平均，由(-15-15)/2开始，是 -15, -13.5, -12.5, -12, -11.5, -11, -11, -10, -10, -9.5, -9.5 ,-9, -9, -8.5, -8 所以， W (15)＝－8，即置信区间下界是－8。
n
注： S是W＋当Ri＝i时的特殊情况。研究W＋ 的分布可转为研究S的分布。
概率分布 性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时， W＋的概率分布为 P ( W+ = d )=P ( S＝d ) =t n(d)/2n, 其中，d＝0, 1, 2, … , n(n+1)/2，tn (d)表示从1, 2, … , n这n个数中任取若干个数（包括一个都 不取），其和恰为d，共有多少种取法。

检验步骤： H0： θ ＝θ
0
（对应于各单双边备择假设）
Step 1. 计算 xi 0 , i=1, 2, … , n。记差为z i. Step 2. 将差z i.的绝对值，即 z1 , … , z n 按从小到 大的顺序排列。由于总体服从连续型分布，不妨 假定样本互不相等，都不等于0，且样本差的绝对 值也互不相等。所以可得到样本z i.的绝对值的秩， 不妨记 的秩为R i。 zi
问题是求D的中位数MD的95％置信区间。
Leabharlann Baidu
双胞胎组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Xi
86
71
77
68
91
72 77
91
70
71
88
87
Yi
Di符号 |Di| Ri
88
＋ 2 2
77
＋ 6 6
76
－ 1 1
64
－ 4 4
96
＋ 5 5
62 65
－ 10 10 － 12 11
88
－ 3 3
62
－ 8 8


对称性 性质 2.3 在总体的分布关于原点0对称时， W＋服从对称分布，对称中心为n(n+1)/4， 即：对所有的d=0, 1, 2, … , n(n+1)/4，有 P ( W+ = n(n+1)/4 － d ) ＝ P ( W+ = n(n+1)/4 + d ),
P ( W+ ≤ n(n+1)/4 － d ) ＝ P ( W+ ≥ n(n+1)/4 + d )。
Wilcoxon符号秩检验置信区间

Walsh平均 为利用更多的信息，可求每两个数的平均 ( Xi＋Xj )/2, i≤ j，（一共有 n(n+1)/2 个）来扩 大样本数目。这样的平均称为Walsh平均。

Walsh平均和W+的关系。 在原假设成立的条件下，即 H0：θ ＝θ
W ( 0 ) #{

先计算每个样本值和原假设中me0的值 之差，即Xi－8。
考虑这些差的绝对值并将绝对值从小到 大排序，从而求出这些绝对值的秩。 再计算比8大的样本对应的绝对值的秩之 和，如果这个和比较大，我们就拒绝原假 设，接受备择假设。



问题一般提法： 假定样本X1, … , X n来自分布连续对称 的总体X，在此假定下总体X的中位数等于 均值。 问题主要是检验中位数，即原检验为 H0：me=me0，相对于各种单双边的备择假 设。

例 2. 2中我们的检验设为： H0：M＝8 ，H1：M > 8
下面来用Wilcoxon符号秩检验，等价于检验 H0：θ ＝8 ，H1： θ > 8

检验步骤 Step 1. 对于 i=1, 2, … , n，计算得到新的样本zi和 它们对应的秩如下：
4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.9 13.54 14.45

15个最大的平均，从(9+9)/2开始，是 9, 7.5, 7, 6, 5.5, 5.5, 5, 4, 4, 3.5, 2.5, 2, 2, 1.5 ,1 所以， W (64)＝1,置信区间的上界是1。

所以中位数95％的置信区间是[ －8, 1 ]。

W＋的分布性质
设独立同分布样本x1,…,xn来自连续对称总体 X,X分布的对称中心为θ 。为方便讨论，不妨设原假 设为 H0：θ ＝0， 即总体分布关于原点0对称的条件下，讨论W＋ 的性质。 注：W＋与W－有下列关系： W++ W- = n(n＋1)/2

（关键）性质 2.1 令 S i 1 iui , 则在总体的 分布关于原点0对称时，W＋与S同分布。
ˆ median{ X i X j , i j}. 2

θ
0
的置信区间。
可利用Walsh平均得到θ 0 的100( 1-α )%置信
区间。具体步骤： (1) 先求出满足下面两式的整数k，即k使得 P(W+≤k)≤α/2，P (W+≥ n－k)≤α/2，
(2) 将求出的Walsh平均数，按升幂排列，记为 W(1), … , W(N)，N=n(n+1)/2，则θ 0 的
Step 3. 符号秩和检验统计量为
W i 1 ui Ri , 其中
n
1, zi 0 ui 0, 否则。
或者取检验统计量为
W i 1 vi Ri , 其中
－ n
1, zi 0； vi 0, 否则。
主要取W＋为检验统计量。

Step 4 设w＋表示由样本算出的W＋的值。 （1） H0： θ ＝θ 0 , H1： θ >θ 0 p值＝P( W＋≥ w＋ )； （2） H0： θ ＝θ 0 , H1： θ <θ 0 p值＝P( W＋≤ w＋ )； （3） H0： θ ＝θ 0 , H1： θ ≠θ 0 p值＝2min{P( W＋≥ w＋ )，P(W＋≤ w＋)}
结果完全对称！说明符号检验只与符号有关！

Wilcoxon符号秩检验结果 对于检验（H1）： 检验统计量W+=46 ， p值＝0.03223，对α＝0.05，拒绝H0。 对于检验（H2）： 检验统计量W＋＝11， p值＝0.05273，对α＝0.05，不能拒绝H0。
结果不对称！说明Wilcoxon符号秩检验不仅与符号 有关，还和数值大小有关！

有结的情况下，用平均秩法。 性质2.6 在总体的分布关于原点0对称，有结秩取 平均时， E(W+)=n(n+1)/4， g +）=n(n+1)(2n+1)/24－ ( i3 i ) / 48 D（W i1 其中g表示结的个数， i 表示第i个结的长度。 有结时，W＋的期望和方差实际上是条件期望和 方差，它们是在样本数据中给定有g个结，且结的长 度分别给定为 1 , 2 ,, g 时的条件期望和条件方差。
对Step 4的注解： 对于对称中心不为0的总体分布，可以转 化为中心为0的情况进行检验！ 现不妨假设θ0＝0，则原假设变为 H0：θ＝0 对于这种检验，通过严格的证明来说明p值 的选取。
（1）H0： θ＝0 , H1： θ>0。 若H1成立，则总体X的分布关于点θ对称。 从而有， P( X>0 ) > P( X<0 ) ， 且对任意正数a， P( X>a ) > P( X<－a )。 所以当H1成立，不仅观察到的取正值的样本 数据的个数比较多，且取正值的样本数据的 拒绝值也比较大。由此，H1成立时，W＋的值 较大 。所以p值＝P( W＋≥ w＋)。
§2.2 Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signedrank test )是非参数统计中符号检验法的改进， 它不仅利用了观察值和原假设中心位置的 差的正负，还利用了差的值的大小的信息。 虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩 的基本思想。

例 2. 4 下面是10个欧洲城镇每人每年平均消费的 酒量（相当于纯酒精数）（单位：升）。数据已 经按升幂排列。 4.12 5.18 7.63 9.74 10.39 11.92 12.32 12.89 13.54 14.45 人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中 位数相当于纯酒精8升，也就是me0=8。由数据 算得的中位数为11.16。因此，我们的检验设为： H0：me＝8 ，H1：me > 8

期望方差及渐近正态性 性质 2.4 在总体分布关于原点0对称时， E(W+)=n(n+1)/4， D（W+）=n(n+1)(2n+1)/24。 性质 2.5 若总体分布关于原点0对称，则在样本容 量n趋于无穷大时，W+有渐近正态性： W＋ L N（n(n+1)/4，n(n+1)(2n+1)/24）
注： （1）与符号检验不同： Wilcoxon符号秩检验 假设总体分布是对称的。 （2）在总体分布对称的假设下，即设总体X 的分布关于点θ 对称，则X的均值和中位数 相同，且均为θ 。所以检验总体中位数可 等价于检验总体对称中心。即检验的原假 设 H0：M=M0 等价于 H0：θ=θ0（相对于各 种单双边的备择假设）。


与符号检验的比较。
续例 2.2 两个不同方向的假设检验。 考虑下面的假设检验： H0：M=12.5, H1：M<12.5 （H2） 比较它与前一个假设检验： H0：M=8, H1：M>8 （H1） 对这两个问题分别用Wilcoxon符号秩检验和符 号检验方法。

符号检验结果 对于检验（H1）： S－=3, S+=7, 检验统计量K＝S＋＝3， p值＝0.171875，对α＝0.05，不能拒绝H0。 对于检验（H2）： S－=7, S+=3, 检验统计量K＝S＋＝3， p值＝0.171875，对α＝0.05，不能拒绝H0。