必修3教案1.3.1 辗转相除法与更相减损术(2课时)
1.3.1《算法案例-辗转相除法与更相减损术》(整理)
完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0
例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45
90=45×2 显然45是90和45的最大公约数，也就是 225和135的最大公约数
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
更相减损术算法
第一步,给定两个正整数m、n,不妨设m>n, 第二步,若m,n都是偶数,则不断用2约简（记 录个数）,使他们不同时是偶数,约简后的两 个数仍记为m,n 第三步,d=m-n 第四步,判断”d<>n”是否成立,若是,则将n,d 中较大者记为m,较小的记为n,返回第三步; 否则,2^k *d(k是约简整数的2的个数)为所 求的最大公约数.
开始
输m,n(m>n)
K=0 n=n/2 m=m/2
m,n为偶数?
是
K=k+1
否
d=m-n n=d m=n 否 m=d
是
d<>n?
d>n?
是
否
输出2^k d 结束
高中数学 第一章 算法初步 1.3.1 辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3(2021年整
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1。
3.1 辗转相除法与更相减损术一、三维目标（a）知识与技能1。
理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别,并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c)情态与价值观1。
通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2。
在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
二、教学重难点重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
三、学法与教学用具学法:在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序.教学用具：电脑,计算器，图形计算器四、教学设计（一）创设情景，揭示课题1。
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术教案
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）<1>怎样用短除法求最大公约数？<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：①用短除法求18和31的最大公约数.②用辗转相除法求8251与6105的最大公约数.③画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.【教学效果】：理解辗转相除法.2、阅读教材36—37页内容，回答问题（更相减损术）<4>怎样用更相减损术求最大公约数？结论：<4>《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.【教学效果】：理解更相减损术.三、【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数.2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.四、【小结】本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.五、【教学反思】当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.。
最新高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案精品版
2020年高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教案精品版《辗转相除法与更相减损术》教案教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3.1节.一．教学目标（1）知识目标：①理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.②基本能根据程序框图与算法语句的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力.②培养学生自主探索和合作学习的能力.（3）情感目标：①通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献.②在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力.③创设和谐融洽的教学氛围，使学生在课堂活动中获得成功感，从而培养学生热爱数学、积极学习数学、应用数学的热情.二、教学重点、难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学方法和手段教学方法：启发、引导、探究、讨论等.教学手段：多媒体辅助教学.四、教学用具:多媒体教学平台教具准备：多媒体课件（Powerpoint）、QB应用程序、课时讲义．五、授课类型：新授课六、教学程序《辗转相除法与更相减损术》教案说明这堂课设计上先求两个简单数的最大公约数，再变大这两个数（其实这个思路是辗转相除法的逆过程），慢慢让学生体会其中的最大公约数原理，由简单的例子让学生自己去探索规律，然后求两个较大数的最大公约数，从而引出用欧几里德辗转相除法求两个数的最大公约数的思想方法,组织学生讨论如何把它转换成程序框图和程序并上机验证;接着介绍更相减损术,以例2为例介绍其算理,引导学生发现其算法特点,思考如何设计程序框图并转化为程序上机验证.这部分内容是新课程新增进的内容，对案例的分析让学生对算法有了进一步的认识,并从程序的学习中体会数学的严谨性，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤.本节课的重点是学会用辗转相除法与更相减损术求两个正整数的最大公约数，难点是把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程中，从实例出发，引用历史背景，借助多媒体手段教学，提高教学效率，激发学生的学习兴趣，由简单慢慢加深让学生自主探索，巧妙引导，发现规律，使教与学做到有机结合，使课堂教学达到最佳状态.。
1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术
第一课时 1.3.1 算法案例---辗转相除法与更相减损术教学要求：理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析； 基本能根据算法语句与程序框图的知识设计出辗转相除法与更相减损术完整的程序框图并写出它们的算法程序.教学重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.教学难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.教学过程：一、复习准备：1. 回顾算法的三种表述：自然语言、程序框图（三种逻辑结构）、程序语言（五种基本语句）.2. 提问：①小学学过的求两个数最大公约数的方法？（先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.）口算出36和64的最大公约数. ②除了用这种方法外还有没有其它方法？6436128=⨯+ ，36∴和28的最大公约数就是64和36的最大公约数，反复进行这个步骤，直至842=⨯，得出4即是36和64的最大公约数.二、讲授新课：1. 教学辗转相除法：例1：求两个正数1424和801的最大公约数.分析：可以利用除法将大数化小，然后逐步找出两数的最大公约数. （适用于两数较大时） ①以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的. 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商0S 和一个余数0R ；（2）若0R ＝0，则n 为m ，n的最大公约数；若0R ≠0，则用除数n 除以余数0R 得到一个商1S 和一个余数1R ；（3）若1R ＝0，则1R 为m ，n 的最大公约数；若1R ≠0，则用除数0R 除以余数1R 得到一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，此时所得到的1n R -即为所求的最大公约数.②由上述步骤可以看出，辗转相除法中的除法是一个反复执行的步骤，且执行次数由余数是否等于0来决定，所以我们可以把它看成一个循环体，它的程序框图如右图：（师生共析，写出辗转相除法完整的程序框图和程序语言）练习：求两个正数8251和2146的最大公约数. （乘法格式、除法格式）2. 教学更相减损术：我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术. 在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.翻译为：（1）任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步.（2）以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数. 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数. 例2：用更相减损术求91和49的最大公约数.分析：更相减损术是利用减法将大数化小，直到所得数相等时，这个数（等数）就是所求的最大公约数. （反思：辗转相除法与更相减损术是否存在相通的地方）练习：用更相减损术求72和168的最大公约数.3. 小结：辗转相除法与更相减损术及比较①都是求最大公约数的方法，辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少；②结果上，辗转相除法体现结果是以相除余数为0得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、巩固练习：1、练习：教材P35第1题 2、作业：教材P38第1题第二课时 1.3.2 算法案例---秦九韶算法教学要求：了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数、提高计算效率的实质；理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用. 教学重点：秦九韶算法的特点及其程序设计.教学难点：秦九韶算法的先进性理解及其程序设计.教学过程：一、复习准备：1. 分别用辗转相除法和更相减损术求出两个正数623和1513的最大公约数.2. 设计一个求多项式5432()254367f x x x x x x =--+-+当5x =时的值的算法. （学生自己提出一般的解决方案：将5x =代入多项式进行计算即可）提问：上述算法在计算时共用了多少次乘法运算？多少次加法运算？此方案有何优缺点？(上述算法一共做了5＋4＋3＋2＋1＝15次乘法运算，5次加法运算. 优点是简单、易懂；缺点是不通用，不能解决任意多项式的求值问题，而且计算效率不高.)二、讲授新课：1. 教学秦九韶算法：① 提问：在计算x 的幂值时，可以利用前面的计算结果，以减少计算量，即先计算2x ，然后依次计算2x x ⋅，2()x x x ⋅⋅，2(())x x x x ⋅⋅⋅的值，这样计算上述多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法?（上述算法一共做了4次乘法运算，5次加法运算）② 结论：第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率，而且对于计算机来说，做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多，因此第二种做法能更快地得到结果.③ 更有效的一种算法是：将多项式变形为：5432()254367((((25)4)3)6)7f x x x x x x x x x x x =--+-+=--+-+，依次计算2555⨯-=，55421⨯-=，2153108⨯+=，10856534⨯-=，534572677⨯+= 故(5)2677f =. ――这种算法就是“秦九韶算法”. （注意变形，强调格式）④ 练习：用秦九韶算法求多项式432()2351f x x x x x =+-++当4x =时的值. （学生板书→师生共评→教师提问：上述算法共需多少次乘法运算？多少次加法运算？）⑤ 如何用秦九韶算法完成一般多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的求值问题？改写：11101210()(()))n n n n n n n f x a x a x a x a a x a x a x a x a ----=++++=+++++ .首先计算最内层括号内一次多项式的值，即11n n v a x a -=+，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+， ，10n n v v x a -=+.⑥ 结论：秦九韶算法将求n 次多项式的值转化为求n 个一次多项式的值，整个过程只需n 次乘法运算和n 次加法运算；观察上述n 个一次式，可发出k v 的计算要用到1k v -的值，若令0n v a =，可得到下列递推公式：01,(1,2,,)n kk n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩ . 这是一个反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现.⑦ 练习：用秦九韶算法求多项式5432()52 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-当5x =时的值并画出程序框图.2. 小结：秦九韶算法的特点及其程序设计三、巩固练习：1、练习：教材P35第2题 2、作业：教材P36第2题第三课时 1.3.3 算法案例---进位制教学要求：了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换；学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律.教学重点：各种进位制之间的互化.教学难点：除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图及其程序的设计. 教学过程：一、复习准备：1. 试用秦九韶算法求多项式52()42f x x x =-+当3x =时的值，分析此过程共需多少次乘法运算？多少次加法运算？2. 提问：生活中我们常见的数字都是十进制的，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制，旧式的秤是十六进制的，计算一打数值时是12进制的......那么什么是进位制？不同的进位制之间又有什么联系呢？二、讲授新课：1. 教学进位制的概念：① 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几. 如：“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制 . 同一个数可以用不同的进位制来表示，比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的. 表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示，如上例中：(2)(8)(16)1110017139==② 一般地，任意一个k 进制数都可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式，即110110()110110...(0,0,...,,)n n n n k n n n n a a a a a k a a a k a k a ka k a k ----<<≤<=⨯+⨯+⨯+⨯ . 如：把(2)110011化为十进制数，(2)110011=1⨯25+1⨯24+0⨯23+0⨯22+1⨯21+1⨯20=32+16+2+1=51. 把八进制数(8)7348化为十进制数，3210(8)7348783848883816=⨯+⨯+⨯+⨯=.2. 教学进位制之间的互化：①例1：把二进制数(2)1001101化为十进制数.（学生板书→教师点评→师生共同总结将非十进制转为十进制数的方法）分析此过程的算法过程，编写过程的程序语言. 见P34②练习：将(5)2341、(3)121转化成十进制数.③例2、把89化为二进制数.分析：根据进位制的定义，二进制就是“满二进一”，可以用2连续去除89或所得商，然后取余数. （教师板书）上述方法也可以推广为把十进制化为k 进制数的算法,这种算法成为除k 取余法. ④练习：用除k 取余法将89化为四进制数、六进制数.⑤例3、把二进制数(2)11011.101化为十进制数.解：43210123(2)11011.101121202121212021227.625---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（小数也可利用上述方法化进行不同进位制之间的互化. ）变式：化为八进制→方法：进制互化3. 小结：进位制的定义；进位制之间的互化.三、巩固练习：1、练习：教材P35第3题 2、作业：教材P38第3题第四课时 1.3.4 生活中的算法实例教学要求：通过生活实例进一步了解算法思想.教学重点：生活实例的算法分析.教学难点：算法思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 前面学习了哪几种算法案例？每种算法的作用及操作方法是怎样的？2. 算法思想在我们的生活中无处不在，如何利用我们所学习的知识解决生活中的实际问题？二、讲授新课：1. 霍奇森算法：提问：同学们经常会面对一个共同的问题，就是有时有太多的事情要做. 例如，你可能要面临好几门课的作业的最后期限，你如何合理安排以确保每门课的作业都能如期完成？如果根本不可能全部按期完成，你该怎么办？（霍奇森算法可以使得迟交作业的数目减到最小. 这一算法已经广泛应用于工业生产安排的实践中.）例如：当你拿到下面这组数据后，你会如何安排你的时间，以确保每门课的作业都能如期完成？可用自然语言描述为：①把这些作业按到期日的顺序从左到右排列，从最早到期的到最晚到期的；②假设从左到右一项一项做这些作业的话，计算出从开始到完成某一项作业时所花的时间. 依次做此计算直到完成了所列表中的全部作业而没有一项作业会超期，停止；或你算出某项作业将会超期，继续第三步；③考虑第一项将会超期的作业以及它左边的所有作业，从中取出花费时间最长的那项作业，并把它从表中去掉；④回到第二步，并重复第二到四步，直到做完.2. 孙子问题：韩信是秦末汉初的著名军事家. 据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数.韩信先令士兵排成了3列纵队进行操练，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵 队，这一改又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行. 由此得出共有士兵2333人. 如何用现在的算法思想分析这一过程？《孙子算经》中给出了它的具体解法，其步骤是：选定57⨯的倍数，被3除余1，即70；选定37⨯的一个倍数，被5除余1，即21；选定35⨯的一个倍数，被7除余1，即15. 然后按下式计算702213152105m p =⨯+⨯+⨯-，式中105为3,5,7的最小公倍数，p 为适当的整数，使得0105m <≤，这里取2p =.求解“孙子问题”的一种普通算法：第一步：2m =.第二步：若m 除以3余2，则执行第三步；否则1m m =+，执行第二步.第三步：若m 除以5余3，则执行第四步；否则1m m =+，执行第二步.第四步：若m 除以7余2，则执行第五步；否则1m m =+，执行第二步.第五步：输出m .3. 小结：算法的基本思想.三、巩固练习： 作业：教材P38第3题。
高中数学 1.3.1 辗转相除法与更相减损术教案 新人教A版必修3
过程与方法体会算法的基本思想，提高逻辑思教学难点：体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体会算法的思想）怎样用短除法求最大公约数？样用更相减损术求最大公约数？，3(x0)的值共需要1精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
最新人教版新课标高中数学必修三教案1.3第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法
最新人教版数学精品教学资料辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析．(2)基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序．(3)了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质．2．过程与方法(1)在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤．(2)模仿秦九韶算法，体会古人计算构思的巧妙．(3)通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久．通过对排序法的学习，领会数学计算与计算机计算的区别，充分认识信息技术对数学的促进．3．情感、态度与价值观(1)通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．(2)在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力．●重点难点重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法及秦九韶算法的特点．难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言．(教师用书独具)●教学建议在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力．建议充分发挥学生的主体作用和教师的主导作用，采用启发式，并遵循循序渐进的教学原则．这有利于学生掌握从现象到本质，从已知到未知逐步形成概念的学习方法，有利于发展学生抽象思维能力和逻辑推理能力．以问题为载体，让学生经历知识的形成过程和发展过程，从而突出教学重点，通过各种教学媒体(计算机)调动学生参与课堂教学的主动性与积极性，增加课堂容量，有利于学生活动的充分展开．学生在课堂上要多观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，教师要引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点．●教学流程创设情境引入问题：228与1 195的最大公约数如何求⇒错误!⇒通过引导学生回答所提问题，引入用辗转相除及更相减损术最大公约数的方法⇒通过例1及变式训练使学生掌握用辗转相除法求最大公约数的方法⇒通过例2及变式训练使学生掌握用更相减损术求最大公约数的方法⇒通过例3及变式训练使学生对秦九韶算法有了一定认识并学会其应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正(见学生用书第22页)1.通过案例，进一步体会算法的思想．课标解读2.理解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法的原理．(重点)3.三种算法的框图及程序应用．(难点)辗转相除法【问题导思】1．36与60的最大公约数是多少？你是如何得到的？【提示】先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数．由于，故36与60的最大公约数为2×2×3＝12.2．观察下列等式8 251＝6 105×1＋2 146，那么8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系？【提示】8 251的最大约数是2 146的约数，同样6 105与2 146的公约数也是8 251的约数，故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146的最大公约数．辗转相除法的算法步骤第一步，给定两个正整数m、n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝0，则m、n的最大公约数等于m，否则返回第二步.更相减损术【问题导思】设两个正整数m>n(m>n)，若m－n＝k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等，反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数是多少？【提示】98－63＝35,63－35＝28,35－28＝7,28－7＝21,21－7＝14,14－7＝7，∴98与63的最大公约数为7.更相减损术的算法步骤第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.秦九韶算法将f(x)改写成如下形式：f(x)＝(…((a n x＋a n－1)x＋a n－2)x＋…＋a1)x＋a0.具体算法如下：(1)计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝a n x＋a n－1.(2)由内向外逐层计算多项式的值，即v2＝v1x＋a n－2，v3＝v2x＋a n－3，…v n＝v n－1x＋a0.(见学生用书第23页)用辗转相除法求最大公约数用辗转相除法求228与1 995的最大公约数．【思路探究】使用辗转相除法可根据m＝nq＋r，反复相除直到r＝0为止．【自主解答】 1 995＝8×228＋171，228＝1×171＋57，171＝3×57，∴228与1 995的最大公约数为57.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．用辗转相除法求779和209的最大公约数．【解】∵779＝209×3＋152，209＝152×1＋57，152＝57×2＋38，57＝38×1＋19，38＝19×2，∴779与209的最大公约数为19.用更相减损术求最大公约数(2013·福州高一检测)用更相减损术求154,484的最大公约数．【思路探究】解答本题可先将两数约简然后按更相减损术的步骤反复相减直至得出结果．【自主解答】154÷2＝77,484÷2＝242，下面用更相减损术，求77与242的最大公约数．242－77＝165,165－77＝88,88－77＝11,77－11＝66,66－11＝55,55－11＝44,44－11＝33,33－11＝22,22－11＝11，故77与242的最大公约数为11，则154与484的最大公约数为11×2＝22.更相减损术的步骤：1．判断两数是否为偶数，若是，则都除以2直到所得的两数不全为偶数；2．用较大的数减去较小的数，将差和较小的数构成一对新数继续用较大的数减去较小数，重复执行；3．当差和较小数相等时，结束执行，此时差(或较小数)为不全为偶数的两数的最大公约数．注意：原先两数的最大公约数是两式相减所得公约数与约简的因数的乘积．用更相减损术求576与246的最大公约数．【解】用2约简576和246得288与123.288－123＝165,165－123＝42，123－42＝81,81－42＝39，42－39＝3,39－3＝36,36－3＝33，33－3＝30,30－3＝27，27－3＝24,24－3＝21，21－3＝18,18－3＝15，15－3＝12,12－3＝9，9－3＝6,6－3＝3.∴576与246的最大公约数为3×2＝6.秦九韶算法的应用用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7－6x6＋4x4＋3x3－2x2＋x－5，当x＝3时的值．【思路探究】解答本题首先要将原多项式化成f(x)＝((((((7x－6)x＋0)x＋4)x＋3)x－2)x＋1)x－5的形式．其次再弄清v0，v1，v2，…，v7分别是多少，最后进行计算．【自主解答】f(x)＝((((((7x－6)x＋0)x＋4)x＋3)x－2)x＋1)x－5，v0＝7，v1＝7×3－6＝15；v2＝15×3＋0＝45；v3＝45×3＋4＝139；v4＝139×3＋3＝420；v5＝420×3－2＝1 258；v6＝1 258×3＋1＝3 775；v7＝3 775×3－5＝11 320.∴当x＝3时，多项式的值为11 320.秦九韶算法的步骤：用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．【解】将f(x)改写为f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.∴f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.(见学生用书第24页)对秦九韶算法中的运算次数理解错误已知f(x)＝x5＋2x4＋3x3＋4x2＋5x＋6，用秦九韶算法求这个多项式当x＝2时的值时，做了几次乘法？几次加法？【错解】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式f(x)＝((((x＋2)x＋3)x＋4)x＋5)x ＋6.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝2时的值：v1＝2＋2＝4；v2＝2v1＋3＝11；v3＝2v2＋4＝26；v4＝2v3＋5＝57；v5＝2v4＋6＝120.显然，在v1中未做乘法，只做了1次加法；在v2，v3，v4，v5中各做了1次加法，1次乘法．因此，共做了4次乘法，5次加法．【错因分析】 在v 1中虽然“v 1＝2＋2＝4”，而计算机还是做了1次乘法“v 1＝2×1＋2＝4”．因为用秦九韶算法计算多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0当x ＝x 0时的值时，首先将多项式改写成f (x )＝(…(a n x ＋a n －1)x ＋…＋a 1)x ＋a 0，然后再计算v 1＝a n x ＋a n －1，v 2＝v 1x ＋a n －2，v 3＝v 2x ＋a n －3，…，v n ＝v n －1x ＋a 0.无论a n 是不是1，这次的乘法都是要进行的．【防范措施】 1.将多项式写成一次多项式的形式时，如果多项式中n 次项不存在，可将n 次项看作0·x n .2．直接法乘法运算的次数最多可达(n ＋1)n2，加法最多n 次，秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n 次，加法最多n 次．【正解】 由以上分析，共做了5次乘法，5次加法．1．辗转相除法与更相减损术都是求两数最大公约数的方法．辗转相除法计算次数少，步骤简捷，更相减损术计算次数多，步骤复杂，但是更相减损术每一步的计算都是减法，比做除法运算要简单一些，一般当数较小时可以考虑用更相减损术，当数较大时可以考虑用辗转相除法．2．用秦九韶算法可大大降低乘法的运算次数，提高了运算速度．用此方法求值，关键是正确地将所给多项式改写，然后由内向外计算，由于后项计算需用到前项结果，故应认真、细心，确保结果的准确性．(见学生用书第24页)1．490和910的最大公约数为( )A ．2B ．10C ．30D ．70【解析】 910＝490×1＋420,490＝420×1＋70,420＝70×6，故最大公约数为70. 【答案】 D2．用更相减损术求294和84的最大公约数为( ) A ．21 B ．42 C ．32 D ．16【解析】 294÷2＝147,84÷2＝42,147－42＝105,105－42＝63,63－42＝21,42－21＝21,21×2＝42，所以最大公约数为42. 【答案】 B3．用秦九韶算法求f (x )＝2x 3＋x －3当x ＝3时的值v 2＝________.【解析】 f (x )＝((2x ＋0)x ＋1)x －3， v 0＝2；v 1＝2×3＋0＝6；v 2＝6×3＋1＝19. 【答案】 194．用更相减损术求288与153的最大公约数．【解】 288－153＝135,153－135＝18,135－18＝117,117－18＝99,99－18＝81,81－18＝63,63－18＝45,45－18＝27,27－18＝9,18－9＝9. ∴288与153的最大公约数为9.(见学生用书第93页)一、选择题1．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是( ) A ．72 B ．36 C ．24 D ．2 520【解析】 ∵504＝360×1＋144,360＝144×2＋72,144＝72×2，∴360和504的最大公约数是72，故选A.【答案】 A2．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，主要用哪种结构实现( ) A ．顺序结构 B ．条件结构C ．循环结构D ．条件、顺序结构【解析】 该种算法主要是由内到外计算⎩⎪⎨⎪⎧v 0＝a n ，v k ＝v k －1·x 0＋a n －k (k ＝1，2，…n )，故在求值时用到循环结构．【答案】 C 3．(2013·德州高一检测)用秦九韶算法求多项式f (x )＝4x 5－x 2＋2当x ＝3时的值时，需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为( )A ．4,2B ．5,3C ．5,2D ．6,2【解析】 f (x )＝4x 5－x 2＋2＝((((4x )x )x －1)x )x ＋2，需5次乘法运算和2次加法运算． 【答案】 C4．225与135的最大公约数是( )A．5 B．9 C．15 D．45【解析】∵225＝135×1＋90,135＝90×1＋45,90＝45×2，∴45是225与135的最大公约数．【答案】 D5．已知f(x)＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为() A．27 B．11 C．109 D．36【解析】f(x)＝((((x＋0)x＋2)x＋3)x＋1)x＋1当x＝3时，v0＝1，v1＝3，v2＝3×3＋2＝11，v3＝11×3＋3＝36.【答案】 D二、填空题6．464与272的最大公约数为________．【解析】464÷16＝29,272÷16＝17,29－17＝12,17－12＝5,12－5＝7,7－5＝2,5－2＝3,3－2＝1,2－1＝1，∴最大公约数为1×16＝16.【答案】167．用更相减损术求152与92的最大公约数时，需要做减法的次数是________．【解析】∵152与92都是偶数，∴先两次用2约简得38与23，又38－23＝15，23－15＝8，15－8＝7，8－7＝1，7－1＝6，6－1＝5，5－1＝4，4－1＝3，3－1＝2，2－1＝1，故要用10次减法．【答案】108．已知多项式函数f(x)＝2x5－5x4－4x3＋3x2－6x＋7，当x＝5时由秦九韶算法v0＝2，v1＝2×5－5＝5，则v3＝________.【解析】∵v2＝v1x－4＝5×5－4＝21，v3＝v2x＋3＝21×5＋3＝108.【答案】108三、解答题9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2，当x＝－2时的值．【解】∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2.∴当x＝－2时v0＝1，v1＝1×(－2)－5＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，∴f(－2)＝325.4.10．求三个数324,243,135的最大公约数．【解】法一324＝243×1＋81，243＝81×3.∴324与243的最大公约数为81.又135＝81×1＋54，81＝54×1＋27，54＝27×2.则81与135的最大公约数为27.∴三个数324,243,135的最大公约数为27.法二324－243＝81,243－81＝162,162－81＝81.∴324与243的最大公约数为81.135－81＝54,81－54＝27,54－27＝27.∴81与135的最大公约数为27.∴324,243,135的最大公约数是27.11．求1 356和2 400的最小公倍数．【解】 2 400＝1×1 356＋1 044,1 356＝1×1 044＋312，1 044＝3×312＋108,312＝2×108＋96，108＝1×96＋12,96＝12×8，∴1 356和2 400的最大公约数为12.∴ 1 356和 2 400的最小公倍数为(2 400×1 356)÷12＝271 200.(教师用书独具)1．辗转相除法与更相减损术的区别和联系名称辗转相除法更相减损术①以除法为主．区别②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果.①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多．③相减，两数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数的判断．联系①都是求两个正整数的最大公约数的方法．②二者的实质都是递推的过程．③二者都要用循环结构来实现.2.辗转相除法的程序框图及程序表示程序框图：程序：INPUT m，nDOr＝m MOD nm＝nn＝rLOOP UNTIL r＝0PRINT mEND。
最新人教版普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
普通高中课程标准实验教科书必修3《算法案例——辗转相除法和更相减损术》说课稿
课题：算法案例——辗转相除法和更相减损术教材：人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节1、教材分析与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
算法思想即体现了时代的特点，也是中国古代数学灿烂的历史和巨大的贡献在新层次上的复兴。
本节内容是探究古代算法案例――辗转相除法和更相减损术，经历设计算法解决问题的全过程，体会算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理的思考和数学表达能力，巩固算法三种描述性语言（自然语言、图形语言和程序语言），提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学目标分析：（1）知识目标：①理解辗转相除法和更相减损术求两个正数的最大公约数的原理；②能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法；说明：在这里，理解案例中的新的知识是理解算法的必要的前提，但重要的是理解案例中的算法核心思想，而不是强调对案例中新知识的记忆和灵活运用。
（2）能力目标：①培养学生把具体问题抽象转化为算法语言的能力；②培养学生自主探索和合作学习的能力。
（3）情感目标：①使学生进一步了解从具体到一般思想方法。
②体会中国古代数学对世界数学的巨大贡献，培养爱国思想和学习数学的积极性。
3、教学重点与难点分析：（1）教学重点：能用写算法步骤、画流程图和编程序表达辗转相除法及更相减损术。
（体会算法解决问题的全过程）（2）教学难点：用不同逻辑结构的程序框图表达算法；4、教学方法与手段（1）、教法：阅读指导，以问题为载体，有引导的对话，让学生经历知识的形成过程和发展过程，有利于学生活动的充分展开。
（2）、学法：以观察、讨论、思考、分析、动手操作、自主探索、合作学习多种形式相结合，引导学生多角度、多层面认识事物，突破教学难点。
5、教学过程设计分析：辅助工具：ppt课件知识准备：带余除法6、评价分析：（1）、指导思想：①新知识与旧知识相结合的原则；②掌握知识与发展智力、能力相统一的原则；③教师的主导作用与学生的主体作用相结合的原则。
1.3.1辗转相除法与更相减损术 秦九韶算法同步学案 新人教a版必修3
(2)更相减损术求最大公约数的程序设计: INPUT “a,b”;a,b WHILE a<>b IF a>b THEN a=a-b ELSE b=b-a END IF WEND PRINT a END
3.秦九韶算法 (1)秦九韶算法过程分析: 设Pn(x)=anxn+an-1xn-1+„+a1x+a0,将其改写为 Pn(x) =(anxn-1+an-1xn-2+„+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+„+a2)x+a1)x+a0 =(„((anx+an-1)x+an-2)x+„+a1)x+a0
2.更相减损术 (1)更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计: 对于给定的两个数,用较大的数减去较小的数,接着把得到的 差与较小的数比较,用这时两个数中的较大的数减去较小
的数,继续这样的操作(大数减小数),直到所得的数相等为
止,那么这个数(等数)就是所求的最大公约数. 显然,上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过程,因此 只需将大数赋给变量m,小数赋给变量n,那么m-n就可以通 过循环结构实现算法.
名师讲解 1.辗转相除法
人教版数学必修三教案：算法案例(辗转相除法与更相减损术)
§1.3 算法案例一、教材分析在学生学习了算法的初步知识，理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后，再结合典型算法案例，让学生经历设计算法解决问题的全过程，体验算法在解决问题中的重要作用，体会算法的基本思想，提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.二、教学目标1、知识与技能（1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
（2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（3）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。
（4）掌握数据排序的原理能使用直接排序法与冒泡排序法给一组数据排序，进而能设计冒泡排序法的程序框图及程序，理解数学算法与计算机算法的区别，理解计算机对数学的辅助作用。
（5）了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换。
2、过程与方法（1）在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（2）模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。
能根据排序法中的直接插入排序法与冒泡排序法的步骤，了解数学计算转换为计算机计算的途径，从而探究计算机算法与数学算法的区别，体会计算机对数学学习的辅助作用。
（3）学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k 去余法，并理解其中的数学规律。
3、情态与价值观（1）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
（2）在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
（3）通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。
高中数学_高中数学必修3《辗转相除法与更相减损术》教学设计学情分析教材分析课后反思
《算法案例——辗转相除法与更相减损术》教案一、教学目标：1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.二、教学重点与难点：重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法.难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.三、教学过程与方法：学生自主学习：认真自学课本34-37内容.1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.合作探究（一）：辗转相除法问题1:12与16的最大公约数是多少？18与90的最大公约数是多少？你是怎样得到的？（1）枚举法：（2）短除法：问题2：对于8251与6105这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难.注意到8251=6105×1+2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？又6105=2146×2+1813，同理，6105与2146的公约数和2146与1813的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251与6105这两个数的最大公约数吗？问题3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，给定两个正整数m，n(m>n).第二步，第三步，第四步，问题4：该算法的程序框图如何表示？问题5：该程序框图对应的程序如何表述？问题6：如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）225,135:；（2）98,196；（3）72,168；（4）153,119.合作探究（二）：更相减损术《九章算术》是中国古代的数学专著,是世界数学史上的瑰宝.设两个正整数m>n，若m-n=k，则m与n的最大公约数和n与k的最大公约数相等.反复利用这个原理，可求得98与63的最大公约数为多少？练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数，并用辗转相除法验证.合作探究（三）：辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以为主，更相减损术以为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是则得到，而更相减损术则以相等而得到课堂测试：1.用辗转相除法求80和36的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．2.求三个数175、100、75的最大公约数．随堂练习：1.用辗转相除法计算60与48的最大公约数时，需要做的除法次数是( ) A．1 B．2C．3 D．42.用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( ) A．1 B．2C．3 D．43.求378和90的最大公约数．4.求三个数324,243,108的最大公约数．本节小结：1.辗转相除法.2.更相减损术.3.辗转相除法与更相减损术.本节作业：课本P48页习题1.3 A组T1.《辗转相除法与更相减损术》学情分析教材内容分析：本节教材选自人教版普通高中课程标准实验教科书必修3第一章第1.3节与传统教学内容相比，《算法初步》为新增内容，算法是计算机科学的重要基础，算法思想已经渗透到社会的方方面面，算法思想也逐渐成为每个现代人应具有的数学素养。
辗转相除法教案
教学过程
初次备课
二次备课
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
三。思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
课堂总结
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
布置作业
练习册习题
板书设计
1.3例1例2
2.更相减损法
教学反思：
1．亮点：
（1）辗转相除法的程序框图及程序
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
高中数学《1.3.1 辗转相除法与更相减损术》教案 新人教A版必修3
湖南省蓝山二中高一数学《1.3.1 辗转相除法与更相减损术》教案新人教A版必修3一教材分析1 教材背景算法是新课标教材新增加的内容，从古至今算法思想都能在解决问题中得到体现，他不仅是数学及应用的重要组成部分，也是信息技术的重要基础。
随着信息技术的发展，算法思想已成为数学素养的一部分,所以学习算法是非常必要的。
2 本节课的地位及作用本节课是1.3的第1节课,这部分的学习是算法语句的综合应用.二重点难点重点:理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
．三目标分析教学目标知识与技能1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
过程与方法在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
情态与价值1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
四学法分析在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
五教法分析采用“问题探究式”教学法，以多媒体为辅助手段，让学生主动发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的探究论证、逻辑思维能力。
六教学设计1创设情景问题1:在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？问题2:如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？2研探新知(一).辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
人教B版必修3高中数学1.3.1辗转相除法与更相减损术word教学案
四川省古蔺县中学高中数学必修三：1.3.1 辗转相除法与更相减损术【教学目标】：（1） 明白得辗转相除法与更相减损术中包括的数学原理，并能依照这些原理进行算法分析。
（2） 大体能依照算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
【教学重点】明白得辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方式。
【教学进程】提出问题：在小学，咱们已经学过求最大公约数的知识，如口算求出12与20的公约数。
分析：咱们都是利用找公约数的方式来求最大公约数，若是公约数比较大而且依照咱们的观看又不能取得一些公约数，咱们又应该如何求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这确实是咱们这一堂课所要探讨的内容。
辗转相除法例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，能够把它们都变小一点，依照已有的知识即可求出最大公约数8251＝6105×1＋2146显然8251的最大公约数也必是2146的约数，一样6105与2146的公约数也必是8251的约数， 因此8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0 则37为8251与6105的最大公约数。
以上咱们求最大公约数的方式确实是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右第一提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：（1）：用较大的数m 除以较小的数n 取得一个商0S 和一个余数0R ；（2）：假设0R ＝0，那么n 为m ，n 的最大公约数；假设0R ≠0，那么用除数n 除以余数0R 取得一个商1S 和一个余数1R ；（3）：假设1R ＝0，那么1R 为m ，n 的最大公约数；假设1R ≠0，那么用除数0R 除以余数1R 取得一个商2S 和一个余数2R ；……依次计算直至n R ＝0，现在所取得的1n R 即为所求的最大公约数。
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第一、二课时辗转相除法与更相减损术
一、三维目标
（a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。
（b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
（c）情态与价值观
1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。
二、教学重难点
重点：理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。
难点：把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。
三、学法与教学用具
学法：在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，并能模仿已经学过的程序框图与算法语句设计出辗转相除法与更相减损术的程序框图与算法程序。
教学用具：电脑，计算器，图形计算器
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？
2.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。
（二）研探新知
1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
（分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；
第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；
第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；
……
依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。
（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF m<n THEN x=m
m=n
n=x
END IF
r=m MOD n
WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
5.课堂练习
一.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数，并在自己编写的BASIC程序中验证。
（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；119
二.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。
三。
思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。
6.小结：
辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。
五、评价设计
作业：P38 A（1）B（2）
补充：设计更相减损术求最大公约数的程序框图。