第九章 概括平差函数模型
测量平差知识大全
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
测量平差函数模型课件
编程语言与工具
编程语言
Python是最常用的编程语言，因为它具有简单易学、代码可读性强、拥有丰富 的科学计算库等特点。R语言也是一个常用的选择，特别是在统计分析方面。
开发工具
PyCharm、Jupyter Notebook、RStudio等集成开发环境（IDE）提供了丰富 的功能，如代码高亮、自动补全、调试等，有助于提高开发效率。
评估模型在训练数据和测试数 据上的表现，以判断模型是否 过于复杂或过于简单。
鲁棒性
评估模型对异常值和噪声的抵 抗能力。
可解释性
评估模型是否易于理解，以及 是否能够提供有意义的解释。
模型性能优化
01
02
03
04
特征选择
通过选择与目标变量最相关的 特征，降低特征维度，提高模
型性能。
超参数调整
调整模型学习过程中的参数， 如正则化强度、批大小、学习
遥感图像处理
在遥感图像处理中，平差函数模型 用于校正图像的几何畸变和辐射误 差，提高图像质量和识别精度。
平差函数模型的重要性
提高测量精度
通过平差函数模型对测量数据进 行处理和修正，可以减小误差、 提高测量精度，为各种应用领域
提供更准确的数据支持。
促进科技发展
平差函数模型是测量数据处理和 分析的重要工具，其研究和应用 有助于推动相关领域的科技进步
平面控制网平差的原理
平面控制网平差采用最小二乘法原理，通过构建误差方程 式和法方程式，求解各未知参数的最优解，从而实现平差 处理。
平面控制网平差的步骤
包括数据采集、数据预处理、构建数学模型、平差计算、 精度评定等步骤。
高程控制网平差
01
高程控制网平差的应用
高程控制网平差主要用于高程测量数据的处理，通过对高程数据进行平
概括平差函数模型
• 概括平差函数模型概述 • 概括平差函数模型的构建 • 概括平差函数模型的优化 • 概括平差函数模型的应用实例 • 概括平差函数模型的挑战与展望
01
概括平差函数模型概述
定义与特点
定义
概括平差函数模型是一种数学模型， 用于描述数据之间的关系和变化，并 通过对数据的拟合和预测来解决问题 。
提供支持。
机器学习
机器学习中，概括平差函数模型常常被用 于分类、回归和聚类等问题，通过训练数 据来学习数据的内在规律和模式。
图像处理
在图像处理中，概括平差函数模型用于图 像的平滑、去噪和压缩等处理，提高图像 质量。
模型的基本假设
数据完整性
概括平差函数模型假设所使用的数据是完整 的，没有缺失或异常值。
诊断检验
通过残差图、正态性检验等手段，检查模型是否 合适。
3
修正模型
根据检验结果，对模型进行修正，以提高拟合效 果。
模型评估与选择
评估模型性能
通过比较模型的残差、拟合优度等指标，评估模型的性能。
选择最优模型
根据评估结果，选择最优的概括平差函数模型。
可行性分析
对选定的模型进行可行性分析，确保其在实际应用中的适用性和 稳定性。
数据整理
对数据进行分类、编码和转换，使其适合于模型构建。
模型参数估计
选择合适的模型
根据研究问题和数据特点，选择 合适的概括平差函数模型。
估计模型参数
利用已知数据，通过最小二乘法 、最大似然法等统计方法，估计 模型的参数。
模型检验与修正
1 2
检验模型假设
检查模型是否满足线性、同方差性、无自相关等 假设。
具体来说，概括平差函数模型可以用来拟合时间序列数据，并揭示其潜在的规律 和趋势。通过参数估计和模型选择，可以预测未来的数据点，并评估预测的不确 定性。
数字测图课后思考题答案
第一章思考题观测条件是由那些因素构成的它与观测结果的质量有什么联系观测误差分为哪几类它们各自是怎样定义的对观测结果有什么影响试举例说明。
1.3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）尺长不准确；（2）尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号：视准轴与水准轴不平行；（1）仪器下沉；（2）读数不准确；（3）水准尺下沉。
何谓多余观测测量中为什么要进行多余观测答案：（1）系统误差。
当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“-”。
（2）系统误差，符号为“-” （3）偶然误差，符号为“+”或“-” （4）系统误差，符号为“-” （5）系统误差，符号为“-”（1）系统误差，当i 角为正时，符号为“-”；当i 角为负时，符号为“+”（2）系统误差，符号为“+” （3）偶然误差，符号为“+”或“-” （4）系统误差，符号为“-”第二章思考题为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α=作12次同精度观测，结果为：'"450006 '"455955 '"455958 '"450004'"450003'"450004'"450000 '"455958 '"455959'"455959 '"450006 '"450003设a 没有误差，试求观测值的中误差。
已知两段距离的长度及中误差分别为±及±，试说明这两段距离的真误差是否相等他们的精度是否相等设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为：第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ，并比较两组观测值的精度。
测量平差基础参考资料
第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。
二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。
只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。
2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。
3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。
第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。
第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。
重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。
难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。
要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。
第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。
重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。
难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。
要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。
第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。
重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。
难点：函数模型的线性化，随机模型。
要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。
测量平差的数学模型
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。
本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。
教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。
2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。
对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。
函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。
（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。
1. 条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：令=[1 1 1]=[ ]=[-180]则上式为（2-2-1）再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是：令0180~~~321=-++L L L 31⨯A13~⨯L1~L 2~L 3~L T 0A 0~0=+A L A 116~[~h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211=--=h h h L F 0~~~)~(5322=+-=h h h L F 0~~~)~(6313=--=h h h L F 图2-2ABC则上面条件方程组可写为（2-2-2） 一般而言，如果有n 个观测值，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程，即（2-2-3）如果条件方程为线性形式，则可以直接写为（2-2-4）将代入（2-2-4）式，并令（2-2-5）则（2-2-4）式为（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。
第九章 概括平差函数模型
附有限制条件的条件平差
U=0 条件平差
U=t 间接平差
u<t 附有参数的条件平差
ut 附有限制条件的间接平差
函数模型
B 0，C 0 ˆ AL A0 0
函数模型
函数模型
C 0 ˆ ˆ AL BX A0 0
函数模型
A I ˆ ˆ L BX d ˆ CX A0 0
P1
P3 A
P4
P2
1)t=3，n=5，r=2， 2)如选P1，P2点高程为参数,u=2， 3)应列立C=2+2=4个条件式； 4)其中一个限制条件方程，3个一般条件方 程。
取:
X 10 H A L1 119.990m
0 X 2 H A L4 L5 39.984m
由此可断：
函数模型的个数总是等于多余观测数与所选参 数个数之和！C=r+U
思考： 如果所选的参数不一定要求独立，函数模 型的个数以及函数模型的类型又会怎样？
6 1
5
4 2 3
如果：当U=4（不独立）时，则仍应列2+4个条 件式，包括一般条件式和限制条件式。 其函数模型为：
F L，X） 0 （ˆ ˆ （X） 0
精度评定:
V T PV 7.527 V T PV ˆ ˆ 02 3.76(mm) 2 , 0 1.94mm r Qˆ 1.550 ˆ 2ˆ ˆ ˆ H 02Qˆ 5.83(mm) 2 , H 2.41(mm)
3 3
也就是说，概括模型可以概括其它各种平差的函数模型。
例：设有工程施工放样时的水准网，如图，已知 HA=125.850m，P1、P2两点间的已知高差为-80.00m， 观测高差为： L=[-5.860 -35.531 -44.470 50.783 35.083]T(m) 观测值的方差阵为：DL=diag(4 6 6 8 8) • 试以附有限制条件的条件平差求P1、P2点高程的 平差值、以及中误差。
09概括平差函数模型
试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和参数的限制
条件。
B
24
A
3
7
1
P1 5
8 11
9 10
P3
6
12
P2
§9-2 附有限制条件的条件平差原理
解：n 12 , t 2 3 1=5 , r 12 5 7 , u 2 , s 1 c r u s 7 2 1=8
Lˆ1 Lˆ5 Lˆ8 Lˆ11 360 0 圆周条件
P1A P1B P1P2 P1P3 1 0 极条件 P1B P1P2 P1P3 P1 A
Xˆ1 Xˆ 2 (BA ˆBP2 ) 0 限制条件
B
24
A3 7
1 5P1 8 11
一般条件式， 9 10
若选∠AOB， ∠BOC和∠AOC的平差值为参数，试按附有限制条件
的条件平差列出条件方程和参数的限制条件。
解：n 6 , t 3 , r 6 3 3 , u 3 , s 1
A
crus 5
Lˆ1 Xˆ1 0 Lˆ2 Xˆ 2 0
O
14 2
B
一、条件方程的形式
F (Lˆ) 0 F (Lˆ, Xˆ ) 0
Lˆ F ( Xˆ )
( Xˆ ) 0
一般条件方程式，
用 c 表示个数
限制条件式
§9-1 基本平差方法的概括函数模型
二、参数与平差方法
1.条件平差法
u 0, c n t r
2.附有参数的条件平差法
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
误差理论与测量平差基础习题集4
若设参
数
X=[X1X2X3 ]T=[HBh3h4]T，定权时 C=2km。试列出 （1）误差方程式及限制条件； （2）法方程式。 8.1.09 在图 8-6 中，A、B 为已知三角点，C、D 为待定点，观测了 9 个内
角 L1~L9。现选取参数X=[X1X2X3X4X5 ]T =[L1L2L3L4L5 ]T，试列出误差方程 式和限制条件。 8.1.10 在图 8-7 所示的测边网中，A、B 为已知点，1,2 为待定点，观
角度观测精度均为������
= 1″。
������
观测了边长 S1、S2，观测精度均为������ ������
2
= 10mm，
0 ������
������
1
= 148.283m，
= 107.967m。 设 P 点的坐标为未知参数，其近似坐标为������ = 882.270m，
������
0 ������
9.2.04 附有限制条件的条件平差模型在解决实际平差问题中有什么意 义？ 9.2.05 某平差问题有 15 个同精度观测值，必要观测数等于 8，现选取 8 个参数，且参数之间有 2 个限制条件。若按附有限制条件的条件平差法进行 平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？由其组成的法方程有几个？ 9.2.06 在测站 O 上观测 A、B、C、D 四个方向（如图 9-1 所示） ，得等精 度观测值为： L1=44°03′14.5″， L2=43°14′20.0″， L3=53°33′32.0″, L4=87°17′31.5″,
(a)已知值：矩形的对角边 S 观测值：L1~L4 参数：������1、������2、������3
图 8-4
8.1.08
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论➢✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
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➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
《误差理论与数据处理》课程教学大纲
《误差理论与数据处理》课程教学大纲【课程代码】：13319608【英文译名】：Error Theory and Surveying Adjustment 【适用专业】：地理信息系统【学分数】：4 【总学时数】：64一、本课程教学目的和课程性质误差理论与数据处理是地理信息系统专业的工程技术基础必修课之一、通过学习本门课程，使学生能够应用概率和数理统计方法来分析观测数据，采用最小二乘法作为处理观测数据的基本原则，合理计算处理，以得到更接近真值的结果。
在内容上，主要讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的最新研究成果。
二、本课程的基本要求通过本门课程的学习,掌握平差课程的任务和研究对象,并很好的掌握几种主要的平差方法.在了解了近代平差基本理论和最新的研究成果基础上，在后续的课程中灵活应用对数据的处理和误差分析，为以后的工作和进一步深造打下良好的基础。
三、本课程与其他课程的关系前修课程:测量学、高等数学、线性代数、概率论与数理统计；后续课程:GPS原理、摄影测量学、遥感原理与应用。
四、课程内容《误差理论与数据处理》是研究误差的一门学科，通过学习本门课程，使学生能正确处理测量数据，合理计算处理，以得到理想的结果。
本课程要求：基本知识的掌握，掌握误差的基本概念，不同性质误差的变化规律及处理方法。
权的概念及不等精度测量的数据处理方法，误差的合成及分配，回归、相关等。
本课程内容安排如下：第一章绪论基本内容：主要介绍有关误差的一些基本概念，观测误差及测量平差理论研究的对象。
属于了解内容。
第二章误差分布及精度指标环境与资源学院基本内容：本章节主要介绍有关平差的含义、观测条件、系统误差、偶然误差的概念。
及偶然误差的统计规律性及精度、方差、中误差的概念。
重点：掌握概念：观测条件、系统误差、偶然误差；难点：偶然误差的规律性以及所服从的分布；第三章协方差传播律及权基本内容：本章节主要介绍有关协因数传播率的概念及应用领域，使学生掌握协因数、协因数阵、权阵的概念；掌握协因数传播律的一般形式与特殊形式权倒数传播律。
1测量平差中几种模型之间的关系--朱思林
由于t=2，增设两个独立未知参数 ，设 ， ，则间接平差的函数模型为：
对于本例来说用此方法进行平差也比较方便
附有限制条件的间接平差法
t=2，在间接平差基础上如果再增加一个未知参数（ ），设为 ，这样 之间就不再独立，产生了约束条件，则可以列出附有限制条件的间接平差的函数模型：
，
，
本例采用此方法解算起来较为复杂
测量平差中几种模型之间的关系
摘要
各种不同的平差模型方法都有其各自的特点和优点，在实际测量结果处理时，为了更简便的对测量结果进行平差，得到较精确的数据，我们在处理测量数据时虽然往往根据不同的情况选着不同的平差方法，但是无论采用何种方法，其平差的最终结果是一样的。因此本文主要通过测量平差公式的理论分析以及已有文献的论证结果，论述各种平差模型之间的相互关系，并且利用一些例题加以直观说明，得到的结果有利于更直观理解各种平差模型，以及更明确的掌握这几种模型之间的关系，以便于在面对一个测量问题时选择较为合适的测量平差模型，对于测量数据处理理论分析和实际测量应用具有一定的参考价值。
不同的平差方法都有其各自的特点，因此我们不能断言最好的方法是哪一种。但对于实际问题而言，面对不同问题，还是有不同方法的选择，目前间接平差和附有限制条件的间接平差被采用较多，因为：（1）这些模型中，其误差方程形式统一，规律性强，计算机程序设计时比较方便；（2）选择的参数一般就是平差后需要的成果，例如在三角网中选择待定点的坐标作为参数，水准网中选择待定点的高程作为参数等，这可以说是这两个平差模型的最大优点。但同时不要忽略了其他平差方法，不是说其他方法没有用了或者不重要了。例如，求一个三角形的内角的平差值，则采用条件平差比较合理与方便。假如对于求的个别非观测量的平差值及精度的问题，那么采用附有参数的条件平差法比较合理。但必须强调的是附有限制条件的条件平差模型有着特殊意义，因为它是其他四种模型的概括模型。
(完整版)测量平差知识大全汇总
➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。
二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。
当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。
因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。
例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
834误差理论与测量平差基础大纲(2012年版)
《误差理论与测量平差基础》考研复习大纲（2012年）第一章、绪论（4分）了解系统误差、偶然误差、粗差及其处理方法；掌握测量平差学科的研究对象；理解测量平差任务；了解本课程的任务和内容。
第二章、误差分布与精度指标（6分）理解偶然误差的特性；掌握衡量精度的绝对指标和相对指标，精度、准确度与精确度；理解测量不确定度。
第三章、协方差传播律及权（20分）理解数学期望的传播；掌握方差协方差阵、权、权阵、协因数、协因数阵的概念及其表示方法；掌握协方差传播律及其应用；熟练掌握权与定权的常用方法，协因数、协因数传播律及其应用，理解由观测值函数的真误差估计中误差的方法；了解系统误差的传播。
第四章、平差数学模型与最小二乘原理（10分）掌握各种平差问题必要观测数，多余观测数的确定方法；掌握测量平差的函数模型，函数模型的线性化，掌握参数估计与最小二乘平差准则。
第五章、条件平差（20分）熟练掌握条件数的确定，条件平差原理；掌握各种平差问题条件方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第六章、附有参数的条件平差（15分）了解附有参数的条件平差函数模型和随机模型的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第七章、间接平差（20分）掌握间接平差原理，误差方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定；掌握间接平差应用（直接平差，三角网坐标平差，导线网间接平差，GPS 网平差）。
第八章、附有限制条件的间接平差（15分）掌握附有限制条件的间接平差原理；掌握误差方程、条件方程列立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第九章、概括平差函数模型（10分）熟悉基本平差方法的概括函数模型；附有限制条件的条件平差原理，精度评定；熟悉各种平差方法的共性与特征；理解平差结果的统计性质。
第十章、误差椭圆（10分）了解点位中误差概念以及计算方法；掌握任意方向的位差计算；点位误差的极大值和极小值的计算；理解误差曲线的基本概念；掌握误差椭圆要素计算；理解点位落入误差椭圆内的概率；第十一章、平差系统的统计假设检验（10分）熟悉统计假设检验的基本方法；了解误差分布的假设检验；掌握平差模型正确性的统计检验；理解平差参数的统计检验和区间估计；了解粗差检验的数据探测法。
误差理论与平差基础-第9章 概括平差函数模型
BT K + C T K S = 0
æ N B 0 öæ ç aa ÷ç T T ç B 0 C ÷ç ç 0 C 0 ÷è è ø K ˆ x KS ö æ W ö ÷+ç 0 ÷ = 0 ÷ ÷ ç ø è WX ø
ˆ AQAT K + Bx +W = 0 BT K + CT KS =0 ˆ Cx +WX = 0
ö ÷ ÷ ÷ ÷ -1 ÷ ø
n=6 t =4 r =2
C= 1 1 1 0
(
)
u=4
s =1
三、精度评定
计算单位权中误差
V T PV ˆ0 = ± s r
-1 BB
参数精度 QX ˆX ˆ =N
- N C N CN
T T Qjˆjˆ = FQX F ˆX ˆ
-1 BB
-1 CC
-1 BB
ˆ W 0 AV B x
cu u1 s1 c1 s1
c1
ˆ Wx 0 C x
当参数个数u = 0时，有B = 0，C = 0，变为条件平差 AV W 0
当参数个数u < t，且彼此独立时，有C = 0。变为附有参数的
ˆ W 0 , c r u 条件平差 A V B x
ˆ -l V = Bx
必要观测数：t
多余观测数：r 参数个数： u 限制条件数：s u u
ˆ, X ˆ) = 0 Fi ( L
ˆ +W = 0 AV + Bx
ìV = Bx ˆ-l í ˆ + WX = 0 îCx
u
限制条件方程
u
t n
r
一、基本平差方法的概括函数模型
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QLL ˆˆ K ˆˆ QXL
T
QLX ˆ ˆ F QXX ˆ ˆ K
平差值函数的中误差
ˆˆ ˆ 0 Q ˆˆ
（9-3-5）
9-4 各种平差方法的共性与特性
平差共性
先建立数学模型（包括函数模型和数学模型）；
函数模型解都不唯一，即都有无穷多组解；
3 3
（9-2-6）
B K C Ks 0
解基础方程，并整理得法方程：
N aa K B x ˆ W 0
cc c1 cu u1 T c1 c1
B
uc
T
K C
c1 us s1
Ks 0
s1 s1
（9-2-7）
ˆ Wx 0 Cx
su u1
解法方程，得：
1 1 T 1 1 ˆ ( Nbb x Nbb C N cc CN bb )We 1 ˆ) V QAT N aa (W Bx 1 1 1 T （N aa AQAT , Nbb BT N aa B,We BT N aa W , N cc CN bb C )
前三种类型的条件方程统称为“一般条件方程”，后一种
二、参数与平差方法的关系
参数个数 U
U=0 条件平差
U=t 间接平差
u<t 附有参数的 条件平差
ut
附有限制条件的 间接平差
函数模型
ˆ) 0 F (L
函数模型 ˆ F(X ˆ) L
函数模型
函数模型
函数模型
ˆ F(X ˆ) L ˆ)0 ( X
（9-3-1）
二、协因数阵的计算（见下表）
三、平差值函数的中误差 设有平差值函数：
ˆ ( L ˆ, X ˆ)
（9-3-2）
平差值函数的权函数式
ˆ d F
T
ˆ dL K ˆ dX
T
（9-3-3） （9-3-4）
平差值函数的协因数阵
T Q ˆˆ F
采用最小二乘原理，得到唯一解； 不论采用哪种函数模型，最后平差结果(平差值和精度)不变！
特性：
各种方法有其各自的优点和特点，实际中，根据不同的平差
问题选择不同的方法；
目前采用较多的是间接平差和附有限制条件的间接平差；
原因是：
（1） 误差方程形式统一，规律性强，便于程序设计； （2）一般所选参数就是平差问题所需要的最后结果(包括精度)。
则条件方程式为:
1 0 1 1 1 1 0 5 1 0 0 0 V 1 0 x ˆ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 ˆ6 0 1 1 x
ˆ L ˆ P3点高程平差值函数式: ˆ HA L 1 2
N aa BT 0
0 K W x ˆ 0 0 0 CT C 0 Ks Wx B
（9-2-10）
9-3 精度评定
一、单位权方差的估值公式
T T V PV V PV 2 ˆ0 r c u s
概括平差函数模型的线性形式为：
ˆ W 0 AV B x ˆ Wx 0 Cx
cn n1 cu u1 c1 c1 su u1 s1 s1
（9-2-1）
随机模型为： 平差准则：
2 2 D 0Q 0 P nn nn nn
1
（9-2-2）
V PV min
T
（9-2-3）
ˆ BX ˆ A 0 AL 0 ˆ W 0 CX
x
附有限制条件的条件平差
U=0 条件平差
U=t 间接平差
u<t 附有参数的条件平差
u t 附有限制条件的间接平差
函数模型
B 0，C 0 ˆ A0 0 AL
函数模型
函数模型
C 0 ˆ BX ˆ A0 0 AL
函数模型
ˆ, X ˆ)0 F (L
三、概括平差函数模型
B 4 3 5 C
t=4,
n=6 ， r=2
1 A 2
6 D
当 U=0，函数模型个数r个。 U=4（独立）;函数模型个数r+4（n)个。 U=3（2、1）（独立）;函数模型个数r+3个 U=5（6、…）（4个需独立）;函数模型个数r+5 故可得出，函数模型总个数为：(n+u-t)个。
解算得:
K 0.333 1.543 1.533 ˆ 1.21 4.80 x
T
T
V 1.20 0.50 0.50 2.40 2.40
T
平差值计算:
T ˆ X0 x ˆ 119.9888 39.9888 X
ˆ L V 5.8612 L
二、基础方程及其解 按条件极值法组成新函数：
T ˆ W ) 2K s ˆ Wx ) V T PV 2 K T ( AV Bx (Cx
（9-2-4）
对V和x取偏导数并令其为零：
2V T P 2 K T A 0 V T 2 K T B 2 K s C 0 ˆ x
35.5305 44.4695 50.7806 35.0806
T
精度评定:
V T PV 7.527
T V PV 2 ˆ0 ˆ 0 1.94mm 3.76(mm)2 , r Qˆ 1.550 2 2 2 ˆH ˆ ˆ H 2.41(mm) Q 5.83( mm ) , ˆ ˆ 0
附有限制条件的条件平差原理。
9-1 基本平差方法的概括函数模型
一、一般条件方程和限制条件方程 四种基本平差方法的函数模型，包含了以下几种类型：
ˆ) 0 F (L ˆ F(X ˆ) L ˆ, X ˆ)0 F (L
（9-1-1）
ˆ)0 ( X
类型称为“限制条件方程”。
（9-1-2）
P1 h1
h2
P3 A h5 P4 h4 P2 h3
解题思路：
1)t=3，n=5，r=2， 2)如选P1，P2点高程为参数,u=2， 3)应列立C=2+2=4个条件式； 4)其中一个限制条件方程，3个一般条件方程。
取:
X 10 H A L1 119.990m
0 X2 H A L4 L5 39.984m
（9-1-3）
上式称为“附有限制条件的条件平差”函数模型。
思考：
当所选的参数不一定要求独立时两种类型的条件式各为几个？与 什么有关系？
可见：
一个平差问题，对于参数的选择有两种选择，即：可选、也
可不选。
而选了参数，对参数是否独立也有两种选择，即：独立、或
不独立。
思考：
1）选择不同方式的参数，各代表何种平差方 法？ 2）其对应哪种函数模型？
第九章
概括平差函数模型
本章内容包括：
§9-1 §9-2 §9-3 基本平差方法的概括函数模型 附有限制条件的条件平差原理 精度评定§Βιβλιοθήκη -4各种平差方法的共性和特性
本章学习内容包括：
基本平差方法的概括函数模型；
附有限制条件的条件平差原理；
精度评定；
各种平差方法共性与特性
重点和难点
各种平差方法特性总结；
由此可断定：
函数模型的个数总是等于多余观测数与所选参数个数之和！ C=r+U
思考：
如果所选的参数不一定要求独立，函数模型的个数以 及函数模型的类型又会怎样？
如果：当U=4（不独立）时，则仍应列2+4个条件式，包括一
般条件式和限制条件式。 其函数模型为：
ˆ，X） F （L 0 ˆ） （X 0
转置后得：
nn
pV
T uc
n1
AT K
nc c1
0 0
（9-2-5）
B K
c1
C
us
T
Ks
s1
则基础方程为：
ˆ W 0 AV B x ˆ Wx 0 Cx
cn n1 cu u1 c1 c1 su u1 s1 s1 nn n1 T
pV AT K 0
nc c1 T uc c1 us s1
（9-2-8）
计算最后平差值：
ˆ L V L ˆ X0 x ˆ X
（9-2-9）
法方程:
N aa K B x ˆ W 0
cc c1 cu u1 c1 c1
TK K C s 0 B T
uc c1 us s1 u1
ˆ Wx 0 Cx
su u1 s1 s1
可写直接求解:
结论：
一般条件方程个数c与限制条件方程的个数s之和，必须等于多 余观测数r与所选参数个数u之和！
即：
c s r u
（9-1-4）
思考：
1）如果多列了或者少列了条件方程会对平差有什么样的影响？ 2）一般条件式个数、限制条件式个数如何来确定？
9-2 附有限制条件的条件平差原理
一、数学模型
取 则:
2 0 4.0
Q diag 1 1.5 1.5 2.0 2.0
法方程:
8 1 4 0 0 0 k1 5 0 k 1 0 1 0 0 2 4 0 1 0 k3 0 0 ˆ1 0 0 0 1 x 对 ˆ2 0 称 0 1 x 0 ks 6
函数模型
A I ˆ BX ˆ d L ˆ A0 0 CX
也就是说，概括模型可以概括其它各种平差的函数模型。
例：设有工程施工放样时的水准网，如图，已知
HA=125.850m，P1、P2两点间的已知高差为-80.00m， 观测高差为： L=[-5.860 -35.531 -44.470 50.783 35.083]T(m) 观测值的方差阵为：DL=diag(4 6 6 8 8) • 试以附有限制条件的条件平差求P1、P2点高程的平差值、 以及中误差。(习题集：P82）