第1章2数值运算的误差估计及注意事项(精)
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1-2数值计算的误差
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
3. 截断误差
当得不到数学模型的精确解时，要用 数值计算方法求它的近似解，由此产生 的误差称为截断误差或方法误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差) /* Truncation Error */
例如：在微积分中sinx可展开成
"Hmm," says the physicist, "You mean that some Scottish sheep are black." "No," says the mathematician, "All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!"
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 )
e( x1 ) e( x2 ) er ( x1 x2 ) x1 x2
r ( x1 x2 )
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
和的误差(限)等于误差(限)之和
(2)减法运算：
( x x ) ( x x ) 1 2 1 2 e( x1 x2 ) e( x1 ) e ( 差来源的分类 数 二、误差分析的重要性 值 三、绝对误差 计 算 四、相对误差 的 五、有效数字 误 六、数值运算的误差传播 差
1.观测误差
通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */
注：通常根据测量工具的精度，可以知
第一章数值计算方法与误差分析
0.4900 − 0.484 1 1 −1 = 0.012397 < 0.0125 = ×10 = ×10−(2−1) 0.484 2× 4 2× 4
第四节 数值运算中误差的传播
要分析数值运算中误差的传播，首先就要估 计数值运算中的误差。数值运算的误差估计情况 较复杂, 通常利用微分来估计误差。
一、利用微分估计误差
特别注意
近似值后面的零不能随便省去， 如 例2中4.27和4.270，前者精确到4.27,有效 数字为3位，取4位，x3*=4.270,有效数字 为4位。可见,它们的近似程度完全不同, 与准确值的最大误差也完全不同。
有效数字和绝对误差的关系
定义3换一种说法就是：设x的近似值 x*= ±0.a1a2… an … ×10p 若其绝对误差 |ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n － 则称近似数x*具有n 位有效数字。这里p为整数，a1 , a2 , … , an 是0 到9中的一个数字且a1≠0 。 例如，若x*=0.23156×10-2是x 的具有五位有效数字的近似 值，则绝对误差是 |x－x*| ≤0.5 ×10-2-5 = 0.5 ×10-7 － 定义3或式 |ε(x)|=|x－x*| ≤0.5 ×10p-n － 建立了绝对误差(限)和有效数字之间的关系。由于n 越大，10p-n 的值越小，所以有效数字位越多，则绝对误差(限)越小。 有效数字位越多，
1. 一元函数 设 y=f(x)为一元函数，则计算函数值的 误差为
ε(y)=y－y*=f(x)－f(x* )
≈dy=f '(x)dx ≈ f '(x)ε(x) 解的相对误差
εr(y) ≈dy/y
一元函数的误差估计举例
例 正方形的边长约为100cm, 怎样测量才能使其 面积误差不超过1cm2。 解 设正方形的边长为xcm, 测量值为x*cm, 面积 y=f(x)=x2 f′(x)=2x
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
数值计算的误差
≈ 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238
= 0.7429
舍入误差
5
绝对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
e* = x* - x
为近似值 x* 的绝对误差，有时简称误差。
绝对误差可正可负 绝对误差通常是不可知的
x — 精确值 x* — 近似值
定义：存在一个正数 ε* ，使得，
第一章数值计算的误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度是科学计算中的一个十分重要的概念机器字长有限舍入误差在数值分析中我们总假定数学模型是准确的因而不考虑模型误差和观测误差主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响解法之一
第一章
数值计算的误差
1
内容提要
误差 误差的来源 绝对误差与相对误差 误差限 有效数字 误差估计
记 ε (x*) 为 x* 的误差限，则有
( ) ( ) ( ) ε x1∗ ± x2∗ ≤ ε x1∗ + ε x2∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε x1∗x2∗ ≤ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗ + ε x1∗ ε x2∗
( ) ( ) ≈ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗
∑n
ε ( f(x*) ) ≈
k =1
∂f ( x*) ∂xk
ε ( xk *)
例：测得某场地的长 L 和宽 D 分别为：L*=110m, D*=80m。 其测量误差限分别为 0.2m 和 0.1m。 试求面积 S 的绝对误差限和相对误差限。
解：板书（教材第 8 页例 4）
14
内容提要
误差 误差分析与数值稳定性
数值计算chapter1误差
显然，从相对误差看，近似值
x1
比
x
2
的精确程度要好得多.
例4 设 x 2.18是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，
则 x的绝对误差限为 0.005 ,
相对误差限为
r
0.005 2.18
0.23%
注 凡是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，其绝对误
差限取近似值末位数位的半个单位。
e S
2
D1
e D1
2
D2
e D2
10 0.05 5 0.1 0.5 1.5708 cm2
2
2
12
相对误差满足
er S
e S
S
1.5708 0.027 2.7% 58.905
即若取 S 58.905cm2作为圆环面积的近似值，则其绝对误差
不超过1.5708cm2 , 相对误差小于 2.7% .
注: ⑶ 相对误差和相对误差限都是无量纲数，常用百分数表示.
⑷
r
常用以下公式求：
r
x
.
5
例3 x1 100 2 的近似值 x1 100的相对误差限为
e1 x
e x1
x1
2 2% 100
x2 10 1 的近似值 x2 10 的相对误差限为
e2 x
ex2
x2
1 10% 10
再用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为：
y 3.3921911108
19
由此，当相邻两数相减时，可考虑改变一下算法， 如
当
x1与
x 2 相近时，
ln
x1
ln
x2
ln
x1 x2
当 很小时， sinx sin x 2cos x sin
第一章 数值计算中的误差分析
时，则得 e ≈ 2.72, e ≈ 2.71828 。
不管取几位小数得到的近似数，其绝对误差都不超过末位数
的半个单位，即 e − 2.72 ≤ 1 ×10−2 , e − 2.71828 ≤ 1 ×10 −5.
2
2
� “有效数字”的概念：若近似值 x* 的绝对误差限是某一位
的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位直到 x* 的
� 数值计算主要过程：实际问题→建立数学模型→设计 高效、可靠的数值计算方法→程序设计→上机计算求 出结果。
数值计算方法不同于纯数学：它既具有数学的抽象性与严 格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性，它是一门与计 算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的 计算数学课程。
1
� 数值计算方法的特点：提供能让计算机直接处理的，切
例如，用毫米刻度的直尺去测量一长度为 x 的物体，测得其
近似值为 x* = 84mm ，由于直尺以毫米为刻度，所以其误差不超
过 0.5mm，即 x − 84 ≤ 0.5(mm) 。这样，虽然不能得出准确值 x 的
长度是多少,但从这个不等式可以知道 x 范围是
83.5mm ≤ x ≤ 84.5mm ，即 x 必在[83.5mm,84.5mm]内。
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法 的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的密 切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次 还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解各种 方法的异同及优缺点。
2
§1.2 误差与数值计算的误差估计
一、误差的来源与分类 在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作，而影响精确度的因素是各种各样的误差，它们可分为两大类： 一类称为“过失误差”，它一般是由人为造成的，这是可以避免 的，故在数值计算中我们不讨论它；而另一类称为“非过失误差”， 这在“数值计算”中往往是无法避免的，也是我们要研究的。 � 按照误差的来源，误差可分为四种：模型误差、观测误差、 截断误差、舍入误差。 1．模型误差 用数值计算方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型． 由于实际问题的复杂性，在对实际问题进行抽象与简化时，往往 为了抓住主要因素而忽略了于次要因素，这就会使得建立起来的 数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述，它与实际问题之间 总会存在一定的误差．我们把数学模型与实际问题之间出现的误 差称为模型误差。 2．观测误差 在数学模型中往往包含一些由观测或实验得来的物理量，由 于工具精度和测量手段的限制，它们与实际量大小之间必然存在 误差。 3．截断误差 由实际问题建立起来的数学模型，在很多情况下要得到准确 解是困难的，通常要用数值方法求出它的近似解。例如常用有限
数值运算的误差分析
实验一 数值运算的误差分析1. 问题的提出 任何数值计算都是一种近似计算， 于是研究此误差的来源及防止在整个数值 计算中占非常重要的地位。
首先是误差的分类、 其次是估计误差的工具最后是一 些避免误差产生及传播的手段。
1) 模型误差： 实际问题用数学模型刻画时要忽略一些因素， 从而造成数学的量和实际的量 的误差称为模型误差2) 观测误差： 数学模型用到一批数它可能是观测得到的也可能是计算到的， 这种数据误差 造成数学量的近似。
3) 截断误差： 通常要用数值方法求它的近似解， 其近似解与精确解之间的误差称为截断误 差。
例如，函数 f(x)用泰勒(Taylor )多项式4) 舍入误差： 最后用近似的方法计算数据有误差的数学问题要用有限位数字， 行基本的四舍五入计算，由此引起的误差称为舍入误差。
例如用 3.14159 近似代替 ，产生的误差 R 3014159 0.0000026 为舍 入误差。
2. 误差与有效数字 1) 绝对误差： 2) 相对误差：3) 有效数字：若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，该位到 x * 的第一位非零数字共 有 n 位，就说 x * 有 n 位有效数字，表示x * 10m a 1 a 2 10 1a n 10 n 1 ，其中 是 a i (i 1, ,n) 0 到 9 中的 一个数 字， a i 0 ， m 为整 数 ，且p n (x) f (0) f (0)x f (0) x 21!近似代替，则数值方法的截断误2!f n (0)x n n!(n 1)( )R n (x) f (x) p n (x)(n 1)!xn1,(这就要求进 xx110m n 12例如：x187.9325 0.03785551 8.000033 2.7182818 * x *187.930.0378568.00002.7183若 x * 具有 n 位有效数字，则其相对误差限为： r * 1 10 (n 1)2a 1例一：要是 20 的近似值的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？ 设取 n 位有效数字，由定理 1， r * 1 10 (n 1)。
数值计算方法第一章 误差
1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
数值分析第五版1-3章
由于多项式具有结构简单，数值计算和理论分析都很方便 的优点，因此通常取 p ( x) 为多项式。相应的插值法称为多项式 插值。
p( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2015-6-4
16
第2章 插值法
引言
拉格朗 日插值
牛顿插值
埃尔米 特插值
分段低 次插值
三次样 条插值
2015-6-4
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入 误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不 稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
2015-6-4 7 第1章 数值分析与科学计算引论
1 10 ( n 1) 2(a1 1)
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
* * * * 1. x1 与x2 为两近似数, 误差限为 ( x1 ), ( x2 ), 则 : * * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * * ( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 ); * * ( x1 / x2 ) * * * * x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) * x2 2
p( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2015-6-4
16
第2章 插值法
引言
拉格朗 日插值
牛顿插值
埃尔米 特插值
分段低 次插值
三次样 条插值
2015-6-4
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入 误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不 稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
2015-6-4 7 第1章 数值分析与科学计算引论
1 10 ( n 1) 2(a1 1)
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
* * * * 1. x1 与x2 为两近似数, 误差限为 ( x1 ), ( x2 ), 则 : * * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * * ( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 ); * * ( x1 / x2 ) * * * * x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) * x2 2
计算方法(1)-数值计算中的误差
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203
1.2§1.2 数值计算的误差
l t = L0 (1 + at ), a ≈ 0 . 0000238 / oC ,
是由实验观测得到的常数， 其中a 是由实验观测得到的常数，a ∈ [0 . 0000237 , 0 . 0000239 ], 为模型误差， 称 L t − l t 为模型误差，a − 0 .0000238 是 的观测误差。 a 的观测误差。 则
其中 （
∂f ∂ f （ x 1 A， x 2 A， ， x nA）。可以得到函数值的一个近 K ） = A ∂x k ∂x k
似误差界： 似误差界：
特别地， 特别地，对 f （ x 1， x 2）= x 1 ± x 2 有 同样， 同样，可以得到
∂f ε （ f （ x1 A， x 2 A， ， x nA））≈ ∑（ K ） ε （ x kA）。 A ∂xk k =1
n 位有效数字的近似值。 有效数字的近似值 下，若要取有限位数的数字作为近似值， 通常在 x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值， 就采用四舍五入得到的近似值， 就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的 半个单位。 半个单位。 例如 π − 3 . 14 ≤ 0 . 5 × 10 − 2 , π − 3 . 142 ≤ 0 . 5 × 10 − 3 。 按定义， 分别是具有三位和四位有效数字的近似值。 按定义，3.14和3.142分别是具有三位和四位有效数字的近似值。 和 分别是具有三位和四位有效数字的近似值 显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面， 显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面， 我们给出相对误差界与有效数字的关系。 我们给出相对误差界与有效数字的关系。
ε ( f ( x A )) ≈ f ' ( x A ) ε ( x A )
数值计算方法误差
x y
x y y x
y2
, 当 x y
时,舍入误
差会扩大。
例:x, y
的舍入误差均为0.5103 ,而 y* x* 107
x ,则
y
的舍入误差为:
x
x 107 0.5 103 x 2 1014
1 5 1011 x
§1.1 误差的来源和分类
数值方法求解数学问题的过程
实际问题
抽 象 简 化
数学模型
数 值 计 算
问题近似解
模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差. 观测误差：由观测所产生的数学问题（模型）
中参量（数据）的误差. 截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求
得的近似解之差.
I
b
a
f
( x)dx
b 2
)
e( x1
x2 )
1 x2
e( x1 )
x1
x
2 2
e( x2 )
er ( x1 x2 ) er ( x1 ) er ( x2 )
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
af
(a)
f
(b)
I1
(ba)3 R I I1 12 f ( ) (a, b)
舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生 的误差.（计算机可以表示的数是有限的）
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
设x*为准确值x的一个近似值
绝对误差: e x x*
数值计算方法第01章误差
1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
绝对误差/* Absolute error */
定义1. 设x为准确值 , x*为x的一个近似值 , 称 e(x*) x* x
为近似值x*的绝对误差 ,简称误差 ,可简记为E.
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E(x* ) x* x 往往也无法求出
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一：In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I
* 0
则初始误差 E0 I0 I0* 0.5108
注意此公式精确成 立
1
e
1 0
x1=0.0315 x2=0.3015 x3=31.50 x4=5000
1.2.2 有效数字
有效数字是近似值的一种表示法。它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。
若x*作为x的近似值, 其绝对误差的绝对值不 超过某一位数字的半个单位, 而该位数字到 x*的第 一位非零数字共有n位, 则称用x*近似x时具有n位 有效数字, 简称x*有n位有效数字.
1.3数值计算中误差的传播
1.3.1 基本运算中的误差估计 在数值运算中，参加运算的数若有误差，那
么一定会影响到计算结果的准确性.
例、设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关 系。
1.3.2 算法的数值稳定性
计算一个数学问题，需要预先设计好由已知 数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。
且 x* x x* 准确值 x 的范围
数值计算方法第一章 误差
6
误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
7
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
17
x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
13
绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值计算方法 数值计算的误差 - 数值计算的误差
再如：函数 f (x) 用泰勒多项式近似代替
pn ( x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
则截断误差是： Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(0 x)
6
误差的分类
四、舍入误差： 数字计算过程中产生的误差
第 一
绪论
章
1
1 话说科学计算 2 话说《数值计算方法》课程 3 误差与有效数字 4 误差的传播与改善
2
误差的概念 有效数字 误差的分类 误差的传播
3
误差的分类
假设产生误差
一、模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验：交通流量问题
问题分析与建立模型：
模型假设： （1） 全部流入网络的流量
( 12 )6 29
0.00501995
0.005050633883
4
1 99 70 2
1 0.00507614 197
12 0.00504626 2378
0.005050633883
20
比较与思考
Mathematica 的效果
0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883
改 善
一般情况，当f ( x) f ( x* )时 可用泰勒展开
f ( x) f ( x* ) f '( x* )( x x* ) f ''( x* ) ( x x* )
2
取右端的有限项近似代替左端。
22
防止大数吃小数
pn ( x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2 2!
f (n) (0) x n n!
则截断误差是： Rn (x)
f (x) Pn (x)
f (n1) ( ) xn1
(n 1)!
(0 x)
6
误差的分类
四、舍入误差： 数字计算过程中产生的误差
第 一
绪论
章
1
1 话说科学计算 2 话说《数值计算方法》课程 3 误差与有效数字 4 误差的传播与改善
2
误差的概念 有效数字 误差的分类 误差的传播
3
误差的分类
假设产生误差
一、模型误差__数学模型与实际问题之间出现的误差.
实验：交通流量问题
问题分析与建立模型：
模型假设： （1） 全部流入网络的流量
( 12 )6 29
0.00501995
0.005050633883
4
1 99 70 2
1 0.00507614 197
12 0.00504626 2378
0.005050633883
20
比较与思考
Mathematica 的效果
0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883 0.005050633883
改 善
一般情况，当f ( x) f ( x* )时 可用泰勒展开
f ( x) f ( x* ) f '( x* )( x x* ) f ''( x* ) ( x x* )
2
取右端的有限项近似代替左端。
22
防止大数吃小数
数值计算中的误差估计与控制
数值计算中的误差估计与控制数值计算是一种基础且广泛应用的计算方法，它除了在科学研究中发挥重要作用外，也在工程和商业领域得到广泛应用。
然而，由于计算机的有限精度和算法本身的近似性质，数值计算中常常会产生误差。
因此，误差估计与控制成为了数值计算领域的一个重要问题。
1. 误差来源与分类在数值计算中，误差来源主要有四类：舍入误差、截断误差、模型误差和数据误差。
舍入误差是由于用有限精度的计算机表示实数而引入的。
截断误差是指在计算中使用有限的步骤和近似方法导致的误差。
模型误差是指我们对问题的理解和抽象所带来的误差。
数据误差则是由于测量或采集数据的不准确性引入的误差。
2. 误差估计方法误差估计方法可以帮助我们评估数值计算中的误差，并确定误差的上界或下界。
常用的误差估计方法有：解析方法、辛普森规则、拉格朗日插值法、泰勒展开法等。
这些方法基于不同的原理和假设，可以根据具体的问题选择合适的方法进行误差估计。
在误差估计时，我们常常使用误差的上界作为估计结果。
通过证明不等式或使用已知的上界，可以确定误差的最大值。
同时，也可以通过比较不同方法的误差估计结果来选择最优的计算方法。
3. 误差控制方法除了估计误差外，误差控制是数值计算中另一个重要的问题。
误差控制旨在通过改进算法、增加计算精度或调整计算策略等方法来减小误差。
常用的误差控制方法有：增加计算精度、改进算法、增加计算步骤、使用数值稳定性较好的方法等。
其中，增加计算精度是一种常见的误差控制方法。
通过使用更高精度的数据类型或扩展计算精度范围，可以减小舍入误差并提高计算结果的准确性。
改进算法则是通过设计更精确的计算方法来减小误差。
增加计算步骤可以帮助我们获取更准确的结果，但同时也会增加计算复杂度和计算时间。
4. 误差估计与控制的应用误差估计与控制在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
在数值模拟和数值仿真中，误差估计与控制可以提高计算结果的可靠性和准确性。
在优化问题中，误差估计与控制可以帮助我们评估优化算法的性能并选择合适的优化策略。
第一章数值分析(误差分析)
*
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
2019/3/13 19
第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
数值计算方法第一章误差的基本知识
本线索； 3、熟练掌握所学基本算法； 4、从算法的理论分析中学习推理证明方法，提高
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
推理证明能力； 5、认真进行数值计算的训练。
§1.2 误差知识
一、误差的来源及其分类 二、误差的度量 三、误差的传播
一、误差来源及其分类
1) 模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式
（数学模型）通常是近似的。
x1*
x
0 .0 00 5 9
0.005
1 1013 2
3位有效数字，非有效数
x
* 2
x
0 .0 00 4 0
0.0005
1 1014 2
Remark2: 相对误差及相对误差限是无量纲的，但绝对 误差以及绝对误差限是有量纲的。
3.有效数字
为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的 近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引 出有效数字和有效数的概念。
定义：设 x 的近似值 x* 有如下标准形式
x* 10m 0.x1x 2 x n x n1 x p ，
本课程主要内容
鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解 为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几 个方面问题的求解算法： 非线性方程的近似求解方法； 线性代数方程组的求解方法； 函数的插值近似和数据的拟合近似； 积分和微分的近似计算方法； 常微分方程初值问题的数值解法； 矩阵特征值与特征向量的近似计算方法； ……
第一章 绪 论
内容提要
§1.1 引 言 §1.2 误差的度量与传播 §1.3 选用算法时应遵循的原则
§1.1 引 言
课程特点
数值分析或数值计算方法主要是研究如何 运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和 方法。
对那些在经典数学中，用解析方法在理论 上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十 分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值 解法就显得不可缺少，同时有十分有效。
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关于本身是病态的问题，我们暂时还是留给数学家去头痛 吧，当然，我们将会做一个数值实验来感受一下的！
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一： In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I注0* 意此公式精确成
则初始误差 E0 I0 I0 0.5108
解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则
| r*( y) |
x * y( x*) y( x*)
|r
*(x) |
| r *(x) |
ln x *
估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系
r *( x) ln x * r *( y)
1 10n1 ln x * 0.1% 2a1
n4
分析：ε*(y) = f (x*) f (x)
= f ’( )(x* x)
Mean Value ε *(x) = x* x
Theorem
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
| ε *(y)| | f ’(x*)|·| ε *(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 / amplification factor / 或 绝对条件数 / absolute condition number /.
/ well-conditioned / \坏条件的 / ill-conditioned /。
注：关于多元函数 y f ( x1, x2, ..., xn ) 的讨论，请参阅教 材第4页。
例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
0.63289600
?
I* 13
1 13
I* 12
7.2276480??
I* 14
1 14
I* 13
94.959424?
!
I 15
1 15
I 14
1423.3914
!
!
What happened
?!
考察第n步的误差 En
| En
| | In
I
* n
|
|
(1
nI
n1
)
(1
nI
* n1
)
| r*( y) |
*( y)
f ( x*)
| r*( x) |
*(x) x*
f ( x*) f ( x) x * x * x x * x f ( x*) x *
x * f ( x*) f ( x*)
r *(x)
相对误差条件数 f 的条件数在某一点是小\大，/ re则lat称ivefc在on该dit点ion是n好um条be件r/ 的
I
N
)
1 N
(1
I
* N
)
1 N
| EN
|
以此类推，对 n < N 有：
| En |
1 N (N 1) ... (n 1)
| EN
|
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 / stable algorithm /
在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
和、差、积、商的误差
注意在e此理( N公论1式上1)与等 公价I N式。一N
1
1
可取
I
* N
1 1
2
e(
N
1)
1 N 1
IN
当N 时, EN
IN
I
* N
0
取
I
* 15
1 2
e
1 16
1 16
0.042746233
I1*4
1 15
(1
I1*5 )
0.063816918
I1*3
1 14
(1
I1*4
)
0.066870220
数值运算的误差估计及注意事项
邹昌文
本讲重点
• 误差的传播与积累 • 数值运算的误差估计 • 误差定性分析 • 避免误差的危害
误差的传播与积累 / Spread & Accumulation /
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题 / ill-posed problem/
不知道怎么办啊？
例：计算
ln 20 8 9
ln20.89
，取 4
ln 20 8
位有效是x 可，19能.即#，是l取2n0(最.2#0，坏.8也9情),可况则能，相对误差
即a1 = 1。
9 2.0105 0.1%
ln 20 8
9
数值计算中பைடு நூலகம்注意的问题
• 避免相近两数相减 • 防止大数“吃掉“小数引起失真 • 避免大数除以小数 • 计算复杂性
I1*2
1 13
(1
I1*3
)
0.071779214
I1*1
1 12
(1
I1*2
)
0.077351732
I1*0
1 11
(1
I
* 11
)
0.083877115
I1*
1 2
(1
I
* 2
)
0.36787944
I
* 0
1 1
(1
I1*
)
0.63212056
考察反推一步的误差：
| EN 1 |
1 N
(1
( x1*
x
* 2
)
(
x1* )
(
x2* );
( x1* x2* )
x1* ( x2* )
x
* 2
(
x1*
);
( x1* / x2* )
x1* ( x2* )
x
* 2
(
x1*
)
x
* 2
2
(
x
* 2
0)
函数的误差估计 /Error Estimation for Functions/
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 xn e1 dx
0
1
1
e(n 1 ) In n 1
I* 1
1
1
I* 0
0.36787944
... ... ... ...
I* 10
1 10
I* 9
0.08812800
I* 11
1
11
I* 10
0.03059200
I* 12
1 12
I* 11
本章小结
误差在数值计算中是不可避免的，误差的传播和 积累直接影响到计算结果的精度。在研究算法的同 时，必须注重误差分析，使建立起来的算法科学有 效。
按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差 ，截断误差、和舍入误差等。
误差的表示法有绝对误差和相对误差两种。 在表示一个近似数时,要用到有效数字的概念,这在 数值计算中非常有用,有效数字是由绝对误差决定的 通常用函数的泰勒展开对误差进行估计
|
n
|En1|
n !| E0
|
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5108 迅速积累，误差呈递增走势。
造成这种情况的是不稳定的算法 / unstable algorithm /
我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1
1
I n1
(1 n
In )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
例：计算
In
1 e
1 xne xdx ,
0
n 0,1, 2, ......
公式一： In 1 n In1
I0
1 e
1 e xdx
0
1
1 e
0.63212056
记为
I注0* 意此公式精确成
则初始误差 E0 I0 I0 0.5108
解：设截取 n 位有效数字后得 x* x，则
| r*( y) |
x * y( x*) y( x*)
|r
*(x) |
| r *(x) |
ln x *
估计 x 和 y 的相对误差上限满足近似关系
r *( x) ln x * r *( y)
1 10n1 ln x * 0.1% 2a1
n4
分析：ε*(y) = f (x*) f (x)
= f ’( )(x* x)
Mean Value ε *(x) = x* x
Theorem
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
| ε *(y)| | f ’(x*)|·| ε *(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 / amplification factor / 或 绝对条件数 / absolute condition number /.
/ well-conditioned / \坏条件的 / ill-conditioned /。
注：关于多元函数 y f ( x1, x2, ..., xn ) 的讨论，请参阅教 材第4页。
例:计算 y = ln x。若 x 20，则取 x 的几位有效数字可保证 y 的相对误差 < 0.1% ?
0.63289600
?
I* 13
1 13
I* 12
7.2276480??
I* 14
1 14
I* 13
94.959424?
!
I 15
1 15
I 14
1423.3914
!
!
What happened
?!
考察第n步的误差 En
| En
| | In
I
* n
|
|
(1
nI
n1
)
(1
nI
* n1
)
| r*( y) |
*( y)
f ( x*)
| r*( x) |
*(x) x*
f ( x*) f ( x) x * x * x x * x f ( x*) x *
x * f ( x*) f ( x*)
r *(x)
相对误差条件数 f 的条件数在某一点是小\大，/ re则lat称ivefc在on该dit点ion是n好um条be件r/ 的
I
N
)
1 N
(1
I
* N
)
1 N
| EN
|
以此类推，对 n < N 有：
| En |
1 N (N 1) ... (n 1)
| EN
|
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 / stable algorithm /
在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
和、差、积、商的误差
注意在e此理( N公论1式上1)与等 公价I N式。一N
1
1
可取
I
* N
1 1
2
e(
N
1)
1 N 1
IN
当N 时, EN
IN
I
* N
0
取
I
* 15
1 2
e
1 16
1 16
0.042746233
I1*4
1 15
(1
I1*5 )
0.063816918
I1*3
1 14
(1
I1*4
)
0.066870220
数值运算的误差估计及注意事项
邹昌文
本讲重点
• 误差的传播与积累 • 数值运算的误差估计 • 误差定性分析 • 避免误差的危害
误差的传播与积累 / Spread & Accumulation /
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题 / ill-posed problem/
不知道怎么办啊？
例：计算
ln 20 8 9
ln20.89
，取 4
ln 20 8
位有效是x 可，19能.即#，是l取2n0(最.2#0，坏.8也9情),可况则能，相对误差
即a1 = 1。
9 2.0105 0.1%
ln 20 8
9
数值计算中பைடு நூலகம்注意的问题
• 避免相近两数相减 • 防止大数“吃掉“小数引起失真 • 避免大数除以小数 • 计算复杂性
I1*2
1 13
(1
I1*3
)
0.071779214
I1*1
1 12
(1
I1*2
)
0.077351732
I1*0
1 11
(1
I
* 11
)
0.083877115
I1*
1 2
(1
I
* 2
)
0.36787944
I
* 0
1 1
(1
I1*
)
0.63212056
考察反推一步的误差：
| EN 1 |
1 N
(1
( x1*
x
* 2
)
(
x1* )
(
x2* );
( x1* x2* )
x1* ( x2* )
x
* 2
(
x1*
);
( x1* / x2* )
x1* ( x2* )
x
* 2
(
x1*
)
x
* 2
2
(
x
* 2
0)
函数的误差估计 /Error Estimation for Functions/
问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？
立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 xn e1 dx
0
1
1
e(n 1 ) In n 1
I* 1
1
1
I* 0
0.36787944
... ... ... ...
I* 10
1 10
I* 9
0.08812800
I* 11
1
11
I* 10
0.03059200
I* 12
1 12
I* 11
本章小结
误差在数值计算中是不可避免的，误差的传播和 积累直接影响到计算结果的精度。在研究算法的同 时，必须注重误差分析，使建立起来的算法科学有 效。
按照误差产生的来源可分为模型误差、观测误差 ，截断误差、和舍入误差等。
误差的表示法有绝对误差和相对误差两种。 在表示一个近似数时,要用到有效数字的概念,这在 数值计算中非常有用,有效数字是由绝对误差决定的 通常用函数的泰勒展开对误差进行估计
|
n
|En1|
n !| E0
|
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5108 迅速积累，误差呈递增走势。
造成这种情况的是不稳定的算法 / unstable algorithm /
我们有责任改变。
公式二： In 1 n In1
1
I n1
(1 n
In )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。