第七章 二阶电路

§7.1 二阶电路的零输入响应

二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析RLC 串联电路来说明求二阶电路响应的方法。

1.方程和初始条件

图 7.1

图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关，设电容原本充有电压U0，此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KVL方程及元件的VCR 为：

若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程：

初始条件为：u C (0+)= U 0 ，i (0+)=0 ，或

若以电感电流为变量，则方程为：

初始条件为：i (0+)=0 ，

　根据 得：

2．二阶微分方程的解及其物理意义

以电容电压为变量，电路方程为：

从中得特征方程：

特征根为：

上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。当R、L、C的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。

（1）当时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态。

此时方程的解为：

由初始条件：，

得： 即：

因此电容电压为：

电流为：

电感电压为：

图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出，电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量，称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所示。

图7.2表明t=t m时，i C取得最大值，t=2tm时，u L为极小值。通过对电流求导，可计算时间t m。即：

图 7.2

→ →　

图 7.3

（2）当时，特征根为两个共轭复根，电路处于振荡放电状态。令： 则特征根为：

电容电压的u C的通解形式为：

经常把上式写成三角函数形式：

故把ω称为振荡频率。

通解中待定常数A ， b 根据初始条件确定，即：

联立求解以上方程得：

由于ω、ω０、δ、b 满足图7.4所示的三角关系:

所以

则

图 7.4 图 7.5

　图7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图7.6 所示。

图 7.6

若RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。此时有：

（3）当时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。 特征根为：

方程的通解为：

根据初始条件得：

解得：

从以上诸式可以看出，电压和电流具有非振荡的性质，其波形类似于图7.2，波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。

总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤：

1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为二阶线性齐次常微分方程；

2)由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为：

特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态：

特征根为两个相等的负实根，电路处于临界阻尼状态：

特征根为共轭复根，电路处于衰减振荡状态：

3）根据初始值确定积分常数从而得方程的解。

以上步骤可应用于一般二阶电路。

例7-1图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时打开开关, 求电容电压u C并画出其变化曲线。

例 7 — 1 图（ a ）（ b ）

解：求解分三步：

（1）首先确定电路的初始值。

由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路，

得初值为：uＣ(0－)=25V ，i L(0－)=5A

（2）开关打开，电路为RLC串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微分方程为：

带入参数得特征方程为： 50P 2+2500 P +106=0

解得特征根：

由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为：

（3）确定常数，根据初始条件得：

有：　即：

电压随时间的变化波形如图（b）所示。

例7-2图示电路为RC振荡电路，试讨论k取不同值时输出电压u2的零输入响应情况。

图例7-2

解：对节点 A 列写 KCL 方程：

列写 KVL 方程：

对方程两边微分，整理得：

特征方程为：

特征根为：

令： 则：

下面进行讨论：

（1）若，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有：

，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5

当1＜k＜3时有 d＞0 ，为衰减振荡；

当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡；

当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。

（2）若，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有：

，, k＜1 , k＞5

§7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应

1．零状态响应和阶跃响应

二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。零状态响应和阶跃响应的求解方法相同。现以图7.6所示RLC 串联电路为例说明求解方法。

图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为:

u C(0－)=u C(0+)=0，i L(0－)=i L(0+)=0。

图 7.6

t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程：

特征方程为；

方程的通解求法与求零输入响应相同。

令方程中对时间的导数为零，得方程的特解 :

则u C的解答形式为：

由初值 确定常数

电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示，表明电容电压从零上升最后稳定在E 值。