运筹学基础及应用第五版 胡运权34015电子教案
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• 悬挂边 悬挂点的关联边，如 e8
• 孤立点 次为0的点
• 偶点
次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
运筹学基础及应用第五版 胡运 权34015
一、基本概念
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络， 试确定使总距离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
(v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7)是一条路
( v4,e4,v1,e1,v2,e2,v3,e6,v5,e9,v7,e8,v6,e7,v3,e3,v4)是一个圈 (v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e4,v1)是一个回路
本图是一个连通图。
6、偶图（二分图）：若图G的点集V可以分为两个互 不相交的非空子集V1和V2，而且在同一个子集中的点 均互不相邻，则图G称为偶图。 完全偶图：V1中的每个点均和V2中的每个点相邻的偶 图。 若完全偶图中V1有m个点，V2有n个点，则该图共有mn 条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
6
B
3D
D
B
注意： 图G有部分树的必要条件是G是连通图。 部分树不是唯一的。
（2）最小部分树（或最小支撑树）
图G为网络图，若T是部分树中权和最小者，则 称T是G的最小部分树(或称最小支撑树).
二、最小部分树的求法
1、原理
（1）图中与点v关联的最短边（即权最小的边）一 定包含在最小部分树中。 （2）将图中的点分成两个互不相交的非空子集， 则两个子集之间连线的最短边一定包含在最小部分 树中。
一、树图的概念
1、树（tree）：无圈的连通图称为树图，简称为 树,用T(V,E)或T表示。
2、树的性质
（1）树中必有悬挂点。
证明（反证法）： 设树中任何点的次均不为1. 因为树无孤立点，所以树的点的次≥2. 不妨设树有n个点，记为v1,v2,…,vn 因为d(v1)≥2,不妨设v1与v2,v3相邻。 又因为树没有圈，且d(v2)≥2,可设v2与v4相邻，…,
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
பைடு நூலகம்
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
零图： 边集为空集的图。
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
e1
v5 e2
v1
e3
v2
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
v1 e4
v4 e5 v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3 e7
e9
v6
e8
v7
如图(v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6,e8,v7)是一条链, 但不是路
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
C G1： A
5
C
7
7
4
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• 孤立点 次为0的点
• 偶点
次为偶数的点，如 v2
• 奇点
次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
e4
e5
e6 e7
v3
v4
例如：e6= [v2,v3]
特别的，若边e的两个端点重合，则称e为环。
若两个端点之间多于一条边，则称为多重边。 简单图：无环、无多重边的图。
e7 v4
e3
v1 e8
v5
e5
e6 e2
e1
v3
e4
v2
4、点v的次（或度，degree）
与点v关联的边的条数，记为dG(v)或d(v)。 • 悬挂点 次为1的点，如 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
运筹学基础及应用第五版 胡运 权34015
一、基本概念
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
例：要在下图所示的各个位置之间建立起通信网络， 试确定使总距离最小的方案。
A
5 S
5 B
5
D
T
C
E
4
即求图中的最小部分树
2、求法
方法一： 避圈法 将图中所有的点分V为V两部分， V——最小部分树中的点的集合 V——非最小部分树中的点的集合
⑴ 任取一点vi，令vi∈V，其他点在V中 ⑵ 在V与V相连的边中取一条最短的边(vi,vj)， 加粗(vi,vj)，令vj∈V ，并在V中去掉vj ⑶ 重复⑵ ，至所有的点均在V之内。
(v1,e1,v2,e2,v3,e7,v6,e8,v7)是一条路
( v4,e4,v1,e1,v2,e2,v3,e6,v5,e9,v7,e8,v6,e7,v3,e3,v4)是一个圈 (v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e4,v1)是一个回路
本图是一个连通图。
6、偶图（二分图）：若图G的点集V可以分为两个互 不相交的非空子集V1和V2，而且在同一个子集中的点 均互不相邻，则图G称为偶图。 完全偶图：V1中的每个点均和V2中的每个点相邻的偶 图。 若完全偶图中V1有m个点，V2有n个点，则该图共有mn 条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
注意：部分图是子图，子图不一定是部分图。
二、应用
例 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名 参加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛。如表中所 示，打“√”的项目是各运动员报名参加比赛的项 目。问：六个项目的比赛顺序应如何安排，才能做 到使每名运动员不连续地参加两项比赛？
6
B
3D
D
B
注意： 图G有部分树的必要条件是G是连通图。 部分树不是唯一的。
（2）最小部分树（或最小支撑树）
图G为网络图，若T是部分树中权和最小者，则 称T是G的最小部分树(或称最小支撑树).
二、最小部分树的求法
1、原理
（1）图中与点v关联的最短边（即权最小的边）一 定包含在最小部分树中。 （2）将图中的点分成两个互不相交的非空子集， 则两个子集之间连线的最短边一定包含在最小部分 树中。
一、树图的概念
1、树（tree）：无圈的连通图称为树图，简称为 树,用T(V,E)或T表示。
2、树的性质
（1）树中必有悬挂点。
证明（反证法）： 设树中任何点的次均不为1. 因为树无孤立点，所以树的点的次≥2. 不妨设树有n个点，记为v1,v2,…,vn 因为d(v1)≥2,不妨设v1与v2,v3相邻。 又因为树没有圈，且d(v2)≥2,可设v2与v4相邻，…,
人
ABCDE F
甲
√
√
√
乙
√
√
√
பைடு நூலகம்
丙
√
√
丁
√
√
戊
√
√
√
己
√
√
√
解：构造一个六阶图如下： 点：表示运动项目。
边：若两个项目之间有同一名运动员报名参加， 则对应的两个点之间连一条边。
A
F
B
E
C
D
为满足题目要求，应 该选择不相邻的点来 安排比赛的顺序：
A—C—B—F—E—D
或D—E—F—B—C—A
§6.2 树图和图的最小部分树
零图： 边集为空集的图。
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
e1
v5 e2
v1
e3
v2
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
v1 e4
v4 e5 v5
e1
e3
e6
v2
e2
v3 e7
e9
v6
e8
v7
如图(v1,e1,v2,e2,v3,e3,v4,e5,v5,e6,v3,e7,v6,e8,v7)是一条链, 但不是路
注意：
① 树是边数最多的无圈图。
在树中不相邻的两个点之间添上一条边，则恰得到一个圈。
② 树是边数最少的连通图。
从树中去掉一条边，则余下的图不连通。
3、图的最小部分树
（1）部分树：若G1是G2的一个部分图，且G1为树， 则称G1是G2的一个部分树（或支撑树）。
G2： A
5
C G1： A
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C
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