三、线性变换的乘积

第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) k , l P (2) ( k l ) k l k , l P (3) k ( ) k k k P (4) 1
命题： 线性空间V上的全体线性变换所成集合 L(V ) 对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的 一个线性空间.
0 E 当 n 0 时，规定 （单位变换）.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
注：
① 易证
m n
,
m n

m
n
mn ,
m, n 0
② 当 为可逆变换时，定义 的负整数幂为
注：① 在 P[ x] 中，若
h x f x g x , p x f x g x
则有， h f g ,
p f g
② 对 f ( x ), g( x ) P[ x ], 有


注：交换律一般不成立，即一般地，

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第一章 线性变换 第七章 行列式
例1 线性空间R[ x] 中，线性变换
D f x f x
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第一章 线性变换 第七章 行列式
证：对 , V , k P ,
1 1 1 1

1

1 1 1
1 1
,
（4） ( ) 0
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V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
二、 线性变换的数量乘法
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x

0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
DJ JD.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
2．基本性质 （1）满足交换律：

（2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. 负变换： 设 为线性空间V的线性变换，定义 为：
则 也是V的线性变换.
事实上，( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
为V的一个线性变换，则
f ( ) am m a1 a0 E
也是V的一个线性变换，称 f ( )为线性变换 的
多项式.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
f t dt f x f 0
8 8
第一章 线性变换 第七章 行列式
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有

n


1
n
③ 一般地， n n .
n
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第一章 线性Leabharlann Baidu换 第七章 行列式
2．线性变换的多项式
设 f x am x
m
a1 x a0 P[ x ],
第一章 线性变换 第七章 行列式
一、线性变换的和 二、线性变换的数量乘法 三、线性变换的乘积 四、线性变换的逆
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第一章 线性变换 第七章 行列式
一、 线性变换的和 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
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第一章 线性变换 第七章 行列式
四、 线性变换的逆 1．定义 设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 . 2．基本性质
1 可逆变换 的逆变换 也是V的线性变换.
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1 是V的线性变换.
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第一章 线性变换 第七章 行列式
五、线性变换的多项式
1．线性变换的幂 设 为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义

n n
,
称之为 的n次幂.
f g g f f g g f
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.
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1 1
1 k 1 k 1 1 k 1

1


k
1
( 1 )(k( 1 ( ))) k 1
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
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三、 线性变换的乘积 1．定义 设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V
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第一章 线性变换 第七章 行列式
２．基本性质
（1）满足结合律：


（2） E E ，E为单位变换 （3）乘法对加法满足左、右分配律：

1．定义 设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
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