4.3公式法解一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
9 17 x . 4 16
2
2.你能用配方法解方程 3x2+2x+1=0吗?
【解析】
x2
2
2 1 x 0 3 3
2 1 2 1 1 x x( ) 0 3 3 9 3 1 2 2 (x ) 0 3 9
1 2 ( x )2 3 9
2 3 0 2 3 x 3, 21 2
即：x1= x2=
3
【例3】解方程：（x-2)(1-3x)=6．
【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b=-7, c=8. ∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
2
2
2
b b 2 4 ac . x 2 2a 4a
2
4.开方:根据平方根的意义,方程两边开平方
当 b 2 4 ac 0时 ,
b b 2 4ac x . 2a 2a
5.求解:解关于x的一元一次方程
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
3.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
【解析】设这三个连续偶数中间的一个为 x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
2 2
即 x 2 8 x 0. 解这个方程 , 得 x1 8, x 2 0 (不合题意 , 舍去 ).
B
x 2 6 , x 2 10 .
解这个方程,得
x1＝9.6; x2＝-2.8(不合题意,舍去). ∴x-6.8=2.8．
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
用公式法求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程。
一、一元二次方程的定义及公式
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的步骤
1.整理方程
将一元二次方程化为标准形式，即ax + bx + c = 0。
2.计算判别式
判别式的公式为：Δ= b - 4ac。
3.判断方程根的情况
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：
- Δ > 0：方程有两个不相等的实根；
- Δ = 0：方程有两个相等的实根；
- Δ < 0：方程无实根。
4.求解方程根
根据判别式的值和方程的根的情况，使用公式求解方程的根。
公式如下：x, x = (-b ± √Δ) / (2a)
三、实例演示
已知一元二次方程：x - 3x + 2 = 0
1.整理方程：x - 3x + 2 = 0
2.计算判别式：Δ = (-3) - 4 × 1 × 2 = 1
3.判断方程根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根。
4.求解方程根：x, x = (3 ± √1) / 2 = 1, 2
四、总结与拓展
求解一元二次方程的方法不仅限于公式法，还可以使用因式分解、配方法等。
在实际应用中，应根据方程的特点和自己的需求选择合适的解法。
公式法解一元二次方程(2)
B
3
7
综训109页4题
计算不准确
说明：难易程度：A识记B理解C应用
反思评学环节设计
展示内容
难易程度
展示方式
展示小组
展示学生
存在问题及改进措施
7
A
口答
1号
无
6
B
板演
2
2号
无
5
Bபைடு நூலகம்
板演
3
3号
计算能力太差
说明：难易程度：A识记B理解C应用
评价点评环节设计
评价内容
难易程度
点评小组
点评学生
变式训练与问题预设
存在问题及改进措施
1
A
1
5
综训109页1-2题
过程太乱
2
A
2
6
综训109页3题
不会分析
B段：进阶深学
【自学检测】
1、用公式法解下列一元二次方程
(1)2x2+5x-3=0(2)4x2=9x
(3)x2+6x+5=0(4)
【进阶训练】
用公式法解下列一元二次方程
（1）
（2）
【拓展训练】
用公式法解下列一元二次方程
（1） （2）
课堂观察记录
【当堂检测】：综训109页1-9题
疑难突破环节设计
训练展示环节设计
实验中学
课堂教学设计
执教人
学科
数学
编号
使用时间
课题
名称
4.3用公式法解一元二次方程（2）
课时规划
自主质疑1课时
练习内化1课时
自主质疑阶段
自主预习学案
课堂观察记录
A段：自学教材
3 用公式法求解一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
栏目索引
例 用公式法解方程2x2+3x=4.
解析 移项,得2x2+3x-4=0.
因为a=2,b=3,c=-4,
所以b2-4ac=32-4×2×(-4)=9+32=41>0,
所以x= b b2 4ac = 3 41 = 3 41 ,
2a
22
4
所以原方程的解为x1= 3 41 ,x2= 3 41 .
栏目索引
题型一 利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围
例1 已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.
(1)当k
时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当k
时,方程有两个相等的实数根;
(3)当k
时,方程没有实数根.
解析 (1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0,即(-4)2-4×2k>0, ∴k<2. (2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,即(-4)2-4×2k=0,∴k=2. (3)当方程无实数根时,b2-4ac<0,即(-4)2-4×2k<0,∴k>2.
∴x= (2 3)
21
0=
3 ,∴x1=x2=
3.
(2)在方程的两边同乘8,得4x2-4x+1=0.
a=4,b=-4,c=1, ∵b2-4ac=(-4)2-4×4×1=0,
∴x= (4) 0 = 4 = 1 ,∴x1=x2= 1 .
24 8 2
2
(3)将原方程化为一元二次方程的一般形式为 2 x2- 3 x- 2 =0.a= 2 ,b=
根的判别式的应用
(1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况; (2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
初中数学九上4
解 : x2 b x c 0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2
b
a x
ac
.
x2
b
a x b
2
a
b
2
c.
a 2a 2a a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
2.移项:把常数项移到方 程的右边;
3.配方:方程两边都加上一 次项系数绝对值二分之一的
平方4.;变形:方程左边分解因 式,右边合并同类项;
4、写出方程的解： x1、x2
课堂检测
1. 用公式法解下列方程.
（1） 2x2-4x－1＝0；
（2） 5+2x＝3x2 ；
（3） x2－6x＋1＝0 ；
2．某农场要建一种矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长 25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. (1)养鸭场的面积能达成150m吗？能达成200 m吗？ (2)能达成250 m吗？
6 5
.
4.x1
x2
3 2
.
拓展提高：用公式法解应用题!
一种直角三角形三边的长为三个持续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x,根据题意得
x2 x 22 x 22.
B
即x2 8x 0.
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意,舍去). A
C
x 2 6, x 2 10.
当b2 4ac 0时,
5.开方:根据平方根意义,
x b b2 4ac .
2a
2a
方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
用公式法求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程。
公式法求解一元二次方程是一种常见且有效的方法，可以帮助我们找到方程的解。
在这篇文章中，我将详细介绍公式法的步骤和原理，并通过实例来说明如何使用公式法解决一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
要使用公式法求解一元二次方程，首先需要了解二次方程的求根公式。
根据求根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，让我们通过一个实例来说明公式法的具体步骤。
假设我们要解决方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
第一步，根据方程的系数，我们可以确定a = 2，b = 5，c = -3。
第二步，将这些值代入求根公式中，计算出两个解。
根据求根公式，我们有：x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)计算得到：x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4x = (-5 ± √49) / 4现在，我们需要计算出根号内的数值，然后求解方程。
根号内的数值为49，它的平方根为7。
因此，我们可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 0.5x2 = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3所以，方程2x^2 + 5x - 3 = 0的解为x = 0.5和x = -3。
通过这个实例，我们可以看到公式法的求解步骤相对简单，只需要代入系数并进行简单的计算即可得到方程的解。
而且，公式法适用于所有一元二次方程，无论系数的大小。
需要注意的是，在使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意方程的根号内的数值是否为负数。
如果根号内的数值为负数，则方程无解。
这是因为在实数范围内，负数的平方根是无法求得的。
总结一下，公式法是一种常见且可靠的求解一元二次方程的方法。
通过代入系数并进行计算，我们可以轻松地找到方程的解。
数学 1用公式法解一元二次方程-课件
b b2 4ac 2a
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
13
小结
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.用公式法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
4.3 用公式法解一元二次方程
1
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.了解公式法的概念； 3.会熟练应用公式法解一元二次方程．
2
1、请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0
2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化成 x2+px+q=0的形式；
（2）移项整理 得 x2+px=-q；
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
5
例题
【例1】用公式法解方程:2x2+5x-3=0
【解析】 a=2 , b=5 , c= -3 .
∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49.
∴ x = b b2 4ac 2a
即 x1= - 3, x2=
14
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
伦写
理作
使与
人笔
庄记
重使
； 逻
人 精
辑确
You made my day!
与； 修史
辞 使
鉴 使
人人
善明
辩智
。
《用公式法解一元二次方程》课时练习(含答案) 2021--2022学年青岛版数学九年级上册
青岛版数学九年级上册4.3《用公式法解一元二次方程》课时练习一、选择题1.解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法或配方法D.分解因式法2.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时,首先要确定a,b,c 的值,下列叙述正确的是( ) A.a=3，b=2，c=3 B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=-3D.a=3，b=-2，c=33.一元二次方程x 2-0.25=2x 的解是( ) A. B.252±=x C.251+=x D.251±=x4.用公式法解方程4x 2﹣12x=3所得的解正确的是( )A.x=B.x=C.x=D.x=5.以x=为根的一元二次方程可能是( )A.x 2+bx+c=0B.x 2+bx ﹣c=0C.x 2﹣bx+c=0D.x 2﹣bx ﹣c=06.下列方程适合用求根公式法解的是( )A.(x ﹣3)2=2B.325x 2﹣326x+1=0C.x 2﹣100x+2500=0D.2x 2+3x ﹣1=07.用公式法解﹣x 2+3x=1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( )A.﹣1，3，﹣1B.1，﹣3，﹣1C.﹣1，﹣3，﹣1D.1，3，18.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( ) A.a=3，b=2，c=3B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=－3D.a=3，b=－2，c=3 9.方程x 2＋x －1=0的一个根是( )A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋5210.方程2x 2＋43x ＋62=0的根是( )A.x 1=2，x 2= 3B.x 1=6，x 2= 2C.x 1=22，x 2= 2D.x 1=x 2=－ 6二、填空题11.用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac= ，则 x 1= ，x 2= .12.当 ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .13.把方程(x+3)(x ﹣1)=x(1﹣x)整理成ax 2+bx+c=0的形式 ，b 2﹣4ac 的值是 .14.已知关于x 的方程ax 2－bx ＋c=0的一个根是x 1=12，且b 2－4ac=0， 则此方程的另一个根x 2= .15.方程2x 2－6x －1=0的负数根为 .16.等腰三角形的边长是方程x 2-22x+1=0的两根,则它的周长为 .三、解答题17.用公式法解方程：(x ＋2)2=2x ＋4；18.用公式法解方程：6x 2－11x ＋4=2x －2；19.用公式法解方程：2x 2＋7x=4.解：∵a=2，b=7，c=4，∴b 2－4ac=72－4×2×4=17.∴x=－7±174， 即x 1=－7＋174，x 2=－7－174. 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.20.如图所示，要设计一座1 m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部(腰以上)AB与下部(腰以下)BC 的高度比，等于下部与全部(全身)AC的高度比，雕塑的下部应设计为多高？参考答案1.答案为：C2.答案为：D3.答案为：B.4.答案为：D.5.答案为：D.6.答案为：D.7.答案为：A.8.答案为：D9.答案为：D10.答案为：D11.答案为：5；； 12.答案为：b 2﹣4ac ；x=13.答案为：2x 2+x ﹣3=0；25.14.答案为：12. 15.答案为：x=3－112. 16.答案为：32+117.解：原方程可化为x 2＋2x=0.a=1，b=2，c=0.Δ=b 2－4ac=22－4×1×0=4. x=－2±42=－1±1， x 1=0，x 2=－2. 18.解：原方程可化为6x 2－13x ＋6=0.a=6，b=－13，c=6.Δ=b 2－4ac=(－13)2－4×6×6=25. x=13±252×6=13±512， x 1=32，x 2=23.19.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c 的符号错误. 正解：移项，得2x 2＋7x －4=0，∵a=2，b=7，c=－4，∴b 2－4ac=72－4×2×(－4)=81.∴x=－7±812×2=－7±94. 即x 1=－4，x 2=12. 20.解：设雕塑的下部应设计为x m ，则上部应设计为(1－x)m.根据题意，得1－x x =x 1. 整理，得x 2＋x －1=0.解得x 1=－1＋52，x 2=－1－52(不合题意，舍去). 经检验，x=－1＋52是原分式方程的解. 答：雕塑的下部应设计为5－12 m.。
公式法解一元二次方程
2x 2 2x +1 = 0
∵a=2,b=-2 2 ,c=1. ∴△=b2-4ac =(-2 2)2-4×2×1=0
b ± b2 4ac (8) ± 88 4± 22 2 b 2 2 = = . ∴x= =－ = . ∴x=－ 2a 2×3 3 2×2 2a 2 4 22 4+ 22 2 ,x2= . 即 x1= . 即 x1=x2= 3 3 2
例2 用公式法解一元二次方程
(1)0.75x
2
2
x = x + 0.5
(2)2x +a、b、c 2x 1= 2 这里的a 这里的
2
方程两边同乘4,并整理 解:方程两边同乘 并整理，得 方程两边同乘 并整理，
解:方程可化为 方程可化为 的值是什么？ 的值是什么？23x 8x 2 = 0
∵a=3,b=-8,c=-2. ∴△=b2-4ac=(-8)2-4×3× (-2)=88>0.
b ± b2 4ac 2a
2+ 11
2
=
( 4) ±
2 ×1
44 = 2± 11
.
.
即 x1= （2）做一做 ）
,x2=
2 11
3x + 5x 2 = 0
b ± b 4ac 求根公式： 求根公式： x = 2a
2
（2）做一做 ） 解:
3x + 5x 2 = 0
2
用公式法解一元二次方程的 一般步骤： 一般步骤： 1、把方程化成一般形式。 、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。 的值。 并写出 ， ， 的值 2、求出△=b2-4ac的值。 、 的值。 的值 3、代入求根公式 : 、
求根公式： 求根公式：
解一元二次方程(公式法4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
解一元二次方程（公式法4种题型）【知识梳理】一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca −≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b aca −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x 2x =20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．【考点剖析】题型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程： （1）2270x x −+=；（2）211042x x −=．【答案】（1）27,021==x x ；（2）2,021==x x ．【解析】（1）0,7,2==−=c b a ，则4942=−ac b ，则477−±−=x ，∴27,021==x x ；（2）0,21,41=−==c b a ，则4142=ac b ，则212121±=x ，∴2,021==x x ．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例2.用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==．【解析】（1）132a b c ===−，，，则1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴12x x ==．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x 的运用．例3.用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x −=−；（2）2(53)(1)(1)5x x x −+=++．【答案】（1）122222x x −+−==；（2）123322x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为：05422=−+x x ，245a b c ===−，，，则5642=−ac b ，则41424±−=x ，∴122222x x −−==；（2）方程可化为：2490x −=，则123322x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 例4.用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +−=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +−−+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12122x x ==−，． 【解析】（1）方程可化为2224130x x +−=，13,24,2−===c b a ，则68042=−ac b ，则4170224±−=x ，∴12x x =（2）两边同时乘以10，方程可化为02322=−−x x ，2,3,2−=−==c b a ，则2542=−ac b ， 则453±=x ，∴12122x x ==−，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x =；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x =；（2）22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型2解系数中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列关于x 的方程：220ax x ++=（0a ≠）．【解析】220ax x ++=（0a ≠），则22−=+x ax ，整理得：a x a x 212−=+，配方可得：22248141221a a a a a x −=+−=⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 当81≤a 时，a a x 21811−−=，a a x 21812−−−=，当81>a 时，方程无实数根．【总结】注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 例7.用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c −−=；（2）2100.1ax a −−=． 【解析】（1）∵c b 42+=∆，∴当042≥+c b 时，2421c b b x ++=，2422c b b x +−=；当042<+c b 时，原方程无实数根；原方程可化为：22100x a −=，∵2222400a b a ∆=+≥，∴原方程的解为：12x +=，22x a=．【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论．题型3根的判别式例8.选择：（1） 下列关于的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）（B ） （C ）（D ）（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4）一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根； B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ； （2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例9.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；x 012=+x 0122=++x x 0322=++x x0322=−+x x（3）223x +=； （4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根； （2）2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；（3）2a =，b =−，3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根； （4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．例10.关于x 的方程2(1)0x m x m +−−=（其中m 是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有．【解析】∵1a =，1b m =−，c m =−，∴()()()22241410b ac m m m ∆=−=−−⨯−=+≥恒成立，可知方程一定有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，只需要对最终的∆的值与0的大小关系，进而确定方程根的情况． 例11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =，∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠， 由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例12.已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．例13.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >． 【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例14.当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大题型5根的判别式的应用例15.证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根． 【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−，则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立， 由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．例16.当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根． 【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >． 【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．例17.已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−且1m ≠−．【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．例18.如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立， 由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．例19.已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围． 【答案】32m ≥−． 【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； （2）当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程， 其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．【过关检测】一、单选题【答案】B【分析】根据关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根得到140k ∆=+≥，解不等式即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程20x x k −−=有实数根，∴()()2141140k k ∆=−−⨯⨯−=+≥，解得14k ≥−，故选：B【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程0∆≥时有实数根是解题的关键． 2．（2023春·广东潮州·九年级潮州市金山实验学校校考期末）如果关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，则a 满足条件是（ ）A ．5a ≠B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．1a ≥【答案】B【分析】由二次项系数非零及根的判别式0∆>，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(5)410a x x −−−=有两个不相等的实数根，∴()()()25044510a a −≠⎧⎪⎨−−⨯−⨯−>⎪⎩，解得：1a >且5a ≠， 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3．（2023·浙江温州·统考三模）若关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，则正数b 的值是（ ） A ．8B ．8−C ．4D ．4−【答案】A【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=，有两个相等的实数根，∴22441160b ac b ∆=−=−⨯⨯=，∴264b =，∴8b =±， ∵b 是正数， ∴8b =， 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−＞，则原方程有两个不相等的实数根；若240b ac ∆=−=，则原方程有两个相等的实数根；若240b ac ∆=−＜，则原方程没有实数根．【答案】C【分析】分别代入数值解方程，逐一判断即可解题．【详解】解：当12a =时，方程为28120x x −−=，解得4x =±A 选项不符合题意；当16a =时，方程为28160x x −−=，解得4x =±B 选项不符合题意；当20a =时，方程为28200x x −−=，解得10x =或2x =−是整数，故C 选项符合题意；当24a =时，方程为28240x x −−=，解得4x =±D 选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．5．（2023·安徽安庆·校考三模）如果关于x 的一元二次方程260x x a −+=无实数根，那么a 的值可以为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】A【分析】由一元二次方程根与系数的关键可得：Δ0<, 从而列不等式可得答案．【详解】解：∵一元二次方程260x x a −+=无实数根，∴()2246410b ac a ∆−−−⨯⨯==<，解得：>9a ，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6．（2023·河南商丘·统考三模）方程229x x −=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有一个实数根 D ．有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵229x x −=，即2290x x −−=，1,2,9a b c ==−=−，∴24436400b ac ∆=−=+=>，∴方程229x x −=有两个不相等的实数根，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．7．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，则实数b 的取值范围是（ ） A ．一切实数 B ．2b >C ．1b >D ．0b >【答案】D【分析】用公式法求出方程的解，根据题意得出关于b 的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：解方程210x bx +−=得：x =，∵一元二次方程210x bx +−=的较大的一根小于1，∴1<，2b +，两边平方得：2244b b b +<+4+，∴0b >， 故选：D ．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，能够根据题意得出关于b 的不等式是解题的关键． 8．（2022·浙江·九年级自主招生）满足方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对【答案】C【分析】利用一元二次方程有解判断出y 的范围，根据y 是整数求出y 的值，进而求出x 的值，利用x 也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为()224191510x yx y −+−=，∵方程22419151x xy y −+=有实数根，∴()222164191516041510y y y ∆=−−=−+⨯≥，∴21511101515y ≤=，∵y 是整数，∴=3y −，2−，1−，0，1，2，3，当0y =时，原方程可化为2151x =，∴x =x 为整数，所以舍去），当1y =时，原方程可化为241320x x −−=，∴2x =±（由于x 为整数，所以舍去），当1y =−时，原方程可化为241320x x +−=，∴2x =−±x 为整数，所以舍去），当2y =时，原方程可化为28750x x −−=，∴4x =x 为整数，所以舍去），当=2y −时，原方程可化为28750x x +−=，∴4x =−x 为整数，所以舍去），当3y =时，原方程可化为212200x x −+=，∴2x =或10x =，当=3y −时，原方程可化为212200x x ++=，∴2x =−或10x =−，∴原方程的整数解为：23x y =⎧⎨=⎩或103x y =⎧⎨=⎩或23x y =−⎧⎨=−⎩或103x y =−⎧⎨=−⎩，即：方程22419151x xy y −+=的整数对(),x y 为()2,3、()10,3、()2,3−−，()10,3−−共四对，故选：C ．【点睛】此题是非一次不定方程，主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解．二、填空题9．（2023·上海杨浦·统考三模）如果关于x 的方程220x x m −+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________． 【答案】1【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x m −+=有两个相等的实数根，∴()2240m ∆=−−=，解得1m = 故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）在()240x −+=的括号中添加一个关于x 的一次项，使方程有两个相等的实数根，这个一次项可以是______． 【答案】4x ±【分析】设方程为240x kx −+=，根据方程有两个相等的实数根可知0∆=，据此列式求解即可．【详解】设方程为240x kx −+=，由题意得2160k −=，∴4k =±， ∴一次项为4x ±． 故答案为4x ±．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．11．（2023·江苏苏州·苏州市第十六中学校考二模）关于x 的一元二次方程()21210m x x −−−=有两个实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】0m ≥且1m ≠【分析】根据一元二次方程根的判别式0∆≥以及一元二次方程的定义得出10m −≠，即可求解． 【详解】解：依题意()244410b ac m ∆=−=+−≥，且10m −≠，解得：0m ≥且1m ≠， 故答案为：0m ≥且1m ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．12．（2023·山东东营·校考二模）如果关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________． 【答案】254m <【分析】先把这个一元二次方程变成一般式，再根据一元二次方程根的判别式计算即可．【详解】234x x m ++=，∴2340x x m ++−=．关于x 的一元二次方程234x x m ++=有两个不相等的实数根，∴()2243440b ac m ∆=−=−−>∴4250m −+> ∴254m <．故答案为：254m <．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式性质，准确计算是解本题的关键．13．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=．两实数根分别为12x x 、，且满足221258x x +=，则实数m 的值为_____________．【答案】2【分析】先由一元二次方程根的判别式得到关于m 的不等式，解不等式即可得到m 的取值范围，再根据根与系数的关系可得：()1222x x m +=−+，2121x x m =−，代入()2221212122x x x x x x +=+−得到关于m 的一元二次方程，解方程并根据（1）中的m 的取值范围即可得到答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()222210x m x m +++−=有实数根， ∴()()22242241b ac m m ⎡⎤∆=−=+−−⎣⎦16200m =+≥，解得：54m ≥−，即m 的取值范围是54m ≥−；∵由根与系数的关系可得：()21212221x x m x x m +=−+=−，，∴()2221212122x x x x x x +=+−()()222221m m ⎡⎤=−+−−⎣⎦221618m m =++，∵221258x x +=，∴22161858m m ++=，即28200m m +−=，∴()()2100m m −+=，解得110m =−或22m =，∵54m ≥−，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确计算是解题的关键．三、解答题【答案】1x =，2x =【分析】用公式法解此方程即可．250x −+=a ==5b −，c =()224=540b ac −−−>x此方程的解为：1x =，2x =【点睛】此题考查的是用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解方程的步骤． 15．（2022秋·青海西宁·九年级校考期中）解方程：27180x x −−=（公式法） 【答案】129,2x x ==−【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：27180x x −−=，∵1,7,18a b c ==−=−， ∴()()2741181210∆=−−⨯⨯−=>，∴7711212x ±==⨯，∴129,2x x ==−．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，是解题的关键．16．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取满足要求的最小正整数时，求方程的解． 【答案】(1)112m >−且4m ≠(2)1x ，2x【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，求出m（2）得到m 的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）一元二次方程2(4)(21)0m x m x m ---+=有两个不相等的实数根，∴()()22421440b ac m m m ∆=−=−−−−=>⎡⎤⎣⎦，且40m −≠，即224414160m m m m +−−+>，且40m −≠，解得：112m >−且4m ≠；（2）m 满足条件的最小正整数是1m =，此时方程为2310x x −−+=，x ==解得：1x ，2x =【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与判别式24b ac ∆=−的关系是解答本题的关键．17．（2023·北京西城·校考模拟预测）关于x 的一元二次方程()2320x m x m −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m 的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)1−【分析】（1）先求出一元二次方程根的判别式为()21m ∆=+，即可证明结论；（2）根据题意得到1212x x m ==+，是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m 的最小值． 【详解】（1）证明：由()2320x m x m −+++=得，()()()222342211m m m m m ∆=−+−+=++=+⎡⎤⎣⎦，∵()210m +≥，∴方程总有两个实数根； （2）∵()2320x m x m −+++=，∴()()120x x m −−+=⎡⎤⎣⎦，∴1212x x m ==+，，∵方程的两个实数根都是正整数， ∴21m +≥． ∴1m ≥−．∴m 的最小值为1−．【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 18．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）不解方程，判断方程22410x x −−=的根的情况． 【答案】有两个不相等的实数根【分析】先求一元二次方程的判别式，由∆与0的大小关系来判断方程根的情况． 【详解】解：∵2a =，4b =−，1c =− ∴()()2244421240b ac ∆=−=−−⨯⨯−=>∴原方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：（1）0∆>，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ0=方程有两个相等的实数根；（3）Δ0<方程没有实数根．19．（2023春·河南三门峡·九年级统考阶段练习）已知关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，试判断关于y 的方程21y ay a ++=实数根的情况，并说明理由． 【答案】一定有两个不相等的实数根．理由见解析．【分析】根据关于x 的方程2210x x a +−+=没有实数根，求出a 的求值范围；再表示关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，即可判断该方程根的情况．【详解】解：∵方程2210x x a +−+=没有实数根，()144140a a ∴∆=−−+=<，<0a ∴，对于关于y 的方程21y ay a ++=，()()222412a a a ∆=−−=−，0a <，()220a ∴−>，即20∆>，∴方程21y ay a ++=一定有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题关键．20．（2022秋·四川遂宁·九年级校考期中）对于任意一个三位数k ，如果k 满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k ＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．(1)已知一个“喜鹊数”k ＝100a +10b +c （1≤a 、b 、c ≤9，其中a ，b ，c 为正整数），请直接写出a ，b ，c 所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；(2)利用（1）中“喜鹊数”k 中的a ，b ，c 构造两个一元二次方程ax 2+bx +c ＝0①与cx 2+bx +a ＝0②，若x ＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；(3)在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．【答案】(1)b2﹣4ac＝0；不是；121(2)mn＝1(3)121，242，363，484【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；（3）求出m与n互为倒数，又m+n＝﹣2，得出m＝﹣1，n＝﹣1，求出b＝a+c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案．【详解】（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，∴241不是喜鹊数；∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，∴十位上的数字的平方最小为4，∵22＝4，4×1×1＝4，∴最小的“喜鹊数”是121．故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（1n）2+b（1n）+c＝0，∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c的两个根，∵b2﹣4ac＝0，∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，∴m＝1n，即mn＝1；故答案为：mn＝1．（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，∴m ＝﹣1，n ＝﹣1，∴a ﹣b+c ＝0，∴b ＝a+c ，∵b2＝4ac ，∴（a+c ）2＝4ac ，解得：a ＝c ，∴满足条件的所有k 的值为121，242，363，484．故答案为：121，242，363，484．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义．【答案】(1)m=0或m=1(2)m=0或m=1【分析】（1）把x=2代入方程22(23)320x m x m m −++++=得到关于m 的一元二次方程，然后解关于m 的方程即可；（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到12x m =+，21x m =+，则AC=m+2，AB=m+1．因为△ABC 是直角三角形，所以当BC 或AC 为斜边时根据勾股定理分别解关于m 的一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵x=2是方程的一个根，∴242(23)320m m m −++++=，∴m=0或m=1；（2）解：∵△=22[(23)]4(32)1m m m −+−++=， ∴x=2312m +±∴12x m =+，21x m =+，∴AB 、AC （AB ＜AC ）的长是这个方程的两个实数根，∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．∴m>-1．∵△ABC 是直角三角形，∴当BC 为斜边时，有222(2)(1)m m +++=，解这个方程，得13m =−(不符合题意，舍去)，20m =；当AC 为斜边时，有222(1)(2)m m ++=+，解这个方程，得1m =．综上所述，当m=0或m=1时，△ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，熟练运用勾股定理进行分类讨论．【答案】(1)241不是“快乐数”；最大的“快乐数”为999(2)333【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；（2）根据“快乐数”可得出2a cb +=，根据一元二次方程根的情况可得2b ac =，再结合710a b c ≤++≤及1a ≤、b 、9c ≤，a 、b 、c 为自然数可得出a 、b 、c 的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵2142+≠，∴241不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为9，又∵9992+=，∴最大的“快乐数”为999．（2）∵10010k a b c =++为“快乐数”， ∴2a cb +=，∵关于x 的一元二次方程220ax bx c ++=有两个相等的实数根，∴()2240b ac −=，即2b ac =， ∴2271019a c b b ac a b c a b c +⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪≤++≤⎪≤≤⎪⎩、、，解得：3a =，3b =，3c =，∴1001010031033333k a b c =++=⨯+⨯+=，综上所述，满足条件的所有k 的值为333．∴满足条件的所有k 的值为333．“快乐数”的定义． ）已知在ABC 中，问题探究：（2）如图，将正方形CDEF问题拓展：（3）将正方形CDEF 绕点C 旋转一周，当=45ADC ∠︒时，若3AC =，1CD =，请直接写出线段AH 的长.【答案】（1）BF AD =，BF AD ⊥，理由见解析；（2）见解析；（3）2或【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出BF AD =，FBC DAC ∠=∠，再利用角的代换得到90AHF ∠=︒，即可得到结论；（2）先证明()SAS BCF ACD ≌△△，得出CBK CAH ∠=∠，进而证明()SAS BCK ACH ≌△△，得到CK CH =，BCK ACH ∠=∠，进一步即可证明KCH 是等腰直角三角形，于是可得HK =，然后利用线段间的代换即可证得结论；（3）分两种情况：①当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；②当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒；设AH x =，在Rt ABH △中根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可求出结果.【详解】解：（1）BF AD =，BF AD ⊥；理由如下：∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ∠=︒，在BCF △和ACD 中，,90,,BC AC BCF ACD CF CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()SAS BCF ACD ≌△△， ∴BF AD =，FBC DAC ∠=∠，∵90BFC FBC ∠+∠=︒，BFC AFH ∠=∠，∴90AFH DAC ∠+∠=︒，∴90AHF ∠=︒，∴BF AD ⊥；（2）证明：如图，在线段BF 上截取BK AH =，连接CK ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF CD =，90FCD ACB ∠=︒=∠，∴ACD BCF ∠=∠，∴()SAS BCF ACD ≌△△，∴CBK CAH ∠=∠，在BCK 和ACH 中，,,,BC AC CBK CAH BK AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS BCK ACH ≌△△， ∴CK CH =，BCK ACH ∠=∠，∴90KCH BCA ∠=∠=︒，∴KCH 是等腰直角三角形，∴HK ，∴BH AH BH BK KH −=−=；（3）分两种情况：①如图，当A ，()H F ，D 三点共线时，=45ADC ∠︒；同理可证明：BH AD =，BH AD ⊥，且1CD CF ==，FD =∵3BC =，∴AB =设AH x =，则BH AD x ==在Rt BAH 中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；②如图，当B ，()D H ，F 三点共线时，=45ADC ∠︒，设AH x =，∵BF AH =，∴BH AH HF x =−=在Rt ABH △中，∵222BH AH AB +=，∴((222x x +=，解得x =或x =（舍去）；综上所述，线段AH 的长为2或.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键.。
一元二次方程的解法规律总结
一元二次方程的解法规律总结1．一元二次方程的解法1直接开平方法：根据平方根的意义,用此法可解出形如a x 2=a ≥0,b )a x (2=-b ≥0类的一元二次方程．a x 2=,则a x ±=；b )a x (2=-,b a x ±=-,b a x +=．对有些一元二次方程,本身不是上述两种形式,但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式,也可以用此法解．2因式分解法：当一元二次方程的一边为零,而另一边易分解成两个一次因式的积时,就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0,使方程xx －3＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立,所以方程xx －3＝0有两个根,而不是一个根． 3配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式,都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方,把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时,可把方程化为7x 6x 2-=+,22226726x 6x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,即2)3x (2=+,从而得解． 注意：1“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．2解一元二次方程时,一般不用此法,掌握这种配方法是重点．3公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++a ≠0的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下,a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式,即0c bx ax 2=++a ≠0的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值要注意它们的符号；③计算0ac 4b 2<-时,方程没有实数根,就不必解了因负数开平方无意义；④将a 、b 、c 的值代入求根公式,求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程,而公式法则是最普遍,最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况,由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根．△＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用1不解方程判定方程根的情况；2根据参数系数的性质确定根的范围；3解与根有关的证明题．3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++a ≠0的两个根是21x x ，,那么a c x x ab x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时,c x x b x x 2121=⋅-=+，．应用：1已知方程的一根,不解方程求另一根及参数系数；2已知方程,求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数；3已知方程两根,求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程；4已知两数和与积求两数．4．一元二次方程的应用1面积问题；2数字问题；3平均增长率问题．步骤：①分析题意,找到题中未知数和题给条件的相等关系包括隐含的；②设未知数,并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；③找出相等关系,并用它列出方程；④解方程求出题中未知数的值；⑤检验所求的答数是否符合题意,并做答．这里关键性的步骤是②和③．注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展,解题的方法是相同的,但因一元二次方程有两解,要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．。
九年级数学上册《用公式法解一元二次方程》经典习题练习与答案解析--巩固练习+随堂精选
九年级数学上册《用公式法解一元二次方程》经典习题练习与答案解析习题精选 + 巩固练习 + 随堂练习 + 同步练习习题精选基础测试一、选择题（每题5分，共15分）1．用公式法解方程4x 2－12x=3，得到（ ）A ．．C ．x=32-± D ．x=32±2x 2的根是（ ）A ．x 1，x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1，x 2D ．x 1=x 2=3．（m 2－n 2）（m 2－n 2－2）－8=0，则m 2－n 2的值是（ ）A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2二、填空题（每题5分，共15分）1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x 2－8x+12的值是－4．3．若关于x 的一元二次方程（m －1）x 2+x+m 2+2m －3=0有一根为0，则m 的值是_____．三、用公式法解下列方程（每题6分，共18分）1．3x 2+5x －2=0 2．3x 2－2x －1=0 3．8（2－x ）=x 2四、当m 为何值时，方程x 2－（2m+2）x+m 2+5=0（20分）（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根能力测试题1．用公式法解关于x 的方程：x 2－2ax －b 2+a 2=0．（12分）2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m －2）x －1=0提出了下列问题．（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．你能解决这个问题吗？（20分）拓展测试题1．如果关于x 的一元二次方程a （1+x 2）+2bx －c （1－x 2）=0有两个相等的实数根，那么以a ，b ，c 为三边的△ABC 是什么三角形？请说明理由．（10分）2．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？（10分）参考答案基础测试一、1．D 2．D 3．C二、1．x=2b a-±，b 2－4ac ≥0 2．4 3．－3三、1．x 1=－2，x 2=132．x 1=1，x 2=－1/3 3．244,24421+-=--=x x 四、m ＞2，m=2，m ＜2能力测试题1．x=22a ±=a ±│b │ 2、解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2m 2=1 m=±1当m=1时，m+1=1+1=2≠0当m=－1时，m+1=－1+1=0（不合题意，舍去）∴当m=1时，方程为2x 2－1－x=0a=2，b=－1，c=－1b 2－4ac=（－1）2－4×2×（－1）=1+8=9x=(1)13224--±±=⨯ x 1=，x 2=－12因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=－12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当m=0时，（m+1）+（m －2）=2m －1=－1≠0所以m=0满足题意．②当m 2+1=0，m 不存在．③当m+1=0，即m=－1时，m －2=－3≠0所以m=－1也满足题意．当m=0时，一元一次方程是x －2x －1=0，解得：x=－1当m=－1时，一元一次方程是－3x －1=0解得x=－13因此，当m=0或－1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=－1；当m=－•1时，其一元一次方程的根为x=－13． 拓展测试题1．直角三角形，理由略．2．（1）超过部分电费=（90－A ）·100A =－1100A 2+910A （2）依题意，得：（80－A ）·100A =15，A 1=30（舍去），A 2=50．4.3《用公式法解一元二次方程》巩固练习一、选择题1、多项式(3a +2b )2－(a －b )2分解因式的结果是( )A.(4a +b )(2a +b )B.(4a +b )(2a +3b )C.(2a +3b )2D.(2a +b )22、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )A.x 2+xy +y 2B.x 2－2x －1C.－x 2－2x －1D.x 2+4y 23、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )A.10B.20C.－20D.±204、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 2二、填空题1、多项式a 2－2ab +b 2，a 2－b 2，a 2b －ab 2的公因式是________.2、－x 2+2xy －y 2的一个因式是x －y ，则另一个因式是________.3、若x 2－4xy +4y 2=0，则x ∶y 的值为________.4、若x 2+2(a +4)x +25是完全平方式，则a 的值是________.5、已知a +b =1，ab =－12，则a 2+b 2的值为________.三、解答题1、分解因式(1)3x 4－12x 2 (2)9(x －y )2－4(x +y )2(3)1－6mn +9m 2n 2 (4)a 2－14ab +49b 2(5)9(a +b )2+12(a +b )+4 (6)(a －b )2+4ab2、(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值.(2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求21(a 2+b 2)－ab 的值.3、利用简便方法计算:(1)2001×1999(2)8002－2×800×799+79924、对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？参考答案：一、1、B ；2、C ；3、D ；4、D ；二、1、a －b ；2、y －x ；3、2 ；4、1或－9；5、25三、1、(1)3x 2(x +2)(x －2) (2)(5x －y )(x －5y ) (3)(3mn －1)2 (4)(a －7b )2(5)(3a +3b +2)2 (6)(a +b )22、(1)2 (2) 213、(1)3999999 (2)14、因为(n +11)2－n 2=（n+11+n ）（n+11-n ）=11（2n+11），所以能被11整除4.3用公式法解一元二次方程巩固练习一、选择题1、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是( )A.10B.20C.－20D.±202、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于( )A.100 cm 2B.105 cm 2C.108 cm 2D.110 cm 23、如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是( )A.42B.－42C.13D.－134、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小 正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是( )A.a 2 – b 2 =(a +b )(a -b )B.(a – b )2 = a 2 –2ab + b 2C.(a + b )2 = a 2 +2ab + b 2D.a 2 + ab = a (a +b)二、填空题1、请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－2a 2b ,这个三项式可以是________. 2、用简便方法计算，并写出运算过程：（753）2－2.42=_____________. 9.92+9.9×0.2+0.01=_____________.3、如果把多项式x 2－8x +m 分解因式得(x －10)(x +n ),那么m =________,n =_______.4、若x =61,y =81,则代数式(2x +3y )2－(2x －3y )2的值是________. 三、解答题1、计算与求值(1)29×20.03+72×20.03+13×20.03－14×20.03.(2)已知S =πrl +πRl ，当r =45，R =55，l =25，π=3.14时，求S 的值.2、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？3、求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.4、一条水渠，其横断面为梯形，根据图中的长度求横断面面积的代数式，并计算当a =1.5,b =0.5时的面积.5、如图，在半径为r 的圆形土地周围有一条宽为a 的路，这条路的面积用S 表示，通过这条道路正中的圆周长用l 表示.图2 图1①写出用a ,r 表示S 的代数式.②找出l 与S 之间的关系式.6、已知公式：U=IR 1+IR 2+IR 3，当R 1=12.9, R 2=18.5 R 3=18.6, I=2时， 求U 的值。
北师大版八年级数学下册4.3《公式法》知识点精讲
北师大版八年级数学下册第四章4.1 因式分解公式法
首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b2-4ac<0时 x无实数根(初中)
2.当Δ=b2-4ac=0时 x有两个相同的实数根即
x1=x2
3.当Δ=b2-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√(b2-4ac)}/2a
来求得方程的根
公式法就是解一元二次方程的万能方法，就是打开关键之门的钥匙。
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
用公式法解一元二次方程，要先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值，然后再计算判别式的值，当判别式的值为非负数时，进一步代入求根公式，如果判别式的值为负，则一元二次方程无实根。
用公式法解一元二次方程
要用公式解方程，首先化成一般式。
调整系数随其后，使其成为最简比。
确定参数abc，计算方程判别式。
判别式值与零比，有无实根便得知。
有实根可套公式，没有实根要告之。
微课精讲：
知识点精讲：
图文解析：。
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课堂小结
节课你有哪些收获？ 你还有存在疑惑的地方吗？
达标检测
1. 一元二次方程（x+1）(3x－2)=10的一般形式是
。
2．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程 的一个
实数根，则该三角形的周长是（ ）
A．20 B．20或24 C．26 D．28
3.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0 没有实数根，则实数m的取值范
围是（ ）
A．m<l B．m>－1 C．m>l D．m<－1
4.用公式法解下列方程
（1）5x2－2 x＋3 = 0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
5.阅读理解：
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是
方程y2+by+ac=0的根是
因此，要求ax2+bx+c=0(a≠0)的根，只要求出方程y2+by+ac=0的根，
4.3用公式法解一元二次方程
老师：KOPPT
前置检测
下列式子有意义的条件是什么？ （1） a 4 （2） 3a 2
2.请用配方法解下列一元二次方程
1x 2 x 1 0
22x 2 3x 1 0
新知探究
你会用配方法解一般形式的一元二次方程吗？试一试。 ax2＋bx＋c = 0（a≠0）
方程有2=
变式练习
用公式法解下列方程
1. x2 3 2 3x
3. （x+1)(3x-1)=1
2. 5a2 10a 6 0
4. (2x 1)2 2x 1
拓展延伸
变式练习中的第4题除了用公式法解之外，你还有其他的简便 方法吗？
你会解方程（x2+2x）2-7(x2+2x)-8=0吗？试试看。怎样解更 简便？
问题思考：在求解过程中为什们强调b2-4ac≥0？如果b2-4ac<0结果会 怎样？
典例分析
例1. （1）2x2+5x-3=0
解：a= ，b=
，c=
b2-4ac= = 0（填>，<或=）
方程有 实数根
∴=
即x1=
，x2=
（2）4x2=9x
解：a= ，b= ，c=
b2-4ac= = 0（填>，<或=）
再除以a就可以了。
举例：解方程72x2+8x+16=0.
解：先解方程y2+8y+72×16=0，
得y1=−2，y2=−6. ∴方程72x2+8x+16=0的两根是
x1=−2/72，x2=−6/72 即x1=−1/36，x2=−1/12
请按上述阅读理解中所提供的方法解方程49x2+6x−17=0.