三角形中位线定理应用
三角形梯形中位线定理的应用课件
2
试问:D是△ABC的中点,DE∥BC,则E是AC的中点吗?
4 梯形中位线性质: 梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半.
A
D
如图:E.F是梯形ABCD两腰AB.CD 的中点,则
EF∥AD∥BC且 EF 1 (AD BC) 2
B
E
F C
试问:在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,AE=EB,则F CD是的中点吗?
E F
B
D
C
图4
试一试
1、已知：如图5，在△ABC中，∠B=2∠C，
AD⊥BC于D，E是BC的中点。
求证：A1、B=2DE
A
A
F
F
BD
E
C
图5 证法一：取AB的中点F，联结DF、EF
BD
E
C
证法二：取AC的中点F，联结DF、EF
试一试
2、已中知位：线如EF图=76c，m在，梯对形角A线BACCD⊥中B，DA，B/∠/CBDD，C=30。， 求梯形的对角线BD。
B
A
O
E
F
C
H
D
G
提示：过点A作BD图的6平行线，交CD的延长线于点G
比一比
已知：如图7，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点， 延长AB到D，使BD=AB。 求证：CD=2CE。
C
AEB
D
小结
这节课你学到了什么？
作业
完成学案上作业部分。 要求：最后两题可以相互讨论，合作完成；
前面部分为必做题。
三角形、梯形的中位线定理的应用
概念、性质的回顾
1 、三角形中位线：连结三角形两边中点的线段
如图；D、E是△ABC中的边AB、AC的中点，
中位线及其应用
中位线及其应用知识定位中位线在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。
中位线的证明性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中中位线相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、三角形中位线定义（1）三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线与三角形的中线区分：三角形中线是连接一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ∆的中位线。
几何语言描述：因为D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，所以DE//BC,且DE=12BC提示 a ：“平行且等于第三边的一半”，具体应用时要根据题目的要求灵活进行选择，并 不一定要把两个结论都写出来。
b ：一个三角形有三条中位线。
c ：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线，必平分第三边，这是一种重要 的作辅助线的方法。
2、三角形中位线的性质（1）三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（2）中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
（3）运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
（4）中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。
它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰补充：有关线段中点的其他定理还有：①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合③对角线互相平分的四边形是平行四边形④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
三角形中位线性质的活用
三角形中位线性质的活用三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.利用三角形的中位线可以进行几何求值、证明、作图,且能解决生活实际问题.一、证明例1 如图1,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是 .分析:由三角形的中位线位置关系知GH ∥AD 、 GF ∥BC ,数量关系知 GH =12AD 、GF =12BC .要使四边形EFGH 是菱形, 需证平行四边形EFGH 的GH =GF ,所以四边形ABCD 还应满足的一个条件是AD ＝BC .证明: ∵ 在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点, ∴ GH ∥AD , GF ∥BC , EF ∥AD ,HE ∥BC , ∴ 四边形EFGH 是平行四边形. 又 GH =12AD 、GF =12BC , ∴ 当AD ＝BC 时, 平行四边形EFGH 的邻边GH =GF . 即 平行四边形EFGH 是菱形. 二、实际问题例2 如图2,ABCD 是校园内一块四边形空地,学校在征集对这块空地种花草的设计中选定了如下方案:把这块四边形空地分成九块,种植三种不同品种的花草,其中E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,P 、Q 、R 、K 分别是EF 、FG 、GH 、HE 的中点,现要在四边形PQRK 中种上红色的花,在△PFQ 、△QGR 、△RHK 、△KEP 中种上黄色的花,在△HAE 、△EBF 、△FCG 、△GDH 中种上紫色的花,已知红黄紫三种花的单价分别是8元/㎡、10元/㎡、12元/㎡,而种红花已用去120元,请用学过的数学知识计算种满四边形ABCD 这块空地的花需要多少元?HGFE DCBA 图1KRQPHGFDC BA图2分析:利用三角形的中位线性质推导出“中点四边形”与原四边形的面积关系,得出结论. 解:由三角形中位线性质,可得顺次连接四边形中点所得四边形的面积是原四边形面积的一半,即四边形PQRK 的面积=12四边形EFGH 的面积=14四边形ABCD 的面积, 又 四边形PQRK 的面积=1208=15㎡,∴ 种黄色花需要10×15=150(元), 种紫色花需要12×30=360(元),∴ 种满这块空地共需要120+150+360=630(元).三角形中位线的应用“三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这就说明三角形的中位线与第三边既有位置关系，又有数量关系，所以，中位线的应用相当广泛。
三角形中位线定理的证明与应用
三角形中位线定理的证明与应用三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。
本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。
一、三角形中位线定理的证明三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。
为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。
假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。
可以得到以下向量关系式：AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)根据中点的定义，可以得到：D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2利用向量的加减法，可以计算得到：AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]将上述结果代入，得到：AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]CF = [(x1 - x3) / 2, (y1 - y3) / 2]可以观察到AD、BE、CF的x方向和y方向的分量相等，即它们的长度相等。
三角形的中位线定理及其应用
效果分析
从整个课堂教学来看，这节课始终围绕教学目标展开，层次比较清楚，环节紧凑，并注意引导学生通过观察、分析、动手实践、自主探索、合作交流等活动，突出体现了学生对知识的获取和能力的培养。
1、通过前置作业“将一个三角形分成面积相等的四部分”，根据学生的分法引出三角形的中位线的定义，从而顺势进入本节课探究的内容。
我想通过一些问题的有效设问，不断激起学生的认知冲突，使新课知识的探索自然而然的发生，使学生从“感兴趣”自然进入数学知识的探究，达到培养思维能力的效果。
2、在认识了三角形中位线的概念之后，教师不是直接提出三角形中位线定理后再证明，而是先让学生猜测，再通过动画演示，让学生从动态中去观察、探索、归纳知识，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。
3、在学习了三角形的中位线之后，让学生和以前学过的三角形的中线作比较，从而弄清楚知识间的联系和区别。
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理的应用三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好这部分内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习．它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；（2）等于第三边的一半，这是数量关系．就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系．我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用．一、证明问题1、证明角相等关系例1、如图、四边ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF =∠DFE分析：欲证：∠AEF =∠DFE ．由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN =∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有12GM AB∥，12GN CD ∥，由于AB =CD ，进而有GM =GN ，∠GMN =∠GNM 然后再转化∠EPN =∠Q ，从而证出结论．证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ，取BD 的中点G ，连结GM 、GN ．∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴12GM AB ∥．同理可证：12GN AB∥，又∵AB =CD ，∴GM =GN ，∴∠GMN =∠GNM ，∵GM //AB ，GN =CD ，∴∠GMN =∠EPN ，∠GNM =∠Q ，∴∠EPN =∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF =∠DFE （等角的余角相等）说明：添辅助线是证明几何题的难点．若要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结．2、证明线段的倍分以及相等关系例2.如图，已知平行四边形ABCD 中，BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点．求证：（1）BM =14BD （2）ME =MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM =MO ．又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO =OD ，即BM =41BD ．欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM =12AO ，MF =12OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论．证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，∴BM =MO =12BO （平行线等分线段定理） 又∵四边形ABCD 是平行四边形∴BO =OD =12BD ，AO =OC =12AC ， ∴BM =1124BO BD ，即BM =14BD（2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点．∴12ME AD =，12MF OC =，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF 小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系．3、证明线段平行关系例3.如图，自△ABC 的顶点A ，向∠B 和∠C 的平分线作垂线，重足分别为D 、E ．求证：DE ∥BC 分析：欲证ED //BC 我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD 、AE ，交BC 与CB 的延长线于G 与H ，通过证明△ABD 与△GBD 全等易证D 是AG 中点，同理E 为AH 的中点，故，ED 是△AEG 的中位线，当然有DE ∥BC ．证明：延长AD 、AE 交BC 、CB 的延长线于G 、H ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，又∵BD ⊥AD ，∴∠ADB =∠BDG =900． 在△ABD 与△GBD 中12BD BDBDG BDA⎧⎪⎨⎪⎩=== ∠∠∠∠，∴△ABD ≌△GBD (A S A ) ∴AD =DG ，同理可证，AE =GE ，∴D ，E 分别为AG ，AH 的中点， ∴ED ∥BC小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行．二、比较大小1、比较线段大小 例4.如图，M 、N 是四边形ABCD 的边 BC 、AD 的中点，且AB 与CD 不平行．求证：MN ＜12(AB ＋CD ). 分析：欲证MN ＜12(AB ＋CD )，我们从表面上看这个问题比较复杂，但由M 、N 分别为BC 、AD 中点我们可以联想到如何构造三角形中位线来证明问题，通过连结BD ，并取BD 中点P ，连结NP 、MP 这时分别为△DAB 、△DCB 的中位线,这时三条线段NP 、MP 、MN 都在一个三角形里，问题就迎刃而解了．证明：连结BD 并取BD 中点P ，连结NP ，MP . ∵N 为AD 中点，P 为BD 中点.∴NP 为△DAB 的中位线，∴NP ＝12AB ，同理可得MP ＝12CD ．∵AB 与CD 不平行，∴P 点不在MN 上．在△PMN 中，由于两边之和大于第三边，∴MN ＜PM +PN ＝12(AB +CD )小结：此类题型通过转化,把有关的线段或与之有联系的线段集中在一个三角形中,再应用三角形的有关知识，如：三角形中位线及两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等知识，即可得出证明．2、比较角的大小例5、如图：AD 是△ABC 的中线，如果AB >AC ，那么∠BAD <∠CAD ． 分析：因为D 为BC 中点联想到，过点D 作中位线DE ，因为DE ∥AB 即△ABC 得到∠1=∠3，由AB >AC , 有12AB ＞12AC ，所以就有∠3＜∠2，即∠BAD <∠CAD证明：过点D 作DE ∥AB 交AC 于E ，∴DE ∥AB 且 DE =12AB ，E 为AC 中点．∴∠1=∠3，∵AB >AC ，∴12AB >12AC ，即在△AED 中，DE >AE ，∴∠3<∠2，∴∠1<∠2，即∠BAD <∠CAD小结：本题证角不相等，因为要证的两个角不在同一个三角形中，如果这两个角在同一个三角形中能应用：在同一个三角形中，大边对大角原理这时就考虑到如何将这两个角放在一个三角形中，通过观察只要过D 作DE ∥AB 就可解决求证问题．三、求值问题例6. 如图，正方形ABCD 两对角线相交于点E ，∠CAB 的平分线交BE 于G ，交BC 于F ，若GE ＝24 求FC 的长．分析：求FC 的长，因为E 为对角线交点，就是AC 中点所以作辅助线PE ∥BC 就有PE ∥FC 且有PE =21FC 所以只要能求出PE 的长即可，而PE 的长可由∠3＝∠4求出，因为∠3为△APE 的外角所以有∠3=∠2+∠5同理有∠4=∠1+∠7因为AF 为∠BAC 的平分线所以∠1=∠2又因为所以∠5=∠6,而∠6=∠7所以有∠3=∠4即PE =GE =12FC ,这样问题就解决了． 解：过点E ，作EP ∥BC ，交AF 于点P ，则P 为AF 中点，∵∠3＝∠2＋∠5＝∠2＋∠6，∠4＝∠1＋∠7，又∵AF 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2，又∵∠6＝∠7，∴∠3＝∠4，∴EP ＝EG ，∵PE 是△AFC 的中位线，∴PE ＝12FC =EG ，即FC =2EG =2PE =2×24=48小结：求值问题，主要是如何添加辅助线，将比较难的问题转为容易的问题．总之，三角形中位线定理及其应用，在初中数学中占有很重要的地位，如何正确添加辅助线构造三角形中位线对每个学生来说是一个重点也是一个难点．要求学生要善于觉察图形中的有关定理的基本图形，涉及到中点问题时要及时联想到有关定理．一条或一组合理地利用了题目条件的辅助线常见有一箭双雕甚至一箭多雕的效益，准确而理想的图形能有效地帮助我们迅速地捕捉到题意预定的目标．。
三角形中位线定理的运用例谈(Word版-含解析、点评和练习设计)
2017-2018下学期八数专题复习 二：三角形中位线定理的运用例谈 第 1页（共 8页） 第 2页 （共 8页）2017—2018下学期八年级数学专题复习 二:三角形中位线定理的运用例谈赵化中学 郑宗平三角形的中位线定理在平面几何中比较特殊，它既反映三角形的中位线与三角形边的位置关系，又有与三角形边的数量关系的规律性结论；在一些所谓的几何难题中常见它的身影，而三角形的中位线往往能起牵线搭桥甚至是关键性的作用;下面我精选一部分“含"三角形的中位线的几何解答题，让我们共同来探究、解析、训练.知识要点:三角形的中位线平行于三角形第三边,并且等于第三边的一半.1。
三角形三条中位线围成的三角形与原三角形在某些数量上的关系⑴.周长关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的周长 ⊿ABC 的周长的关系？分析: 点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、,,,111EF BC DE AB DF AC 222=== ∴()12EF DE DF BC AC AB ++=++所以三角形的三条中位线围成的三角形的周长是原三角形的周长的一半。
追踪练习：以上面的图为例，若⊿DEF 的周长为23cm ，则⊿ABC 的周长为 . ⑵。
面积关系如图点D E F 、、分别是⊿ABC 的三边BC CA AB 、、的中点，请探究⊿DEF 的面积与⊿ABC 的面积关系？ 略析：根据三角形中位线定理可以得出,,,,111EF BC DF AC DE AB EF BC DF AC DE AB 222===；,再利用线段中点的定义、平行线性质、平行四边形的性质等可以进一步推出DEF 、AFE 、FBD 、DEC是全等的，故它们的面积是相等的,则S ⊿ABC =4S ⊿DEF .所以三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形的面积的14. 说明：今后我们学习了相似三角形的性质后，这个结论的推导就简单多了。
三角形中位线定理的妙用
三角形中位线定理的妙用三角形中位线定理是三角形相关章节中一个十分重要的定理,其特点是在同一个题设下,有两个结论:一个是表明位置的平行关系,另一个是表明数量的倍分关系。
《数学课程标准》明确要求“探索并掌握三角形的中位线定理。
”下面本文就三角形中位线定理的运用我谈一点自己的体会。
一、当题目中只有两边中点时,连接这两点或作第三边,构造三角形的中位线例1:(如图1)在四边形ABCD中,点E为AB边上的一点,⊿ADE和⊿BCE都是等边三角形,点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点.求证:四边形MNPQ是菱形.证明:连接AC、BD.易证: ⊿AEC≌⊿DEB.∴AC=BD.可证MN=PQ= AC,MQ=NP= BD.∴MN=NP=PQ=QM.故四边形MNPQ是菱形.点评:直接利用三角形的中位线定理证明.练习1:如图2,⊿ABC的中线BE和CF相交于点O,点M、N分别是OB、OC 的中点.试判断四边形MNEF的形状.二、当已知条件中只有一边中点时,可取另一边的中点,构造三角形的中位线例2:(如图3)在⊿ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,BD=CE,点G、H分别是BE、CD的中点,直线GH交AB于M,交AC于N.求证:AM=AN.证明:取BC的中点P,连接PG、PH,则PG、PH分别是⊿BCE和⊿BCD的中位线.∴PGCE, PHBD.∴∠PGN=∠ANM, ∠PHM=∠AMN.又∵BD=CE.∴PH=PG.∴∠PGN =∠PHM.∴∠ANM =∠AMN.故AM=AN.点评:BC在这里起了桥梁的作用,构造了两条中位线.练习2:如图4,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,点E、F、G 分别是AB、CD、BC的中点,EF交BD于M,交AC于N.求证:OM=ON.三、当已知条件中只有一边中点时,可作另一边并取其中点,构造三角形的中位线例3:(如图5)在四边形ABCD中,AB=CD,点M、N分别是BC、AD的中点,延长BA、CD分别交MN的延长线于G、H.若∠BGM=30°.试求∠H的度数.解:连接AC,并取AC的中点O,再连接OM、ON.则OMAB , ONCD.∴∠BGM= ∠OMH,∠H= ∠ONM.∵AB=CD.∴OM=ON.∴∠ONM=∠OMN.∴∠BGM =∠H.又∵∠BGM=30°.∴∠H=30°.点评:其突破口就在构造三角形的中位线时先要连接AC,构造出两个三角形.在连接AC之后,其难易程度就和例2一样了。
三角形中位线的性质
三角形中位线定理的应用
三角形中位线定理在几何学中有着广泛的应用，如证明某些几何命题、解决几何问题等。
三角形中位线定理的证明方法
证明方法一
利用相似三角形性质证明
第一步
根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则它们的对应边成 比例。
三角形中位线的长度等于它所截得的相对边长的一半。即，如果中位线截取的 相对边长为AB，则中位线的长度为$frac{1}{2}AB$。
三角形中位线与第三边的关系
三角形中位线所截得的第三边与中位线平行且等于中位线长度的两倍。即，如 果中位线截取的第三边为CD，则CD平行于中位线且CD的长度为2倍的中位线 长度。
通过中位线定理，可以求解三角形的 边长。
在解决实际问题中的应用
解决工程问题
在工程设计中，可以利用 中位线定理解决实际的结 构和机械问题。
解决建筑问题
在建筑设计时，可以利用 中位线定理优化建筑物的 结构布局和稳定性。
解决数学建模问题
在数学建模中，可以利用 中位线定理解决一些实际 问题，如最优路径、最短 距离等。
三角形中位线的平行性质
三角形中位线的平行性质
三角形中位线与第三边平行。即，如果中位线为EF，第三边为CD，则EF平行于CD。
中位线与对角线的关系
三角形中位线与对角线互相平分。即，如果中位线为EF，对角线为AC，则E和F分别是AC的两个三等分点。
三角形中位线定理及
03
其证明
三角形中位线定理
三角形中位线定理定义
特殊情况下的三角形
05
中位线性质
等边三角形中的中位线性质
等边三角形中，任意一边的中 位线与相对的顶点连线垂直且 长度等于相对边的一半。
三角形中位线定理模型应用的思维导图
例4（2020•临沂）如图8，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点
（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．
（1）求证：AF=EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？
∴OG=OM，∴BF=2OG．
点评：过一边中点构造平行线，从而构造出三角形的中位线，借助平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理实现解题目标.可谓小目标，展示了数学大智慧，构造中位线是解题关键.
解法2：如图11，过点O作OM∥FG，交BF于点M，∵OD=OB，∴OM是三角形DBF的中位线，
三、应用剖析
1.平行四边形中构造使用定理
例1（2020•陕西）如图5，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8．E是边BC的中点，F是平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为 （ ）
A. B． C．3D．2
解析：如图5，延长CD，交BF的延长线于点H，∵E是边BC的中点，∠BFC=90°，∴EB=EF=EC= BC=4，∵EF∥AB，CD∥AB，∴EF∥CD，∵E是边BC的中点，∴EF是三角形BCH的中位线，
∴CE=2OF=6,∴CD=CE-DE=4.同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF=1.∵AD=4,DE=2，
DF是直角三角形ADE斜边上的中线，∴DF= AE= = ;
∵△ADF的面积是相同的，∴ AD×GF= DF×AH，∴AH= = .
点评这里的解答，两次用到了三角形的中位线定理，这是解题的重点，同时用到了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，同一个三角形面积相等等知识点，使得解题更突显数学智慧.
三角形中位线八种证明方法
三角形中位线八种证明方法一、定理：对任意三角形ABC，若∠A≡∠B≡∠C，三条边都相等，则三角形ABC的位线是平行的。
二、证明：1、依据角平分线定理，若在三角形中两个角A、B相等，则AB上的角平分线交于边BC上的点M，于是构成ABM与ACM两个三角形，由于∠A≡∠B≡∠C，得AB等于AC，BM 等于CM，则ABM等于ACM，即ABM // ACM，故三角形ABC的位线是平行的。
2、假设三条边AB、AC、BC相等，则可将三角形ABC移动到某一位置（如半平面），使得三边都分别与某一已知直线平行，即三角形ABC的位线就是平行的。
3、由锐角三角形两边相乘减去两个角的平方的定理知，若ABC是一个锐角三角形，则有AB*AC*BC=2(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，由此可知，对于等边三角形来说，有AB*BC=(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，即AB//BC；同理可得，AC//BC，由此证明位线是平行的。
4、由正三角形内角和为180°的边长比例定理可以得，对于正三角形ABC来说，有1336:a:b:c=1:1:1，由此可以得出结论：三边中任意两边之比等于三个顶点之比，故位线平行。
5、由正三角形外接圆半径的理论可得，当三角形ABC的三条边相等时，其外接圆必定是一个圆，因为，三条边相等，外接圆有唯一的半径，这说明，ABC和它的垂心圆O有四个公共点D、E、F、G，则DF // EG // AB // AC // BC，由此可知位线互相平行。
6、依据反三角形定理，若∠A≡∠B≡∠C，那么连接三边上中点之间这三条线互相平行，故位线互相平行。
7、由费马小定理可知，当满足幂函数关系：b²-ac=2a²b-2ab²+a³，则三角形ABC的位线互相平行。
三角形的中位线定理及应用
第二课时三角形的中位线定理及应用指导思想：教师必须树立正确的学生观，摆正教师和学生在教育过程中的位置，正确处理教师与学生的关系，主体与主导的有机结合，融为一体。
设计理念：义务教育阶段的数学应体现基础性、普及性和发展性，所以我的设计理念是引导学生进行探究式的学习活动，通过动手操作，发现规律，把自主探索作为数学学习的重要方式，让学生个性得到发展，让学生认识到数学的应用性，乐于投入数学学习中。
教材分析：三角形的中位线是几何学的主要标志之一，是初中数学的重要组成部分。
在当代社会中，三角形的中位线的应用非常广泛，它是人们参加社会生活，从事劳动和学习，研究现代科学技术必不可少的工具，他的内容，思想，方法和语言已广泛渗入自然科学，成为现代文化的重要组成部分。
而且三角形的中位线的性质也学习梯形中位线的基础，为四边形的中点问题服务。
学情分析：本班学生基础知识不是很扎实，因此，本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。
在此过程中注重知识的迁移同时重点渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生的优势得以发挥，劣势得以改进，从而提高学生的整体水平。
教学目标：知识与能力：理解并掌握三角形中位线的概念，性质，会利用三角形中位线的性质解决有关问题。
培养学生解决问题的能力和空间思维能力。
过程与方法：1，经历探索三角形性质的过程，让学生动手实践，自主探索，合作交流。
2，通过对问题的探索研究，培养学生大胆猜想。
合理论证的科学精神，培养思维的灵活性情感与评价：通过学生的团结协作，交流，培养学生友好相处的感情。
体会数学学科的价值，建立正确的数学学习观。
教学的重点，难点：探索并运用三角形中位线的性质，是本课的重点。
从学生年龄特点考虑，证明三角形中位线性质定理的辅助线的添法和性质的灵活应用，运用转化思想解决有关问题是本课的难点。
破这个难点，必须理解三角形中位线与中线的区别这个关键问题，正确应用已有的知识，发现并寻找比较的方法。
三角形的中线及中位线性质的运用举例
直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1，已知，△ABC 中，CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ，BM ＝CM .求证：ME ＝MD .分析 要证明ME ＝MD 首先想到的要证明两个角相等，可没有足够的条件，但有中点和垂线，于是想到通过辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ，BD ⊥AD 于D ， 所以CE ∥BD ，即∠NCM ＝∠DBM ，又∠CMN ＝∠BMD ，BM ＝CM ，所以△CMN ≌△BMD ， 所以NM ＝DM ，即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ，所以△NED 为直角三角形，所以ME ＝12ND ，所以ME ＝MD .例2 如图2，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，求证：FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形，有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质，于是，连结DG 、EG ，可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线，可知△GDE 是等腰三角形，进而由F 是DE 的中点，即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高，所以∠BDC ＝∠BEC ＝90°， 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点，所以DG ＝EG ＝12BC ，即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点，所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线， 所以由等腰三角形的“三线合一”，得GF 也是底边DE 上的高线，EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示，点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点，DF 、CE 交于点M ，CE 的延长线交DA 的延长线于G ，试探索：（1）DF 与CE 的位置关系；（2）MA 与DG 的大小关系.分析（1）要探索DF 与CE 的位置关系，由图可以猜想到DF ⊥CE ，而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ，则有∠ECB ＝∠FDC ，即可证明DF ⊥CE .（2）仍然通过观察分析图形，可以猜想MA ＝12DG ，而事实上，由（1）可知△DMG 是直角三角形，再由条件可得△GAE ≌△CBE ，即得GA ＝CB ，于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解（1）DF ⊥CE .理由：因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点， 所以∠B ＝∠FCD ＝90°，BE ＝12AB ，CF ＝12BC ，而AB ＝BC ＝CD ，即BE ＝CF ， 所以△EBC ≌△FCD ，所以∠ECB ＝∠FDC ，而∠DFC ＋∠FDC ＝90°，所以∠DFC ＋∠FCM ＝90°， 即∠CMF ＝90°，所以DF ⊥CE . （2）MA ＝12DG .理由：因为F 是AB 的中点，所以AE ＝BE ， 又∠GAE ＝∠B ，∠AEG ＝∠BEC ，所以△GAE ≌△CBE ，所以GA ＝CB . 而由（1）可知△DMG 是直角三角形，所以MA ＝12DG . 例4 已知：如图4，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，EF ⊥AC ，O 是垂足，EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，且BE ＝OE ＝12AE .求证：□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形，只要证AC ＝BD 或OA ＝OB 即可.由BE ＝OE ＝12AE ，可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ，这样可证得△AOG ≌△BOE ，于是证得OA ＝OB .证明 取AE 的中点G ，连结OG ，所以Rt △AOE 中，OG ＝12AE ＝AG ， 因为BE ＝OE ＝12AE ，所以OE ＝OG ，AG ＝BE ，即∠OGE ＝∠OEG ， 所以∠AGO ＝∠OEB ，所以△AGO ≌△BEO ，所以OA ＝OB ，又四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ＝2OA ，BD ＝2OB ，即AC ＝BD ， 所以□ABCD 是矩形.综上所述，利用直角三角形斜边上中线的性质解题时，应依据条件，贯例图形，通过分析，把问题转化为证明线段相等，或通过辅助线，构造出直角三角形，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，同时兼用全等三角形的知识，从而逐步逼近结论.在几何证明中，另外，熟练地识别图形、善于构造图形，并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习：如图6所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C +∠D ＝90°，E 、F 为AB 、CD 的中点.求证：CD －AB ＝2EF .提示：作EM ∥AD 交CD 于M ，EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点，在同一个题设下有两个结论：一个结论是表明两条线段的位置关系（平行），另一个结论是表明两条线段的数量关系（一半）.在应用这个定理时，不一定同时需要两个结论，有时需要平行，有时需要倍分关系.可以根据具体情况，按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，A D ⊥BD,垂足为D ，AE=EC. 求证：DE ∥BC.图1CFEDBA证明：延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC ， 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC （三角形的中位线定理）. 二、用于证明角相等例2 如图2，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点，MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证：∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析：可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明：可取AB 的中点P ，连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3，∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM （等角的补角相等）. 三、用于证明线段相等例3 如图3，△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证：PM=QM.图3QPCAD分析：中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ，若连接它们的另一端D 、C ，则PM 使成为△BCD 的中位线，同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线，通过中位线定理的传递，问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成！四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4，已知四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点，且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分.分析：要证明EF 和GH 互相平分，可证明四边形EGFH 是平行四边形；有中点，可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明：连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图2 解析：连接CG ，不难得出BCFSDCE S=4ab=，从而BEGDFG S S=，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大，通过连接CG，巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有，但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线，称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地，如图3所示，•由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）．图3解析：可根据中线的特征，先分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分.方案1：如答图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、ED、•AF．(1) (2) (3)方案2：如答图2，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如答图3，分别取BC的中点D，CD的中点E，AB的中点F，连接AD、AE、DF．【点评】三角形面积计算公式为12×底×高，因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形．对于本题，同学们！你还有别的方法吗？试试看．。
三角形中位线的性质及其应用探析
数学篇数苑纵横三角形中位线的性质是平面几何中的一个重要定理.该定理的结论既包含两线段所在直线的位置关系，又包含两线段之间的数量关系，在解答平面几何问题中有着广泛的应用．在运用三角形中位线的性质解题时，有时需要运用平行关系，有时需要运用倍分关系，可以根据具体情况，按需选用.下面结合例题予以说明.一、三角形中位线的定义和性质三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条边，所以三角形的中位线应该有三条，如图1所示：如果点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，那么线段DE 、EF 、FD 都是三角形的中位线.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.由此不难得到三角形的中位线与第三边的关系：(1)位置关系：三角形的中位线与第三边互相平行，如在图1中，有DF ∥BC ；(2)数量关系：三角形的中位线等于第三边的一半，如在图1中，有DF =12BC.图1二、三角形中位线的性质在解题中的应用中位线的性质在解三角形问题时通常有以下三种用途：第一种是用于三角形的线段长度的计算；第二种是证明线段间的位置关系或由位置关系得出角之间的关系；第三种是求解三角形内线段间的和、差、倍分关系．1.利用三角形中位线的性质证明角相等由于三角形的中位线与三角形第三边之间存在平行的位置关系，因此，在证明两个角相等的时候，就可以借助或构造三角形的中位线，利用两直线平行，同位角及内错角相等来证明.这样既快捷，又简便.例1如图2，四边形ABCD 中，AB =CD ，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，GH ⊥EF 交于点P .延长BA ，FE 相交于点Q ，延长CD 交FE 的延长线于点K ，求证：∠AGH =∠DHG．图2图3分析：如图，连接BD ，作BD 的中点M ，连接EM 、FM ．利用三角形中位线定理证得△MEF 是等腰三角形，则∠EMP =∠FMP ．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠Q =∠CKF ，由等量代换，证得∠AGH =∠DHG ．证明：如图3，连接BD ，作BD 的中点M ，三角形中位线的性质及其应用探析江西九江卢明23数学篇数苑纵横连接EM 、FM ，∵点E 是AD 的中点，∴ME 是△ADG 的中位线，∴ME ∥AB ，ME ＝12AB ，∴∠AGH ＝∠EMP ，同理可证：MF ∥DC ，MF ＝12DC ，∵AB ＝CD ，∴ME ＝MF ，∴∠MFE ＝∠MEF ，∵∠MFE ＝∠CKF ，∠MEF ＝∠Q ，∴∠Q ＝∠CKF ，∵GH ⊥EF ，∴∠QPG ＝∠KPH ＝90°，∴∠Q +∠AGH ＝90°，∠CKF +∠DHG ＝90°，∴∠AGH ＝∠DHG ．2.利用三角形中位线的性质求线段的长度三角形中位线的长度等于第三边长度的一半.利用好这个性质，可以为我们求解两线段的数量关系提供一个重要的依据.所以当题目中遇到三角形一边的中点，所求的问题涉及求线段的长度时，常将三角形中位线的性质和三角形其他知识结合起来.例2如图4，△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB =12，AC =18，求DM的长．例4图5分析：由于DM 无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM 相关联的线段，延长BD 交AC 于E ．AD 是∠BAC 的平分线，那么∠BAD ＝∠CAD ，AD ⊥BE ，又有一条公共边，所以△ABD 和△ADE 全等.那么AB ＝AE ，BD ＝DE ，又有BM ＝MC ，所以DM 是三角形BCE 的中位线，那么DM ＝12CE ，又因为CE ＝AC -AE ＝AC -AB ＝6，因此DM ＝3．解：延长BD 交AC 于E ，如图5，∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠ADE ＝90°，∵AD 是∠A 的平分线，∴∠BAD ＝∠EAD ，在△ABD 与△AED 中ìíîïï∠BAD =∠EAD ,AD =AD ,∠ADB =∠ADE ,∴△ABD ≌△AED （ASA ），∴BD ＝ED ，AE ＝AB ＝12，∴EC ＝AC -AE ＝18-12＝6，∵M 是BC 的中点，∴DM ＝12EC ＝12×6=3．3.利用三角形中位线的性质证明线段的倍分关系三角形的中位线不仅体现了线段之间的位置关系，也体现了线段之间的数量关系．在证明线段的和差倍分等问题中，最重要的是找到线段之间的数量关系，而很多题目是难以直接进行数量转换的，因此需作出正确的辅助线，找出图形中形状、位置或者数量上的联系，借助中间量，将所求线段之间的间接关系转化为直接关系，最终求得答案．例5已知，如图6，在△ABC 中AB =AC ，延长AB 到D ，使BD =AB ，E 为AB 的中点，求证：CD =2CE .图6分析：这是证明线段的倍半问题，证明一24数学篇数苑纵横条线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先找出短线段二倍长的线段，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段相等的问题.这就是通常所说的“加倍”“折半”的方法.方法1：找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等，取CD 中点F ，证CF =CE .证明：取CD 的中点F ，连接BF ，如图7.图7∴CD =2CF ，∵AB =BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，BF ∥AC ，BF =12AC ，∴∠2=∠ACB ，∵AB =AC ,∴∠1=∠ACB ，∠1=∠2，∴E 是AB 中点，BE =12AC ，∵BF =12AC ，且AB =AC ，∴BE =BF .在△BCE 和△BCF 中，ìíîïïBE =BF ,∠1=∠2,BC =BC ,∴△BCE ≌△BCF (SAS)，∴CE =CF ，∵CD =CF ，CD =2CF ，∴CD =2CE .方法2：找出CE 的2倍，然后证明CE 的2倍和CD 相等，因此，要延长CE 到F ,使EF =CE ，证CF =CD .证明：延长CE 至F ,使EF =CE ，连接FB ，如图8.图8∴CF =2CE ，∠1=∠2，∵E 为AB 中点，∴AE =BE ，在△AEC 和△BEF 中ìíîïïCE =EF ,∠1=∠2,AE =BE ,∴△AEC ≌△BEF (SAS),∴AC =BF ，∠3=∠F ，∴AC ∥BF ，∠FBC +∠ACB =180°，∵∠CBD +∠ABC =180°，又∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠FBC =∠DBC ，∵AC =AB ，AB =BC ，AC =BF ，∴BF =BD .在△CBF 和△CBD 中，ìíîïïCB =CB ,∠FBC =∠DBC ,BF =BD ,∴△CBF ≌△CBD (SAS)，∴CD =CF ，CF =2CE ，∴CD =2CE .由以上几例不难看出，当题目有中点这一条件时，应设法寻找另一个“中点”，以构造三角形的中位线，然后利用中位线的性质解题.这是一种常用的解题技巧.25。
任意三角形中位线定理
任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。
我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。
在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。
中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。
中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。
它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。
在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。
通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。
这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。
我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。
接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。
通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。
在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。
这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。
总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。
通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。
本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。
通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。
在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
浙教版数学八年级下册_三角形中位线定理的应用1
三角形中位线定理应用举例三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题.一、借助中位线定理选择结论例1如图1，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ）.（A ）线段EF 的长逐渐增大（B ）线段EF 的长逐渐减小（C ）线段EF 的长不变（D ）线段EF 的长与点P 的位置有关分析：由E ，F 分别为AP ，RP 的中点，由此可联想三角形的中位线，故连接AR ，由于已知条件可知EF 为ARP 的中位线，根据中位线定理可知EF=21AR ， 由于点P 从点C 到点D 移动的移动过程中，AR 始终不变，∴EF 的长度也不变.解：连接AR ，∵E ，F 分别是PA ，PR 的中点，∴EF=21AB ， ∵AR 不变，∴线段EF 的长不变.故选（C ）.点评：本题通过巧妙地连接AR ，把问题转化为三角形中位线问题，借助于中位线的性质俩来解决.二、借助中位线定理求长度例2 某花木场有一块如四边形ABCD 的空地（如图2），两对角线相等，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm 分析：根据E 、F 分别为BA ，BC 的中点，可知EF 为△ABC 的中位线，根据中位线定理可得EF=21AC ，同理可得HG=21AC ，HE=21BD ，FG=21BD ，根据两对角线相等可得EF=FG=GH=HE ，由此可求到EF 的长，也就求到AC 的长.解：∵E ，F 分别是BA ，BC 的中点，∴EF=21AC ，同理可得HG=21AC ， ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH=21BD ，同理可得FG=21BD ， ∵AC=BD ，∴EF=FG=GH=HE ，∵EF+FG+GH+HE=40cm ，∴EF=10cm ，∴AC=2EF=20cm.点评：根据已知条件的特点，本题是将四边形问题转化为三角形问题，通过多次利用三角形中位线的性质，确定EF 的长，进而求到AC 的长.例3 如图3，已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，且EF//AB ，与对角线交于M 、N 两点，若EF=20cm ，MN=8cm ，求AB 的长.图3分析：根据E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF//AB ，可知EN 、FM 分别是△ABD 和△ABC 的中位线，根据三角形的中位线的性质可得到EN 、FM 与AB 之间的数量关系，进而求到EF 、MN 与AB 之间的关系.解：因为EF//AB ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，所以EN 是△ABD 的中位线，所以EN=21AB ， 同理可得FM=21AB ， 所以EN+FM=AB ， 所以(EM+MN)+(MN+NF)=AB ，即EF+MN=AB ，所以AB=20+8=28(cm). 评注:本题借助三角形中位线的性质找到AB 与EN 、MF 之间的关系，然后通过线段之间的转化得到AB 与EF 、MN 之间的关系.三、借助中位线定理说理例4 如图4，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF.说明EF ∥CB 理由分析：根据E 为AB 的中点，要说明EF//BC ，可说明EF 为△ABC 的中位线，为此，需要证明F 为AD 的中点.解：∵CF 平分∠ACB ，∴∠DCF=∠ACF.又∵DC=AC ，∴CF 是△ACD 的中线，∴ 点F 是AD 的中点.∵ 点E 是AB 的中点，∴ EF//BD ，即 EF ∥BC.点评：本题根据点E 为AB 的中点联想三角形的中位线，打开了证明的思路，在解决类似问题中应注意中位线的应用.例5 已知，如图5，在△ABC 中，AE=EC ，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，BE=2EF ，AD 与BE 相等吗？说明理由.图5分析：根据AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，可知AD//EF ，再根据AE=CE 可知EF 是△ACD 的中位线，根据中位线的性质可知EF 等于AD 的一半，又知EF 等于BE 的一半，所以可以说明AD=BE.解：BE=AD.理由：因为AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以AD//EF ，因为AE=CE ，所以EF 是△ACD 的中位线，所以EF=21AD ， 又EF=21BE ，所以BE=AD. 评注：本题主要根据三角形的中位线的性质，找到AD 与EF 的关系，再根据BE 与EF 的关系，进而得到AD=BE.四、借助中位线定理计算角度例6 如图1，四边形形ABCD 中，AB ∥CD ，AD = CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1 = 35 ，则∠D = ．图6分析:根据E 、F 分别是AB 、BC 的中点,可知EF 是ABC 的中位线,根据中位线性质可知EF//AC,这样可得∠CAB=∠1=35°,再根据CD//AB,可得∠DCA=∠CAB=35°,由此可求到∠D 的度数.解:因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点,所以EF//CA,所以∠CAB=∠1=35°,又CD//AB,所以∠DAC=∠CAB=35°,又因为DC=DA,所以∠DAC=35°,所以∠D=110°.评注:本题主要借助三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质,找到∠1的度数与∠D 的度数之间的关系.五、借助中位线定理判断四边形的形状例7 如图7，点E F G H ，，，分别为四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．分析：因为点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，中点联想中位线，所以连接AC ，可利用三角形的中位线的性质，说明HG//EF ，HG=EF ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行三边形说明四边形HEFG 是平行四边形.解：四边形EFGH 是平行四边形理由：连结AC ，如图2．因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点，所以EF 是ABC △的中位线，所以EF//AC ，且12EF AC =． 同理：GH AC ∥，且12GH AC =，所以EF GH ∴ ∥． 所以四边形EFGH 是平行四边形．评注：当已知四边形各边的中点时，一般需要连接四边形的对角线，将四边形转化为两个三角形，然后利用三角形中位线的性质解决问题.A B C G D H F E 图7。
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三角形中位线
猎鹰组
4、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的中点，并且点E，F，G，H不在同 一条直线上，求证：EF和GH互相平分
三角形中位线 曙光组
5、如图，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分 ∠ACB，AD⊥CD于点D。
求证：（1）DE∥BC；（2）DE=（12 BC—AC）
D
E
∴ DE∥BC; 位置关系
DE= 1 BC. 数量关系
B
C
2
三角形中位线定理推论
过三角形的一边中点，作另一边的平行线，必
平分第三边。 A
用符号语言表示 ∵AD=DB DE∥BC
D
E
∴ AE=EC; 数量关系
DE= 1 BC. 数量关系BC2三角形中位线东方组
1、如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线， E，F分别为AD，BD的中点，连接EF，若CD=6， 则EF的长为＿＿＿
三角形中位线
星月组
2、如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交 于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为 （）
A、3cm B、6cm C、9cm D、12cm
三角形中位线
恬轩组
3、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中 点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC， ∠PEF=18°，则∠PFE的度数是 ＿＿＿
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三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半。 A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
D
E
∴ DE∥BC， 位置关系
DE= 1 BC. 数量关系
B
C
2
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半。 A
用符号语言表示 ∵AD=DB AE=EC